二元域次数为8的不可约多项式

分圆多项式
定理 7.5.1 复数域中恰有 n 个 n 次单位根。它们在乘法下作成一个 n 元循环群， （5）所规定的ξ是一个生成元素。 这个 n 元循环群的生成元素称为本原 n 次单位根，我们知道，n 元循环群共有（n）个生成元素。所以，共有（n）个本原 n 次单位根，假定它们是 ξ1，ξ2，…，ξ（n） ξ= cos
∏������|������ ������������ (������)
= ������ + ������
因为 x -1 =
3
∏������|������ ������������ (������)
=Φ3(х)Φ1(х)，所以，������������ (������) =
������������ −������ ������������ (������)
= ������������ + ������ + ������
因为 x -1 =
4
∏������|������ ������������ (������)
=Φ4(х)Φ2(х)Φ1(х)，所以，������������ (������) =
������������ −������ ������������ (������)������������ (������)
������������ ������
+ i sin
������������ ������
（5）
命Φn(х)=(х-ξ1)(х-ξ2)…(х-ξ（n）) （7） Φn（х）称为分圆多项式，意思是说求出它的一个根就可以把单位圆分成 n 等份了。 n=1 时， 生成元ξ= cos2+isin2=1，（1）=1， 故 Φ1（х）=（х-1） 。 n=2 时， 生成元ξ= cos
6
因之，
Φ12（х）=
������������ +������
������������ (������)
=
������������ +������ ������������ +������
= x -x +1。
4
2
.p 是素数。
������������ ������
+isin
������������ ������
= -1，
（2）=1， 故 Φ2（х）=（х+1） 。 n=3 时， 生成元 ξ= cos
������������ ������
+ isin
������������ ������
=
−������+√−������ ������
������2 [������]上<=4 次不可约多项式 X X+1 X^2+X+1 X^3+X^2+1 X^3+X+1 X^4+X+1 X^4+X^3+X^2+1 X^4+X^3+X^2+X+1 ������2 [������]上 8 次 3 项不可约多项式，共 1 个 1 3 [1 0 0 0 0 0 1 0 1] 1+X^6+X^8 X^8+X^6+1
X^8+X^6+X^5+X^1+1 X^8+X^7+X^5+X^1+1 X^8+X^7+X^3+X^1+1 X^8+X^5+X^3+X^1+1 X^8+X^4+X^3+X^1+1 X^8+X^7+X^2+X^1+1
������2 [������]上 8 次 7 项不可约多项式，共 13 个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 [1 0 0 1 1 1 1 1 1] [1 0 1 0 1 1 1 1 1] [1 0 1 1 1 0 1 1 1] [1 0 1 1 1 1 0 1 1] [1 1 0 0 1 1 1 1 1] [1 1 0 1 1 1 1 0 1] [1 1 1 0 0 1 1 1 1] [1 1 1 0 1 0 1 1 1] [1 1 1 0 1 1 1 0 1] [1 1 1 1 0 0 1 1 1] [1 1 1 1 1 0 0 1 1] [1 1 1 1 1 0 1 0 1] [1 1 1 1 1 1 0 0 1] 1+X^3+X^4+X^5+X^6+X^7+X^8 1+X^2+X^4+X^5+X^6+X^7+X^8 1+X^2+X^3+X^4+X^6+X^7+X^8 1+X^2+X^3+X^4+X^5+X^7+X^8 1+X^1+X^4+X^5+X^6+X^7+X^8 1+X^1+X^3+X^4+X^5+X^6+X^8 1+X^1+X^2+X^5+X^6+X^7+X^8 1+X^1+X^2+X^4+X^6+X^7+X^8 1+X^1+X^2+X^4+X^5+X^6+X^8 1+X^1+X^2+X^3+X^6+X^7+X^8 1+X^1+X^2+X^3+X^4+X^7+X^8 1+X^1+X^2+X^3+X^4+X^6+X^8 1+X^1+X^2+X^3+X^4+X^5+X^8 X^8+X^7+X^6+X^5+X^4+X^3+1 X^8+X^7+X^6+X^5+X^4+X^2+1 X^8+X^7+X^6+X^4+X^3+X^2+1 X^8+X^7+X^5+X^4+X^3+X^2+1 X^8+X^7+X^6+X^5+X^4+X^1+1 X^8+X^6+X^5+X^4+X^3+X^1+1 X^8+X^7+X^6+X^5+X^2+X^1+1 X^8+X^7+X^6+X^4+X^2+X^1+1 X^8+X^6+X^5+X^4+X^2+X^1+1 X^8+X^7+X^6+X^3+X^2+X^1+1 X^8+X^7+X^4+X^3+X^2+X^1+1 X^8+X^6+X^4+X^3+X^2+X^1+1 X^8+X^5+X^4+X^3+X^2+X^1+1
12 13 14 15 16 17
5 5 5 5 5 5
[1 1 0 0 0 1 1 0 1] [1 1 0 0 0 1 0 1 1] [1 1 0 1 0 0 0 1 1] [1 1 0 1 0 1 0 0 1] [1 1 0 1 1 0 0 0 1] [1 1 1 0 0 0 0 1 1]
1+X^1+X^5+X^6+X^8 1+X^1+X^5+X^7+X^8 1+X^1+X^3+X^7+X^8 1+X^1+X^3+X^5+X^8 1+X^1+X^3+X^4+X^8 1+X^1+X^2+X^7+X^8
������2 [������]上 8 次 5 项不可约多项式，共 17 个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 [1 0 0 0 1 1 0 1 1] [1 0 0 0 1 1 1 0 1] [1 0 0 1 0 1 0 1 1] [1 0 0 1 0 1 1 0 1] [1 0 0 1 1 1 0 0 1] [1 0 1 0 0 1 1 0 1] [1 0 1 1 0 0 0 1 1] [1 0 1 1 0 0 1 0 1] [1 0 1 1 0 1 0 0 1] [1 0 1 1 1 0 0 0 1] [1 1 0 0 0 0 1 1 1] 1+X^4+X^5+X^7+X^8 1+X^4+X^5+X^6+X^8 1+X^3+X^5+X^7+X^8 1+X^3+X^5+X^6+X^8 1+X^3+X^4+X^5+X^8 1+X^2+X^5+X^6+X^8 1+X^2+X^3+X^7+X^8 1+X^2+X^3+X^6+X^8 1+X^2+X^3+X^5+X^8 1+X^2+X^3+X^4+X^8 1+X^1+X^6+X^7+X^8 X^8+X^7+X^5+X^4+1 X^8+X^6+X^5+X^4+1 X^8+X^7+X^5+X^3+1 X^8+X^6+X^5+X^3+1 X^8+X^5+X^4+X^3+1 X^8+X^6+X^5+X^2+1 X^8+X^7+X^3+X^2+1 X^8+X^6+X^3+X^2+1 X^8+X^5+X^3+X^2+1 X^8+X^4+X^3+X^2+1 X^8+X^7+X^6+X^1+1
n
因为 x-1 = ∏������|������ ������������ (������) 因为 x -1 =
2
=Φ1（х） ，所以，Φ1（х）= x-1。 =Φ2(х)Φ1(х)，所以，������������ (������) = ������
������������ −������
������ (������)
）= х + x + 1。
2
n=4 时， 生成元ξ= cos
������������ ������
+ isin
������������ ������
3
=i，
（4）=2，另一个生成元为：ξ =-i， 3 2 故 Φ4（х）=（х-ξ） （x-ξ ）= （x-i） （x+i）= x + 1 分圆多项式是一个非常重要的多项式,由于它不仅是由复数域上所有本原 n 次单位根作成的,而且它是复数域到有限域的桥梁。 下面研究分圆多项式的性质。 定理 7.5.2 我们有下列公式： ������������ − ������ = ∏������|������ ������������ (������) （8） 证明： （8）式右边表示让 d 经过 n 的所有正因数而取所有这些Φd（х）的乘积。设 1，2，…，n （9）是所有 n 次单位根，于是 х -1=(х-1)(х-2)…(х-n) （10） d n 取一个 d∣n。设是一个本原 d 次单位根。于是， =1，因而 =1，可见必出现在(9)中。这就是说，所有（d）个本原 d 次单位根都出现在（9）中， 它们在（10）中所对应的一次式之积便是Φd（х） 。因之， n Φd（х）∣х -1 。 若 d 和 d′不同，则Φd（х）和Φd′（х）没有公共一次式。 因为，前者的根是本原 d 次单位根，后者的根是本原 d′次单位根，由此可见，
n
∏ ������������ (������)|������������ − ������
������|������
但(9)中的任意必有一个周期 d,d∣n，因而是本原 d 次单位根。这就是说， （10）中的任意一次式必出现在某个Φd（х）之内，其中 d∣n，所以х -1 比 ∏������|������ ������������ (������) 多不出什么，因而（8）成立。 有了该定理，求分圆多项式就方便多了。下面利用该定理重新计算例 7.5.1 中的 Φ1(х)，Φ2(х)，Φ3(х)，Φ4(х)。
，
（3）=2，另一个生成元为： ξ = cos �来自百度文库����
2
������������
+ isin ������
������������
=
−������−√−������ ������
2
，
−������+√−������ ������
故 Φ3（х）=（х-ξ） （x-ξ ） =（х-
） （х-
−������−√−������ ������
=
������������ −������ (������+������)(������−������)
= ������������ + ������
定理 7.5.3 Φn（х）是整系数多项式。 求Φ8（х） 。 8 解：因为х -1= ∏������|������ ������������ (������) =Φ8Φ4Φ2Φ1， 4 х -1 = ∏������|������ ������������ (������) = Φ4Φ2Φ1 4 相除得 х +1 = Φ8 求Φ12（х） 。 12 解：因为х -1= ∏������|������������ ������������ (������) =Φ12Φ6Φ4Φ3Φ2Φ1， 6 х -1 = ∏������|������ ������������ (������) = Φ6Φ3Φ2Φ1 相除得 一般的， х +1 = Φ12Φ4