第十二章相关与回归分析

单元
A B
X
1 1
Y
2 2
C
D E
1
2 3
3
3 1
同序对 参见上表（注意，为了容易识别各种次序对，该表已先将 被访者按定序变量X由低到高作了排列），在观察X序列时如果 我们看到Xi＜ Xj ，在Y序列中看到的是Yi＜ Yj，则称这一配对 是同序对。同序对只要求X变化方向和Y变化方向相同，并不要 求X变化大小和Y变化大小相等。同序对的总数用符号ns表示。 异序对 见上表，在观察X序列时如果我们看到Xi＜ Xj ，在Y序列中 看到的是Yi ＞ Yj，则称这一配对是异序对。同样，异序对只要 求X变化方向和Y变化方向相同，并不要求X变化大小和Y变化大 小相等。同序对的总数用符号nd表示。
学校名
A B
C D
E
F G
H I
J
环境名次（X） 体质名次（Y）
1 2 3 4 5 2 1 5 3 7
6 4
7 6
8 9 10 8 10 9
（2）Tau-b系数
当出现同分对时，对分母进行修正。与G系数 一样， Tau-b系数也具有消减误差比例的意义。 Tau-b系数的特殊性在于，只有在列联表的行数与 列数相同（r=c）的情况下，其系数值才可能是-1 或+1，否则便不确定。

列联表，是按品质标志把两个变量的频 数分布进行交互分类，由于表内的每一个频 数都需同时满足两个变量的要求，所以列联 表又称条件频数表。
例如，某区调查了357名选民，考察受教育程度与投 票行为之间的关系，将所得资料作成下表，便是一种关于频 数的列联表。
1、习惯上把因变量Y放在表侧，把自变量X放在表头。
同分对
如果在X序列中，我们观察到Xi＝ Xj (此时在Y序列中 无Yi ＝ Yj)，则这个配对仅是X方向上而非Y 方向上的同 分 对；X 的这种同分对用符号nx表示。如果在Y 序列中，我 们观察到Yi ＝ Yj(此时在X序列中无Xi＝ Xj )，则这个配对 仅是Y 方向上而非X方向上的同分对；Y 的这种同分对用 符号ny表示。如果我们观察到 Xi＝ Xj时，也观察到Yi ＝ Yj ，则称这两个配对为X与Y 同分对，以符号nxy表示。X 同分对的总数用符号Tx表示， Tx ＝ nx + nxy ；Y 同分对 的总数用符号Ty表示, Ty ＝ ny + nxy 。 n个单位两两配对，总对数＝ ns + nd + nx + ny + nxy
[例] 研究工作类别与工作价值的关系，工作类别可分为三类：工人、技术人 员、管理/行政人员；工作价值也可分为三类：以收入/福利为最重要的职业选 择标准的称为经济取向型，以工作的创造性、挑战性为最重要的职业选择标准 的称为成就取向型，以工作中的人际关系为最重要的职业选择标准的称为人际 关系取向型。对下表所示资料，用λ 系数反映工作类别与工作价值的相关关系 。 职工的工作种类与工作价值
2、2×2列联表是最简单的交互分类表。
3、 r×c列联表 r(row)、c(column)
2. 削减误差比例 PRE
（Proportionate Reduction in Error) 通过相对频数条件分布列联表的讨论，可以就自 变量X和因变量Y的关联性给出一个初步的判断。但 是对关联性给出判断，肯定没有用量化指标表达来 得好。所以，下面我们将关注于如何用统计方法， 使相关关系的强弱可以通过某些简单的系数明确地 表达出来。 在社会统计中，表达相关关系的强弱，削减误 差比例的概念是非常有价值的。削减误差比例的原 理是，如果两变量间存在着一定的关联性，那么知 道这种关联性，必然有助于我们通过一个变量去预 测另一变量。其中关系密切者，在由一变量预测另 一变量时，盲目性必然较关系不密切者为小。



在统计中，对于线性相关，采用相关系数（记 作r）这一指标来量度相关关系程度或强度。 就线性相关来说， 当r＝l时，表示为完全相关； 当r=0时，表现为无相关或零相关； 当0<<1时，表现为不完全相关。 但在采用相关系数r这一指标时必须注意到， 存在着完善曲线而r＝0的情况。当然，变量在 其他测量层次的关系强度，也可以用同样的思 路加以考虑
只有当两个变量之间的关系同时满足以下三个条件时，才能断定 这种关系是因果关系： （1）两个变量有共变关系，即一个变量的变化会伴随着另一个变 量的变化。 （2）两个变量之间的关系不是由其他因素形成的，即因变量的变 化是由自变量的变化引起的。 （3）两个变量的产生和变化有明确的时间顺序，即一个在前，另 一个在后，前者称为自变量，后者称为因变量。
因果关系是一种非对称关系（asymmetrical relationship），这 时只是自变量影响因变量，因变量不会反过来影响自变量。如果 不能确定或无法区分变量的作用方向，这种情况就称为对称关系 （symmetrical relationship）。
1．列联表 2．削减误差比例 3. 系数 4． 系数
学生 A B C D E F G H I J
活动能力名 次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
智商 110 110 105 95 120 94 100 105 105 110
智商名 次 3 3 6 9 1 10 8 6 6 3
6. 肯德尔和谐系数
前面我们谈的都是对双变量求等级相关系数。 对于多变量求等级相关系数，如多个专家对同一事物 评价的一致性或相关程度的衡量，肯德尔运用数理分 析方法，提出了一个计算公式
PRE：用不知道Y与X有关系时预测Y的全部误差E1，减 去知道Y与X有关系时预测Y的联系误差E2，再将其化为比例 来度量
PRE的取值范围是 0≤PRE≤l 削减误差比例PRE适用于各测量层次的变量，λ系数和τ 系数便是在定类测量的层次上以削减误差比例PRE为基础所 设计的两种相关系数。
性别X
态度Y 男 容忍 反对 48 20 女 8 44 56 64 合计
工作满足感与归属感
高
高 8
中
4
低
3
中
低
6
4
5
4
1
5
性质： （1）取值范围[-1，1] （2）具有PRE意义 （3）属对称相关测量。 （4）不考虑同分对。

例：在某市200户中调查，看住户人口密度与婆媳冲 突是否有关，交互分类后分布如下，计算G相关系数 并提出研究结论。
婆媳 冲突 高 中
1.2.按照相关关系的方向不同分为；
正相关、负相关



所谓正相关关系是指一个变量的值增加时，另一 变量的值也增加。 而负相关关系是指一个变量的值增加时，另一变 量的值却减少 要强调的是。只有定序以上测量层次的变量才能 分析相关方向，因为只有这些变量的值有高低或 多少之分。至于定类变量，由于变量的值并无大 小、高低之分，故定类变量与其他变量相关时就 没有正负方向了。
合计
68
52
120
PRE=（56-28）/56=0.5
在定类尺度上测量集中趋势只能用众数。 λ 系数就是利用此性质来构造相关系数的。 （1）不对称的λ 系数

（2）对称的λ 系数
性质：
（1）0≤λ ≤1 （2）具有PRE意义 （3）对称与不对称情况下，有不同的公式。 （4）以众数作为预测的准则，对条件频数分布列联表中众数频数以 外的条件频数不予理会。 （5）如果众数频数集中在条件频数分布列联表的同一行时，λ =0， 从而无法显示两变量之间的相关性。
高
合计
120
180
70
220
190
400
定序变量只能排列高低次序，因而在分析时只能考虑两变量 变化的顺序是否一致及其等级之间的差距。以此来计算两 变量的相关系数。 1、同序对、异序对和同分对
2、Gamma等级相关系数
3、肯德尔等级相关系数 4、萨默斯系数（d系数）
5、 Spearman等级相关系数
9 9 7 17 18 28 27 29 38 38 —— 81 81 49 289 324 784 729 841 1444 1444 60 66
前两节，主要借助于列联表，我们解决了
一 些定类、定序测量层次的相关测量问题。对于定 距变量，根据其变量值的数学特征，我们自然可 以引进更为精确的量化指标来反映它们之间的相 关程度。两个定距变量之间的相关测量，最常用 的就是所谓积差系数．它是由英国统计学家皮尔 逊(Pearson)用积差方法推导出来，所以也称皮 尔逊相关系数，用符号r表示。
注意：当众数很突出且众数分布不在同一行， 同一列时，用λ 系数较好；但当众数不突出时，用 τ 系数更好；若众数集中在某一行或某一列，一定 用τ 系数。
[例] 对下表所示资料，用τ 系数反映性别与收入 高低的相关关系，并对系数的PRE意义加以解 释。
收入Y 低
性别X 男 60 女 150
合计 210
工作种类 X 工作价值 Y
技术人 工人 员 100 30 20 150 70 60 10 140 管理/行 合计 政人员 50 20 40 110 220 110 70 400
经济取向型 成就取向型 人际关系取向 型 合计：FX
解答
4. τ 系数
τ 系数的统计值域是[0，1]，其特点是在计算时 考虑所有的边际频数和条件频数 。
第一节 变量之间的相互关系 第二节 定类变量的相关分析 第三节 定序变量的相关分析 第四节 定距变量的相关分析 第五节 回归分析 第六节 曲线相关与回归
1．相关程度与方向 2．因果关系
1．相关程度与方向
1.1相关关系的程度； 按相关的程度分为；完全相关、不完全相关、无相关



从一定意义上讲，函数关系是相关关系的一个特例，即 变量间严格一一对应，这是相关程度最强的一种相关关 系，称为完全相关（perfect association）。 而变量相关程度的另一个极端值是无相关（no association）或零相关（zero association），即变 量之间不存在任何数量上的依存关系。 相关程度介于两个极端值之间的则是不完全相关，相关 关系大多指的是这种情况，这时变量间在数量关系上有 着不很严格的相互依存关系。