离散数学第三章习题详细答案

3、9解:

符号化:

p:a就是奇数、q:a就是偶数、r:a能被2整除

前提:(p→¬r),(q→r)

结论:(q→¬p)

证明:

方法2(等值演算法)

(p→¬r)∧(q→r)→(q→¬p)

⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r) →(¬q∨¬p)

⇔(p∧r) ∨(q∧¬r) ∨¬q∨¬p

⇔((p∧r) ∨¬p)∨((q∧¬r) ∨¬q)

⇔(r∨¬p) ∨(¬r∨¬q)

⇔¬p∨(r∨¬r) ∨¬q

⇔ 1

即证得该式为重言式,则原结论正确。

方法3(主析取范式法)

(p→¬r)∧(q→r)→(q→¬p)

⇔(¬p∨¬r)∧(¬q∨r) →(¬q∨¬p)

⇔(p∧r) ∨(q∧¬r) ∨¬q∨¬p

⇔m0+ m1+ m2+ m3+ m4+ m5+ m6+ m7

可知该式为重言式,则结论推理正确。

3、10、解:

符号化:p:a就是负数、 q:b就是负数、r:a、b之积为负前提: r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q)

结论:¬r→(¬p∧¬q)

方法1(真值法)

由上表可知,存在r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q)为真,结论¬r→(¬p∧¬q)为假的情况,因此推理不正确。

方法2(主析取范式法)

证明:(r→(p∧¬q) ∨(¬p∧q))→(¬r→(¬p∧¬q))

⇔¬ (¬r∨(p∧¬q) ∨(¬p∧q))∨(r∨(¬p∧¬q))

⇔r∨(¬p∧¬q)

⇔m0+m2+m4+m6+m7

只含5个极小项,课件原始不就是重言式,因此推理不正确

3、11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。

解:

③:①②析取三段论

⑤:③④析取三段论

⑦:⑤⑥假言推理

3、12、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。

解:

②:①化简规则

③:①化简规则

⑤:②④假言推理

⑥:③⑤假言推理

⑧:③⑦假言推理

⑨:⑥⑧假言推理

3、13、证明:

∵前提¬(p→q)∧q ⇔¬(¬ p∨q)∧q ⇔p∧¬q∧q ⇔0为矛盾式

∴以(¬(p→q)∧q)∧(p∨q)∧(r→s) →B、(B为任何结论)的推理的前件在任何赋值下均为假

∴无论结论如何,推理总正确

3、1

4、在自然推理系统P 中构造下面推理的证明:

(1)前提: p →(q →r), p, q

结论: r ∨s

(2)前提: p →q, ¬ (q ∧r), r

结论: ¬ p

(3)前提: p →q

结论: p →(p ∧q)

(4)前提: q →p, q⇒s, s⇒t, t ∧r

结论: p ∧q

(5)前提: p →r, q →s, p ∧q

结论: r ∧s

(6)前提: ¬ p ∨r, ¬ q ∨s, p ∧q

结论: t →(r ∨s)

(1)证明:

①p →(q→r) 前提引入

③q→r ①②假言推理

④q 前提引入

⑤r ③④假言推理

⑥r∨s ⑤附加律

(2)证明:

①¬ (q ∧r) 前提引入

②¬ q ∨¬ r ①置换

③r 前提引入

④¬ q ②③析取三段论

⑤p →q 前提引入

⑥¬ p ④⑤拒取式

(3)证明:

①p→q 前提引入

②¬ p∨q ①置换

③(¬ p∨q)∧(¬p∨p) ②置换

④¬ p∨(p∧q) ③置换

⑤p→(p∧q) ④置换

(4)证明:

①s↔t 前提引入

②(s→t)∧(t→s) ①置换

③t →s ②化简

④t ∧r 前提引入

⑤t ④化简

⑥s ③⑤假言推理

⑦q↔s 前提引入

⑧(s→q)∧(q→s) ⑦置换

⑨s→q ⑧化简

⑩q ⑥⑨假言推理

11 q→p 前提引入

12 p ⑩11 假言推理

13 p ∧q ⑩○12 合取

(5)证明:

①p →r 前提引入

②q →s 前提引入

③p ∧q 前提引入

④p ③化简

⑤q ③化简

⑥r ①④假言推理

⑦s ②⑤假言推理

⑧r ∧s ⑥⑦合取

(6)证明:

①t 附加前提引入

②¬ p ∨r 前提引入

④p ③化简

⑤r ②④析取三段论

⑥r ∨s ⑤附加

3、15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面各推理: (1)前提: p →(q →r), s →p, q

结论: s →r

(2)前提: (p ∨q) →(r ∧s), (s ∨t) →u

结论: p →u

(1)证明:

①s 附加前提引入

②s →p 前提引入

③p ①②假言推理

④p→(q→r) 前提引入

⑤q →r ③④假言推理

⑥q 前提引入

⑦r ⑤⑥假言推理

(2)证明:

①P 附加前提引入

②p∨q ①附加

③(p∨q)→(r∧s)前提引入

④r ∧s ②③假言推理

⑤s ④化简

⑥s ∨t ⑤附加

⑦(s ∨t) →u 前提引入

⑧u ⑥⑦假言推理

3、16、在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理: (1)前提: p →¬ q, ¬ r ∨q, r ∧¬ s

结论: ¬ p

(2)前提: p ∨q, p →r, q →s

结论: r ∨s

(1)证明:

①P 结论否定引入

②p →¬ q 前提引入

③¬ q ①②假言推理

④¬ r∨q 前提引入

⑤¬ r ③④析取三段论

⑥r∧¬ s 前提引入

⑦r ⑥化简

⑧¬ r∧r ⑤⑦合取

⑧为矛盾式, 由归谬法可知, 推理正确、

(2)证明:

①¬ (r∨s) 结论否定引入

②p∨q 前提引入