中考数学复习指导：勾股定理中的分类讨论

勾股定理中的分类讨论

在学习勾股定理时，有时会遇到多种情况，稍不留神就会丢解或造成错解，这就需要我们利用分类讨论思想对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解．为帮助同学们解决这类问题，现将勾股定理中需用到分类的问题为同学们分类浅析．

一、按直角边、斜边分类

例1 如果三条线段的长分别为3cm 、x cm 、5cm ，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么x 等于________．

解：（1）当以3cm 、x cm 为直角边，5cm 为斜边时，有52＝32＋x 2，x ＝4；

（2）当3cm 、5cm 均为直角边时，有32＋52＝x 2，x

因此，x 为4

二、按等腰三角形的腰与底分类

例2 在等腰三角形ABC 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，则△ABC 的面积为________．

解：（1）当5cm 为腰，6cm 为底时，则AB ＝AC ＝5cm ，如图1．过A 点作AD ⊥BC ，所以CD ＝3，在Rt △ACD 中，AD 2＝AC 2－CD 2，所以AD 2＝52－32，AD ＝4，因此S △ABC ＝12

×6×4＝12cm 2． （2）当6cm 为腰，5cm 为底时，则BC ＝AC ＝6cm ，如图2．过C 点作CD ⊥AB 于点

D ，所以AD ＝52，在Rt △ACD 中，CD 2＝AC 2－AD 2，所以222562CD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

，CD ，

因此1522ABC S =⨯⨯=△2．

所以△ABC 的面积为12cm 2cm 2． 三、按高的位置分类

例3 在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为________．

解：（1）当△ABC 的高在三角形内时，如图3．由题意可知，BD 2＝AB 2－AD 2，所以BD 2＝152－122，BD ＝9，CD 2＝AC 2－AD 2，所以CD 2＝132－122，CD ＝5，所以BC ＝9＋5＝14，因此△ABC 的周长为9＋5＋15＋13＝42．

（2）当△ABC 的高在三角形外时，如图4．由题意可知，BD 2＝AB 2－AD 2，所以BD 2＝152－122，BD ＝9，CD 2＝AC 2－AD 2，所以CD 2＝132－122，CD ＝5，所以BC ＝9－5＝4，因此△ABC 的周长为4＋15＋13＝32．

综上所述△ABC 的周长为32或42．

四、按展开方式的不同分类

例4 如图5是一个放置雕塑的长方体底座，AB ＝12米，

BC ＝2米，BB ′＝3米，一只蚂蚁从点A 出发，以2厘米/秒的

速度沿长方体表面爬到C ′至少需（ ）

A ．1105

2分钟 B ．5106分钟 C ．1132

分钟 D ．10分钟 解：2厘米/秒＝0.02米/秒．

（1）将正面与右面展开，如图6．

由两点之间，线段最短及勾股定理可知路径一：AC ′2＝AC 2＋CC ′2＝142＋32＝205；

（2）将左面与上面展开，如图7．

由勾股定理知路径二：AC ′2＝AD 2＋C ′D 2＝152＋22＝229；

（3）将正面与上面展开，如图8．

由勾股定理知路径三：AC′2＝AB2＋BC′2＝122＋52＝169．

因为229＞205＞169，所以路径二AC′＞路径一AC′＞路径三AC′，因此按路径三的方式

0.02＝650秒，即

5

10

6

分钟，故应选B．