图的遍历与最小生成树

图论1——图的遍历与图的最小生成树一、图的遍历图的遍历：从图的某顶点出发，访问图中所有顶点，并且每个顶点仅访问一次。

在图中，访问部分顶点后，可能又沿着其他边回到已被访问过的顶点。

为保证每一个顶点只被访问一次，必须对顶点进行标记，一般用一个辅助数组visit[n]作为对顶点的标记，当顶点vi未被访问，visit[i]值为0；当vi已被访问，则visit[i]值为1。

有两种遍历方法（它们对无向图，有向图都适用）深度优先遍历广度优先遍历1、深度优先遍历从图中某顶点v出发：1）访问顶点v；2）依次从v的未被访问的邻接点出发，继续对图进行深度优先遍历；对于给定的图G=（V，E），首先将V中每一个顶点都标记为未被访问，然后，选取一个源点v V，将v标记为已被访问，再递归地用深度优先搜索方法，依次搜索v的所有邻接点w。

若w未曾访问过，则以w为新的出发点继续进行深度优先遍历，如果从v出发有路的顶点都已被访问过，则从v的搜索过程结束。

此时，如果图中还有未被访问过的顶点（该图有多个连通分量或强连通分量），则再任选一个未被访问过的顶点，并从这个顶点开始做新的搜索。

上述过程一直进行到V中所有顶点都已被访问过为止。

例：在下图中，从V0开始进行一次深度遍历的过程如图所示：深度优先遍历得到的遍历序列为：序列1：V0,V1,V3,V7,V4,V2,V5,V6序列2：V0,V1,V4,V7,V3,V2,V5,V6由于没有规定访问邻接点的顺序，深度优先序列不是唯一的。

但是，当采用邻接表存储结构并且存储结构已确定的情况下，遍历的结果将是确定的。

例如：对下图（a）的邻接表存储（图b）的遍历过程如图（c）。

图a 图b图cDFS序列：c0 → c1→ c3→ c4→ c5→ c2采用邻接表存储结构的深度优先遍历算法实现：Pascal语言：procedure dfs(g:adjgraph;i:integer);varp:edgenode;beginwriteln('visit vertex:',g.adjlist[i]^.vertex);visited[i]:=true;p:=g.adjlist[i]^.firstedge;while p<>nil dobeginif not visited[p^.adjvex]then dfs(g,p^.adjvex);p:=p^.next;end;end;procedure dfstraverse(g:adjgraph);vari:integer;beginfor i:=1to g.n dovisited[i]:=false;for i:=1to g.n doif not visited[i]then dfs(g,i);end;C语言：/*********************************************************//* 图的深度优先遍历算法 *//* 文件名：dfs.c 函数名：dfs()、dfstraverse() *//********************************************************/int visited[m];void dfs(adjgraph g,int i){/*以vi为出发点深度优先遍历顶点vi所在的连通分量*/edgenode*p;printf("visit vertex: %c \n",g.adjlist[i].vertex);/*访问顶点i*/visited[i]=1;p=g.adjlist[i].firstedge;while(p)/*从p的邻接点出发进行深度优先搜索*/{if(!visited[p->adjvex])dfs(g,p->adjvex);/*递归*/p=p->next;}}void dfstraverse(adjgraph g){/* 深度优先遍历图g */int i;for(i=0;i<g.n;i++)visited[i]=0;/*初始化标志数组*/for(i=0;i<g.n;i++)if(!visited[i])/*vi未访问过*/dfs(g,i);}图的深度优先遍历算法（邻接表表示法）算法分析：对于具有n个顶点和e条边的无向图或有向图，遍历算法dfstraverse对图中每个顶点至多调用一次dfs。

从dfstraverse中调用dfs或dfs内部递归调用自己的最大次数为n。

当访问某顶点v i时，dfs的时间主要耗费在从该顶点出发搜索它的所有邻接点上。

用邻接表表示图时，需搜索第i个边表上的所有结点，因此，对所有n个顶点访问，在邻接表上需将边表中所有O（e）个结点检查一遍。

所以，dfstraverse算法的时间复杂度为O（n+e）。

2、广度优先遍历图中某未访问过的顶点v i出发：1）访问顶点v i；2）访问v i的所有未被访问的邻接点w1 ,w2 , …w k；3）依次从这些邻接点出发，访问它们的所有未被访问的邻接点; 依此类推，直到图中所有访问过的顶点的邻接点都被访问；例如：求图G 的以V0起点的广度优先序列。

以V0起点的广度优先序列为：V0,V1,V2,V3,V4,V5,V6,V7从C0出发的BFS序列为：c0→ c1→ c2→ c3→ c4→ c5由于没有规定访问邻接点的顺序，广度优先序列不是唯一的。

广度优先算法：从图中某顶点v i出发：1）访问顶点v i ；（容易实现）；2）访问vi 的所有未被访问的邻接点w1 ,w2 , …w k；3）依次从这些邻接点（在步骤2）访问的顶点）出发，访问它们的所有未被访问的邻接点; 依此类推，直到图中所有访问过的顶点的邻接点都被访问；为实现3），需要保存在步骤(2）中访问的顶点，而且访问这些顶点邻接点的顺序为：先保存的顶点，其邻接点先被访问。

在广度优先遍历算法中，需设置一队列Q，保存已访问的顶点，并控制遍历顶点的顺序。

C语言：数据结构：1）全局标志数组int visited[m]; /*全局标志向量*/2）邻接表存储结构/******************************************************//* 图的广度优先遍历算法 *//* 程序名bfs.c 函数名bfs()、bfstraverse() *//******************************************************/void bfs(adjgraph g,int i){int j;/*从顶点i出发广度优先遍历顶点i所在的连通分量*/edgenode*p;int queue[20],head,tail;/*FIFO队列*/head=-1;tail=-1;/*初始化空队列*/printf("%c ",g.adjlist[i].vertex);/*访问源点v*/visited[i]=1;queue[++tail]=i;/*被访问结点进队*/while(tail>head)/*当队列非空时，执行下列循环体*/{j=queue[++head];/*出队*/p=g.adjlist[j].firstedge;while(p)/*广度优先搜索邻接表*/{if(visited[p->adjvex]==0){printf("%c ",g.adjlist[p->adjvex].vertex);queue[++tail]=p->adjvex;visited[p->adjvex]=1;}p=p->next;}}}int bfstraverse(adjgraph g,datatype v){int i,count=0;/*广度优先遍历图g*/for(i=0;i<g.n;i++)visited[i]=0;/*初始化标志数组*/ i=loc(g,v);/*寻找顶点v在邻接表中的位序*/if(i!=-1){count++;/*连通分量个数加1*/bfs(g,i);}for(i=0;i<g.n;i++)if(!visited[i])/*vi未访问过*/{printf("\n");count++;/*连通分量个数加1*/bfs(g,i);/*从顶点i出发广度优先遍历图g*/}return count;/*返回无向图g中连通分量的个数*/}Pascal语言function loc(g:adjgraph;v:datatype):integer;vari:integer;beginfor i:=1to g.n doif g.adjlist[i]^.vertex=v then exit(i);exit(-1);end;procedure bfs(g:adjgraph;i:integer);varqueue:array[1..20]of integer;head,tail,j:integer;p:edgenode;beginhead:=0;tail:=0;write(g.adjlist[i]^.vertex);visited[i]:=true;inc(tail);queue[tail]:=i;while tail>head dobegininc(head);j:=queue[head];p:=g.adjlist[j]^.firstedge;while p<>nil dobeginif not visited[p^.adjvex]thenbeginwrite(g.adjlist[p^.adjvex]^.vertex);inc(tail);queue[tail]:=p^.adjvex;visited[p^.adjvex]:=true;end;p:=p^.next;end;end;end;function bfstraverse(g:adjgraph;v:datatype):integer; vari,count:integer;begincount:=0;for i:=1to g.n do visited[i]:=false;i:=loc(g,v);if i<>-1thenbegininc(count);bfs(g,i);end;for i:=1to g.n doif not visited[i]thenbeginwriteln;inc(count);bfs(g,i);end;exit(count);end;二、图的生成树与最小生成树对于一个无向的连通图G=（V，E），设G'是它的一个子图，如果G'中包含了G中所有的顶点（即V（G'）=V（G））且G'是无回路的连通图，则称G'为G一棵的生成树。