中考数学复习指导：勾股定理中的分类讨论

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中考数学专题复习《勾股定理之折叠问题分类讨论、存在性问题》测试卷(附带答案)

中考数学专题复习《勾股定理之折叠问题分类讨论存在性问题》测试卷（附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一单选题1．如图 ABC 中 90A ∠= 7AB = 24AC = 点D 为边AC 上一点将ABC 沿BD 折叠后点A 的对应点A '恰好落在BC 边上则线段AD 的长为（）A ．407B ．214C ．16825D ．3262．如图是一张直角三角形纸片已知6AC = 10AB = 将纸片沿AD 折叠使点C 落在AB 边上的点C '处则折痕AD 长为（）．A ．5B ．35C ．3D ．323．已知2OA = 2OB = 将AOB 沿着某直线CD 折叠后如图所示 CD 与x 轴交于点C 与AB 交于点D 则点C 坐标是（）A ．()0.4,0B ．()0.5,0C ．()0.6,0D ．()0.7,04．如图长方形纸片ABCD 中 6AB = 18AD = 将此长方形纸片折叠使点D 与点B 重合点C 落在点H 的位置折痕为EF 则ABE 的面积为（）A ．6B ．18C ．24D ．485．如图在平行四边形ABCD 中 60B ∠=︒ 4AB = 6AD = E 是AB 边的中点 F 是线段BC 上的动点将EBF 沿EF 所在直线折叠得到EB F ' 连接B D ' 则B D '的最小值是（）A ．4B ．6C ．2D ．26．将长方形纸片ABCD 如图折叠 B C 两点恰好重合在AD 边上的同一点P 处折痕分别是MH NG 若90MPN ∠=︒ 3PM = 5MN = 分别记PHM PNG PMN 的面积为1S 2S 3S 则1S 2S 3S 之间的数量关系是 ( )A ．312S S S =+B ．312322S S S =+C ．32155S S S =-D ．2123S S S =-7．如图直角ABC 中 90C ∠=︒ 3AC = 4BC = 将ABC 沿AB 折叠得ABD △ 点C 的对应点为点D 则点D 到BC 的距离为（）A ．125B ．245C ．9625D ．125或245 8．如图在Rt ABC △纸片中 9043A AB AC ∠=︒==，，将Rt ABC △纸片按图示方式折叠使点A 恰好落在斜边BC 上的点E 处 BD 为折痕则下列四个结论：①BD 平分ABC ∠①AD DE = ①DE EC = ①DEC 的周长为4 其中正确的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4二填空题9．如图 Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 30B ∠=︒ 4AC = 点P 为AB 上一个动点以PC 为轴折叠APC △得到QPC 点A 的对应点为点Q 当点Q 落在ABC 内部（不包括边）上时 AP 的取值范围为 .10．如图在平面直角坐标系中长方形ABCO 的边OC OA 、分别在x 轴 y 轴上 3AB = 点E 在边BC 上将长方形ABCO 沿AE 折叠若点B 的对应点F 恰好是边OC 的三等分点则点E 的坐标是．11．如图有一个直角三角形纸片两直角边18cm AC = 24cm BC = 现将直角边AC 沿直线AD 折叠使它落在斜边AB 上且与AE 重合则BD = cm ．12．已知直线l 为长方形ABCD 的对称轴 5AD = 6AB = 点E 为射线DC 上一个动点把ADE 沿直线AE 折叠点D 的对应点D 恰好落在对称轴l 上．则点D 到边CD 的距离是．13．如图把长方形ABCD 沿直线BD 向上折叠使点C 落在C '的位置上 BC '交AD 于E 已知4CD = 8BC = 则EC D '的面积为．三解答题14．如图是一张直角三角形ABC 纸片 90C ∠=︒ 6AC = 8BC =．(1)在图1中将直角边AC 沿AD 折叠使点C 落在斜边AB 上的点E 处求CD 的长(2)在图2中将BFG 沿FG 折叠使点B 与点A 重合求BF 的长．15．一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用如图将一张长方形纸片ABCD 放在平面直角坐标系中点A 与原点O 重合顶点B D 分别在x 轴 y 轴上 P 为边CD 上一动点连接BP 将BCP 沿BP 折叠点C 落在点C '处．(1)若4AB = 3AD = 如图1 连接BD 当点C '在线段BD 上时求点P 的坐标．(2)在（1）的条件下如图2 当点P 与点D 重合时沿BD 将BCD △折叠得BC D '△ DC '与x 轴交于E 点求BDE 的面积．(3)若8AB = 4BC = 当ADC '为等腰三角形时求点P 的坐标．16．如图1 ABC 中 90,BAC AB AC ∠=︒= D E 是直线BC 上两动点且45DAE =︒∠．探究线段BD DE EC 三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2 将ABD △沿AD 折叠得ADF △ 连接EF 看能否将三条线段转化到一个三角形中 …请你参照小明的思路探究并解决下列问题：(1)猜想BD DE EC 三条线段之间的数量关系并证明(2)如图3 当动点E 在线段BC 上动点D 运动在线段CB 延长线上时其它条件不变（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．17．已知ABC CDE △≌△ 且90B D ∠=∠=︒ 把ABC 和CDE 拼成如图所示的形状使点B C D 在同一条直线上若4AB = 3DE =．(1)求AE 的长(2)将ABC 沿AC 折叠点B 落在点F 处延长AF 与CE 相交于点G 求FG 的长．18．如图在ABC 中 90C ∠=︒ 把ABC 沿直线DE 折叠使ADE 与BDE 重合．(1)若38A ∠=︒ 则CBD ∠的度数为________(2)若6AC = 4BC = 求AD 的长(3)当(0)AB m m ABC =>，△的面积为24m +时求BCD △的周长．（用含m 的代数式表示）参考答案：1．B2．B3．B4．C5．C6．C7．C8．C9．234AP <<10．25⎛- ⎝⎭或2⎛- ⎝⎭11．1512．1或9/9或113．614．(1)3CD = (2)254BF15．(1)点P 的坐标为5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)7516(3)当ADC '为等腰三角形时点P 的坐标为()44，或4⎫⎪⎪⎝⎭．16．(1)222DE BD EC =+(2)不变 222DE BD EC =+17．(1)AE =(2)9418．(1)14︒ (2)133AD =(3)BCD △的周长为4m +．。

中考勾股数知识点总结

中考勾股数知识点总结一、勾股定理在讨论勾股数之前，首先需要了解勾股定理。

勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的一个重要定理，它表明在直角三角形中，直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方之和，即a² + b² = c²。

这个定理对于解决数学和几何问题都有很大的帮助，也为勾股数的研究奠定了基础。

二、勾股数的性质1. 勾股数的分类根据勾股定理，我们可以将勾股数分为两种情况：（1）素勾股数：如果a、b、c互质（即它们的最大公因数为1），则称这组勾股数为素勾股数。

（2）合成勾股数：如果a、b、c不互质（即它们的最大公因数大于1），则称这组勾股数为合成勾股数。

2. 勾股数的性质勾股数有着一些特殊的性质，这些性质对于中考数学的学习和解题都有一定的帮助：（1）勾股数的性质1：一个数的平方如果是勾股数，那么这个数一定是偶数。

这可以通过反证法来证明：假设一个数n的平方是勾股数，且n是奇数，那么n可以表示为2m+1，其中m是整数。

那么n的平方就可以表示为(2m+1)²=4m²+4m+1=2(2m²+2m)+1，这样n的平方就变成了奇数，与勾股数必为偶数的性质相矛盾。

所以一个数的平方如果是勾股数，那么这个数一定是偶数。

（2）勾股数的性质2：3、4、5是最小的一组勾股数。

根据勾股定理，3²+4²=5²，所以3、4、5就是最小的一组勾股数。

这也是勾股数的一个重要性质。

（3）勾股数的性质3：所有的勾股数都可以表示成m²-n²、2mn、m²+n²的形式。

这是勾股数的三角形形式，通过这个公式，我们可以求得无数个勾股数。

三、勾股数的判定方法判定一个数是否是勾股数是中考数学的重要考点之一，下面将介绍几种判定勾股数的方法：1. 枚举法：对于一个较小的数，可以通过暴力枚举的方法判断它是否是勾股数。

勾股定理知识点总结(经典、实用)

第三章、勾股定理一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。

公式的变形：a 2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2 。

符号语言：注意：前提一定是直角三角形.a ，b 也可能是斜边，分清斜边直角边.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的的方法是面积相等---根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2，那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

cb aHG F EDCB A bacbac cabcab a bcc baED CBA（分类讨论，数形结合）最大边的平方＜最小边的平方+中间边的平方是锐角三角形最大边的平方＞最小边的平方+中间边的平方是钝角三角形说明：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）分别求出c 2与a 2+b 2，判定c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

专题分类讨论思想在勾股定理中的应用(四大题型)(原卷版)-2024-2025学年八年级数学上册同步

（苏科版）八年级上册数学《第3章勾股定理》专题分类讨论思想在勾股定理中的应用【例题1】直角三角形的两条边长为5和12，它的斜边长为（）A ．13B ．√119 C ．13或√119 D ．13或12题型一直角边和斜边不明确时需分类讨论【变式1-1】（2021•滨州模拟）已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为（）A ．5B ．7+√7C ．12D ．12或7+√7【变式1-2】（2022秋•肃州区期末）已知直角三角形两边的长分别为3cm ，4cm ，则以第三边为边长的正方形的面积为．【变式1-3】如图，长方形ABCD 中，AD ＝BC ＝6，AB ＝CD ＝10．点E 为射线DC 上的一个动点，△ADE 与△AD ′E 关于直线AE 对称，当△AD ′B 为直角三角形时，DE 的长为（）A ．2或8B ．83或18C ．83或2D ．2或18【变式1-4】（2022春•绥江县期中）如图，在△ABC 中，AC ＝5，D 为BC 边上一点，且CD ＝1，AD =√26，BD ＝4，点E 是AB 边上的动点，连接DE ．（1）求AB 的长；（2）当△BDE 是直角三角形时，求AE 的长．【变式1-5】（2022秋•崇义县月考）在四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，BC ＝12，CD ＝x ，AB ⊥AD ．（1）求BD的长；（2）若△BCD是直角三角形，求x的值．【变式1-6】（2022秋•宛城区校级期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．题型二锐角和钝角不明确时需分类讨论【例题2】（2022春•兰山区期中）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（）A．21B．15C．6D．21或9【变式2-1】（2021秋•海门市期末）△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的面积为（）A．66B．126C．54或44D．126或66【变式2-2】在△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，求△ABC的周长．【变式2-3】等腰△ABC的腰长AB＝AC＝10，一腰上的高BD＝6，则底边BC＝．【变式2-4】△ABC中，AB＝AC＝5，S△ABC＝7.5，则BC的长为．【变式2-5】等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，求底边长．【例题3】（2022秋•南岗区校级期末）在矩形ABCD中，点E在AD边上，△BCE是以BE为一腰的等腰三角形，若AB＝4，BC＝5，则线段DE的长为．【变式3-1】（2022秋•新昌县校级期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝CB．AD⊥BC．垂足为D．已知AD＝3，CD＝1．（1）求AC与AB的长．（2）点P是线段AB上的一动点，当AP为何值时，△ADP为等腰三角形．【变式3-2】（2022秋•禅城区校级月考）已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC＝8m，BC＝6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．题型三腰和底不明确时需分类讨论（1）在图1中，当AB＝AD＝10m时，求△ABD的周长；（2）在图2中，当BA＝BD＝10m时，求△ABD的周长；（3）在图3中，当DA＝DB时，求△ABD的周长．【变式3-3】（2022秋•大丰区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC：BC＝3：4，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）求BC边的长．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【变式3-4】已知：如图，△ABC的面积为84，BC＝21，现将△ABC沿直线BC向右平移a（0＜a＜21）个单位到△DEF的位置．（1）求BC边上的高；（2）若AB＝10，①求线段DF的长；②连接AE，当△ABE是等腰三角形时，求a的值．【变式3-5】（2022秋•永春县期末）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．（1）求AB的长；（2）若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，△BCP为等腰三角形？【变式3-6】（2022春•铁西区期中）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12．（1）直接写出AB的长度．（2）设点P在AB上，若∠P AC＝∠PCA．求AP的长；（3）设点M在AC上，若△MBC为等腰三角形，直接写出AM的长．【变式3-7】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）AC＝cm；（2）若点P恰好在AB的垂直平分线上，求此时t的值；（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形（直接写出结果）？【变式3-8】（2022春•福田区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B 开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发4秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，△PQB第一次能形成等腰三角形？（3）当点Q运动到CA上时，求能使△BCQ是等腰三角形时点Q的运动时间，请直接写出t的值．【变式3-9】（2022秋•南关区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝13，BA＝5，点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线C﹣A﹣B运动．设点P的运动时间为t（t＞0）．（1）BC＝．（2）求斜边AC上的高线长．（3）①当P在AB上时，AP的长为，t的取值范围是．（用含t的代数式表示）②若点P在∠BCA的角平分线上，则t的值为．（4）在整个运动过程中，直接写出△P AB是以AB为一腰的等腰三角形时t的值．题型四分类讨论思想在勾股定理的综合应用【例题4】（2022春•海淀区校级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为．【变式4-1】（2022秋•南阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P 从点A出发，以1cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设运动时间为t（t＞0）s．当点P运动到恰好到点A和点B的距离相等的位置时，t的值为．【变式4-2】（2022春•思明区校级期中）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．【变式4-3】（2023春•乳山市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P 从点B出发沿射线BC以每秒1cm的速度运动，设运动的时间为t秒．（1）若△ABP是以BP为斜边的直角三角形，求t的值；（2）若△ABP是以BP为腰的等腰三角形，求t的值．【变式4-4】如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝8cm，CB＝6cm，D为动点，沿着C→A→B→C的路径运动（再次到达C点则停止运动），点D的运动速度为2cm/秒，设点D运动时间为t秒．（1）当点D在AC上运动时，若DC＝BC，则t＝；（2）若点D与△ABC某一顶点的连线平分△ABC的周长，求t的值．【变式4-5】（2022秋•姑苏区校级月考）如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD；AD：CD＝2：3：4．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时，整个运动都停止，设点M运动的时间为t（秒），若△DMN的边与BC平行，求t的值．【变式4-6】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，AD为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，速度为每秒2个单位长度．（1）当t为何值时，△CBD是直角三角形；（2）若△CBD是等腰三角形，求t的值．【变式4-7】（2022春•广州期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求斜边AB 上的高；（2）①当点P 在BC 上时，PC ＝；（用含t 的代数式表示）②若点P 在∠BAC 的角平分线上，求t 的值．【变式4-8】（2021秋•青岛期末）已知△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝8cm ，BC ＝6cm ，P 、Q 是△ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A →B 方向运动且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B →C →A 方向运动，在BC 边上的运动速度是每秒2cm ，在AC 边上的运动速度是每秒1.5cm ，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t 秒．（1）出发2秒后，求PQ 的长；（2）当点Q 在边BC 上运动时，t 为何值时，△ACQ 的面积是△ABC 面积的13；（3）当点Q 在边CA 上运动时，t 为何值时，PQ 将△ABC 周长分为23：25两部分．【变式4-9】如图，△ABC 中，BA ＝BC ，CO ⊥AB 于点O ，AO ＝4，BO ＝6．（1）求BC ，AC 的长；（2）若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连接OE．当点D在线段OB上时，若△AOE 是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．。

勾股定理的分类讨论

解析：由于锐角三角形的高都在形内，钝角三角形有的高在形外，直
角三角形有的高与一条直角边重合，而本题画出符合条件的三角形有两
种，即锐角三角形和钝角三角形．（１）当Ｄ在ＡＡＢＣ的内部时，如图３，由勾股定理，
高ＡＤ，则肋＝ ÷日ｃ：６，在ＲｔＡＡＢＤｑｂ，由勾
Ｃ
股定理，得ＡＤ＝、／，Ａ＇一肋々 ‘ ＝、／，１一々６ ’ ＝８．
（２）当腰长为１２，底边长为ｌ０时，如图２，在ＡＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１２，ＢＣ＝１０，作底边ＢＣ
的高是．
解析：由于题中的ｌ０和１２没有指明哪条边是腰、哪条边是底，故需分两种情况讨论．
（１）当腰长为１０，底边长为１２［付，如图１，
在ＡＡＢＣ中，ＡＢ－ＡＣ＝ＩＯ，ＢＣ＝１２，作底边上的
（１）当为斜边时，有３ ‘ ＋４．ｘ＝５．
（２）当４为斜边时，有４＝３ ‘ 综合，得为５或、／了．二、腰、底不确定时，需分类
．＝、／丁．
例２已知一个等腰三角形的一边长是ｌ０，另一边长是ｌ２，则底边上
勺定理
甘
哼江苏袁志琴胡怀志
分类讨论是数学中的～种重要思想方法和解题策略，当一个数学问题的条件、结论不明确或会出现多种情况时，就需要对这个问题进行必要

勾股定理分类讨论思想总结

勾股定理分类讨论思想总结勾股定理分类讨论思想总结勾股定理是几何学中的重要定理之一，也是元代数学家周公瑾发现的。

它表述了在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。

勾股定理的分类讨论思想是一种运用数学知识进行问题解答的方法，下面我将对其进行总结。

1. 分类思想的基本概念：分类思想是将问题进行分门别类地讨论，运用不同的方法和技巧进行求解。

在勾股定理的分类讨论中，可以根据已知条件的不同进行分类，如根据已知边长的关系、已知角度的关系等。

2. 已知边长的关系：根据已知边长的关系，可以将问题分为已知两直角边求斜边的问题和已知一直角边求另一直角边的问题。

对于已知两直角边求斜边的问题，可以利用勾股定理直接求解，其思路清晰、简单明了。

而对于已知一直角边求另一直角边的问题，则需要运用勾股定理的逆定理，即通过已知边长求出斜边的平方，然后开平方即可得到另一直角边的长度。

3. 已知角度的关系：根据已知角度的关系，可以将问题分为已知一个锐角求另一锐角的问题和已知一个锐角和斜边的关系求其它边长的问题。

对于已知一个锐角求另一锐角的问题，可以利用三角函数的知识，通过求解三角函数值来确定另一锐角的大小。

而对于已知一个锐角和斜边的关系求其它边长的问题，则可以利用勾股定理和三角函数的关系，通过求解三角函数值和代入勾股定理进行计算。

4. 实际问题的应用：勾股定理的分类讨论思想不仅适用于纯粹的数学问题，还可以应用于解决实际问题。

比如在建筑工程中，可以利用勾股定理来确定房屋的斜坡度，计算建筑物的高度和斜边长度等。

在地理测量中，也可以运用勾股定理来测量两点间的距离，确定地图上的位置等。

总之，勾股定理分类讨论思想是一种灵活运用数学知识解决问题的方法。

通过将问题进行分类、分析和讨论，可以选择与问题相适应的解法，提高问题解决的准确性和效率。

同时，勾股定理分类讨论思想的应用也拓宽了勾股定理的实际应用范围，使其成为一种强有力的工具。

勾股定理中的分类讨论

勾股定理中的分类讨论在学习勾股定理时，有时会遇到多种情况，稍不留神就会丢解或造成错解，这就需要我们利用分类讨论思想对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解．为帮助同学们解决这类问题，现将勾股定理中需用到分类的问题为同学们分类浅析．一、按直角边、斜边分类例1 如果三条线段的长分别为3cm 、x cm 、5cm ，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么x 等于________．解：（1）当以3cm 、x cm 为直角边，5cm 为斜边时，有52＝32＋x 2，x ＝4；（2）当3cm 、5cm 均为直角边时，有32＋52＝x 2，x因此，x 为4二、按等腰三角形的腰与底分类例2 在等腰三角形ABC 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，则△ABC 的面积为________．解：（1）当5cm 为腰，6cm 为底时，则AB ＝AC ＝5cm ，如图1．过A 点作AD ⊥BC ，所以CD ＝3，在Rt △ACD 中，AD 2＝AC 2－CD 2，所以AD 2＝52－32，AD ＝4，因此S △ABC ＝12×6×4＝12cm 2．（2）当6cm 为腰，5cm 为底时，则BC ＝AC ＝6cm ，如图2．过C 点作CD ⊥AB 于点D ，所以AD ＝52，在Rt △ACD 中，CD 2＝AC 2－AD 2，所以222562CD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，CD ，因此1522ABC S =⨯⨯=△2．所以△ABC 的面积为12cm 2cm 2．三、按高的位置分类例3 在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为________．解：（1）当△ABC 的高在三角形内时，如图3．由题意可知，BD 2＝AB 2－AD 2，所以BD 2＝152－122，BD ＝9，CD 2＝AC 2－AD 2，所以CD 2＝132－122，CD ＝5，所以BC ＝9＋5＝14，因此△ABC 的周长为9＋5＋15＋13＝42．（2）当△ABC 的高在三角形外时，如图4．由题意可知，BD 2＝AB 2－AD 2，所以BD 2＝152－122，BD ＝9，CD 2＝AC 2－AD 2，所以CD 2＝132－122，CD ＝5，所以BC ＝9－5＝4，因此△ABC 的周长为4＋15＋13＝32．综上所述△ABC 的周长为32或42．四、按展开方式的不同分类例4 如图5是一个放置雕塑的长方体底座，AB ＝12米，BC ＝2米，BB ′＝3米，一只蚂蚁从点A 出发，以2厘米/秒的速度沿长方体表面爬到C ′至少需（）A ．11052分钟 B ．5106分钟 C ．1132分钟 D ．10分钟解：2厘米/秒＝0.02米/秒．（1）将正面与右面展开，如图6．由两点之间，线段最短及勾股定理可知路径一：AC ′2＝AC 2＋CC ′2＝142＋32＝205；（2）将左面与上面展开，如图7．由勾股定理知路径二：AC ′2＝AD 2＋C ′D 2＝152＋22＝229；（3）将正面与上面展开，如图8．由勾股定理知路径三：AC′2＝AB2＋BC′2＝122＋52＝169．因为229＞205＞169，所以路径二AC′＞路径一AC′＞路径三AC′，因此按路径三的方式0.02＝650秒，即5106分钟，故应选B．。

勾股定理知识点+对应类型

勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段常见题型（一）结合三角形：1.已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(22=-+-c b b a ，则∆ABC 为三角形2.在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为（二）、实际应用：1. 梯子滑动问题：（1）一架长2.5m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端将向左滑动米（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）（3）如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC ⊥BC ，AC=BC ，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（） A. y x = B. y x > C. y x < D. 不能确定（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m ，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为米86ACB2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：直角三角形两直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列式子总能成立的是（） A. 2b ab = B. 2222h b a =+ C. h b a 111=+ D. 222111hb a =+ 3. 爬行距离最短问题：1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm ，得到1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，如图a ，在盒子的内部我们先取棱1BB 的中点E ，再连结AE 、1EC ，昆虫乙如果沿途径1C E A →→爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b 中画一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。

勾股定理解题中的分类讨论

勾股定理解题中的分类讨论
勾股定理作为工具性内容，在初中几何中有比较广泛的用途，在勾股定理的应用中，会运用到一些方法和思路。

一．配方法：
将一个二次式通过配方转化为几个完全平方式，再利用平方式的非负性进行计算即可。

二．等面积法：
把同一个图形的面积用不同的方法表示出来，最后再利用同一个图形的面积不变，得到等式。

在几何中，通常利用等面积法求垂线段的长度以及证明垂线段之间的关系.
三．分类讨论思路
在运用勾股定理时，当斜边或直角未定时，需要分类讨论.在解决有关高线的问题中，当三角形的形状未定时，需要注意分类讨论，一般分为锐角三角形（高在三角形内部）和钝角三角形（高在三角形外部）两种情况，分别画图计算即可.在一些几何综合探究题和存在性问题中也经常需要应用分类讨论思路。

四．整体转化思路
在解题中，需要的数据或关系式不能直接得出时，就可以考虑整体替换思路。

五．方程思想
在应用勾股定理求线段长度问题中，当题目未知量较多或给定的条件不能直接利用，如已知两线段之间的和、差、
倍、分、比关系，但两线段长度均未知，这个时候可以考虑利用方程来解题，因为在直角三角形中，“知二可推一”。

设其中一条未知线段长度为x，再用含有x的代数式表示出相关线段的长度，再利用勾股定理列写等式方程，将求解边长转化为解方程。

中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件

过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∵∠ACB=75°－∠B=45°， sinACD AD，
AC
∴AD=AC×sin 45°，在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由

中考数学复习指导：勾股定理中的常见题型例析.doc

中考数学复习指导：勾股定理中的常见题型
例析
中考数学勾股定理中的常见题型例析勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点．考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：
一、探究开放题
例1如图1，设四边形ABCD是边长为1的
正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去……．
点拨：本题的关键是运用勾股定理和它的逆定理构造新图形，用构造法解题的思想，有助于提高运用数学知识解决实际问题的能力．。

勾股定理中的推理问题(分类整理版)

勾股定理中的推理问题(分类整理版)引言勾股定理是数学中的基本定理之一，它描述了直角三角形中三边之间的关系。

在研究勾股定理的过程中，我们会遇到一些与推理相关的问题。

本文将对这些问题进行分类整理，以帮助读者更好地理解和应用勾股定理。

问题分类根据与推理相关的性质，我们将勾股定理中的推理问题分为以下几类：推论型问题推论型问题是根据勾股定理的基本性质进行推导和推论的问题。

这类问题可以考察读者对勾股定理的理解和运用能力。

例如：- 已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4，求第三边的长度。

- 已知一个直角三角形的斜边长为5，其中一条直角边的长度为3，求另一条直角边的长度。

逆定理型问题逆定理型问题是根据勾股定理的逆定理进行推理的问题。

逆定理指的是如果一个三角形的三条边满足勾股定理的关系式，那么这个三角形一定是直角三角形。

例如：- 已知一个三角形的三条边长分别为5、12和13，判断这个三角形是否为直角三角形。

- 已知一个三角形的三条边长分别为6、8和10，判断这个三角形是否为直角三角形。

反证型问题反证型问题是通过反证法推理来解决的问题。

这类问题常常要求我们假设某一条件成立，然后通过推理得出矛盾，从而推出该条件不成立。

例如：- 假设存在一个三角形的三条边满足勾股定理的关系式，并且这个三角形不是直角三角形，推导出矛盾的结论。

结论勾股定理中的推理问题可以通过推论、逆定理和反证法等方法进行解决。

理解和掌握这些推理方法可以帮助我们更好地应用勾股定理，解决与直角三角形相关的问题。

希望本文整理的分类能够帮助读者更好地理解和掌握勾股定理中的推理问题。

勾股定理中考章节复习知识点+经典题型分析总结)

AB Ca b c弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

⑹ 证明的一般步骤 ① 根据题意，画出图形。

② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

勾股定理分类讨论

电磁学中的问题
在电磁学中，电场强度、磁场强度等物理量的计算也需要用到勾股定理。
在日常生活中的应用
建筑学中的应用
在建筑学中，勾股定理常常被用来确定建筑物的位置、角度和尺寸等参数，以确保建筑物的稳定性和安全性。
航海中的应用
在航海中，勾股定理被用来确定船只的位置、航向和航速等参数，以确保船只能够安全地到达目的地。
勾股定理的数学表达式
$a^2 + b^2 = c^2$，其中$a$和$b$是直角三角形的两条直角边，$c$是斜边。
勾股定理的历史背景
毕达哥拉斯学派
勾股定理最早可以追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派，该学派认为数是万物的本原，而数学则是对现实世界的抽象表达。
中国古代的发现
在中国，商朝时期的商高就有了 “勾三股四弦五”的勾股定理特例，而周朝时期的陈子也对此做出了类似的表述。
05
勾股定理的扩展与推广
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边满足勾股定理，则这个三角形是直角三角形。
证明方法
利用勾股定理的逆定理，可以通过证明三角形两边平方和等于第三边的平方来证明该三角形是直角三角形。
勾股定理的推广形式
勾股定理的推广形式一
勾股定理可以推广到任意多边形，只要多边形可以被分割成若干个直角三角形，就可以应用勾股定理。
应用场景
在几何学、三角函数、解析几何等领域中，勾股定理在直角三角形中
都有广泛的应用。
证明方法
勾股定理的证明方法有多种，其中最为常见的是利用相似三角形的性
质进行证明。
锐角三角形中的勾股定理
总结词
锐角三角形中的勾股定理是指对于任意一个锐角三角形，任意一边的平方小于其他两边平方和。

勾股定理知识点归纳和题型归类

勾股定理知识点归纳和题型归类勾股定理作为数学中的一条基本定理，是数学中的重要知识点。

它描述了直角三角形三条边之间的关系，充分利用了勾股定理可以解决很多与直角三角形相关的问题。

下面将对勾股定理的知识点进行归纳，并对常见的勾股定理题型进行分类。

一、知识点归纳：1.勾股定理的表述：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。

2.勾股定理的符号表示：对于直角三角形ABC，设斜边为c，两直角边分别为a和b，可以表示为：$a^2+b^2=c^2$。

3.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边满足$a^2+b^2=c^2$，其中a、b、c为三角形的边长，那么这个三角形一定是直角三角形。

4.勾股定理的证明方法：勾股定理有多种不同的证明方法，比如平方构造法和几何法。

5.勾股定理的推广应用：勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以推广应用到其他类型的几何形状中。

二、题型归类：根据勾股定理的应用不同场景，常见的题型可以归类为以下几种：1.求边长问题：(1)已知两边求第三边：已知直角三角形两直角边的长度，求斜边的长度。

(2)已知一边求另一边：已知直角三角形一边和斜边的长度，求另一边的长度。

(3)已知斜边和一边求另一边：已知直角三角形一边和斜边的长度，求未知边的长度。

2.求角度问题：(1)已知两边求夹角：已知直角三角形两直角边的长度，求两直角边之间的夹角。

(2)已知斜边和一边求夹角：已知直角三角形一边和斜边的长度，求斜边与该边之间的夹角。

3.判断问题：(1)判断是否为直角三角形：已知三角形的三边长度，判断是否为直角三角形。

4.应用问题：(1)三角形的面积问题：已知直角三角形的两个直角边的长度，求其面积。

(2)其他几何问题：如斜边长为x的直角三角形，边的长度与斜边比为1：4，求边的长度。

以上是一些常见的勾股定理题型，通过不同的题目训练可以更好地掌握勾股定理的应用和解题思路。

在解题的过程中，需要根据问题的具体要求，合理运用勾股定理的知识，灵活运用数学方法，进行推导和计算，以得到准确的结果。

分类讨论思想在勾股定理中的运用

分类讨论思想在勾股定理中的运用六神中学升华当我们解决数学问题时,被研究的对象包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况进行分门别类地讨论，得出各种情况下相应的结论，这种处理问题的思维方法称为分类讨论思想.分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法，同学们如果掌握了这种方法，可以使数学思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，在解题中才能真正做到不重不漏,答案全面规范，才能有效地提高解题的准确率．分类讨论必须遵循两条规则：（1）每一次分类要按照同一标准进行；（2）不重复，不遗漏.下面以例说明，供同学们参考.例（四川广安市中考试题）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m 、8m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．解析：本题需要分三种情况讨论如下：（1）如图1所示，原来的花圃为Rt △ABC ，其中BC ＝6m ，AC ＝8m ，∠ACB ＝90°．由勾股定理易知AB ＝10m ，将△ABC 沿直线AC 翻折180°后，得等腰三角形ABD ，此时，AD ＝10m ，CD ＝6m ．故扩建后的等腰三角形花圃的周长为12＋10 ＋10＝32（m ）．（2）如图2，因为BC ＝6m ，CD ＝4m ，所以BD ＝AB ＝10m ，在Rt △ACD 中，由勾股定理得AD ＝＝54，此时，扩建后的等腰三角形花圃的周长为54＋10＋10＝20＋54 （m ）．（3）如图3，设△ABD 中DA ＝DB ，再设CD ＝xm ，则DA ＝(x ＋6)m ，在Rt △ACD 中，由勾股定理得x 2＋82＝(x ＋6)2，解得x ＝37.所以,扩建后等腰三角形花圃的周长＝10＋2(x ＋6)＝380(m) . 综上所述, 扩建后等腰三角形花圃的周长是32米或(20＋54)米或380米.C46C图3x C点评：本题考查了分类讨论思想的应用.如果不运用分类讨论的思想方法，就很容易犯以偏概全的错误.题目如有图形则将变得很简单，按图形解答即可；但若没有图形，则需要讨论几种可能的情况．这正是“无图题前细思考，分类讨论保周到”．以下一题供同学们演练：某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为160m 2，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 m ．答案参阅：。

勾股定理分类总结

勾股定理1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2=c 2）【重点】勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

2、常见的勾股数，，，，，。

3、如何用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形：（1）首先确定最大边；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形。

（若c 2>a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为钝角的三角形，若c 2<a 2+b 2则△ABC 是以∠C 为锐角三角形）【重点】4、勾股定理的运用：折叠问题、最短距离问题、爆破问题（触礁问题等）、滑梯问题。

【重点、难点】考点一已知两边求第三边（注意分类讨论、多值求解）1、已知Rt △ABC 的两边长分别为4、8，则这个三角形的面积是_________。

2、已知：在△ABC 中，∠B=30°，AC=25，BA=10，求BC 的长_________。

3、已知：在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，求△ABC 的面积_________。

考点二图形面积结合勾股定理4、图1是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（）A ．13B ．26C ．47D ．94图1 图25、如图2，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于。

考点三双垂基本型（结合面积法公式求解）6、8、已知：在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 点，且BC=a ，AC=b ，AB=c ，CD=h ，求证：222111h b a=+ 考点四利用两直角三角形公共部分建立等量关系7、如图3，在△ABC 中，∠C=90°，M 在BC 上，若AB=17，AM=10，BM=9，求AC 、MC 的长。

中考数学《第36讲：分类讨论型问题》总复习讲解含真题分类汇编解析

第36讲分类讨论型问题(建议该讲放第21讲后教学)内容特性分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于存在的一些不确定因素而无法解答或结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决.解题策略很多数学问题很难从整体上去解决，若将其划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个予以解决．分类讨论在解题策略上就是分而治之各个击破．具体是：(1)确定分类对象；(2)进行合理分类(理清分类“界限”，选择分类标准，并做到不重复、不遗漏)；(3)逐类进行讨论；(4)归纳并得出结论.基本思想分类讨论的基本方法是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复)；再对各个分类逐步进行讨论，分层进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.类型一由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论例1(·南通模拟)矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为()A．3cm2B．4cm2C．12cm2D．4cm2或12cm2【解后感悟】解此题的关键是求出AB＝AE，注意AE＝1或3不确定，要进行分类讨论．1．(1)若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为____________________．(2)已知平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm.(3)若|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a＋b＝()A．5或－1 B．－5或1 C．5或1 D．－5或－1类型二在一个动态变化过程中，出现不同情况引起的讨论例2为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.人均住房面积(平方米)单价(万元/平方米)不超过30(平方米)0.3超过30平方米不超过m平方米部分(45≤m≤60)0.5超过m平方米部分0.7根据这个购房方案：(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围．【解后感悟】本题是房款＝房屋单价×购房面积在实际生活中的运用，由于单价随人均面积而变化，所以用分段函数的解析式来描述．同时建立不等式组求解，解答本题时求出函数解析式是关键．2．(1)在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与反比例函数y＝1x的图象有唯一公共点，若直线y＝－x＋b与反比例函数y＝1x的图象有2个公共点，则b的取值范围是()A．b>2 B．－2<b<2 C．b>2或b<－2 D．b<－2(2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t(秒)，下列能反映S与t之间函数关系的图象是()3．已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A，B(点A，B在原点O两侧)，与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2＝43x＋n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．类型三由三角形的形状、关系不确定性引起的讨论例3(·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx(k＞0)分别交反比例函数y＝1x和y＝9x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝1x的图象于点C，连结AC.若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．【解后感悟】解题的关键是用k表示点A、B、C的坐标，再进行分类讨论．4．(1)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(1，3)，M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为()A．4 B．5 C．6 D．8(2)(·北流模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA 全等，则AP＝.(3)(·临淄模拟)如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CD上，且CN＝14CD ，若AB ＝1，设BM ＝x ，当x ＝时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．类型四由特殊四边形的形状不确定性引起的讨论例4 (·鄂州模拟)如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝8cm ，AD ＝16cm ，BC ＝22cm ，∠ABC ＝90°，点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度向点D 运动，点Q 从点C 同时出发，以3cm /s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．(1)当t 为何值时，四边形ABQP 成为矩形？(2)当t 为何值时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？(3)四边形PBQD 是否能成为菱形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q 点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．【解后感悟】解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意分类讨论及数形结合．5．(1)(·盐城模拟)在平面直角坐标系中有三点A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，在直角坐标系中再找一个点D ，使这四个点构成平行四边形，则D 点坐标为 .(2)(·江阴模拟)如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝6cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm /s 的速度运动，点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动．如果点E 、F 同时出发，设运动时间为t(s )，当t ＝ s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．(3) (·金华模拟)如图，B(6，4)在函数y ＝12x ＋1的图象上，A(5，2)，点C 在x 轴上，点D 在函数y ＝12x ＋1上，以A 、B 、C 、D 四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的D 点的坐标 .(4)(·萧山模拟)已知在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 、D 的坐标依次为(－1，0)，(m ，n)，(－1，10)，(－7，p)，且p ≤n.若以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是菱形，则n 的值是 .类型五由直线与圆的位置关系不确定性引起的讨论例5 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q.A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm /s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm /s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t(s )．(1)求PQ 的长；(2)当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？【解后感悟】本题是直线与圆的位置关系应用，题目设置具有创新性．解决本题的关键是抓住直线与圆的两种情况位置关系，及其对应数量关系进行分析．6．(·泗洪模拟)如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当⊙P与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .【压轴把关题】如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P 从点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C 从点B 出发，沿射线BO 方向以每秒2个单位的速度运动．以CP ，CO 为邻边构造▱PCOD ，在线段OP 延长线上取点E ，使PE ＝AO ，设点P 运动的时间为t 秒．(1)当点C 运动到线段OB 的中点时，求t 的值及点E 的坐标； (2)当点C 在线段OB 上时，求证：四边形ADEC 为平行四边形；(3)在线段PE 上取点F ，使PF ＝1，过点F 作MN ⊥PE ，截取FM ＝2，FN ＝1，且点M ，N 分别在第一、四象限，在运动过程中，设▱PCOD 的面积为S.①当点M ，N 中，有一点落在四边形ADEC 的边上时，求出所有满足条件的t 的值； ②若点M ，N 中恰好只有一个点落在四边形ADEC 内部(不包括边界)时，直接写出S 的取值范围．【方法与对策】本题是四边形的综合题，对于第(3)题解题的关键是正确分几种不同情况求解．①当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；【分类讨论应不重复、不遗漏】在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有________条．参考答案第36讲分类讨论型问题【例题精析】例1 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AB ＝AE ，①当AE ＝1cm 时，AB ＝1cm ＝CD ，AD ＝1cm ＋3cm ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是1cm ×4cm ＝4cm 2；②当AE ＝3cm 时，AB ＝3cm ＝CD ，AD ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是：3cm ×4cm ＝12cm 2；故选D .例2 (1)由题意，得三口之家应缴购房款为：0.3×90＋0.5×30＝42(万元)； (2)由题意，得①当0≤x ≤30时，y ＝0.3×3x ＝0.9x ；②当30＜x ≤m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3×(x －30)＝1.5x －18；③当x ＞m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3(m －30)＋0.7×3×(x －m)＝2.1x －18－0.6m.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.9x （0≤x ≤30）1.5x －18（30<x ≤m ）2.1x －18－0.6m （x>m ）(45≤m ≤60)． (3)由题意，得①当50≤m ≤60时，y ＝1.5×50－18＝57(舍)．②当45≤m ＜50时，y ＝2.1×50－0.6m －18＝87－0.6m.∵57＜y ≤60，∴57＜87－0.6m ≤60，∴45≤m ＜50.综合①②得45≤m ＜50.例3 ∵点B 是y ＝kx 和y ＝9x 的交点，y ＝kx ＝9x ，解得：x ＝3k ，y ＝3k ，∴点B 坐标为⎝⎛⎭⎫3k ，3k ，点A 是y ＝kx 和y ＝1x 的交点，y ＝kx ＝1x ，解得：x ＝1k ，y ＝k ，∴点A坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，k ，∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为3k，纵坐标为13k＝k3，∴点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ，k 3，∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①AB ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋（3k －k ）2＝3k －k 3，解得：k ＝377；②AC ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋⎝⎛⎭⎫k 3－k 2＝3k －k 3，解得：k ＝155；故答案为k ＝377或155.例4 (1)∵∠ABC ＝90°，AP ∥BQ ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，由运动知，AP ＝t ，CQ ＝3t ，∴BQ ＝22－3t ，∴t ＝22－3t ，解得t ＝112.∴当t ＝112时，四边形ABQP成为矩形； (2)当P 、Q 两点与A 、B 两点构成的四边形是平行四边形时，就是(1)中的情形，此时t ＝112.当P 、Q 两点与C 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD ∥QC ，∴当PD ＝QC 时，四边形PQCD 为平行四边形．此时，16－t ＝3t ，t ＝4；当P 、Q 两点与B 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，16－t ＝22－3t ，t ＝3；当P 、Q 两点与A 、C 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，t ＝3t ，t ＝0，不符合题意；故当t ＝112或t ＝4或t ＝3时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形．（3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD ＝BQ ＝BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD ＝BQ ，得16－t ＝22－3t ，解得t ＝3，当t ＝3时，PD ＝BQ ＝13，AP ＝AD －PD ＝16－13＝3.在Rt △ABP 中，AB ＝8，根据勾股定理得，BP ＝AB 2＋AP 2＝64＋9＝73≠13，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为v cm /s 时，能够使四边形PBQD 在时刻t s 为菱形，由题意得，⎩⎨⎧16－t ＝22－vt ，16－t ＝64＋t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝6，v ＝2.故点Q 的速度为2cm /s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．例5 (1)连结OQ ，∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ ⊥PN ，即∠OQP ＝90°.∵OP ＝10，OQ ＝6，∴PQ ＝102－62＝8(cm )． (2)过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C.∵点A 的运动速度为5cm /s ，点B 的运动速度为4cm /s ，运动时间为t s ，∴PA ＝5t ，PB ＝4t.∵PO ＝10，PQ ＝8，∴PA PO ＝PB PQ ＝t2.∵∠P ＝∠P ，∴△PAB ∽△POQ ，∴∠PBA ＝∠PQO ＝90°.∵∠BQO ＝∠CBQ ＝∠OCB ＝90°，∴四边形OCBQ 为矩形，∴BQ ＝OC.∵⊙O 的半径为6，∴BQ ＝OC ＝6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置时，BQ ＝PQ －PB ＝8－4t ，由BQ ＝6，得8－4t ＝6，t ＝0.5.②当AB 运动到如图2所示的位置时，BQ ＝PB －PQ ＝4t －8，由BQ ＝6，得4t －8＝6，t ＝3.5.综上，当t ＝0.5s 或3.5s 时，直线AB 与⊙O 相切．【变式拓展】1．(1)0或－1 (2)4或2 (3)C 2.(1)C (2)D3．根据OC 长为8可得一次函数中的n 的值为8或－8.分类讨论：①n ＝8时，易得A(－6，0)，如图1，∵抛物线经过点A 、C ，且与x 轴交点A 、B 在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a ＜0，∵AB ＝16，且A(－6，0)，∴B(10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝－6＋102＝2，要使y 1随着x 的增大而减小，∵a ＜0，∴x ≥2；②n ＝－8时，易得A(6，0)，如图2，∵抛物线过A 、C 两点，且与x 轴交点A ，B 在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a ＞0，∵AB ＝16，且A(6，0)，∴B(－10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝6－102＝－2，要使y 1随着x 的增大而减小，且a ＞0，∴x ≤－2.4．(1)C (2)6或12 (3)12或455.(1)(3，0)或(－1，2)或(3，4) (2)2或6 (3)(2，2)或(－6，－2)或(10，6) (4)2，5，186.(6，2)或(－6，2)【热点题型】【分析与解】(1)∵OB ＝6，C 是OB 的中点，∴BC ＝12OB ＝3.∴2t ＝3，即t ＝32s .∴OE ＝32＋3＝92，E(92，0)． (2)如图1，连结CD 交OP 于点G ，在▱PCOD 中，CG ＝DG ，OG ＝PG ，∵AO ＝PE ，∴AG ＝EG .∴四边形ADEC 是平行四边形． (3)①(Ⅰ)当点C 在线段BO 上时，第一种情况：如图2，当点M 在CE 边上时，∵MF ∥OC ，∴△EMF ∽△ECO.∴MFCO＝EF EO ，即26－2t ＝23＋t，解得t ＝1.第二种情况：如图3，当点N 在DE 边时，∵NF ∥PD ，∴△EFN ∽△EPD.∴FN PD ＝EF EP 即16－2t ＝23，解得t ＝94.(Ⅱ)当点C 在BO 的延长线上时，第一种情况：如图4，当点M 在DE 边上时，∵MF ∥PD ，∴EMF ∽△EDP.∴MF DP ＝EF EP 即22t －6＝23，解得t ＝92.第二种情况：如图5，当点N 在CE 边上时，∵NF ∥OC ，∴△EFN ∽△EOC.∴FN OC ＝EF EO 即12t －6＝23＋t ，解得t ＝5.综上所述，所有满足条件的t 的值为1，94，92，5.②278＜S ≤92或272＜S ≤20.【错误警示】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连结PC，∵∠A＝36°，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB ＝72°，∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB ∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3.。

利用勾股定理进行三角形分类

利用勾股定理进行三角形分类三角形是几何学中的基本图形之一，根据其三条边的长度关系，可以将三角形分为不同的类型。

本文将介绍利用勾股定理进行三角形分类的方法。

一、勾股定理的原理勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的定理，它描述了直角三角形中三条边之间的关系。

勾股定理的表达式为：c²= a²+ b²，其中a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。

根据勾股定理的原理，我们可以通过三条边的长度关系来判断一个三角形的类型。

二、三角形的分类1. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。

根据勾股定理，等边三角形的三条边长度满足 a = b = c，其中a、b、c分别为三边的长度。

2. 等腰三角形等腰三角形是指两边的长度相等的三角形。

根据勾股定理，等腰三角形中满足 a = c 或 b = c，其中a、b、c分别为三边的长度。

3. 直角三角形直角三角形是指其中一个角为直角（即90度）的三角形。

根据勾股定理，直角三角形中满足 a² + b² = c²，其中a、b为直角的两条直角边，c为斜边的长度。

4. 锐角三角形锐角三角形是指其中所有角的度数都小于90度的三角形。

根据勾股定理，锐角三角形中满足 a² + b² > c²，其中a、b为任意两条边的长度，c为第三条边的长度。

5. 钝角三角形钝角三角形是指其中一个角的度数大于90度的三角形。

根据勾股定理，钝角三角形中满足a²+ b²< c²，其中a、b为任意两条边的长度，c为第三条边的长度。

三、举例说明以一个具体的三角形ABC为例来说明如何利用勾股定理进行三角形的分类。

假设三角形ABC的边长分别为a、b和c，我们只需要计算a² + b²是否等于c²，或a² + c²是否等于b²，或b² + c²是否等于a²，即可判断三角形ABC的类型。

基于“后建构”课堂的单元复习设计与思考——以“勾股定理”单元复习为例

的题目还是没有思路,那是因为学生没有抓住问题的
２．
２由点到面设计问题链,提炼与迁移方法
本质．
所以“后建构”课堂的专题复习课在设置问题链
一节课的时间毕竟有限,不可能面面俱到．
所以复
习课中设置的问题链要以点带面,注重方法的提炼与
它
是由四个全等的直角三角形围
握知识内涵,使知识掌握得更加牢固．
教师要引导学生
图４
建立高效的学习模式 ,例如 ,从简单的勾股定理计算
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教材点击
２０２３年４月下半月
用数学知识解决问题,从而培养学生的自主思考与探
索能力,提升学生的学习水平．
是引导学生自主回忆章节知识,帮助学生对章节知识
进行系统化、条理化的梳理．
“后建构”探究活动１:已知图１中每个小方格的
边长为１cm,分别计算正方形 A,
活动３主要考查了勾股定理、图形的翻折等知识,熟
练掌握这些知识是解题的关键,同时帮助学生在解题
的过程中完善本章节的知识体系．
３基于“后建构课堂”的单元复习思考
根据单元知识结构,从初中生心理特点和认知结
学生对综合问题的探索,继而深化对数学素养体系的
学生参与到一系列的思维活动中,让学生感悟分类的