裂项法求数列的和

裂项法求数列的和

【内容提要】笔者在多年的教学中遇到裂项法求和的题型,加以总结,供师生们参考.裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即)()1(n f n f a n -+=，然后累加时抵消中间的许多项。

【关键词】裂项法 求数列的和 等差数列

1等差数列积的倒数和

已知等差数列{}n a 首项1a ，公差d 。求和：=n s ++322111a a a a …+11+n n a a 解：11+n n a a =n n a a -+11（111+-n n a a ）=d

1（111+-n n a a ） =n s d 1（+-+-32211111a a a a …+111+-n n a a ）=d

1（1111+-n a a ） 其中nd a a n +=+11

求和：（1）=n s +⋅+⋅3

21211…+)1(1+⋅n n (2) =

n s +⋅+⋅741411…+)13()23(1+⋅-n n 2．含二次根式的数列和

已知正项等差数列{}n a 首项1a ，公差d 。求和：211

a a s n +=+321a a ++…+1

1

++n n a a 。 解：1

1++n n a a =))((111n n n n n

n a a a a a a -+-+++=d 1（n n a a -+1）。 =n s d 1(+-+-2312…+n n a a -+1)=d 1()11-+n a

其中nd a a n +=+11

求和：=n s ++++321

211

…+11

++n n

3．含对数的数列和

已知正项数列{}n a ,求和:=n s ++2312log log a a a a a a

…+n n a a a 1log +(0>a 且1≠a ) 解: n n a

a a 1log +=n a n a a a log log 1-+ =n s +-+-2312log log log log a a a a a a a a …+n a n a a a log log 1-+=11log log a a a n a -+ 求和：=n s ++23

lg 12

lg …+n n 1

lg +

4.含三角函数的数列和

(1)求和：=n s ++x x 2sin sin …+nx sin 解：)]

2cos()2[cos(2

sin 212sin 2sin sin sin x nx x nx x x x

nx nx --+-== =-2

sin 21x [x n x n 21

2cos 212cos --+]

=n s -2

sin 21x [cos 2cos 23x x -+x x 23cos 25cos -+…+x n x n 212cos 212cos --+] =-2

sin 21x [2cos 212cos x

x n -+]

(2)求和：=n s x x x x 3tan 2tan 2tan tan ++…+x n nx )1tan(tan + 解:x tan ==-+])1tan[(nx x n nx x n nx

x n tan )1tan(1tan )1tan(+--+

x nx

x n nx x n tan tan )1tan(1tan )1tan(-+-=+

=n s 1-x x x x x x tan 2tan 3tan 1tan tan 2tan --+-+…+1-x nx x n tan tan )1tan(-+=x x

n x n tan )1tan(tan +-+=x x

n n tan )1tan(1+-+

5含排列组合种数求和

(1) =n s !22!11⋅+⋅+ …+!n n ⋅

解: !n n ⋅=!)!1(n n -+ =n s +-+-!2!3!1!2…!)!1(n n -+=1)!1(-+n

(2) =n s ++!32

!21

…+)!1(+n n

解：)!1(+n n =)!1(1!1)!

1(1)1(+-=+-+n n n n =

n s +-+-!31!21!21!11…+)!1(1!1+-n n =1-)!1(1+n (3) =n s ++2322c c 24c +…+2n c

解：由组合性质3312k k k c c c -=+，得=n s 3435333422c c c c c -+-++…+331n n c c -+=31+n c

6含指数的数列求和

求和：=n s )1)(1()1)(1(3222+++++a a a a a a +…+)

1)(1(1+++n n n

a a a （,0>a 且1≠a ） 解：)1)(1(1+++n n n

a a a =)1

111(111+-+-+n n a a a =n s 1

1111111(11322+-+++-+-a a a a a +…+11111+-++n n a a ） =)1111(111+-+-+n a a a 求和：=n s )12)(12(2)12)(12(23222++++++…+)

12)(12(21+++n n n

7.等差数列的和

已知:12+=n a n 求：n s

解：22)1(n n a n -+= n s =22222312-+-+…+1)1(2-+n =n n 22+

8.等比数列的和

已知:n n a 2=求:n s

解:n n n a 221-=+ n s =2322222-+-+…+n n 221-+=221-+n

9.等差数列乘等比数列的和(主要用错位相减法)

已知:n n n a 5

54-= 求:n s 解:n n n n n n n a 5515541--=-=- n s =+-+-25251510…+n n n n 5511---=n n 5-.