拉格朗日中值定理

发展简史 ： 人们对拉格朗日中值定理的认识可以上溯到公元前古希 腊时代。古希腊数学家在几何研究中得到如下结论： “过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的 底”。这正是拉格朗日定理的特殊情况，古希腊数学家 阿基米德正是巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面 积.。 意大利卡瓦列里在《不可分量几何学》(1635年)的卷一 中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理，其中引理3 基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有 一点的切线平行于曲线的弦。这是几何形式的微分中值 定理，被人们称为卡瓦列里定理。该定理是拉格朗日中 值定理在几何学中的表达形式。
拉格朗日中值定理
一、拉格朗日中值定理的发展历程
拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的 基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的 整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的 关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广， 同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式 的弱形式（一阶展开）。
定律定义
定理表述
其他形式
验 证 ห้องสมุดไป่ตู้ 导
定理推广
三、定理意义
几何意义
• 运动学意义
• 对于曲线运动在任意一个运 动过程中至少存在一个位置 （或一个时刻）的瞬时速率 等于这个过程中的平均速率。 拉格朗日中值定理在柯西的 微积分理论系统中占有重要 的地位。可利用拉格朗日中 值定理对洛必达法则进行严 格的证明，并研究泰勒公式 的余项。从柯西起，微分中 值定理就成为研究函数的重 要工具和微分学的重要组成 部分。
参考资料：
[1] 同济大学数学系．高等数学．高等教育 出版社，2014年：126至129页 [2] 北京大学数学力学系．高等代数．北京： 人民教育出版社，1978：124-135 [3] 华东师范大学数学系．数学分析(上 册)(第二版)[M]．北京：高等教育出版社， 1991：153-161