确定函数极限的常用方法

确定函数极限的常用方法

内容摘要

在数学分析中,极限思想贯穿于始末,求极限的方法也显得至关重要。本文主要探讨、总结求函数极限的一般方法，并展示了利用积分求极限的特殊方法,而且把每一种方法的特点及注意事项作了重点说明,并以实例进行了具体注解,使方法更具针对性、技巧性和可操作性。

关键词：函数，求极限，基本方法

Common method to determine the limit of function

Abstract

In mathematical analysis, the limit idea throughout the story, the limit methods are crucial. This paper mainly discussed, summed up the general method of seeking the limit of a function and demonstrated the use of special methods for Integral limit, and the characteristics of each method and precautions were highlighted, and specific examples to comment, make way more and targeted, skill and operability.

keyword：Function, Limit, The basic method

目录

一、引言 (1)

二、函数极限的基本知识 (1)

（一）函数极限的定义 (1)

（二）函数极限的性质 (1)

三、函数极限的基本解法 (2)

（一）定义法 (2)

（二）利用极限四则运算法则 (2)

（三）利用迫敛性定理求极限 (3)

（四）利用两个重要极限求极限 (3)

（五）利用左右极限求极限 (4)

（六）幂指函数求极限 (4)

四、函数极限的微积分解法. (5)

（七）利用无穷小量求极限 (5)

（八）利用洛比达法则求极限 (7)

（九）利用单调有界准则求极限 (9)

（十）利用中值定理求极限 (10)

五、小结 (11)

参考文献 (11)

致谢 (11)

确定函数极限的常用方法

一、引言

纵观整个高等数学体系我们可以发现极限问题一直贯穿始末。因此，极限作为《数学分析》中一个最重要的概念，极限理论与极限解法是我们所必须解理与握掌的，而活灵握、运用求极限的方法更是学好《数学分析》的基础。但是，由于数学题型是多种多样的，实际问题又是千变万化的，因此求极限的方法也是因题而异、多种多样、变化多端，面对这些题型有时真的感到变幻莫测无从下手。本文特对一些限极的计算方法进行归纳总结，并通过对一些高等院校历年来研究生入学考试典型试题的特征进行了深刻的分析，借以说明其求解方法与技巧，力求做到灵活应用求极限的方法。

二、函数极限的基本知识

(一)函数极限的定义

（二）函数极限的性质

性质1 ()lim x a

f x →A =的充要条件是()f x 在a 点的左右极限都存在且都为A .

性质2 唯一性 若()lim x a

f x →存在，则它只有一个极限.

性质3 局部有界性 若()lim x a

f x →存在，则()f x 在a 的某个空心领域内有界.

定义：设f 为定义在[),a +∞上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0,存在正数

()M a ≥，使得当x M >时有

()f x A ε-<，

则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作

()lim x f x A →∞

= 或 ()()f x A x →→+∞。

特别的，对上述定义，当x 趋于+∞[或-∞或∞]时，()f x 的极限仍然存在；当x 趋于a +（或a -）时，()f x 的左右极限也存在。

三、函数极限的基本解法

（一）定义法

极限的计中，应应义定法来求解是最遍普的一种方法。虽然它对于求解所有的极极都实用，但是对于复杂的限来说应用定义法算起来会比较非常麻烦，因

些比较简单的题型。

此定义法一般适用于一 例1 按定义证明 1

lim 0x x

→∞=.

证明 任给0ε>，取 1

M ε

=，则当 x M >时有

1110x x M

ε-=<=， 所以 1

lim

0x x

→∞=. )二( 利用极限四则运算法则

1. 若()lim x a

f x A →=，()lim x a

g x B →=，则 ()()lim x a

f x

g x A B →±=±⎡⎤⎣⎦.

()()lim x a

f x

g x AB →=⎡⎤⎣⎦.

2. ()lim x a

f x A →=,()lim 0x a

g x B →=≠,则

()()

lim

x a

f x A

g x B

→=

. 必

是要求参加运算的函数算求函数极限时，首先应用函数极限的四则运性质4 局部保号性 若()f x 在a 点极限为A （0A >），则对任意正数r ，存在a

的一个空心邻域()o U a ，使得对()o U a 中的任意x ，恒有

()0f x r >>.

性质5 不等式 若()lim x a

f x →A =，()lim x a

g x B →=，且有0δ>

()(),f x g x x ≤∀∈(),O U a δ 成立，则A B ≤，即()()lim lim x a

x a

f x

g x →→≤.

性质6 迫敛性（两边夹） 若()()lim lim x a

x a

f x

g x A →→==，且有0δ>，

()()()f x h x g x ≤≤ (),x U a δ∀∈ 则()lim x a

h x A →=.