综合法和分析法ppt课件
合集下载
分析方法与综合方法
⌛️
综合方法的优缺点及适用范围
优点
• 整合事物的内在联系和规律
• 发现新的联系和规律
缺点
• 可能忽视事物的细节和局部
• 需要较高的综合素质和创新能力
适用范围
• 研究事物的整体性和系统性
• 解决复杂问题和创新领域
分析方法与综合方法的综合运用与优化
综合运用
优化
• 在研究过程中，根据需要灵活运用分析方法和综合方法
CREATE TOGETHER
SMART CREATE
分析方法与综合方法：理论应用与实例
01
分析方法与综合方法的基
本概念
分析方法的定义与特点
分析方法是一种深入研究事物内部的方法
• 通过分解、剖析、观察等手段
• 了解事物的本质和规律
• 强调细节和局部
分析方法的特点
• 深入：深入挖掘事物的内在联系
• 细致：关注事物的细节和局部
域
归纳综合方法及其应用
归纳综合方法
应用领域
• 通过归纳手段从具体事物中提炼出一般规律
• 哲学：研究世界观、认识论等
• 如：归纳法、类比法等
• 科学：研究科学方法、科学发现等
• 艺术：研究艺术创作、审美规律等
演绎综合方法及其应用
演绎综合方法
• 通过演绎手段从一般规律推导出具体事物
• 如：演绎法、推理法等
• 员工满意度分析：评估员工满意度、激励措施等
品创新
综合方法在科技创新中的应用
科技创新中的综合方法
• 跨学科研究：整合不同学科的知识和技术，解决复杂问题
• 创新方法论：研究创新过程、创新策略等
• 技术路线图：规划技术发展路径，指导科技创新方向
2.2.1《综合法和分析法》区教研课课件
2
充分条件
思考6：上述证明方法叫做分析法. 一般 地，分析法的基本含义是什么？ 从所证结论出发，逐步寻求使它成立的 充分条件，直到归结为判定一个显然成 立的条件（已知条件、定义、公理、定 理、性质、法则等）为止.
分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”, 其基本思想是：由未知探需知，逐步推向 已知.
2
2
2
2
4abc
其左右两边的结构有什么特点？ 右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边 为两项之和，其中每一项都是一个数与 另两个数的平方和之积.
思考2：利用哪个知识点可以沟通两个数 的平方和与这两个数的积的不等关系？
基本不等式 x + y
2 2
2xy
思考3：若已知a＞0，b＞0，如何利用不 等式性质证明
证明过程中我们要善于观察变形，合理利用已 知条件、定理、公式，把文字语言转化为符号 语言或者图形语言，由因导果！
探究（二）：分析法
回顾基本不等式： a + b 2 (a>0,b>0)的证明.
ab 证明 : 要证 2 ab ,
ab
只需证
a b 2 ab
只需证
只需证
a+b-2 ab 0
例1.已知 a, b, c 是不全相等的正数 bc a c a b a b c 求证： 3 a b c
(综合法)
R ∵a，b，c ，
符号语言
b a c a c b 与 ， 与 ， 与 均为正实数且不能同时相等， a b a c b c b a c a c b 2， ＋ 2 ， ＋ 2 ， 由重要不等式得： ＋ a b a c b c
2.2直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法(1)
充分条件
思考6：上述证明方法叫做分析法. 一般 地，分析法的基本含义是什么？ 从所证结论出发，逐步寻求使它成立的 充分条件，直到归结为判定一个显然成 立的条件（已知条件、定义、公理、定 理、性质、法则等）为止.
分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”, 其基本思想是：由未知探需知，逐步推向 已知.
2
2
2
2
4abc
其左右两边的结构有什么特点？ 右边是3个数a，b，c的乘积的4倍，左边 为两项之和，其中每一项都是一个数与 另两个数的平方和之积.
思考2：利用哪个知识点可以沟通两个数 的平方和与这两个数的积的不等关系？
基本不等式 x + y
2 2
2xy
思考3：若已知a＞0，b＞0，如何利用不 等式性质证明
证明过程中我们要善于观察变形，合理利用已 知条件、定理、公式，把文字语言转化为符号 语言或者图形语言，由因导果！
探究（二）：分析法
回顾基本不等式： a + b 2 (a>0,b>0)的证明.
ab 证明 : 要证 2 ab ,
ab
只需证
a b 2 ab
只需证
只需证
a+b-2 ab 0
例1.已知 a, b, c 是不全相等的正数 bc a c a b a b c 求证： 3 a b c
(综合法)
R ∵a，b，c ，
符号语言
b a c a c b 与 ， 与 ， 与 均为正实数且不能同时相等， a b a c b c b a c a c b 2， ＋ 2 ， ＋ 2 ， 由重要不等式得： ＋ a b a c b c
2.2直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法(1)
1.2 综合法与分析法 课件(北师大选修2-2)
2．已知点P是直角三角形ABC所在平面外的一点，O是斜边 AB的中点，并且PA＝PB＝PC. 求证：PO⊥平面ABC.
证明：连接OC，如图所示，
∵AB是Rt△ABC的斜边，O是AB的中点， ∴OA＝OB＝OC. 又∵PA＝PB＝PC，∴PO⊥AB， 且△POA≌△POC， ∴∠POA＝∠POC. ∴∠POC＝90°. 即PO⊥AB，PO⊥OC，且AB∩OC＝O，所以PO⊥ 平面ABC.
分析法与综合法的优缺点： 综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方 法各有优缺点．分析法解题方向较为明确，容易寻找到解
题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从
条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际 证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用 综合法有条理地表述解题过程．
提示：基本不等式．
问题 2：本题证明顺序是什么？
提示：从已知到结论．
综合法
(1)含义：从命题的 条件 出发，利用定义、公理、定理 及运算法则，通过 演绎 推理，一步一步地接近要证明 的 结论 ，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法． (2)思路：综合法用以下的框图表示：
1 2 即证 a ＋b ≥ (a ＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. 2 因为 a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， 2 所以 a ＋b ≥ (a＋b)成立． 2
2 2
[一点通]
分析法是“执果索因”，一步步寻找结论成
立的充分条件．它是从求证的结论出发，逆着分析，由未
知想需知，由需知逐渐地靠近已知，这种证明的方法关键
AC cos B 1．在△ABC 中，AB＝ ，证明 B＝C. cos C
sin B cos B 证明： 在△ABC 中， 由正弦定理及已知得 ＝ . sin C cos C 于是 sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即 sin(B－C)＝0， 因为－π<B－C<π，从而 B－C＝0，所以 B＝C.
5.3.2综合法与分析法(1) 课件(人教A版选修4-5)
2 2 2 2 2
例 7 已 知 a , b , c都 是 正 数 , 求 证 : a b c 3 abc , 并 指 出 等 号 成 立 的 条 件 .
3 3 3
5.3.2不等式的证明—综合法和分析法
从已知条件出发, 利用不等式的性质和定理 逐步下推, 推导出所要证明的不等式成立,这种证 明方法叫做综合法。 综合法的思路是“由因导果”. 证明不等式时，有时可以从要证明的不等 式出发，逐步上溯 , 寻求使它成立的充分条件， 直至最后,把要证明的不等式归结为判定条件是 否具备的问题。这种证明的方法叫做分析法。 分析法的思路是“执果索 因”. … A B 综合法： 条件 结论
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 小 不 学 勤 径，学 徒 伤 悲 作 功！ 天 才 在 于 为 奋，努 力 才 能 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 山 有 路 勤习，老 来 海 无 崖 苦成 舟
例1 已 知 a , b都 是 正 数 , 求 证 :
3 3
a b
2
b a
分析法： 结论
B
…
A
条件补Biblioteka 作业(1) 求 证: 1 x
2
1 y
2
2
1 z
2
1 xy
1 yz
1 zx
( 2 ) 求 证: a b ab a b 1
2
( 3 ) 已 知 a , b , c 为 不 全 相 等 的 正 数 , 且 abc 1 . 求证 : a b c 1 a 1 b 1 c
2.
2
例 2 设 a 0 , b 0 , 求 证 : a b a b ab
例 7 已 知 a , b , c都 是 正 数 , 求 证 : a b c 3 abc , 并 指 出 等 号 成 立 的 条 件 .
3 3 3
5.3.2不等式的证明—综合法和分析法
从已知条件出发, 利用不等式的性质和定理 逐步下推, 推导出所要证明的不等式成立,这种证 明方法叫做综合法。 综合法的思路是“由因导果”. 证明不等式时，有时可以从要证明的不等 式出发，逐步上溯 , 寻求使它成立的充分条件， 直至最后,把要证明的不等式归结为判定条件是 否具备的问题。这种证明的方法叫做分析法。 分析法的思路是“执果索 因”. … A B 综合法： 条件 结论
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 小 不 学 勤 径，学 徒 伤 悲 作 功！ 天 才 在 于 为 奋，努 力 才 能 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 山 有 路 勤习，老 来 海 无 崖 苦成 舟
例1 已 知 a , b都 是 正 数 , 求 证 :
3 3
a b
2
b a
分析法： 结论
B
…
A
条件补Biblioteka 作业(1) 求 证: 1 x
2
1 y
2
2
1 z
2
1 xy
1 yz
1 zx
( 2 ) 求 证: a b ab a b 1
2
( 3 ) 已 知 a , b , c 为 不 全 相 等 的 正 数 , 且 abc 1 . 求证 : a b c 1 a 1 b 1 c
2.
2
例 2 设 a 0 , b 0 , 求 证 : a b a b ab
综合法分析法PPT课件
例 3. 已 知 α ,β≠
k π+ π( k 2
Z),且
sinθ+ cosθ = 2sinα
sinθ cosθ = sin 2β
求 证:
1 - tan 2α = 1 - tan 2β . 1 + tan 2α 2(1 + tan 2β )
.
.
用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表 示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
.
例3:设a,b,c为一个三角形的三边,且s2=2ab,
s = 1(a + b+c), 试证： s < 2a 2
解:欲证s<2a,只需证
s
s2 b
即证b<s,也即证 b 1 (a bc)
2
即证b<a+c
因为a,b,c为一个三角形的三边,所以 b<a+c成立.
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
证明:要证;a
+ 2
b
ab
还原成综合法： 证明:
只需证;a+b2 ab
因为;( a b)2 0
只需证;a+b2 ab0 所以 a+b2 ab0
只需证;( a b)2 0
所以 a+b2 ab
因为;( a b)2 0成立
所以 a
+ 2
b
a b成立
所以
a+b 2
a b 成立
.
小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用综合法，否则 用分析法.
综合法和分析法 课件
综合法与分析法
1．综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方 法，也是不等式证明中的基本方法．由于两者在证明思路 上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学 习，以便于对比研究两种思路方法的特点．
2．所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的 性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式．综合法 是“由因及果”．
分析：注意不等式左、右两端的差异，思考 如何脱去左端根号或如何去掉右端的分母
a＝ b1c＜121b＋1c，而1a＝bc.
证明：法一：因为 a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
所以 a＋ b＋ c＝
b1c＋
a1c＋
1 ab
＜121b＋1c＋121a＋1c＋121a＋1b＝1a＋1b＋1c.
法二：a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
设 x，y∈(0，＋∞)．求证： 12(x＋y)2＋14(x＋y)≥x y＋y x.
证明：原不等式⇔2(x＋y)2＋(x＋y)≥4x y＋4y x ⇔(x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2 xy(2 x＋2 y)． ∵x＋y≥2 xy＞0， ∴只需证 2(x＋y)＋1≥2 x＋2 y. 即证(x＋14)＋(y＋14)≥ x＋ y.
2
只需证 2ab＋ma＋b ＜ c ， 即证 1＋2abm＋2m－aab＋b＜1＋mc ， 只需证 m2c－abc＜2mab＋m2(a＋b)成立， 只需证 m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立， ∵a，b，c 分别是△ABC 的三边长，∴a＋b＞c. 即 c－(a＋b)＜0，而 m2＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜0. 而 ab(2m＋c)＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立． ∴原不等式成立．
(当且仅当 a＝b＝c＝13时，等式成立)
1．综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方 法，也是不等式证明中的基本方法．由于两者在证明思路 上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学 习，以便于对比研究两种思路方法的特点．
2．所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的 性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式．综合法 是“由因及果”．
分析：注意不等式左、右两端的差异，思考 如何脱去左端根号或如何去掉右端的分母
a＝ b1c＜121b＋1c，而1a＝bc.
证明：法一：因为 a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
所以 a＋ b＋ c＝
b1c＋
a1c＋
1 ab
＜121b＋1c＋121a＋1c＋121a＋1b＝1a＋1b＋1c.
法二：a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
设 x，y∈(0，＋∞)．求证： 12(x＋y)2＋14(x＋y)≥x y＋y x.
证明：原不等式⇔2(x＋y)2＋(x＋y)≥4x y＋4y x ⇔(x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2 xy(2 x＋2 y)． ∵x＋y≥2 xy＞0， ∴只需证 2(x＋y)＋1≥2 x＋2 y. 即证(x＋14)＋(y＋14)≥ x＋ y.
2
只需证 2ab＋ma＋b ＜ c ， 即证 1＋2abm＋2m－aab＋b＜1＋mc ， 只需证 m2c－abc＜2mab＋m2(a＋b)成立， 只需证 m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立， ∵a，b，c 分别是△ABC 的三边长，∴a＋b＞c. 即 c－(a＋b)＜0，而 m2＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜0. 而 ab(2m＋c)＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立． ∴原不等式成立．
(当且仅当 a＝b＝c＝13时，等式成立)
3.3综合法与分析法 课件(北师大版选修1-2)
综合法与分析法
知识结构
推理
推 理 与 证 明 证明 间接证明 合情推理 演绎推理
归纳推理
类比推理
比较法 直接证明 综合法 分析法 反证法
数学归纳法
一.综合法
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证 求 ：a + b + c < + + . a b c
1 1 1 ∴ + + = bc + ca + ab a b c
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
>
abc +
2
a bc +
2
ab c =
2
a+
b+
c.
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证 求 ：a + b + c < + + . a b c
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不 过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. 证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又 f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k条 直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必 与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.
知识结构
推理
推 理 与 证 明 证明 间接证明 合情推理 演绎推理
归纳推理
类比推理
比较法 直接证明 综合法 分析法 反证法
数学归纳法
一.综合法
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证 求 ：a + b + c < + + . a b c
1 1 1 ∴ + + = bc + ca + ab a b c
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
>
abc +
2
a bc +
2
ab c =
2
a+
b+
c.
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证 求 ：a + b + c < + + . a b c
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不 过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2. 证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又 f(2)=2•(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中 的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k条 直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必 与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.
【课件】 综合法与分析法
abc 故 a2b2 b2c2 c2a2 abc
abc
证明: b2 c2 2bc,a2 0, a2(b2 c2 ) 2a2bc c2 a2 2ac,b2 0, b2(c2 a2 ) 2b2ac a2 b2 2ab,c2 0, c2(a2 b2 ) 2c2ab 2(a2b2 b2c2 c2a2 ) 2a2bc 2b2ac 2c2ab a2b2 b2c2 c2a2 abc(a b c) 又a,b,c 0, a b c 0, 1 0,
用综合法证明不等式的逻辑关系
A B1 B2 Bn B (已 知)(逐 步 推 演 不 等 式 成 立 的必 要 条 件)(结 论)
例2 已 知a1,a2 ,,an R , 且a1a2 an 1, 求 证(1 a1 )(1 a2 )(1 an ) 2n
证明: a1 R ,1 a1 2 a1 , 同理1 a2 2 a2 ,,1 an 2 an a1,a2 ,,an R ,由不等式的性质,得 (1 a1)(1 a2 )(1 an ) 2n a1a2 an 2n. ai 1时,1 ai 2 ai 取等号, 所以原式在a1 a2 an 1时取等号.
利用综合法证明不等式时, 应注意对已证 不 等 式 的 使 用, 常 用 的 不 等 式 有:
(1)a2 0;
(2) a 0;
(3)a2 b2 2ab;它的变形形式又有
(a
b)2
a2 4ab;
a
b 2
2 2
(4) a b ab;它的变形形式又有 2
a b 2(ab 0); a b 2(ab 0)
由于a,b,c不全相等, 所以上述三个式子中至少有一个不 取 等 号, 把 它 们 相 加 得
a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
abc
证明: b2 c2 2bc,a2 0, a2(b2 c2 ) 2a2bc c2 a2 2ac,b2 0, b2(c2 a2 ) 2b2ac a2 b2 2ab,c2 0, c2(a2 b2 ) 2c2ab 2(a2b2 b2c2 c2a2 ) 2a2bc 2b2ac 2c2ab a2b2 b2c2 c2a2 abc(a b c) 又a,b,c 0, a b c 0, 1 0,
用综合法证明不等式的逻辑关系
A B1 B2 Bn B (已 知)(逐 步 推 演 不 等 式 成 立 的必 要 条 件)(结 论)
例2 已 知a1,a2 ,,an R , 且a1a2 an 1, 求 证(1 a1 )(1 a2 )(1 an ) 2n
证明: a1 R ,1 a1 2 a1 , 同理1 a2 2 a2 ,,1 an 2 an a1,a2 ,,an R ,由不等式的性质,得 (1 a1)(1 a2 )(1 an ) 2n a1a2 an 2n. ai 1时,1 ai 2 ai 取等号, 所以原式在a1 a2 an 1时取等号.
利用综合法证明不等式时, 应注意对已证 不 等 式 的 使 用, 常 用 的 不 等 式 有:
(1)a2 0;
(2) a 0;
(3)a2 b2 2ab;它的变形形式又有
(a
b)2
a2 4ab;
a
b 2
2 2
(4) a b ab;它的变形形式又有 2
a b 2(ab 0); a b 2(ab 0)
由于a,b,c不全相等, 所以上述三个式子中至少有一个不 取 等 号, 把 它 们 相 加 得
a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 6abc
数学课件：1.5.2 综合法和分析法
题型一 题型二 题型三
正解:证明:要证 3 + 6 < 4 + 5, 只需证( 3 + 6)2<( 4 + 5)2, 即证 9+2 18 < 9+2 20, 即证 18 < 20, 即证18<20. 因为 18<20 显然成立, 所以 3 + 6 < 4 + 5.
12345
1 设 a,b 为正数,A= ������ + ������,B= ������ + ������, 则A,B 的大小关系是( ) A.A≥B B.A≤B
+
1 ������-������
. 此不等式恒成立的充要条件是n 小于等于(x-
z)
1 ������-������
+
1 ������-������
的最小值.
令 a=x-y,b=y-z,则 a>0,b>0,且 x-z=a+b.
因为可证(a+b)
1 ������
+
1 ������
≥4,当且仅当 a=b,即 x-y=y-z>0 时等号成立,
2bc. Δ=4(b+c)2-4(b2+c2-2bc)=16bc>0. 则f(a)的值可正、可负、可为零,无法确定. 因此,分析题目时,对条件要看清楚,尤其要探寻条件间的限制关
系,以免受到某些思维定式的影响.
题型一 题型二 题型三
用分析法证明不等式
【例 2】
已知
a>b>0,求证:
(������-������)2 8������
只需证明A为真. 已知A为真,故B必为真. 可以简单写成: B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.
2.2.1综合法和分析法
1、 求 证 ： cos sin cos 2 2、 已 知 tan sin a , tan sin b 求 证： （a b ) 16ab
2 2 2
4
4
3、 已 知a , b, c R , a b c 1 1 1 1 求 证（ ： 1)( 1)( 1) 8 a b c
3 7 2 5成立
反思
在本例中，如果我们从“21<25”出发， 逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但 由于我们很难想到从“21<25”入手，所以 用综合法比较困难.
• [点评] • (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； • 2）分析法证明思路为：从求证的结论出发，逐步 寻求使结论成立的充分条件，直至把证明的结论 归结为一个明显成立的条件即可。 • (3) 用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好 “要证”、“只需证”、“即证”等关联词语．
a+b 练习：证明不等式： 2
ab
(a>0,b>0).
综合法
证法1:
因为;( a b ) 0
2
a+b 证法2:要证; ab 2 只需证;a + b 2 ab
分析法
所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 ab
a+b ab 成立 所以 2
只需证;a + b 2 ab 0
课堂小结
1.在数学证明中，综合法最常用的数学方法，若从已 知入手能找到证明的途径，则用综合法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，在解题表述 中要注意语言的规范性和逻辑性.
数学·选修4-5(人教A版)课件：第二讲2.2综合法与分析法
333
＋c)≥3 a·3 b·3 c＝27，
当且仅当 a＝b＝c＝1 时，等号成立，
所以原不等式成立．
类型 2 分析法证明不等式
1
[典例 2] 已知 x＞0，y＞0，求证：(x2＋y2)2＞(x3＋
1
y3)3.
证明：因为 x＞0，y＞0，
1
1
所以要证明(x2＋y2)2＞(x3＋y3)3，
只需证(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2，
即证 x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6， 即证 3x4y2＋3x2y4＞2x3y3. 因为 x＞0，y＞0，所以 x2y2＞0， 即证 3x2＋3y2＞2xy. 因为 3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy， 所以 3x2＋3y2＞2xy 成立．
归纳升华 1．分析法是指从要证的不等式出发，分析这个不等式 成立的充分条件，进而转化为判定那些条件是否具备．其 特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“已知”． 2．当所要证的不等式与重要不等式、基本不等式没 有直接联系，或很难发现条件与结论之间的关系时，可用 分析法来证明．
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整 过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完整 过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
归纳升华 1．分析法在思考上优于综合法，易于寻找证明的思 路，综合法在证明过程中书写表达条理、简练，故常将两 法综合使用，用分析法“探路”，用综合法“书写”，从 而解决较复杂的不等式证明问题．
＋c)≥3 a·3 b·3 c＝27，
当且仅当 a＝b＝c＝1 时，等号成立，
所以原不等式成立．
类型 2 分析法证明不等式
1
[典例 2] 已知 x＞0，y＞0，求证：(x2＋y2)2＞(x3＋
1
y3)3.
证明：因为 x＞0，y＞0，
1
1
所以要证明(x2＋y2)2＞(x3＋y3)3，
只需证(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2，
即证 x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6， 即证 3x4y2＋3x2y4＞2x3y3. 因为 x＞0，y＞0，所以 x2y2＞0， 即证 3x2＋3y2＞2xy. 因为 3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy， 所以 3x2＋3y2＞2xy 成立．
归纳升华 1．分析法是指从要证的不等式出发，分析这个不等式 成立的充分条件，进而转化为判定那些条件是否具备．其 特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“已知”． 2．当所要证的不等式与重要不等式、基本不等式没 有直接联系，或很难发现条件与结论之间的关系时，可用 分析法来证明．
积极 主动
以终 为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整 过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完整 过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取； TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
归纳升华 1．分析法在思考上优于综合法，易于寻找证明的思 路，综合法在证明过程中书写表达条理、简练，故常将两 法综合使用，用分析法“探路”，用综合法“书写”，从 而解决较复杂的不等式证明问题．
综合法与分析法PPT
例题2
求证 3 + 7 < 2 5.
分析
从待证不等式不易发现证明的出发 点，因此我们直接从待证不等式出发， 分析其成立的充分条件.
证明：
因为 3 + 7和 2 5 都是正数，所以要证
3 + 7 < 2 5，
只需证
（ 3 + 7）2 <（2 5）2 .
展开得
10 + 2 21 < 20，
只Hale Waihona Puke 证21 < 5，不等式：a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
动动脑
大家想一想， 除了综合法，还有 别的证明方法吗？
证明:要证
a
+ 2
b
ab
只需证:a + b 2 ab
只需证:a + b 2 ab 0
只需证:( a b)2 0
因为:( a b)2 0 成立
所以
a
+ 2
b
ab成立
a2 + c2 - ac = ac,
即 （a - c）2 = 0.
因此
a=c.
从而
A=C.
⑤
由 ② ③ ⑤ ,得
A=B=C= π. 3
所以△ＡＢC为等边三角形.
注意
解决数学问题时，往往要先做语言的转 换，如把文字语言转换成符号语言，或把符 号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分 析，把其中的隐含条件明确表示出来.
a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
首先，分析待证不等式的特点：不 等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍，左 端为两项之和，其中每一项都是一个数 与另两个数的平方和之积.据此，只要把 两个数的平方和转化为这两个数的积的 形式，就能使不等式左、右两端具有相 同的形式.
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Q1⇒Q2 →
框
Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
图
表 (P表示_已__知__条__件____、已有
示 的__定__义___、__公__理___、 __定__理____等，Q表示
__所__要__证__明__的__结__论______
第二章 推理与证明
分析法
栏目 导引
第二章 推理与证明
综合法
分析法
特点
顺推证法或由 逆推证法或执
因导果法
果索因法
栏目 导引
第二章 推理与证明
想一想 1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还是 演绎推理？ 提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推 理，因为综合法与分析法的每一步推理都是 严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都 是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．
栏目 导引
第二章 推理与证明
2.分析法是把所要求证的结论当作已知条件来 推理吗？ 提示：分析法并不是把所要求证的结论当作 已知条件来推理，而是寻求使结论成立的充 分条件．
第二章 推理与证明
此课件可编辑版，如对课件有异 议或侵权的请及时联系删除！ 课件可编辑版，请放心使用！
栏目 导引
第二章 推理与证明
栏目 导引
复习
推理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
归纳
(特殊到一般）
类比
三段论
（特殊到特殊） （一般到特殊）
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思 维过程.
…
得到一个明显 成立的结论
栏目 导引
第二章 推理与证明
2．2.1 综合法和分析法
栏目 导引
第二章 推理与证明
新知初探思维启动
综合法和分析法
综合法
分析法
从_要__证__明____的结论出发，
利用_已__知__条__件__和某些数 逐步寻求使它成立的 学__定__义___、___公__理___、 _充__分合法：
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,
经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论
成立,这种证明方法叫做综合法也叫顺推法
特点：由因导果 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示
所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
…
Qn Q
综合法是由一个个推理组成的
2，分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中， 使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归 结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理 等）为止，这种证明的方法叫做分析法也叫逆推法。 特点：执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点.
Q P1
P1 P2
P2 P3
定 __定__理____等，经过一系列 把要证明的结论归结为判
义 的_推__理__论__证___，最后推导 定一个明显成立的条件(已 出所要证明的结论成立， 知条件定、义_______定_、理
这种证明方法叫做综合法 _公__理____、_______等)，这
种证明方法叫做分析法
栏目 导引
综合法
P⇒Q1 →
栏目 导引
第二章 推理与证明
做一做 1.以下命题中正确的是( ) A．综合法是执果索因的逆推法 B．综合法是由因导果的顺推法 C．综合法是因果互推的两头凑法 D．综合法就是举反例 答案：B
栏目 导引
第二章 推理与证明
2.要证明 3＋ 7<2 5可选择的方法有以下几
种，其中最合理的是( )
A．综合法
【思路点拨】 题目条件适合使用分析法证 明不等式，只需要注意分析法证明问题的格 式即可．
栏目 导引
第二章 推理与证明
名师微博 分类讨论是关键！
【证明】 当 a＋b≤0 时， ∵ a2＋b2≥0， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立.2 分 当 a＋b>0 时，用分析法证明如下： 要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)，3 分 只需证( a2＋b2)2≥ 22（a＋b）2，5 分
数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定 理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。
例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
证明: 因为b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
第二章 推理与证明
【证明】 ∵x＋y＋z＝m， ∴(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝m2. 又∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，z2＋x2≥2xz. ∴2(x2＋y2＋z2)≥2(xy＋yz＋zx)， 即 x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋zx， ∴m2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)≤3(x2＋y2＋z2)． ∴x2＋y2＋z2≥m32.
所以
a
+ 2
b
ab成立
还原成综合法： 证明:
因为;( a b)2 0
所以 a + b 2 ab 0
所以 a + b 2 ab
所以
a+b 2
ab 成立
栏目 导引
第二章 推理与证明
典题例证技法归纳
题型探究 题型一 综合法的应用
例1 已知 x＋y＋z＝m.求证：x2＋y2＋z2≥m32.
栏目 导引
B．分析法
C．类比法
D．归纳法
解析：选B.从数据来看，宜用分析法．
栏目 导引
分析基本不等式： (a>0,b>0)的证明.
a+b 2
第二章 推理与证明
ab
证明:要证;a
+ 2
b
ab
只需证;a + b 2 ab
只需证;a + b 2 ab 0
只需证;( a b)2 0
因为;( a b)2 0 成立
第二章 推理与证明
例：求证： 3 7 2 5
证明：因为
3 7和2 5 都是正数，
所以为了证明
3 72 5
只需证明 ( 3 7 )2 (2 5)2
展开得 10 2 21 20 即 21 5
只需证明21<25，因为21<25成立，
所以不等式
3 7 2 5 成立。
栏目
导引
第二章 推理与证明
栏目 导引
第二章 推理与证明
互动探究 1.已知a＋b＋c＝6.求a2＋b2＋c2的最小值． 解：由本例的结论知 a2＋b2＋c2≥632＝12， 当且仅当 a＝b＝c＝2 时，“＝”成立， ∴a2＋b2＋c2 的最小值为 12.
栏目 导引
第二章 推理与证明
题型二 分析法的应用
例2 (本题满分 9 分)设 a，b 为实数．求证： a2＋b2≥ 22(a＋b)．