线线角、线面角,二面角(高考立体几何法宝)

1
A 1
B 1
C 1
D A
B
C
D E F
G
线线角、线面角、二面角的求法
1.空间向量的直角坐标运算律：
⑴两个非零向量与垂直的充要条件是
1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=
⑵两个非零向量与平行的充要条件是
a ²
b =±|a ||b | 2.向量的数量积公式
若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =,则 （1）点乘公式： a ²b =|a ||b | cos θ
（2）模长公式：则2
12||a a a a a =⋅=++，2
||b b b b =⋅=+（3）夹角公式：2
cos ||||a b
a b a b a ⋅⋅==⋅+ （4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则
2
|
|(AB AB x ==,A B d =
①两条异面直线a 、b 间夹角0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>=
例1 (福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ）
A ．5
15arccos
B ．
4
π C ．5
10
arccos
D ．2π
（向量法，传统法）
P
B
C
A
例 2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且
PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．
解：（1）向量法
（2）割补法：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB 中
，即
t a n 2PD
DBA DB
∠
=
=． 点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P -
②直线a 与平面α所成的角0,2πθ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
(重点讲述平行与垂直的证明)
可转化成用向量→
a 与平面α的法向量→
n 的夹角ω表示，由向量平移得：若
ππ（图）；若ππ
平面α的法向量→
n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤：
(1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c == (2)设出平面的一个法向量为(,,)n x y z =
(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组(0a <<
(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。

图1－
图1－
图1－
1
D 1
B 1
C P
D
B
C
A
1. (线线角,线面角).在棱长为a 的正方体''''
ABCD A B C D -中，,E F 分别是'',BC A D 的中点.
（1）求直线'
AC DE 与所成角；
（2）求直线AD 与平面'
B EDF 所成的角.
2.如图，底面ABCD 为直角梯形， 90=∠ABC ，⊥PB 面ABCD ，
22====CD BP BC BA ，E 为PD 的中点，求
1） 异面直线BD 与PA 所成角的余弦值； 2） 直线CP 与面ADP 所成角的正弦值；
③求二面角βα-- 的大小θ
1.范围：[0,]π
2.二面角的向量求法：
方法一：如图，若AB 、CD 分别是二面角α-l -β的两个面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角.
方法二:设,u v 是二面角α-l-β的两个面α,β的法向量,则向量u 与v 的夹角(或其补角就是二面角的平面角的大小.如图,设二面角的平面角的大小为θ,法向量的夹角为ϕ.
cos cos ||||u v u v θϕ==
cos cos()cos ||||
u v
u v θπϕϕ=-=-=-
注意:在用向量求二面角的大小时，我们是先求出两半平面的法向量所在直线的夹角ϕ，
但二面角可能是钝角或锐角，因此在求出ϕ角后，应判断二面角的大小，再确定二面角就是两半平面的法向量所在直线的夹角ϕ或是其补角。

例：如图，PA ABC ⊥平面，,1,AC BC PA AC BC ⊥===求二面角A PB C -
-的
大小。

u
v
l
z
1.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． (1)证明：PB ∥平面AEC ；
(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P - ABD 的体积V ＝3
4，求A 到平面PBC 的距
离．
2、(2011年高考陕西卷理科16)（本小题满分12分）
如图：在,ABC ∠0
中,ABC=60,∠0
BAC=90AD BC 是上的高，沿AD 把ABD 折起，使
∠0BDC=90.证明：
（Ⅰ）平面⊥ADB BDC 平面；
（Ⅱ）设E BC DB 为的中点,求AE 与夹角的余弦值。

3、(2011年高考北京卷理科16)（本小题共14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，
2,60AB BAD =∠=.
(Ⅰ)求证：BD ⊥平面;PAC （Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值；
4、(2011年高考全国新课标卷理科18) (本小题满分12分)
如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；
(Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。

直线与平面平行或者垂直（重点掌握）
1.如图，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，M,N 分别是A 1B 1，BB 1的中点.求证:
(1)MN//平面ACD 1 ; (2)DB 1⊥平面ACD 1.
2、如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ，E 为PC 中点． (I) 求证：CD ⊥平面PAD ； (II) 求证：BE//平面PAD ．
3.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点，求证： （1）D 1O//平面A 1BC 1; （2）D 1O ⊥平面MAC.
B
C D
A
B C
D1
M
N
A B C D E P
AB ,点D是AB的中4.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，5
点，求证：
（I）AC⊥BC
；（II）A1C//平面CDB1；
5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，求
证：
(1)平面ADE∥平面B1C1F；
(2)平面ADE⊥平面A1D1G；。