五年级奥数第讲尾数和余数
五年级数学奥数第6讲：尾数和余数doc
100个12551个9200个23200个18 100个（21×26）50个42002×0.7 2002×0.6 100个4第六周 尾数和余数专题简析自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
例题1 写出除213后余3的全部两位数。
[思路导航]因为213=210+3，把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符合题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，一共有7个两位数。
疯狂操练11． 写出除109后余4的全部两位数。
2． 178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？3． 写出除1290后余3的全部三位数。
例题2（1）125×125×125×------×125积的尾数是几？（2）9×9×9×------×9积的个位数字是几？（3）23×23×23×------23×18×18×18×------18的个位数字是几？[思路导航]（1）因为个位5乘以5，积的个位仍是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5。
（2）我们先列举前几个9的积，看看个位数字在怎样变化，1个9个位就是9；9×9的个位是1；9×9×9的个位是9；9×9×9×9的个位是1------由此可见，积的尾数以“9，1”两个数字在不断重复出现。
51÷2=25------1，余数是1，说明51个9相乘积的个位是9。
五年级奥数尾数和余数的应用
2018年五年级上期数学思维训练姓名：第2讲尾数和余数的应用一、知识要点：自然数的末尾的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数的积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
二、精讲精练：例1.试比较下面两组算式中结果的尾数。
A组 B组（1）25+3078+1049 5+8+9（2）3281-47-108 21-7-8（3）82×105×7 2×5×7例2.（1）求1832-785+214×517结果的个位是几？（2）15×15×…15（100个15）积的尾数是几？例3.（1）3×3×3×…×3（10个3）的尾数是几？（2）3×3×3×…×3（100个3）的尾数是几？例4.求下面格式中结果的个位数字。
（1）-(2)1995×1995×…×1995×1996×1996×…×1996（1995个1995，1996个1996）(3)1×3×5×7×9×11×13×…×1997×1999×2001×2003例5. 5555……5÷3，当商是整数时，余数是几？课后练习1.甲数除以9，余数是7；乙数被9除余数是6；9除丙数余数是5，那么（甲+乙+丙）÷9还有余数吗？2.一个数被19除余数是4，那么将被除数扩大11倍，除数不变，余数数几？3.当商是整数时，余数各是几。
6666…6（50个6）÷44.求下面各式的尾数：（31×45）×（31×45）×（31×45）×…（31×45）×（31×45）。
五年级奥数举一反三第0506周之分类数图形尾数和余数
分类数图形、尾数和余数分类数图形专题简析：我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，不能使数出的结果准确。
但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。
分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律，从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。
例题1 下面图形中有多少个正方形？分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有6×3=18个，2×2的正方形有5×2=10个，3×3的正方形有4×1=4个。
因此图中共有18＋10＋4=32个正方形。
练习一1，下图中共有多少个正方形？2，下图中共有多少个正方形？3，下图中共有多少个正方形，多少个三角形？例题2 下图中共有多少个三角形？分析为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。
（1）图中共有6个小三角形；（2）由两个小三角形组合的三角形有3个；（3）由三个小三角形组合的三角形有4个；（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。
所以共有6＋3＋4＋1=14个三角形。
练习二1，下面图中共有多少个三角形？2，数一数，图中共有多少个三角形。
3，数一数，图中共有多少个三角形？例题3 数出下图中所有三角形的个数。
分析和三角形AFG一样形状的三角形有5个；和三角形ABF一样形状的三角形有10个；和三角形ABG一样形状的三角形有5个；和三角形ABE一样形的三角形有5个；和三角形AMD一样形状的三角形有5个，共35个三角形。
练习三数出下面图形中分别有多少个三角形。
例题4 如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？分析把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看出：（1）最小的正方形有6个；（2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个；（3）中间还可围成2个正方形。
所以共有6＋2＋2=10个。
练习四1，下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方形？2，下图中共有6个点，连接其中的三点围成一个三角形，一共能围成多少个三角形？3，下图中共有9个点，连接其中的四个点围成一个梯形，一共能围成多少个梯形？例题5 数一数，下图中共有多少个三角形？分析我们可以分类来数：1，单一的小三角形有16个；2，两个小三角形组合的有10个；3，四个小三角形组合的有8个；4，八个小三角形组合的有2个。
【精品奥数】五年级上册数学思维训练讲义-第一讲 尾数和余数 人教版(含答案)
第一讲尾数和余数第一部分：趣味数学兄弟分绢今有孟、仲、季兄弟三人，各持绢不知匹数。
大兄谓二弟曰：“我得汝等各半，得满七点九匹。
”中弟日：“我得兄弟绢各半，得满六点八匹。
”小弟日：“我得二兄绢各半，得满五点七匹。
”问兄弟本持绢各几何?——摘自《张邱建算经》。
据考证《张邱建算经》成书时代是在5世纪中期，是北魏时期数学家张邱建著。
《张邱建算经》卷中之尾卷下之首残缺，流传到现在的有92个问题，内容继承了《九章算术》的数学遗产，另外还有等差级数问题、最大公约数和最小公倍数应用问题。
卷下最后一题是有名的百鸡问题，是中国数学史上最早出现的不定方程问题。
赏析：有兄弟三人，各有绢若干匹。
大哥对两个弟弟说：“我得到你俩每人所有绢的一半，与我有的绢合在一起就有7.9匹。
”二哥对大哥和三弟说：“我得到兄绢的一半，弟绢的一半，与我有的绢合在一起是6.8匹。
”三弟对两个哥哥说：“我得到两个哥哥每人所有绢的一半，与我有的绢合在一起是5.7匹。
”问兄弟三人原来各有绢多少匹?分析：7.9匹包括大哥的绢全部+二哥绢一半+三弟的绢一半；6.8匹包括大哥的绢一半+二哥绢全部+三弟的绢一半；5.7匹包括大哥的绢一半+二哥绢一半+三弟的绢全部；那么，7.9+6.8+5.7就包括大哥的绢2倍+二哥绢2倍+三弟的绢2倍；所以，三兄弟绢的总数为（7.9+6.8+5.7）÷2＝10.2（匹），而7.9 × 2就包括大哥的绢2倍+二哥绢全部+三弟的绢全部7.9 × 2－10.2＝5.6（匹）……大哥的绢数。
同理：6.8 × 2－10.2＝3.4（匹）……二哥的绢数。
5.7 × 2－10.2＝1.2（匹）……三弟的绢数。
解答：（7.9+6.8+5.7）÷2＝10.2（匹）7.9 × 2－10.2＝5.6（匹） 6.8 × 2－10.2＝3.4（匹） 5.7 × 2－10.2＝1.2（匹）第二部分：奥数小练一、知识要点自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
五年级奥数__尾数和余数
第6讲尾数和余数之五兆芳芳创作一、知识要点自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数.尾数和余数在运算时是有纪律可寻的，利用这种纪律能解决一些看起来无从下手的问题.二、精讲精练【例题1】写出除213后余3的全部两位数【思路导航】因为213=210＋3.把210分化质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42.一共有7个两位数.练习1：1.写出除109后余4的全部两位数.2.178除以一个两位数后余数是3.适合条件的两位数有哪些？3.写出除1290后余3的全部三位数.【例题2】（1）125×125×125×……×125[100个125]积的尾数是几？（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？【思路导航】（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位仍是5；（2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要阐发100个6相乘，积的尾数是几就行了.因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位仍是6.练习2：1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？【例题3】（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？【思路导航】（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变更，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不竭重复出现.50÷2=25没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6.（2）用上面的办法可以发明，51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不竭重复，51÷2=25……1.余数是1.说明51个9本乘积的个位是9.练习3：1.24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？2.1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？3.94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？【例题4】把1/7化成小数，那么小数点前面第100位上的数字是多少？练习4：1.把1/11化成小数，求小数点前面第2001位上的数字.2.5/7写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？3.有一串数：5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和.在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少？【例题5】555…55[2001个5]÷13.当商是整数时，余数是几？【思路导航】如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的纪律变更.从竖式中可以看出，余数是按3、9、4、6、0、5这六个数字不竭重复出现.2001÷6=333……3.所以，当商是整数时，余数是4.练习5：1.444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？2.当商是整数时，余数各是几？（1）666…6÷4[100个6]（2）444…4÷74[200个4]（3）888…8÷7[200个8]（4）111…1÷7[50个1]。
五年级奥数尾数与余数教案
课题奥数“尾数与余数授课时间：5.29 备课时间： 5.25教学目标重点、难点考点及考试要求教学内容专题简析：自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
例题一.写出除333后余3的全部两位数。
思路导航：因为333=330＋3，把330分解质因数：330=2×3×5×11，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×11=22，3×5=15，3×11=33，5×11=55，2×3×5=30，2×3×11=66，加上11，一共有8个两位数。
例题二. (1）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？(2）的积的尾数是几？思路导航：(1）我们先列举前几个９相乘的积，看看个位数在怎样变化，1个９个位就是９；９×９的个位是１；９×９×９的个位是９；９×９×９×９的个位是１……由此可见，积的尾数以“１，９”两个数字在不断重复出现。
51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51÷2=25……1，余数是1，说明51个9本乘积的个位是9。
（2）小数乘法的运算，暂时不考虑小数点。
一个３的积，个位数字是３，两个３相乘，积的个位数字是９，三个３相乘，积的个位数字是７，四个３相乘，积的个位数字是１.以此类推，个位数字出现的规律是按“3、9、7、1”的顺序重复。
那么共有204÷4＝51个循环，最后一个尾数是１.所以前后两部分相乘，尾数应是１×5=5例题三. 444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？思路导航：从竖式中的余数可以看出：每3个4组成的数被6整除。
五年级奥数专题第一讲 尾数和余数
五年级奥数专题第一讲 尾数和余数【一】 写出除85后余1的数有哪些？练习1、写出除98余2的数有哪些？2、写出除105后余3的数有哪些？【二】 2×2×2×2×2×2×2×2积的尾数是几？练习1、5×5×5×5×5×5×5积的尾数是几？2、16×16×16×16×16×16积的尾数是几？【三】 写出除214后余4的全部两位数。
练习1、写出除111后余6的全部两位数。
2、180除以一个两位数后余数是5,适合条件的两位数有哪些？【四】 ”个“125100125125125125⨯⨯⨯⨯积的尾数是几？练习1、）个（）（）262110026212621()2621(⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯积的尾数是几？2、”个“45044444⨯⨯⨯⨯的积的个位数字是几？【五】”个“41004444÷6当商是整数时,余数是几？练习1、”个“5200855555÷13当商是整数时,余数是几？2、当商是整数时,余数是几？（1） ”个“6506666÷4 （2）”个“8808888÷7（3） ”个“410004444÷74 （4）”个“110001111÷5【六】 有一列数,前两个数是3与4,从第3个数开始,每一个数都是前两个数的和。
这一串数中第2000个数除以4,余数是多少？练习1、有一串数排成一行,其中第一个数是3,第二个数是10,从第三个数起,每个数恰好是前两个数的和。
在这一串数中,第2006个数被3除,所得的余数是几？2、一列数1、2、4、7、11、16、22、29……这一列数的规律是第二个数比第一个数多1；第三个数比第二个数多2；第四个数比第三个数多3,依次类推。
这列数左起第1000个数被5除余数是几？【七】 甲数除以11余9,乙数除以11余7。
小学奥数 尾数和余数
尾数和余数一、知识要点自然数末位的数字称为自然数的尾数。
除法中，被除数÷除数=商……余数（余数<除数），由此算式变化可知: 被除数=商×除数+余数, 被除数-商×除数=余数，，（被除数-余数）÷除数=商, （被除数-余数）÷商=除数。
整除判断方法：1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
6. 能被11整除：奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
7. 能被13整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
二、精讲精练【例题1】写出除213后余3的全部两位数。
练习1：1. 写出除109后余4的全部两位数。
2. 178除以一个两位数后余数是3, 适合条件的两位数有哪些？3. 写出除1290后余3的全部三位数。
【例题2】（1） 125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]尾数是几？练习2：1. 21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？2. 15×15×15×……×15[200个15]积的尾数是几？3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？【例题3】（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？练习3：1. 24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？2. 1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？3. 94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？【例题4】把1/13化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？练习4：1. 把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。
五年级奥数知识讲义-余数问题（一）
在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数基本关系式：被除数÷除数＝商……余数（0≤余数＜除数）余数基本恒等式：被除数＝除数×商＋余数知识梳理1. 一般地，如果是整数，是整数（不为0），若有，也就是，，我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
2.与的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和，当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
3. a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数的积，当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例1一串数1、2、4、7、11、16、22、29、……这串数的组成规律为第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推，那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____。
分析与解：设这串数为a1、a2、a3、…、a1992、…，依题意知a＝11a＝1＋12a＝1＋1＋23a＝1＋1＋2＋34a＝1＋1＋2＋3＋45……a＝1＋1＋2＋3＋…＋1991＝1＋996×19911992因为996÷5＝199……1，1991÷5＝398……1，所以996×1991的积除以5余数为1，1＋996×1991除以5的余数是2。
因此，这串数左起第1992个数除以5的余数是2。
例2除以13所得的余数是_____。
分析与解：因为222222＝2×111111＝2×111×1001＝2×111×7×11×13 所以222222能被13整除。
又因为2000＝6×333＋2，＝，22÷13＝1……9，所以要求的余数是9。
例3有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和是25。
五年级数奥--余数问题详细分析讲解
五年级数奥－－余数问题(详细分析讲解）各种与余数有关的整数问题,其中包括求方幂的末位数字,计算具有规律的多位数除以小整数的余数，以及用逐步试算法找出满足多个余数条件的最小数等．1.分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【分析与解】因为两个数和的余数同余与余数的和．有101,126,173,193除以3的余数依次为2,0,2,1．则101号运动员与126,173,193号运动员依次进行了2,1,0盘比赛,共3盘比赛；126号运动员与101,173,193号运动员依次进行了2,2,l盘比赛,共5盘比赛；173号运动员与101,126,193号运动员依次进行了1,2,0盘比赛,共3盘比赛；193号运动员与101,126,173号运动员依次进行了0,1,0盘比赛,共1盘比赛．所以,打球盘数最多的运动是126号,打了5盘．评注:两个数和的余数,同余与余数的和；两个数差的余数,同余与余数的差；两个数积的余数,同余与余数的积.2.自然数的个位数字是多少?【分析与解】我们先计算的个数数字,再减去1即为所求.(特别的如果是O,那么减去1后的个位数字因为借位为9)将一个数除以10,所得的余数即是这个数的个位数字.而积的余数,同余余数的积．有2除以10的余数为2,2×2除以10的余数为4,2×2×2除以10的余数为8,2×2×2×2除以i0的余数为6；2×2×2×2×2除以i0的余数为除以10的余数为4, 除以10的余数为8, 除以10的余数为6；…………也就是说,n个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．因为67÷4=16……3，所以除以10的余数同余与2×2×2,即余数为8,所以除以10的余数为7．即的个位数字为7．评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．3.算式7+7×7+…+ 计算结果的末两位数字是多少?【分析与解】我们只用算出7+7×7+…+7 的和除以100的余数,即为其末两位数字．7除以100的余数为7,7×7除以100的余数为49,7×7×7除以100的余数为43,7 ×7 ×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；而除以100的余数等于的余数,即为7,……这样我们就得到一个规律除以100所得的余数,4个数一循环,依次为7,49,43,1．1990÷4=497……2,所以7+7×7+…+7×7×…的和除以100的余数同余．497×(7+49+43+1)+7+49=49756,除以100余56．所以算式7+7×7+…+ 计算结果的末两位数字是56．4.1990…1990除以9的余数是多少?【分析与解】能被9整除的数的特征是其数字和能被9整除,如果这个数的数字和除以9余a,那么再减去a而得到的新数一定能被9整除,因而这个新数加上a后再除以9,所得的余数一定为a,即一个数除以9的余数等于其数字和除以9的余数．的数字和为20×(1+9+9+0)＝380，380的数字和又是3+8=11,11除以9的余数为2,所以除以9的余数是2．5.将1,2,3，…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?【分析与解】1,2,3,...,30这30个数从左往右依次排列成一个51位数为：123456...910 (15)...19202l...25 (2930)记个位为第l位,十位为第2位,那么：它的奇数位数字和为:0+9+8+7+6+…+l+9+8+7+6+…+1+9+7+5+3+l=115：它的偶数位数字和为:3+ + +8+6+4+2=53；它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为115—53：62．而62除以1l的余数为7．所以将原来的那个51位数增大4所得到的数123456…910…15…192021…25…2934就是1l倍数,则将123456…910…15…192021…25…2934减去4所得到数除以11的余数为7．即这个51位数除以11的余数是7．评注:如果记个位为第1位,十位为第2位,那么一个数除以11的余数为其奇数位数字和A减去偶数位数字和B的差A-B=C,再用C除以1l所得的余数即是原来那个数的余数.(如果减不开可将偶数位数字和B减去奇数位数字和A,求得B-A=C,再求出C除以1l的余数D,然后将11-D即为原来那个数除以11的余数)．如:123456的奇数位数字和为6+4+2=12,偶数位数字和为5+3+1=9,奇数位数字和与偶数位数字和的差为12-9=3,所以123456除以11的余数为3．又如:654321的奇数位数字和为1+3+5=9,偶数位数字和为2+4+6=12,奇数位数字和减不开偶数位数字和,那么先将12-9=3,显然3除以11的余数为3,然后再用11-3=8,这个8即为654321除以11的余数．6.一个1994位的整数,各个数位上的数字都是3.它除以13,商的第200位（从左往右数)数字是多少?商的个位数字是多少?余数是多少?【分析与解】这个数即为，而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个新数，将这两个新数做差，这个差为13的倍数．显然有能够被13整除,而1994÷6=332……2，即而是13的倍数，所以除以13的余数即为33除以13的余数为7．有,而,所以除以13所得的商每6个数一循环,从左往右依次为2、5、6、4、1、0．200÷6=33……2,所以除以所得商的第200位为5．除以13的个位即为33除以13的个位，为2．即商的第200位(从左往右数)数字是5,商的个位数字是2,余数是7．7.己知：a= .问:a除以13的余数是几?【分析与解】因为1能被13整除,而1991÷3=663……2．有a= =1×1 +1×1 +1×+1×1 +…+1×1 +19911991所以a除以13的余数等于19911991除以13的余数8．8.有一个数,除以3余数是2,除以4余数是1.问这个数除以12余数是几?【分析与解】我们将这个数加上7,则这个数能被3整除,同时也能被4整除,显然能被12整除,所以原来这个数除以12的余数为12-7=5．9.某个自然数被247除余63,被248除也余63.那么这个自然数被26除余数是多少?【分析与解】我们将这个数减去63,则得到的新数能被247整除,也能被248整除,而相邻的两个整数互质,所以得到的新数能被247×248整除,显然能被26整除．于是将新数加上63除以26的余数等于63除以26的余数为11．所以这个自然数被26除余数是11．10.一个自然数除以19余9,除以23余7.那么这个自然数最小是多少?【分析与解】这个自然数可以表达为19m+9,也可以表达为23n+7,则有19m+9=23n+7，即23n-19m=2，将未知数系数与常数对19取模,有4n≡2(mod 19)．n最小取10时,才有4n≡2(mod 19).所以原来的那个自然数最小为23×lO+7=237．评注：有时往往需要利用不定方程来清晰的表示余数关系,反过来不定方程往往需要利用余数的性质来求解．11.如图15-l,在一个圆圈上有几十个孔(少于100个).小明像玩跳棋那样从A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步,正好回到4孔.问这个圆圈上共有多少个孔?【分析与解】设这个圆圈有n个孔,那么有n除以3余1,n除以5余1.n 能被7整除．则将n-1是3、5的倍数,即是15的倍数,所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数,即15t+1=7A,将系数与常数对7取模,有t+1≡0(mod7),所以t取6或6与7的倍数和.对应孔数为15×6+l=91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91．即这个圆圈上共有91个孔．12.某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3，…,12.他们的依次是12个连续的六位自然数,并且每家的都能被这家的门牌整除.已知这些的首位数字都小于6,并且门牌是9的这一家的也能被13整除,问这一家的是什么数?【分析与解】设这12个连续的自然数为n+1,n+2,n+3,…,n+12,那么有它们依次能被1,2,3,…,12整除,显然有凡能同时被1,2,3,…,12整除.即n为1,2,3,…,12的公倍数．[1,2,3,…,12]=23×32×5×7×11=27720,所以n是27720的倍数,设为27720k.则有第9家的门牌为27720k+9为13的倍数,即27720k+9=13A.将系数与常数对13取模有:4k+9≡0(mod 13),所以后可以取l或1与13的倍的和.有要求n+1,n+2,n+3,…,n+12,为六位数,且首位数字都小于6,所以k只能取14,有7n=27720×14=388080．那么门牌是9的这一家的是388080+9=388089．13.有5000多根牙签,可按6种规格分成小包.如果10根一包,那么最后还剩9根.如果9根一包,那么最后还剩8根.第三、四、五、六种的规格是,分别以8,7,6,5根为一包,那么最后也分别剩7,6,5,4根.原来一共有牙签多少根?【分析与解】设这包牙签有n根,那么加上1根后为n+1根此时有n+1根牙签即可以分成10根一包，又可以分成9根一包,还可以分成8、7、6、5根一包.所以,n+1是10、9、8、7、6、5的倍数,即它们的公倍数．[10,9,8,7,6,51=23×32×5×7=2520,即n+1是2520的倍数,在满足题下只能是2520×2=5040,所以n=5039．即原来一共有牙签5039根．14.有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?【分析与解】设这个除数为M,设它除63,90,130所得的余数依次为a,b,c,商依次为A,B,C．63÷M=A……a90÷M=B……b130÷M=C……ca+b+c=25,则(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)×M,即283-25=258=(A+B+C)×M．所以M是258的约数.258=2×3×43,显然当除数M为2、3、6时,3个余数的和最大为3×(2-1)=3，3×(3-1)=6,3×(6-1)=15,所以均不满足．而当除数M为43×2,43×3,43×2×3时,它除63的余数均是63,所以也不满足．那么除数M只能是43,它除63,90,130的余数依次为20,4,1,余数的和为25,满足．显然这3个余数中最大的为20．15.一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少?【分析与解】这个数A除55l,745,1133,1327,所得的余数相同,所以有551,745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A的倍数．1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=77 6,1133-551=582．这些数都是A的倍数,所以A是它们的公约数,而它们的最大公约数(194，388，194，582，776，582)=194．所以,这个数最大可能为194．。
五年级奥数余数与尾数
• 练习1、12＋22＋32＋42＋…20012＋20022除以4 的余数是（ ）（2002年全国小学奥赛试题） • 22 42……20022 除以4的余数都是0 • 12 32 ……20012 除以4的余数都是1 • 2002÷2=1001 • 1001×1=1001 • 1001÷4=25……1
• 2、991的个位数是（）？
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91个位数字：9 92 ………：1 93 ………：9 94 ………：1 ……… 91÷2=45……1 最后个位数字应该是: 9
• 3、（31×36）50积的尾数是（ ）？
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31×36积的尾数是：6 61的尾数是：6 62 ………：6 63 ………：6 …… （31×36）50积的尾数是： 6
• 1991÷8=248……7
• 2、一列数1，2，4，7，11，16，22，29，…。 这一列数的规律第二个数比第一个数多1；第三 个数比第二个数多2；第四个数比第三个数多3， 依次类推，这列数左起第1996个数被5除余数是 几？ 一列 1 2 4 7 11 16 22 29 37 46 … … … 数 余数 1 2 4 2 1 1 2 4 2 1 • 1996÷5=399……1 • 这列数左起第1996个数被5除余数是：1
• a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c 的余数之积（或这个积除以c的余数）。 • （11×13）÷5=143÷5=28……3 • 11÷5=2……1 • 13÷5=2……3 • 1×3=3
• 例6、11＋22＋33＋44＋55＋66＋77＋88＋99除以 3余几？（第四届华杯赛复赛试题） • 33 66 99 除以3余0； • 4,7除以3的余数是1，所以44 ， 77 除以3的余 数是1； • 因为5,8除以3的余数是2，所以55 ，88 的余 数是25,28 • 25 除以3的余数是2， • 28 除以3的余数是1， • 11＋22＋44＋55＋77＋88 • 1＋1＋1＋2＋1＋1
五年级奥数尾数和余数.docx
第 6 讲尾数和余数一、知要点自然数末位的数字称自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数的差叫做余数。
尾数和余数在运算是有律可的，利用种律能解决一些看起来无从下手的。
二、精精【例 1】写出除 213 后余 3 的全部两位数【思路航】因 213=210＋ 3. 把 210 分解因数： 210=2× 3× 5× 7，所以，符号目要求的两位数有 2×5=10，2× 7=14，3× 5=15，3× 7=21.5 × 7=35，2× 3× 5=30，2× 3×7=42. 一共有 7 个两位数。
1：1.写出除 109 后余 4 的全部两位数。
2.178 除以一个两位数后余数是3. 适合条件的两位数有哪些？3.写出除 1290 后余 3 的全部三位数。
【例 2】（ 1） 125× 125×125×⋯⋯× 125[100 个 125] 的尾数是几？（ 2）（ 21× 26）×（ 21× 26）×⋯⋯×（ 21× 26）[100 个（ 21× 26） ] 的尾数是几？【思路航】（ 1）因个位 5 乘 5，的个位仍然是 5，所以不管多少个 125 相乘，个位是5；（ 2）每个括号里21 乘 26 的个位是就行了。
因个位 6 乘 6，的个位仍然是6，我只要分析100 个 6 相乘，的尾数是几6，所以不管多少个（21×26）乘，的个位是6。
2：1.21 ×21× 21×⋯⋯× 21[50 个 21] 的尾数是几？2.1.5 × 1.5 ×1.5 ×⋯⋯× 1.5[200 个 1.5] 的尾数是几？3.（ 12× 63）×（ 12× 63）×（ 12×63）×⋯⋯×（ 12× 63） [1000 个（ 12× 63） ]的尾数是几？【例 3】（ 1） 4×4× 4×⋯× 4[50 个 4] 的个位数是几？（ 2） 9×9× 9×⋯× 9[51 个 9] 的个位数是几？【思路航】（ 1）我先列前几个 4 的，看看个位数在怎化， 1 个 4 个位就是4；4× 4 的个位是 6；4×4× 4 的个位是 4；4×4× 4× 4 的个位是 6⋯⋯由此可，的尾数以“ 4， 6”两个数字在不断重复出。
五年级奥数举一反三第0506周之分类数图形尾数和余数
分类数图形、尾数和余数分类数图形专题简析：我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，不能使数出的结果准确但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。
分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律，从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。
例题1下面图形中有多少个正方形?分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有3=18个，2X2的正方形有5X 2=10个，3X 3的正方形有4X仁4个。
共有18+10 + 4=32个正方形。
练习一3,下图中共有多少个正方形，多少个三角形?6X因此图中1,下图中共有多少个正方形?例题2下图中共有多少个三角形?分析为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。
（1）图中共有6个小三角形；（2）由两个小三角形组合的三角形有3个；（3）由三个小三角形组合的三角形有4个；（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。
所以共有6+3+4+仁14个三角形。
练习二1, 下面图中共有多少个三角形？3,数一数，图中共有多少个三角形?例题3数出下图中所有三角形的个数。
分析和三角形AFG —样形状的三角形有5个；和三角形ABF—样形状的三角形有10个；和三角形ABG-样形状的三角形有5个；和三角形ABE一样形的三角形有5个；和三角形AMD H样形状的三角形有5个，共35个三角形。
练习三数出下面图形中分别有多少个三角形例题4如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形, 这样的正方形有多少个?分析把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可以看出:（1）最小的正方形有6个；（2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个；（3）中间还可围成2个正方形。
所以共有6+2+ 2=10个。
练习四1, 下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方形？•••・•••・2, 下图中共有6个点，连接其中的三点围成一个三角形，一共能围成多少个三角形?3, 下图中共有9个点，连接其中的四个点围成一个梯形，一共能围成多少个梯形？例题5数一数，下图中共有多少个三角形?1, 单一的小三角形有16个；2, 两个小三角形组合的有10个；3, 四个小三角形组合的有8个；4，八个小三角形组合的有2个。
五年级奥数余数性质(一)教师版
1. 五年级奥数余数性质（一）教师版2. 理解弃9法,并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之和,或这个和除以c 的余数。
例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16＝39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23－16＝7除以5的余数等于2,两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时,补上除数再减。
例如：23,14除以5的余数分别是3和4,23－14＝9除以5的余数等于4,两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数的积,或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同,那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为1知识点拨 教学目标5-5-3.余数性质（三）1898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。
五年级奥数举一反三第6周尾数和余数
五年级奥数举一反三第６周尾数和余数专题简析；自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
例题1 写出除213后余3的全部两位数。
分析因为213=210＋3，把210分解质因数；210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，一共有7个两位数。
练习一1，写出除109后余4的全部两位数。
2，178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？3，写出除1290后余3的全部三位数。
例题2 （1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？分析（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5；（2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。
因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。
练习二1，21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？2，1，5×1，5×1，5×……×1，5[200个1，5]积的尾数是几？3，（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？例题3 （1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？（2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？分析（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。
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五年级奥数第讲尾数和
余数
Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
第2讲尾数和余数
一、知识要点
自然数的末位数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数的差叫作余数。
尾数和余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
二、精讲精练
【例题1】（1）9×9×9×……×9（51个9相乘）积的个位数是几？
（2）0.3×0.3×0.3×……0.3（204个0.3相乘）×25×25×25×……×25（1001个25）的个位数字是几？
练习1：
（1）61×61×61×……×61（2001个61相乘）积的尾数是几？
（2）（31×36）×（31×36）×……×（31×36）（共50个）积的尾数是几？
（3）0.7×0.7×0.7×……×0.7（2002个0.7）×0.6×0.6×0.6×……×0.6（2002个0.6）积的尾数是多少？
【例题2】3×3×3×……3（2006个3相乘）+4×4×4×……4（2007个4相乘）的尾数是几？
练习2：
（1）5×5×5×......5（2000个5相乘）+6×6×6×......6（2001个6相乘）+7×7×7× (7)
（2002个7相乘）的尾数是几？
（2）52×52×52×……52（33个52相乘）-32×32×32×……32（29个32相乘）的尾数是几？
【例题3】444……4（100个4）÷6，当商是整数时，余数是几？
练习3：当商是整数时，余数各是几？
（1）666……6（50个6）÷4（2）888……8（80个8）÷7
（3）444……4（1000个4）÷74（4）111……1（1000个1）÷5
【例题4】有一列数，前两个数是3与4，从第3个数开始，每一个数都是前面两个数的和。
这一列数中第2001个数除以4，余数是多少？
练习4：
（1）有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10.从第三个数七，每个数恰好是前面两个数的和。
在这一串数种，第1991个数被3除，所得的余数是几？
（2）一列数1、2、4、7、11、16、22、29、……这一列数的规律是第二个数比第一个数多1；第三个数比第二个数多2；第四个数比第三个数多3，依次类推。
这列数左起第1996个数被5除余
数是几？
【例题5】已知：甲数除以9余7，乙数除以9余5.
（1）甲、乙两数的和除以9余数是几？
（2）甲、乙两数的差除以9余数是几？
（3）甲、乙两数的积除以9余数是几？
练习5：甲数除以5余3，乙数除以5余2，那么甲、乙两数的和除以5余数是几?甲、乙两数的差除以5余数是几？甲、乙两数的积除以5余数是几？
三、课后练习
1、4×4×4×……×4（50个4相乘）积的尾数数是几？
2、18×28×38×……×98×108的积的尾数数是几？
3、（21×26）×（21×26）×……×（21×26）（1000个）积的尾数是几？
4、有一串数：
5、8、13、21、34、55、89……其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。
在这串数中，地1000个数被3除后的余数是多少？
5、甲数除以9余7：乙数除以9余6，丙数除以9余5，那么（甲┼乙┼丙）÷9还有余数吗？。