命题、定理、证明

学大个性化辅导教案课题命题、定理、证明学生姓名学生年级七年级学科数学教师姓名学管师姓名咨询师姓名上课时间教案1（）教案2（）教学目标通过学生学习的一些命题和证明的定理，向学生介绍一些简单的逻辑知识，逻辑的概念和术语，结合学生学过的图形的性质和判定，用具体的例子说明什么是命题，命题的组成和命题的真假教学重点/难点重点：注重培养学生的逻辑思维能力，对证明步骤，格式，要让学生抄写，模仿，熟悉证明的步骤与格式。

难点：掌握一个命题，一定要分清它的题设和结论，可以找出一个命题的题设和结论是十分重要的问题。

教学过程教师活动学生活动一、对于学生上节课的作业完成情况及完成质量进行检查，通过学生的作业了解学生在哪些方面还存在一定的欠缺，及时的进行再次讲解，让学生在知识的掌握方面无死角。

二、对于本节课的知识点进行讲解，本节课的知识点为命题、定理和证明的相关知识，主要是让学生掌握什么是命题以及命题的真假性，以及一般证明题的书写步骤，让学生先进行填空的练习，然后逐渐锻炼自己独立的进行书写。

三、对于本节课的习题进行讲解，在讲解的时候注意重点类型题的分类讲解，让学生能够掌握解决这些问题的思路和方法，这是最重要的，提高学生的分析问题和解决问题的能力。

四、对于本节课作业进行布置。

一、对于上节课的知识点和典型习题的解题方法进行及时的回顾，看看学生在哪些方面存在一定的欠缺，及时的进行讲解，让学生能够良好的进行掌握。

二、对于本节课的知识点进行理解，在理解知识点的时候一定要注意与习题的实际结合，同时对于本节课的典型例题进行练习，认真的听取老师进行讲解，及时的完善课堂笔记。

知识点总结1、判断一件事情的句子，叫命题。

2、每个命题都是由题设，结论两部分组成的。

题设是已知事项；结论是由已知事项推出的未知事项。

3、如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题。

4、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明例题/课上习题例1.判断下列语句是不是命题：(1)线段的中点到线段两端点的距离相等；(2)相等的两个角是对顶角；(3)过已知直线外的任一点画已知直线的垂线；(4)凡直角都相等；(5)不相等的两个角不是对顶角；(6)与两平行线中的一条相交的直线，也必与另一条相交。

思考：1.你知道什么叫命题吗？2.怎样判定一个句子是命题？思路分析：判断一件事情的句子，叫做命题。

由此可知，判定一件事情的句是否是命题，则它应该对一件事情有所肯定或否定，作出明确判断，否则，它就不是命题，根据这一分析，思路自然清晰。

解：根据命题的定义可知：1,2,4,5,6是命题；3不是命题。

例2.将下列各句改写成“如果……，那么……”的形式。

1.对顶角相等；2.等角的余角相等；3.垂直于同一条直线的两条直线互相平行；4.同旁内角互补，两直线平行；5.同圆的半径相等。

思考：1.如何把省略掉的词语重新补上？2.根据命题你能画出图形吗？根据图形，能写出“如果……，那么……”的命题吗？3.对省去“如果”、“那么”的命题如何进行分析？思路分析：省略掉词语的命题通常采取仔细分析，把省略掉的词语重新补上，或根据命题画出准确图形，再根据图形，把命题完整写出来，根据这些方法研究，我们便可着手改写了。

解：1.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2.如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等；3.如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；4.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；5.如果两条半径是同圆的两条半径，那么这两条半径相等。

例3.指出下列命题的题设部分和结论部分1.直角都相等；2.互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；3.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；4.锐角大于它的补角；5.大于90°而小于180°的角是钝角；6.两个角的和等于平角时，这两个角互为补角。

思考：1.每个命题都由哪两部分组成？请你说出来。

2.题设表示什么意思？结论表示什么意思？3.命题中没有明显突出题设与结论又如何入手呢？能否改写成“如果……那么……”形式呢？4.命题的题设与结论不好用文字叙述时，可否用符号写出题设与结论呢？又如何表示？思路分析：解答这类问题，必须弄清命题由哪两部分组成，进一步弄明白题设与结论所表示的意思。

便可找出题设与结论。

对省略掉词语的命题应先设法补上，再着手找题设与结论。

命题的题设与结论不好用文字叙述时，要用符号写出题设和结论，但必须说明符号所表示的意义。

根据上述分析，便可找出1～6题的题设部分和结论部分。

解：1.题设：两个角都是直角；结论：这两个角相等。

2.题设：互为邻补角的两个角的两条平分线；结论：这两个角平分线互相垂直。

3.题设：直线外一点与直线上各点连结的所有线段；结论：垂线段最短。

4.题设：∠α是∠β的补角，且90°＜∠α＜180°；结论：∠α＞∠β。

5.题设：90°＜∠α＜180°；结论：∠α是钝角。

6.题设：两个角的和等于平角；结论：这两个角互补。

例4.判断下列命题的真假，如果是假命题，请说明理由。

1.两点之间，线段最短。

2.如果一个数的平方是9，那么这个数是3。

3.同旁内角互补。

4.过一点有且只有一条已知直线与已知直线平行。

5.如果a＋b=0，那么a=0，b=0。

6.两个锐角的和是锐角。

思考：1.什么叫命题？2.什么叫真命题？3.什么叫做假命题？4.判别假命题的方法是什么？请你叙述。

思路分析：要判定一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例）即可。

于是以上各题真假便眉目分明了。

解：1.真命题，这是关于线段的一个公理。

2.假命题，因为一个数的平方是9，这个数也可能是－3。

3.假命题，任意二条直线被第三条直线所截，都有同旁内角产生，只有两条平行线被第三直线所截，才有同旁内角互补的结论。

4.假命题，如果这个点在已知直线上，就无法作出一条直线与已知直线平行。

5.假命题，如果a=2，b=－2，2＋(－2)=0，但a=2≠0，b=－2≠0。

6.假命题，如60°和50°的角都是锐角，但它们的和是钝角。

例5.区分下列语句中，哪些是定义，哪些是公理，哪些是定理：1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线；2.两点之间，线段最短；3.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；4.对顶角相等；5.垂线段最短。

思考：1.定义，公理，定理的内容你知道吗？2.定义，公理，定理有何区别？思路分析：只要理解定义，公理，定理的意义，便可一一区分谁是定义，谁是公理，谁是定理。

解：(1)、(2)是公理；(3)是定义；(4)、(5)是定理。

课后习题一、填空题：1.命题常写成“如果……，那么……”的形式，在这种形式中，用“”开始的部分是题设，用“”开始由部分是结论。

2.将命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为。

3.已知∠AOB为锐角，直线l1⊥OA，直线l2⊥OB，那么l1和l2的关系为。

4.如图14所示，直线l∥m，若∠α=70°，则∠β= 。

图145.如图15所示，a∥b，∠1－2∠2=60°，则∠1= ；∠2= 。

6.“同位角相等，两直线平行”这个命题中题设是。

7.“过两点有且只有一条直线”是。

8. 叫做命题，每个命题都是由；两部分组成。

图159.如果题设成立，那么结论也成立，这样的命题叫做。

10.证明一个命题的步骤是：①根据题意；②根据题设、结论、结合图形，写出；。

③经过分析，找出由推出的途径，写出。

二、选择11.下列语句中，不是命题的是。

A.两点之间，线段最短；B.对顶角不相等；C.连结A、B两点；D.不重合的两条直线有一个交点。

12.给出下列四个命题：①同角的余角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线垂直。

其中真命题有。

A.1个；B.2个；C.3个；D.4个。

13.如图16，下列推理中正确的是。

A.∵∠1=∠2，∴AB∥CDB.∵∠ABC＋∠BCD=180°，∴AD∥B CC.∵AD∥BC，∴∠3=∠4D.∵∠ABC=∠ADC，∠1=∠2，∴AB∥CD14.下列命题，正确的是。

图16A.如果∠α=180°－∠β，则∠α是补角；B.如果∠α＋∠β=90°则∠α是余角；C.40°角是50°的余角；D.余角是补角的一半。

15.将命题“对顶角相等”改成“如果……，那么……”的形式正确的是。

A.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；B.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；C.如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角；D.如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等。

16.下列语句是命题的是。

(1)过一点作直线的垂线；(2)如果a∥b且b∥c，那么a∥c；(3)∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3；(4)同位角互补，两直线平行。

A.(2)；B.(2)、(3)；C.(2)、(3)、(4)；D.(1)、(2)、(3)、(4)17.下列命题，正确的是。

A.两锐角的和是直角；B.若∠AOB＋∠BOC=90°，则∠AOC是直角；C.若∠α是∠β的邻补角，则∠α与∠β中一定有一个是钝角，一个是锐角；D.若∠α与∠β互为余角，则∠α、∠β均为锐角。

18.下列命题是假命题的是。

A.垂线段最短；B.对顶角相等；C.同位角相等；D.一个锐角的补角大于这个锐角。

19.下列命题中，假命题是。

A.没有公共点的两条直线必定平行；B.同一平面内，l1⊥l2，垂足为A，l2⊥l垂足为B，A、B两点不重合，那么l1⊥l；C.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；D.两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线平行。

20.下列四个命题中，真命题是。

A.如果一个角有补角，则这个角必是钝角；B.如果一个角有余角，则这个角必是锐角；C.互补的两个角一定是邻补角；D.如果∠1＋∠2＋∠3=180°，那么∠1，∠2，∠3互补。

三、解答题21.根据下列命题，画出图形，并写出已知和求证：(1)邻补角的平分线互相垂直；(2)两直线平行，内错角相等。

22.已知点C，C′分别是AB、A′B′的中点，AC=A′C′，求证：AB=A′B′。

23.已知AC⊥BC，∠ACD=∠CDE，图17求证：DE⊥BC。

（如图17所示）图1824.（如图18所示）已知∠1＋∠2=180°，求证：∠3＋∠4=180°。

25.（如图19所示）AB∥CD，E、F分别与AB、CD交于G、H，MN过点G垂直于AB，GK是∠MGB 的平分线，∠CHG=120°，求∠MGE和∠KGE的度数。