热力学统计物理 第八章 玻色统计和费米统计
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玻色统计和费米统计
el1
g 2V (2 m )3 /21 /2 e l(1 e l)d
h 3
0
g 2 h 3 V ( 2 m ) 3 /2 e (0 1 /2 e ld 0 1 /2 e 2 ld )
N g(2h m 2 )k 3/2V T e (12 1 3/2e )
2、 理解弱简并理想气体的概念，了解统 计方法在玻色气体和费米气体上的应用。
3、了解玻色—Einstein凝聚现象。 4、掌握 金属中的自由电子气体的费米分 布特性及其对固体热容量的贡献。
.
.
U
0
D()a()d2 3g (2h m 2 )3 k /2 V T e k(1 T 2 1 5 /2e )
相除
U3Nk(1T 1 e)
2
25/2
二、 弱简并条件
利用玻耳兹曼统计的结果
n N V
e N N( h2 )3/2 1 1 Z 1 V 2mkT g
小，稀薄。 T 大，高温。 m大，经典粒子。
0
1/2d
ekT 1
.
T Tc 0
n2h3 (2m)3/2
0
1/2d
ekTc 1
令 x
kT c
n2h3(2mkc)3T/2 0
x1/2dx ex1
Tc
(2.621)22/3
2 n2/3 mk
.
低温 TTc情况 :
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主 要是空间中不可区分。但当粒子在空间可以区分稀薄 气体时，应该由描述可区分粒子系统的理论－玻耳兹 曼统计描述。这种粒子系统叫非简并气体。
al
l
el
1
e 1
g 2V (2 m )3 /21 /2 e l(1 e l)d
h 3
0
g 2 h 3 V ( 2 m ) 3 /2 e (0 1 /2 e ld 0 1 /2 e 2 ld )
N g(2h m 2 )k 3/2V T e (12 1 3/2e )
2、 理解弱简并理想气体的概念，了解统 计方法在玻色气体和费米气体上的应用。
3、了解玻色—Einstein凝聚现象。 4、掌握 金属中的自由电子气体的费米分 布特性及其对固体热容量的贡献。
.
.
U
0
D()a()d2 3g (2h m 2 )3 k /2 V T e k(1 T 2 1 5 /2e )
相除
U3Nk(1T 1 e)
2
25/2
二、 弱简并条件
利用玻耳兹曼统计的结果
n N V
e N N( h2 )3/2 1 1 Z 1 V 2mkT g
小，稀薄。 T 大，高温。 m大，经典粒子。
0
1/2d
ekT 1
.
T Tc 0
n2h3 (2m)3/2
0
1/2d
ekTc 1
令 x
kT c
n2h3(2mkc)3T/2 0
x1/2dx ex1
Tc
(2.621)22/3
2 n2/3 mk
.
低温 TTc情况 :
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主 要是空间中不可区分。但当粒子在空间可以区分稀薄 气体时，应该由描述可区分粒子系统的理论－玻耳兹 曼统计描述。这种粒子系统叫非简并气体。
al
l
el
1
e 1
玻色统计和费米统计讲义
y
d ( ln Z ) d ln Z d[ ln Z ] d ( ln Z )
因为 N ln Z
∴ (dU Ydy) d[ln Z ln Z ln Z ] d N
∴ (dU Ydy d N ) d[ln Z ln Z ln Z ]
6
对于闭系： d N 0
y
y
由 Z [1 el ]l 知， Z 是 、 和 y的函数，ln Z 也是 、
l
和 y 的函数
∴ d ln Z ln Z d ln Z d ln Z dy
y
5
∴ (dU Ydy) d ( ln Z ) ln Z dy
y
d ( ln Z ) ln Z d ln Z dy d ( ln Z ) d ln Z ln Z d
∴ (dU Ydy) d[ln Z ln Z ln Z ]
是 dU Ydy的积分因子， dU Ydy同样有积分因子 1
T
∴ 1
kT
∴ dS 1 (dU Ydy) kd[ln Z ln Z ln Z ]
T
积分得：
S k[ln Z ln Z ln Z ] k[ln Z N U ]
度升高时，由于热激发电子有可能跃迁到较高的未被占据的状
态去。但处在低能级的电子要跃迁到未被占据的状态，必须吸
取很大的热运动能量，这是极小可能的，所以绝大多数状态的
1
fd
4V
3
(2m) 2
h3
2 d
e kT 1
10
在给定电子数 N ，温度 T 和体积 V 时，总粒子数为：
1
N
4V
h3
3
(2m) 2
0
2 d
e kT 1
∴化学势 是温度 T 和粒子数密度 n N 的函数。
热力学统计物理 第八章 课件剖析
e
kTC趋于1。
临界温度TC由下式定出
2
h3
2m 3/2
1/2d
0
n
ekTC 1
令x=ε/kTC，上式可表为
由积分
2
h3
2mkTC 3/2
x1/2dx n
0 ex 1
x1/2dx
0 ex 1 2 2.612
可得对于给定的粒子数密度n，临界温度TC为
TC
2
2.612 2/3
➢ 玻色系统
将α、β和y看作已知参量，系统的平均总粒子数
N
l
al
l
l
e l 1
引入一个函数，名为巨配分函数，定义为
l
1 e l l
取对数得
l
l
ln l ln 1 e l
l
由此系统的平均总粒子数可通过lnΞ表示为
N ln
内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值，
有能级εl均有
l
e kT 1
以ε0表示粒子的最低能级，这个要求也可以表达为
ε0 > μ
即是说，理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的 能量。如果取最低能级为能量的零点，即ε0 =0，则有
μ< 0
化学势μ由公式
1
V
l
l
l
N n V
e kT 1
确定，为温度T和粒子数密度n=N/V的函数。
由此可知，在TC以下n0与n具有相同的量级，n0随温度的变
化如图。
这一现象称为玻色-爱因斯坦凝聚，简称玻色凝聚。TC 称为凝聚温度。凝聚在ε0的粒子集合称为玻色凝聚体。
凝聚体不但能量、动量为零（对压强无贡献），由于 凝聚体的微观状态完全确定，熵也为零。
热力学与统计物理：第八章 玻色统计与费米统计
第八章 玻色统计与费米统计
当系统不满足非简并性条件，而且也不是定域系统时，需 要采取玻色统计或费米统计的方法来处理。微观粒子全同性原理 决定了二者与玻耳兹曼系统不同的宏观性质。
此时以下条件不再成立
e
V N
2 mkT
h2
1;n3
N V
h2
2 mkT
1
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
V
4 3
dk x dk y dk z
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
27
采用球极坐标，用 k, , 代替 kx , ky , kz
kx k sin cos
ky k sin sin dkxdkydkz k2 sindkdd
kz k cos
令
:0
,
:0
2积分： 2 0
d 0
关于交换作用
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
15
§8.3 玻色-爱因斯坦凝聚
一、理想玻色气体的性质
al
l
e l
1
l
l
e kT 1
l
al 0, e kT >1,不失一般性，假设0＝0，则 0
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
16
二、 N 与基态粒子数
1
N
l
1 e－－x）
e－ 是一个小量，e－－x也是一个小量，将 1
1 e－－x
展开，取前两项
e
1＝ 1 x
2021/3/11
1 e
x（1
e1－－x）＝第八e章－玻－色（x统1计与e费－米统－计x）
13
将展开式代入N、U的表达式中求积分，得：
当系统不满足非简并性条件，而且也不是定域系统时，需 要采取玻色统计或费米统计的方法来处理。微观粒子全同性原理 决定了二者与玻耳兹曼系统不同的宏观性质。
此时以下条件不再成立
e
V N
2 mkT
h2
1;n3
N V
h2
2 mkT
1
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第八章 玻色统计与费米统计
V
4 3
dk x dk y dk z
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第八章 玻色统计与费米统计
27
采用球极坐标，用 k, , 代替 kx , ky , kz
kx k sin cos
ky k sin sin dkxdkydkz k2 sindkdd
kz k cos
令
:0
,
:0
2积分： 2 0
d 0
关于交换作用
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第八章 玻色统计与费米统计
15
§8.3 玻色-爱因斯坦凝聚
一、理想玻色气体的性质
al
l
e l
1
l
l
e kT 1
l
al 0, e kT >1,不失一般性，假设0＝0，则 0
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第八章 玻色统计与费米统计
16
二、 N 与基态粒子数
1
N
l
1 e－－x）
e－ 是一个小量，e－－x也是一个小量，将 1
1 e－－x
展开，取前两项
e
1＝ 1 x
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1 e
x（1
e1－－x）＝第八e章－玻－色（x统1计与e费－米统－计x）
13
将展开式代入N、U的表达式中求积分，得：
第八章_玻色分布和费米分布 ppt课件
如果eα很小，但又不能被忽略，则此情形被 称为弱简并，从中初步显示玻色气体和费米气 体的差异。
弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理 问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨 论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体， 下面的符号适用于玻色气体。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
10
考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：
8
⑷ 熵:
Sk(lnΞ lnΞ lnΞ )(8.1.14)
⑸ 巨热力势:
JkTlnΞ
(8.1.15)
只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面 的热力学公式得到相应的热力学量。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
一般气体满足非简并性条件eα>>1 可用玻 耳兹曼分布来处理。
3
Ug
2V
h3
(2m)3/2
0
2d
e 1
引入变量x=βε, 上面两个式子可改写为：
Ng2h3V(2mkT)3/2 0ex1/x2dx1
3
Ug2h3V(2mkT)3/2 0 ex2xdx1
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
13
将被ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数的分母展开：
e1x 1ex(11ex)
在e 小的情形下，e x是一个小量，可利用下面的公式展开：
15
考虑到e-α很小，近似用玻耳兹曼分布的结果
e
ZNl VN2hm2kT3/2
1 g
代入前面的公式中，得：
U3 2NkT121 3/2g 1V N2hm 2kT3/2
弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理 问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨 论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体， 下面的符号适用于玻色气体。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
10
考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：
8
⑷ 熵:
Sk(lnΞ lnΞ lnΞ )(8.1.14)
⑸ 巨热力势:
JkTlnΞ
(8.1.15)
只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面 的热力学公式得到相应的热力学量。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
一般气体满足非简并性条件eα>>1 可用玻 耳兹曼分布来处理。
3
Ug
2V
h3
(2m)3/2
0
2d
e 1
引入变量x=βε, 上面两个式子可改写为：
Ng2h3V(2mkT)3/2 0ex1/x2dx1
3
Ug2h3V(2mkT)3/2 0 ex2xdx1
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第八章 玻色统计和费米统计
13
将被ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数的分母展开：
e1x 1ex(11ex)
在e 小的情形下，e x是一个小量，可利用下面的公式展开：
15
考虑到e-α很小，近似用玻耳兹曼分布的结果
e
ZNl VN2hm2kT3/2
1 g
代入前面的公式中，得：
U3 2NkT121 3/2g 1V N2hm 2kT3/2
第八章 玻色统计与费米统计
讨论：
3 ε 2 dε 2πV 2 ( 2m ) ε l n 0 h3 e kTc－ 1 1
ε 2π 令：x , 可得： 3 ( 2mkTC ) kTc h
3
2
0
x 2 dx n x e－ 1
2π h2 2 3 n mk
1
x 2 dx π 积分： ＝ 2.612 0 e x－ 1 2
8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
1、弱简并气体： 但不可忽略的玻色气体和费米气体。 e α 或nλ3虽小，
1 2 2 2 ε ＝ ( p p p x y z) 以玻色气体为例，假设分子只有平动自由度： 2m
在体积V内，在ε到ε+dε范围内可能的微观状态数：
3 1 2πV 2 D(ε )dε g 3 ( 2m ) ε 2 dε h
l
l
前面得到的热力学量的表达式完全适用：
N ln α
U ln β
Y
1 ln β y
S k ln
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退 出
8.1
五、巨热力学势
热力学量的统计表达式
ln 是α、β、y的函数,即T、V、μ的函数
J U TS N ln ln ln ln kT (ln ) kT ln
2πV 系统的总分子数：N g 3 ( 2m ) h
3
2
0
ε 2 dε e α βε 1
3
1
3 ε 2 dε 2πV 2 U g 3 ( 2m ) α βε 0 e h 1
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退 出
3 ε 2 dε 2πV 2 ( 2m ) ε l n 0 h3 e kTc－ 1 1
ε 2π 令：x , 可得： 3 ( 2mkTC ) kTc h
3
2
0
x 2 dx n x e－ 1
2π h2 2 3 n mk
1
x 2 dx π 积分： ＝ 2.612 0 e x－ 1 2
8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
1、弱简并气体： 但不可忽略的玻色气体和费米气体。 e α 或nλ3虽小，
1 2 2 2 ε ＝ ( p p p x y z) 以玻色气体为例，假设分子只有平动自由度： 2m
在体积V内，在ε到ε+dε范围内可能的微观状态数：
3 1 2πV 2 D(ε )dε g 3 ( 2m ) ε 2 dε h
l
l
前面得到的热力学量的表达式完全适用：
N ln α
U ln β
Y
1 ln β y
S k ln
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退 出
8.1
五、巨热力学势
热力学量的统计表达式
ln 是α、β、y的函数,即T、V、μ的函数
J U TS N ln ln ln ln kT (ln ) kT ln
2πV 系统的总分子数：N g 3 ( 2m ) h
3
2
0
ε 2 dε e α βε 1
3
1
3 ε 2 dε 2πV 2 U g 3 ( 2m ) α βε 0 e h 1
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退 出
汪志诚热力学统计物理的习题答案（第8章）
第八章 玻色统计和费米统计习题8.1试证明:对于玻色系统或费米系统,玻耳兹曼关系成立，即ln S k =Ω。
解：对于理想费米系统，与分布{}l a 相应的系统的微观状态数为 !!()!l l l l la a ωωΩ=-∏ 取对数，并应用斯特令近似公式，得()()ln ln ln ln llllllllla a a a ωωωωΩ=----⎡⎤⎣⎦∑另一方面，根据理想费米系统的熵为()ln ln ln ln S k k N U αβαβαβ⎛⎫∂Ξ∂Ξ=Ξ--=Ξ++ ⎪∂∂⎝⎭()ln l l l k a αβε⎡⎤=Ξ++⎢⎥⎣⎦∑其中费米巨配分函数的对数为 ()ln ln 1la l leβεω--Ξ=-+∑由费米分布 1lll a eαβεω+=+得 1ll l lea αβεωω--+=-和 lnl ll la a ωαβε-+=所以 ln lnl l ll la ωωωΞ=--∑()()ln ln ln ln ln l l ll l l l l l l l l l l l l l l aS k a k a a a a a ωωωωωωωωω⎛⎫-=+=----⎡⎤ ⎪⎣⎦-⎝⎭∑∑两式比较可知：ln S k =Ω。
习题8-2 试证明，理想玻色和费米系统的熵可表示为：()().ln 1ln 1B E s s s s lS k f f f f =--++⎡⎤⎣⎦∑，()().ln 1ln 1F D s s s s lS k f f f f =----⎡⎤⎣⎦∑其中s f 为量子态s 上的平均粒子数，s ∑对粒子的所有量子态求和。
解：我们先讨论理想费米系统的情形。
根据上题有，理想费米系统的熵可表示为 ()().ln ln ln F D lllllllllS ka a a a ωωωω=----⎡⎤⎣⎦∑()ln ln l l l l l l l l l a a ka a ωωωω⎡⎤-=--+⎢⎥⎣⎦∑ 1ln 1ln l l l l l ll l l l a a a a kωωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 式中s∑表示对粒子各能级求和。
统计物理课件第八章.ppt
E(r )
y
l是y的函数，因此 ln 是，，y的函数 :
d ln ln d ln d ln dy
y
(dU Ydy) d ( ln ) d ln ln d
d ( ln ) d ln d ( ln ) d ( ln )
N ln
dU
Yd y
玻色的这个观念现在被称为玻色-爱因斯坦统计。 这篇论文在开始时未能发表，他把论文直接寄给爱因斯坦。爱因斯坦意 识到这篇论文的重要性，不但亲自把它翻译成德语，还以玻色的名义把论文 递予名望颇高的《德国物理学刊》发表。爱因斯坦也写了一篇支持玻色理论 的论文，递予《德国物理学刊》发表，并要求把这两篇论文一同发表。 爱因斯坦在他的论文中采取了玻色的观念，并把它延伸到原子去。这为 预测玻色-爱因斯坦凝聚的存在铺好了道路。
J U TS N F N
ln
kT ln
ln
ln
ln
J kT ln
七.费米系统
巨配分函数 ：
[1 e l ]l ; ln l ln(1 e l )
l
l
N ln
U ln
Y 1 ;
y
p 1
V
1 ; kT
S
k
ln
ln
1 e l
l
l ln(1 e l )
U ln
三. 广义力和物态方程
Y
l
al
l
y
l
l
l
y
e l 1 e l
1
y
l
l ln(1 e l )
Y 1
y
p 1
V
四.熵， ,的确定
(dU Ydy) (d ln ) ln dy
第八章玻色统计和费米统计教案.
热力学与统计物理课程教案第八表 玻色统计和费来统计 8.1 热力学量的统计表达式一、非简并气体和简并气体第七章根据玻耳兹曼分布讨论了定域系统和满足经典极限条件（非简并条件）的近独立粒子系统的平衡性质。
非简并条件可以表达为：12232>>⎪⎭⎫ ⎝⎛=h mkT πN V e α 或 122323<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mkT πh V N λn 人们把满足上述条件的气体称为非简并气体，不论是玻色子还是费米子构成，都可以用玻耳兹曼处理；不满足上述条件的气体称为简并气体，需要分别用玻色分布或费米分布处理。
微观粒子全同性原理带来的量子统计关联对简并气体的宏观性质将产生决定性的影响，使玻色气体和费米气体的性质迥然不同。
二、热力学量的统计表达式（首先考虑玻色分布）本节推导玻色系统和费米系统热力学量的统计表达式。
1、玻色系统首先考虑玻色系统。
如果把βα,和y 看作已知的参量，系统的平均总粒子数可由下式给出：∑∑-==+lβεαl ll leωa N 1①引出一个函数，名为巨配分函数，其定义为：l l ωβεαll le ----∏=Ξ∏=Ξ]1[ ②取对数得：∑----=Ξlβεαl l e ω)1ln(ln ③系统的平均总粒子数N 可通过Ξln 表示：Ξ∂∂-=ln αN ④ 内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值：∑∑-==+lll l ll l e ωεa εU 1⑤类似地可将U 通过Ξln 表为：Ξ∂∂-=ln βU ⑥ 外界对系统的广义作用力Y 是y εl ∂∂的统计平均值：y εeωa y εY ll βεαl l l l l ∂∂-=∂∂=∑∑+1可将Y 通过Ξln 表为：Ξ∂∂-=ln 1yβY ⑦上式的有一个重要特例是：Ξ∂∂=ln 1VβP ⑧ 由式④-⑦得：)ln (ln )ln ()(αd αdy y βd βN d βαYdy dU β∂Ξ∂-∂Ξ∂+∂Ξ∂-=+- 注意上面引入Ξln 的是y βα、、函数，其全微分为：dy yβd βαd αd ∂Ξ∂+∂Ξ∂+∂Ξ∂=Ξln ln ln ln 故有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ξ∂∂-Ξ∂∂-Ξ=+-ln ln ln )(ββααd N d βαYdy dU β 上式指出β是N d βαYdy dU +-的积分因子。
第八章 波色统计和费米统计
必有可观数目粒子出现在零能
级。 ——玻色—爱因斯坦凝聚。
热统
22
Tc
2
(2.612)2/ 3
2 mk
n2/ 3
因此，为了容易实现玻色－爱因斯坦 凝聚，需要提高临界温度。 为此，要提高气体密度，减小气体粒 子质量。
二、热力学量 T<T c时
n
2
h3
(2m)3/ 2
0
1/ 2d
e kT 1
热统
25
§8.4 光子气体
一、光子气体特性
光子——辐射场能量的量子化，自旋 1－玻色子。 平衡辐射场中，光子数不守恒。
空窖壁不断吸收和发射光子，保持能量守恒，但光子能量 有高有低，发射光子平均能量高发射光子数目少，被吸收的 光子平均能量低，被吸收的光子数目就多，因此不要求光子 数守恒。
光子气体服从玻色分布
l
l
l
S k(ln U N )
？ k ln F.D k( l lnl al lnal (l al ) ln(l al ))
l
l
l
热统
11
al
l
e l
1
e l l al
al
l
ln l al
al
1 e l l l al
ln l ln(1 e l )
l
l
ln
0
N
g(
2m kT
h2
)3
/
2Ve
(1
1 23/ 2
e )
热统
14
内能
U D( )a( ) d 0
3 2
g
(
2mk
h2
T
)3
/
玻色统计和费米统计
x
dx
=
1
3
22
∞
x
1 2
e−
x
dx
=
0
1
3
22
Γ
⎛ ⎜⎝
3 2
⎞ ⎟⎠
=
π
5
22
,
∴N
=
g
2πV h3
( 2mkT
)3 2
⎛ ⎜⎜⎝
π 2
e−α
∓
π
5
22
e−2α
⎞ ⎟⎟⎠
=
g
⎛ ⎜⎝
2π mkT h2
3
⎞2 ⎟⎠
Ve−α
⎛ ⎜1
∓
⎝
1
3
22
e−α
⎞ ⎟ ⎠
（*）
∫ ( ) ( ) U
=
g
2πV h3
1 ∓ e−α −βεl ∓ωl = ∓ ωl ln 1 ∓ e−α −βεl = ∓ ln 1 ∓ e−α −βεs
F.
l
l
s
−玻色 ＋费米
然后由上面的公式求出热力学量。
N B.
=
−
∂ ∂α
ln Ξ B.
，U B.
=
−
∂ ∂β
ln Ξ B.
，
F.
F.
F.
F.
YiB.
F.
=
−
1 β
⋅
∂ ∂yi
ln ΞB. ，
4
1 2
e−α
⎞ ⎟⎠
⎜⎝⎛1 ±
2
1 2
e−α
⎞ ⎟⎠
22
≈ 1± 1 e−α ∓ 1 e−α = 1± 1 e−α
22
热力学统计物理-统计热力学课件第八章 共28页
0K时电子气体的平均内能：
费米气体在绝对零度下： 具有很高的平均能量、动量，
0K时电子气体的压强为：并且产生很大的压强。
微观状态数确定，熵为0。
18.07.2019
20
T〉0K时的电子分布：
f
1
e kT 1
18.07.2019
21
T〉0K时，只在μ附近量级为kT 的范围内，电子的分布与0K时 的分布有差异。
18.07.2019
13
§8.5 金属中的自由电子气体
在金属中，价电子脱离原子在整个金属中运动，称为公有 电子。公有电子在离子产生的势场中运动，电子之间存在库 仑相互作用。在初步的近似下，可以把公有电子看作封闭在 金属体积中的自由粒子，称为自由电子。
经典统计的困难： 根据能量均分定理，一个自由电子对金属的热容量将有
( 0是) T=0K时电子的最大能量。
18.07.2019
17
令：
(0)pF2 /2m
18.07.2019
vF
pF m
(0) TF k
——费米能量。
——费米动量。
——费米速率。
——费米温度。
18
( 0大) 小的数值估计，以Cu为例： 费米温度：
18.07.2019
19
0K时电子气体的总能量为：
则在体积V内，在 到 d的能量范围内，分子可能的
微观状态数为：
g——粒子可能的自旋而引入的简并度。 考虑平动自由度的能级是连续的，系统总分子数满足：
18.07.2019
10
系统的内能为：
令：
x
18.07.2019
展开式保留第一项相当于近似为玻尔兹曼分布，弱简 并情形下，保留两项。积分可得：
热力学与统计物理学第八章__玻色统计和费米统计
第八章 玻色统计和费米统计
§8.1 热力学的统计表达式 §8.2 弱简并玻色气体和费米气体 §8.3 玻色—爱因斯坦凝聚 §8.4 光子气体 §8.5 金属中的自由电子气体
1
§8.1 热力学的统计表达式
经典极限条件
e 1
e
Z1 N
V N
2m h2
3
2
1
V
1 3
h
1
1 2
N
2mkT
n3 1
又 d ln ln d ln d ln dy
y
dU
Ydy
dN
d
ln
ln y
dy
d
ln
d
ln
d
ln
ln
d
d
ln
ln
d
d
ln
ln
ln
6
dS
kd
ln
ln
ln
积分
S
k
ln
ln
ln
S kln N U k ln
S k ln
ln
ln
如果求得巨配分 函数，据此可以 求得系统内能、 物态方程和熵。 从而确定系统的 全部平衡性质。
巨配分函数是以 , , y 为自然变量的特性函数。
对简单系统就是 T ,V ,
热力学中巨热力学势是以 T ,V , 为自然变量的
特性函数：
J U TS N kT ln 9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
存在 n 个能量为 的光子
31
玻色分布给出在温度为 T 的平衡状态下 n
的平均值： n 1 e kT 1
从粒子观点看， n 是平均光子数；
§8.1 热力学的统计表达式 §8.2 弱简并玻色气体和费米气体 §8.3 玻色—爱因斯坦凝聚 §8.4 光子气体 §8.5 金属中的自由电子气体
1
§8.1 热力学的统计表达式
经典极限条件
e 1
e
Z1 N
V N
2m h2
3
2
1
V
1 3
h
1
1 2
N
2mkT
n3 1
又 d ln ln d ln d ln dy
y
dU
Ydy
dN
d
ln
ln y
dy
d
ln
d
ln
d
ln
ln
d
d
ln
ln
d
d
ln
ln
ln
6
dS
kd
ln
ln
ln
积分
S
k
ln
ln
ln
S kln N U k ln
S k ln
ln
ln
如果求得巨配分 函数，据此可以 求得系统内能、 物态方程和熵。 从而确定系统的 全部平衡性质。
巨配分函数是以 , , y 为自然变量的特性函数。
对简单系统就是 T ,V ,
热力学中巨热力学势是以 T ,V , 为自然变量的
特性函数：
J U TS N kT ln 9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
存在 n 个能量为 的光子
31
玻色分布给出在温度为 T 的平衡状态下 n
的平均值： n 1 e kT 1
从粒子观点看， n 是平均光子数；
第八章 玻色统计和费米统计all剖析
3) ε>>εm 每个量子态上费米子0
二、过渡的条件
过渡的宏观条件
量子统计
f
(
)
1 e(l m ) / kT
1
当 e(l m ) / kT 1
f
( )
1 e(l m ) / kT
两种量子统计分布过渡到玻尔兹曼分布
y
因为 ln 是的 , , y 函数
所以
d ln ln d ln d ln dy
y
所以 (dU Ydy dN ) d(ln ln ln )
由2.6开放系统热力学基本方程
1 (dU Ydy dN ) dS
T
上
下
比较得
1 , ,
kT
kT
0 m
0
0
1
8V
(2m3 ) 2 h3
1
2 d
3
8V
(2m 3h 3
)2
3
(
0 m
)
2
上
下
解出
0 m
h2
(
3N
0
)
2 3
2m 8V
在T＝0k时
总能量
U0
dN 8V
2m3 h3
0 m
0
d
3 5
N
0
0 m
摩尔热容量
Cv0
(U 0 T
)T 0
0
可以看出绝对零度下电子气对摩尔热容量没贡献
上
3d
c3 (e kT 1)
——普朗克公式
§8.5 金属中的自由电子气
作为F－D分布的应用，本节讨论金属中自由电子对热容量的贡献。
一、自由电子气
自由电子：金属中原子的价电子与原子的结合很弱，由于
热力学统计物理第八章
d
ln y
dy
d
ln
ln
d
d
ln
d
ln
d
ln
d(ln ln ln )
是 dU Ydy dN 的积分因子。
1
对于开系： dU Ydy dN ， 存在积分因子 T
1 (dU Ydy dN ) dS
T
比较可知： 1
kT
kT
因此：dS kd(ln ln ln )
d ,
h3
e 1 x
0
U
g
2V
(2mkT )3/2 kT
x3/2
d ,
h3
e 1 0 x
1
1
e (1 e ) x
x
e 1 e (1 e ) x
x
x
e x是小量。
利用： 1 1 q q2
1 q
（ q 是小量）
N
g
2V
(2mkT )3/2 e [
x e dx e 1/2 x
x1/2e2 x dx],
§8.3 波色-爱因斯坦凝聚 Bose-Einstein condensation (BEC）
20世纪头20年，物理学界正在萌发量子力学的新兴学科。 在黑体辐射和光电效应的研究中诞生了量子的概念，光的量子被称为光子。 德国物理学家普朗克找到了一个经验公式，很好地符合了黑体辐射观测得到的曲线， 但是他当时不能解释这一经验公式的物理含义。时光推到1924年，当时年仅30岁的玻色， 接受了黑体辐射是光子理想气体的观点，他研究了“光子在各能级上的分布”问题， 采用计数光子系统所有可能的各种微观状态统计方法， 以不同于普朗克的方式推导出普朗克黑体辐射公式， 证明了普朗克公式可以从爱因斯坦气体模型导出。 兴奋之余，他写了一篇题为《普朗克准则和光量子假设》 的文章投到英国的《哲学杂志》，但被拒绝了。不得已， 他把那篇只有六页的论文寄给了爱因斯坦，期望爱因斯坦能理解他的发现。 爱因斯坦立即意识到玻色工作的重要性，他亲自将文章翻译成了德文，帮助在 《德国物理学报》发表了。之后，爱因斯坦把波色统计方法推广到静止质量不为零、 粒子数不变的系统上，建立了量子统计学中波色—爱因斯坦统计。爱因斯坦将玻色的 理论用于原子气体中，于1924和1925年发表了两篇文章，他推测到，在正常温度下， 原子可以处于任何一个能级，但在非常低的温度下，大部分原子会突然跌落到最低的 能级上，原来不同状态的原子突然“凝聚”到同一状态。 后来物理界将这种现象称为玻色－爱因斯坦凝聚
第八章玻色统计和费米统计ppt课件
2dx 1
TC
2
(2.612 )2/3
2 mk
n2/3
T<TC时，仍然要有-0，积分的结果将明显小于n，
此时必须考虑n0的贡献：n= n0 +n>
n
2
h3
(2m)3/ 2
1/ 2d
0 ekT 1
2
h3
(2mkT )3/ 2
x1/ 2dx 0 ex 1
n
n(
T TC
)3/ 2
3、B-E凝聚：
H KH B
KH
1 ne
量子结果:
三、解释
•朗道能级:
在垂直外磁场中,由于洛伦兹力的作用，电子将作圆周运动
Bev mv2 / r mrc2
mr2c i
r2
i mc
m
B
1 2
ecr 2B
i
1 2
mv2
1 2
ecr 2B
i ic 量子力学结果 i (i 1)c i 0,1,2...
•搀杂与局域态
内能与热容量。
内能： 热容量：
U
4V ( 2
ct
1 )
cl
m
0
e
h
h
1
2
d
CV
3Nk 3( T )3 D
m x4e x dx 0 (e x 1)2
( T kT )
D h m
高温极限——杜隆-柏替定律； 低温极限——温度三次方定律 D是德拜温度——固体材料的特征温度（对照前面爱因 斯坦温度理解）
2、特点： •频率为的辐射：一种光子气体成分； •边界壁的发射与吸收：光子数不恒定， =0，化学势为零； •静止质量为零：=cp； •光的量子性：=h，p=h/；（ =2 ，k= 2/ ）
热力学 统计物理：第八章 玻色统计和费米统计
l
l
l
S k( l ln(1 e l ) lal al )
l
l
l
al
l
e l
, 令f 1
1 e l
1，则，al
l f ;
f
al ，e l
l
1 f
1， l
ln( 1 f
1)
1 e l 1 1 1 f 1
1 1
f 1 f 1
f
S k( l ln(1 e l ) al ( l ))
y
d ( ln ) ln • d ln dy d ( ln ) ln • d
y
d ( ln ) d ( ln ) ln • d ln dy ln • d
y
d ln ln d ln d ln dy
y
(dU Ydy dN ) d ln d ( ln ) d ( ln ) d (ln ln ln )
l
l
对上式取对数为：ln l ln(1 e l )
l
则系统的平均总粒子数N可通过ln 获得：
N ln [
l
l ln(1 e l )]
l
l
e l • 1 1 e l
l
e l l
1 e l
l
l
e l 1
U
l
l al
l
ll
e l 1
U也可通过配分函数求得：
其中第一项为波尔兹曼分布, 第二项体现弱简并差别。
N
g
2V
h3
(2mk T)3/ 2
0
x1/ 2e x (1
e x )dx
U
g
2V
h3
(2mkT)3/2 kT
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l
l
l
e l ( l )
1 e l
l
l l
e l 1
U
对比玻耳兹曼分布
U ln
U N ln Z1
热统
5
3 广义力
Y
l
al
l
y
ln l ln(1 e l )
l
1 ln 1
y
y
l
l ln(1 e l )
l
l
e l (1) 1 e l
热统
1
§8.1 热力学量的统计表达
一、从非简并到简并
玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布） 孤立系统
定域粒子组成的系统，满足经典极限条件（非简并条件）的近
独立粒子系统
经典极限条件 al
（非简并条件）
l
e l
1
e 1
al le l
玻色分布和费米分布 趋向于玻耳兹曼分布。
Z1
l 0
e l
l
al ea
l
l
l
e l 1
U lal
l
l
ll
e l 1
l (1 e l )l
l
l
对比玻耳兹曼分布
热统
ln l ln(1 e l )
l
Z1
e l l
l 0
3
三、用巨配分函数表示热力学量
1 平均粒子数 N
N al
l
l
l
e l 1
ln l ln(1 e l )
al
ln(l
al
al
))
热统
k ln B.E 10
对于费米分布
F.D
l
l ! al !(l al )!
ln F.D l lnl al lnal (l al ) ln(l al )
l
l
l
S k ln F.D k( l lnl al lnal (l al ) ln(l al ))
y
d(
ln)
*
ln d
*
ln dy d(
ln)
*
ln d
y
d( ln ) d( ln ) d(l*n )
d(ln ln ln )
TdS
热统
7
(dU Ydy d N ) d(ln ln ln ) TdS
1
kT
kT
熵 dS kd (ln ln ln )
0
N
g(
2m kT
h2
)3
/
2Ve
(1
1 23/ 2
e )
热统
14
内能
U D( )a( ) d 0
3 2
g
(
2mk
h2
T
)3
/
2Ve
k
T(1
1 25/ 2
S k(ln ln ln )
S k(ln U N )
U ln
N ln
与玻耳兹曼关系比较 S k ln
热统
8
对于玻色分布
B.E
l
(l al 1)! al!(l 1)!
ln B.E (l al ) ln(l al ) l lnl al lnal
h3
(2m)3/ 2 1/ 2d
总粒子数
6.2.17式
N
0
D( )a( )d
g
2V
h3
(2m)3/ 2
0
1/ 2d
e l 1
g 2V (2m)3/ 2 e 1/ 2 l (1me l )d
h3
0
g
2V
h3
(2m)3/ 2 e (
1/ 2e l d
0
1/ 2e 2 l d )
l
l
l
S k ln B.E k( (l al ) ln(l al ) l lnl al lnal )
l
l
l
S k(ln U N )
？ k ln B.E k( (l al ) ln(l al ) l lnl al lnal )
l
l
l
热统
9
al
l
e l
1
l 0
e N Z1
Z1
V
(
2m h2
)3
/
2
e
V N
(
2m kT
h2
)3
/
2
1
e N ( h2 )3/2 n3 1 V 2 mkT
热统
2
不满足非简并条件
开放系统，与源达到动态平衡，粒子数在能级上的平均分布。
采用玻色分布或费米分布
al
l
e l
1
二、巨配分函数
费米统计 玻色统计
N al
l
l
l
S k(ln U N )
？ k ln F.D k( l lnl al lnal (l al ) ln(l al ))
l
l
l
热统
11
al
l
e l
1
e l l al
al
l
ln l al
al
1 e l l l al
ln l ln(1 e l )llFra biblioteklnl
ln
l ln(1 e l )
l
l
l
e l (1) 1 e l
l
l
e l 1
N ln
N
对比玻耳兹曼分布
N Z1e
热统
4
2 内能
U lal
l
l
ll e l 1
ln l ln(1 e l )
l
ln
l ln(1 e l )
l
y
l
l l
e l 1 y
l
al
l
y
Y
Y 1 ln
y
对比玻耳兹曼分布 Y N 1 ln Z1 y
压强
p 1 ln
V
p N ln Z1
V
热统
6
4 其它热力学函数
由开系的热力学公式 dU Ydy dN TdS
(dU Ydy d N ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
l l
al
U lal N al
U N
lal
aal
al (a l )
al
ln(l
al
al
)
S k(ln U N ) k(
l
ln l l al
al
ln(l
al
al
))
k ln F.D
热统
12
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主要是空间中不可 区分。但当粒子在空间可以区分时（稀薄气体），应该由描述可区分 粒子系统的理论－玻耳兹曼统计－描述。
al
l
e l
1
一、 弱简并气体
e 1
al l e l e 虽小但不可忽略
1
1
e l 1 e l (1 e l )
1 1 e l
1me l
al
l
e l
1
le l (1 me l )
1 1 ex
1 ex
e2x
热统
13
考虑平动
p2
2m
粒子微观状态数
D(
)d
g
2V
e l l al
al
l
ln l al
al
1 e l l l al
ln l ln(1 e l ) l
l
ln
l l
al
U lal
N al
U N
lal
aal
al (a l )
al
ln(l
al
al
)
S k(ln U N ) k(
l
ln l l al
l
l
e l ( l )
1 e l
l
l l
e l 1
U
对比玻耳兹曼分布
U ln
U N ln Z1
热统
5
3 广义力
Y
l
al
l
y
ln l ln(1 e l )
l
1 ln 1
y
y
l
l ln(1 e l )
l
l
e l (1) 1 e l
热统
1
§8.1 热力学量的统计表达
一、从非简并到简并
玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布） 孤立系统
定域粒子组成的系统，满足经典极限条件（非简并条件）的近
独立粒子系统
经典极限条件 al
（非简并条件）
l
e l
1
e 1
al le l
玻色分布和费米分布 趋向于玻耳兹曼分布。
Z1
l 0
e l
l
al ea
l
l
l
e l 1
U lal
l
l
ll
e l 1
l (1 e l )l
l
l
对比玻耳兹曼分布
热统
ln l ln(1 e l )
l
Z1
e l l
l 0
3
三、用巨配分函数表示热力学量
1 平均粒子数 N
N al
l
l
l
e l 1
ln l ln(1 e l )
al
ln(l
al
al
))
热统
k ln B.E 10
对于费米分布
F.D
l
l ! al !(l al )!
ln F.D l lnl al lnal (l al ) ln(l al )
l
l
l
S k ln F.D k( l lnl al lnal (l al ) ln(l al ))
y
d(
ln)
*
ln d
*
ln dy d(
ln)
*
ln d
y
d( ln ) d( ln ) d(l*n )
d(ln ln ln )
TdS
热统
7
(dU Ydy d N ) d(ln ln ln ) TdS
1
kT
kT
熵 dS kd (ln ln ln )
0
N
g(
2m kT
h2
)3
/
2Ve
(1
1 23/ 2
e )
热统
14
内能
U D( )a( ) d 0
3 2
g
(
2mk
h2
T
)3
/
2Ve
k
T(1
1 25/ 2
S k(ln ln ln )
S k(ln U N )
U ln
N ln
与玻耳兹曼关系比较 S k ln
热统
8
对于玻色分布
B.E
l
(l al 1)! al!(l 1)!
ln B.E (l al ) ln(l al ) l lnl al lnal
h3
(2m)3/ 2 1/ 2d
总粒子数
6.2.17式
N
0
D( )a( )d
g
2V
h3
(2m)3/ 2
0
1/ 2d
e l 1
g 2V (2m)3/ 2 e 1/ 2 l (1me l )d
h3
0
g
2V
h3
(2m)3/ 2 e (
1/ 2e l d
0
1/ 2e 2 l d )
l
l
l
S k ln B.E k( (l al ) ln(l al ) l lnl al lnal )
l
l
l
S k(ln U N )
？ k ln B.E k( (l al ) ln(l al ) l lnl al lnal )
l
l
l
热统
9
al
l
e l
1
l 0
e N Z1
Z1
V
(
2m h2
)3
/
2
e
V N
(
2m kT
h2
)3
/
2
1
e N ( h2 )3/2 n3 1 V 2 mkT
热统
2
不满足非简并条件
开放系统，与源达到动态平衡，粒子数在能级上的平均分布。
采用玻色分布或费米分布
al
l
e l
1
二、巨配分函数
费米统计 玻色统计
N al
l
l
l
S k(ln U N )
？ k ln F.D k( l lnl al lnal (l al ) ln(l al ))
l
l
l
热统
11
al
l
e l
1
e l l al
al
l
ln l al
al
1 e l l l al
ln l ln(1 e l )llFra biblioteklnl
ln
l ln(1 e l )
l
l
l
e l (1) 1 e l
l
l
e l 1
N ln
N
对比玻耳兹曼分布
N Z1e
热统
4
2 内能
U lal
l
l
ll e l 1
ln l ln(1 e l )
l
ln
l ln(1 e l )
l
y
l
l l
e l 1 y
l
al
l
y
Y
Y 1 ln
y
对比玻耳兹曼分布 Y N 1 ln Z1 y
压强
p 1 ln
V
p N ln Z1
V
热统
6
4 其它热力学函数
由开系的热力学公式 dU Ydy dN TdS
(dU Ydy d N ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
l l
al
U lal N al
U N
lal
aal
al (a l )
al
ln(l
al
al
)
S k(ln U N ) k(
l
ln l l al
al
ln(l
al
al
))
k ln F.D
热统
12
§8.2 弱简并玻色气体和费米气体
玻色统计与费米统计描述不可区分的粒子系统。主要是空间中不可 区分。但当粒子在空间可以区分时（稀薄气体），应该由描述可区分 粒子系统的理论－玻耳兹曼统计－描述。
al
l
e l
1
一、 弱简并气体
e 1
al l e l e 虽小但不可忽略
1
1
e l 1 e l (1 e l )
1 1 e l
1me l
al
l
e l
1
le l (1 me l )
1 1 ex
1 ex
e2x
热统
13
考虑平动
p2
2m
粒子微观状态数
D(
)d
g
2V
e l l al
al
l
ln l al
al
1 e l l l al
ln l ln(1 e l ) l
l
ln
l l
al
U lal
N al
U N
lal
aal
al (a l )
al
ln(l
al
al
)
S k(ln U N ) k(
l
ln l l al