2015年合工大五套题(数学二)(完整版)

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2015年安徽省合肥市高考数学二模试卷(文科)

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2015年安徽省合肥市高考数学二模试卷(文科)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、选择题(本大题共10小题,共50.0分)1.在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解:=故选D.复数分母实数化,再化简即可.本题考查复数代数形式的运算,复数和复平面内的点的对应关系,是基础题.2.已知集合M={-1,0,1,2},N={y|y=x2,x∈M},则M∩N=()A.{0,1}B.{-1,0,1,2,4}C.{1,4}D.{0,1,2}【答案】A【解析】解:∵M={-1,0,1,2},N={y|y=x2,x∈M},∴N={0,1,4},则M∩N={0,1},故选:A.把M中元素代入y=x2,求出y的值确定出N,找出M与N的交集即可.此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.3.抛物线y=-4x2的准线方程为()A. B. C.x=-1 D.x=1【答案】B【解析】解:抛物线y=-4x2的方程化为,∴p=,其准线方程为y=.故选:B.利用抛物线的标准方程及其性质即可得出.本题考查了抛物线的标准方程及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.4.某空间几何体的三视图如图所示(其中俯视图的弧线为四分之一圆),则该几何体的表面积为()A.5π+4B.14π+4C.5π+12D.14π+12【答案】C【解析】解:该几何体为圆柱的四分之一,其两个长方形的面积为2×3×2=12,其上下底面的面积和为×π22=2π,其曲面的面积为3××2π×2=3π;故表面积为12+2π+3π=12+5π;故选C.三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直观图,该几何体为圆柱的四分之一.三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直观图,本题考查了学生的空间想象力,识图能力及计算能力.5.“a<1”是“x+≥a对x∈(-1,+∞)恒成立”的()A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】解:∵x>-1,∴x+1>0,∴x+=(x+1)+-1≥2-1=1,若x+≥a对x∈(-1,+∞)恒成立,则a≤1,∴a<1是a≤1的充分不必要条件,故选:A.结合基本不等式的性质先求出“x+≥a对x∈(-1,+∞)恒成立”的充要条件,从而判定出答案.本题考查了基本不等式的性质,考查了充分必要条件,函数恒成立问题,本题属于基础题.6.已知等差数列{a n}的前9项的和为27,则=()A.16B.2C.6 4D.128【答案】C【解析】解:∵等差数列{a n}的前9项的和为S9=27,∴S9===27,解得a2+a8=6,∴=26=64故选:C由等差数列的求和公式和性质可得结论.本题考查等差数列的求和公式,涉及等差数列的性质,属基础题.7.曲线在点(e,e2)处的切线与直线x+ay=1垂直,则实数a的值为()A.-B.eC.D.-e【答案】B【解析】解:的导数为y′=,则在点(e,e2)处的切线斜率为k=2e-e=e,由切线与直线x+ay=1垂直,即有-•e=-1,解得a=e,故选B.求出函数的导数,求得切线的斜率,再由两直线垂直的条件,可得a的方程,即可得到a的值.本题考查导数的几何意义,同时考查两直线垂直的条件,正确求导是解题的关键.8.为了得到函数的图象,可将函数g(x)=sin2x+cos2x的图象()A.向左平移B.向右平移C.向左平移D.向右平移【答案】D【解析】解:将函数g(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+)的图象向右平移个单位,可得函数f(x)=2sin[2(x-)+]=2sin(2x-)的图象,故选:D.由条件根据函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论.本题主要考查函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.9.已知x,y满足时.则的取值范围是()A.[-,]B.(-∞,-]∪[,+∞)C.[-4,6]D.(-∞,-4]∪[6,+∞)【答案】D【解析】解:==1+2•,设z=1+2•,k=,则k的几何意义是区域内的点与点D(1,-2)的斜率,作出不等式组对应的平面区域如图3由,解得,即A(-1,2),由,解得,即B(3,2),则DB的斜率k==DA的斜率为k=,由图象知k≥或k≤-,则2k≥5或2k≤-5,即1+2k≥6或1+2k≤-4,即z≥6或z≤-4,故选:D.作出不等式组对应的平面区域,利用直线斜率的几何意义进行求解即可.本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解,利用数形结合是解决本题的关键.10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(2-x)=f(x)当x∈[0,1]时,f(x)=e-x,若函数y=[f(x)]2+(m+l)f(x)+n在区间[-k,k](k>0)内有奇数个零点,则m+n=()A.-2B.0C.1D.2【答案】A【解析】解:∵y=f(x)是偶函数;又∵函数y=[f(x)]2+(m+1)f(x)+n在区间[-k,k]内有奇数个零点;∴若该函数在[-k,0)有零点,则对应在(0,k]有相同的零点;∵零点个数为奇数,∴x=0时该函数有零点;∴0=1+m+1+n;∴m+n=-2.故选:A.根据已知条件,f(x)为偶函数,再结合零点的定义可知,函数y=[f(x)]2+(m+1)f(x)+n在区间[-k,0)和区间(0,k]上的零点个数相同,所以便知k=0是该函数的一个零点,所以可得到0=1+m+1+n,所以m+n=-2.考查偶函数的定义:f(-x)=f(x),零点的定义,以及对于零点定义的运用.二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)11.不等式2-lnx≥0解集是______ .【答案】(0,e2]【解析】解:由2-lnx≥0,得lnx≤2,解得:0<x≤e2.∴不等式2-lnx≥0的解集是(0,e2].故答案为:(0,e2].直接由对数函数的单调性求解对数不等式得答案.本题考查了对数不等式的解法,考查了对数不等式的性质,是基础题.12.如图所示的程序框图,若输入的x的值是1,则输出的结果为______【答案】4【解析】解:模拟执行程序,可得x=1,i=1x=5,i=2不满足条件x≥26,x=17,i=3不满足条件x≥26,x=53,i=4满足条件x≥26,退出循环,输出i的值为4.故答案为:4.模拟执行程序,依次写出每次循环得到的x,i的值,当x=53时满足条件x≥26,退出循环,输出i的值为4,从而得解.本题主要考查了程序框图和算法,依次写出每次循环得到的x,i的值是解题的关键,属于基本知识的考查.13.已知P是x2+y2-2x-2y+1=0上动点,PA、PB是圆(x-4)2+(y-5)2=4的切线,A,B为切点,则∠APB的最大值为______ .【答案】60°【解析】解:圆x2+y2-2x-2y+1=0的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为D(1,1),半径R=1,圆(x-4)2+(y-5)2=4的圆心坐标为C(4,5),半径r=2,若∠APB最大,则∠APC最大,即CP最小,则由图象知,CP的最小值为CD-DP=-1==5-1=4,此时sin∠APC=,则∠APC=30°,即∠APB=2∠APC=60°,故答案为:60°求出圆的标准方程,作出对应的图象,利用两点间的距离关系求出CP的距离,要求∠APB最大,等价为CP最小即可.本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,利用数形结合将条件进行等价转化是解决本题的关键.14.设点P是函数y=x+(x>0)的图象上任意一点,过点P分别向直线y=x和y轴作垂线,垂足分别为A,B,则= ______ .【答案】-2【解析】解:设P(x,x+)(x>0),则点P到直线y=x和y轴的距离分别为:|PA|==,|PB|=x.∵O、A、P、B四点共圆,所以∠APB=π-∠AOB=,∴=•x•cos=-2,故答案为:-2.设P(x,x+)(x>0),可得|PA|、|PB|,由O、A、P、B四点共圆,可得∠APB=,由数量积定义可求.本题考查平面向量数量积的运算,涉及点到直线的距离公式和四点共圆的性质,属中档题.15.矩形ABCD中,AD=2,AB=4,E,F分别为边AB,AD的中点,将△ADE沿DE折起,点A,F折起后分别为点A′,F′,得到四棱锥A′-BCDE.给出下列几个结论:①A′,B,C,F′四点共面;②EF'∥平面A′BC;③若平面A′DE⊥平面BCDE,则CE⊥A′D;④四棱锥A′-BCDE体积的最大值为.其中正确的是______ (填上所有正确的序号).【答案】②③【解析】解:由题意知,矩形ABCD折叠后的图由图可知,F'点不在平面A'BC上,因此四点不共面,①说法错误;去A'C中点为G,连接F'G,GB,F'E如图所以F'G为三角形A'DC的中位线,∵DC=2EB=2F'G∴F'G平行且等于EB,四边形F'EBG是平行四边形,∴EF'∥GB,GB⊂面A'BC,②正确;∵AB=2AD,∴DE⊥CE,DE为垂线,由面面垂直结论,CE⊥面A'DE,③正确;当面A'DE旋转到与底面垂直时体积最大,为2.故答案为:②③.根据折叠前后图形的特点逐个分析即可.该题主要考察了空间四棱锥线与面的位置关系,以及线面平行,面面垂直定理的应用,涉及计算,属于易错题.三、解答题(本大题共6小题,共75.0分)16.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,c=2.(Ⅰ)若A=,求a;(Ⅱ)若C=+A,求角A.【答案】解:(I)由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccos A==28,解得a=2.(II)∵C=+A,∴=,由正弦定理可得:=,∴,∴,,解得cos A=或.∵A为锐角,∴cos A=,.【解析】(I)由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccos A,代入解出即可.(II)由C=+A,可得=,由正弦定理可得:,化简解出即可.本题考查了余弦定理、正弦定理、倍角公式、诱导公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.每年的4月23日为“世界读书日”,某市为了解市民每日读书的时间,随机对100位市民进行抽样调查,得到如下表格:(Ⅰ)估计该市市民每日读书时间的平均值;(Ⅱ)现从每日读书时间3-5小时(包括3小时,不包括5小时)的被调查者中随机抽取两位进行回访,求这两人的每日读书时间均在3-4小时(包括3小时,不包括4小时)的概率.【答案】解:(Ⅰ)平均=0.5×0.6+1.5×0.25+2.5×0.1+3.5×0.04+4.5×0.01=1.11(Ⅱ)每日读书时间3-5小时(包括3小时,不包括5小时)的被调查者中随机抽取两位进行回访,由表可知,[3,4)有4人,用a,b,c,d表示,[4,5)有1人,用A表示,则随机抽取两位共有10种方法分别如下:ab,ac,ad,a A,bc,bd,b A,cd,c A,d A,其中这两人的每日读书时间均在3-4小时(包括3小时,不包括4小时)共有6种,根据概率公式得P==.【解析】(Ⅰ)根据平均数的计算公式计算即可;(Ⅱ)一一列举出所有的基本事件,找到满足条件的基本事件,根据概率公式计算即可.本题考查了古典概率模型的问题,关键是不重不漏的列举出基本事件,属于基础题18.已知数列{a n}满足a n>0,a1=2,且a n+12=2a n2+a n a n+1.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若,,求数列{c n}的前n项和S n.【答案】解:(Ⅰ)∵a n+12=2a n2+a n a n+1,∴,即(a n+1+a n)(2a n-a n+1)=0,又a n>0,∴2a n-a n+1=0,即,∴数列{a n}是公比为2的等比数列,又∵a1=2,∴;(Ⅱ),,,那么,两式作差得:=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1==2+8(2n-1-1)-(2n-1)2n+1=(3-2n)2n+1-6.故.【解析】(Ⅰ)把已知的数列递推式变形,因式分解后得到数列{a n}是公比为2的等比数列,然后由等比数列的通项公式得答案;(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的{a n}的通项公式代入求得b n,再把a n、b n代入c n=a n•b n后利用错位相减法求得数列{c n}的前n项和S n.本题考查了数列递推式,考查了等比关系的确定,训练了错位相减法求数列的和,是中档题.19.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=A1B1=2,BC=(Ⅰ)若E为线段CC1的中点,求证:平面A1BE⊥平面B1CD;(Ⅱ)若点P为侧面A1ABB1(包含边界)内的一个动点,且C1P∥平面A1BE,求线段C1P长度的最小值.【答案】解:(Ⅰ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BCC1B1,∴CD⊥BE…(3分)又∵E为线段CC1的中点,由已知得R t△B1BC∽R t△BCE,∴∠EBC=∠BB1C,∴∠EBB1+∠BB1C=90°,故BE⊥B1C,且B1C∩CD=C,∴BE⊥平面B1CD,又BE⊂平面A1BE,∴平面A1BE⊥平面B1CD,…(7分)(Ⅱ)取线段A1,B1的中点M,线段BB1的中点N,连接C1M,C1N,MN,易得C1N∥BE,MN∥A1B,又MN∩C1N=N,BA1∩BE=B,∴平面C1MN∥平面A1BE,故点P为线段MN上的动点,且C1P∥面A1BE,要使得线段C1P长度最小,则C1P⊥MN,在△C1MN中,C1M=C1N=,MN=,易得C1P=…(13分)【解析】(Ⅰ)先证明CD⊥BE,又可证BE⊥B1C,且B1C∩CD=C,从而证明BE⊥平面B1CD,即可证明平面A1BE⊥平面B1CD.(Ⅱ)取线段A1,B1的中点M,线段BB1的中点N,连接C1M,C1N,MN,易得C1N∥BE,MN∥A1B,又MN∩C1N=N,BA1∩BE=B,可证平面C1MN∥平面A1BE,从而有点P 为线段MN上的动点,且C1P∥面A1BE,要使得线段C1P长度最小,则C1P⊥MN,在△C1MN中,易求得C1P的值.本题主要考查了平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,考查了空间想象能力和转化思想,属于中档题.20.已知函数f(x)=e x(x2+ax-a)(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的极值;(Ⅱ)当a≤4时,求函数f(x)在[0,3]上的最小值.【答案】解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=e x(x2+x-1),令f'(x)=e x(x2+x-1)+e x(2x+1)=e x(x2+3x)=0,则有x=0或x=-3,所以f(x)在(-∞,-3)上为增函数,在(-3,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数,从而f(x)的极小值为f(0)=-1,f(x)的极大值为f(-3)=5e-3;(Ⅱ)根据题意,令f'(x)=e x(x2+ax-a)+e x(2x+a)=e x[x2+(a+2)x]=0,则x2+(a+2)x=0,又a≤-4,故-a-2≥2,所以x=0或x=-a-2,易知f(x)在(-∞,0)上为增函数,在(0,-a-2)上为减函数,在(-a-2,+∞)上为增函数,根据a≤4,解f'(x)=0得x=0或-a-2,再分-5<a≤-4和a≤-5两情况讨论即可.①当-5<a≤-4,即2≤-a-2<3时,f(x)在(0,-a-2)上为减函数,在(-a-2,3)上为增函数,此时f(x)min=f(-a-2)=e-a-2(a+4);②当a≤-5,即-a-2≥3时,f(x)在[0,3]上为减函数,此时f(x)min=f(3)=e3(2a+9).【解析】(Ⅰ)先求出a=1时,f(x)=e x(x2+x-1),求f'(x)=e x(x2+3x)即可;(Ⅱ)根据a≤4,解f'(x)=0得x=0或-a-2,再分-5<a≤-4和a≤-5两情况讨论即可.高中数学试卷第11页,共12页 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,其中解答的关键的根据已知函数的解析式,求出函数的导函数的解析式,并判断其符号.21.如图,已知椭圆E : > > 的下顶点为B ,右焦点为F ,直线BF 与椭圆E 的另一个交点为A ,. (Ⅰ)求椭圆E 的离心率;(Ⅱ)若点P 为椭圆上的一个动点,且△PAB 面积的最大值为 ,求椭圆E 的方程.【答案】解:(I )∵B (0,-b ),F (c ,0),. 可得A , ,代入椭圆的标准方程可得:,化为 , ∴. (II )由(I )可知:a = c ,b =c .可得k BF =1, , ,B (0,-c ),|AB|= c ,直线AB 的方程为:y =x -c .当△PAB 面积取最大值时,动点P 离直线AB 的距离最大.设直线l :y =x +m (m >0),为椭圆的一条切线,且l ∥AB .联立,化为3x 2+4mx +2m 2-2c 2=0, 由△=0,可得 c ,即l :y =x + ,直线l 与AB 的距离d =, 此时S △PAB = = = , 解得c =1,可得a = ,b =1.∴椭圆的标准方程为:.【解析】(I )由B (0,-b ),F (c ,0), .可得A,,代入椭圆的标准方程即可得出e.(II)由(I)可知:a=c,b=c.可得k BF=1,,,B(0,-c),|AB|=c,直线AB的方程为:y=x-c.当△PAB面积取最大值时,动点P离直线AB的距离最大.设直线l:y=x+m(m>0),为椭圆的一条切线,与椭圆的方程联立可得3x2+4mx+2m2-2c2=0,由△=0,可得c,可得直线l与AB的距离d=,此时S△PAB==,解出即可.本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题转化为△=0、平行线之间的距离、三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.高中数学试卷第12页,共12页。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案

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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. 1、下列反常积分中收敛的是()(A )2dx x+∞⎰(B )2ln xdx x+∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰(D)2x x dx e+∞⎰【答案】(D)【考点】反常积分的收敛性 【难易度】★★ 【详解】(A )22dx x x +∞==+∞⎰,发散,(B )222ln 1(ln )2x dx x x +∞+∞==+∞⎰,发散 (C )221ln ln ln dx x x x +∞+∞==+∞⎰,发散 (D )当x 足够大时,21x x e x <,221dx x +∞⎰收敛,2x x dx e +∞⎰收敛2、函数20sin ()lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内() (A )连续 (B )有可去间断点 (C )有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】(B)【考点】极限的计算 【难易度】★★【详解】当0x ≠时,22sin sin00sin sin ()=lim(1)lim(1)x x t xx t t x t t t t t f x e x x→→+=+= 3、设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()f x '在0x =处连续,则() (A )1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【考点】导数的定义、连续的定义【难易度】★★★ 【详解】100()(0)1(0)=limlim cos x x f x f f x x xαβ-→→-'=存在 所以10α->,且(0)=0f '1111()=cossin f x x x x xααβββαβ---'+ 由0lim ()(0)0x f x f →''==,得10αβ-->,1αβ->4、设函数()f x 在(,)-∞+∞连续,其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()y f x =的拐点个数为()(A )0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C【考点】拐点的定义 【难易度】★★★【详解】由图易知,拐点为原点和与x 正半轴的交点,所以拐点数为2 5、设函数(u v)f ,满足22(,)y f x y x y x +=-,则11u v fu ==∂∂与11u v f v==∂∂依次是()(A )12,0 (B)0,12(C )-12,0 (D)0 ,-12【答案】(D)【考点】链式求导法则 【难易度】★★6、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,3y x y x ==围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上连续,则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=()(A )12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(B )sin 22142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(C )13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D )sin 23142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【答案】(B)【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★7、设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,b=21d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2,则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为()(A ),a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【考点】线性方程组 【难易度】★★【详解】[]()()()()2211111111,12011114001212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦Ax b =有无穷多解⇔R(A)=R(A,b)<31212a a d d ⇔====或且或.8、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e ),若132(,,)Q e e e =-,则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】★★★【详解】由x Py =,故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且:200010001T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100200001,()010010001T T T Q P PC Q AQ C P AP C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以222123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+,故选(A)二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...指定位置上. 9、设2231arctan ,3t x t d y dx y t t ==⎧=⎨=+⎩则 【答案】48【考点】复合函数的求导法则 【难易度】★★【详解】2222333(1)11dy dy dt t t dx dx dtt +===++, 22222212(1)12(1)11d dy d y t t dt dx t t dx dx dtt ⎛⎫⎪+⎝⎭===++, 因此,212121448t d y dx==⋅⋅=.10、函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f=【答案】2(1)(ln 2)n n n --【考点】高阶导数;莱布尼兹公式:()()0()()nn kn k k n k uv C u v -==∑ 【难易度】★★ 【详解】()()()2()2n n x fx x =⋅()(0)n f ⇒()()(2)222(1)222(ln 2)2n x x n nx x n n C x --==-''==⋅⋅⋅2(1)(ln 2)n n n -=-.11、设函数()f x 连续,2()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=,'(1)5ϕ=,则(1)f =【答案】2【考点】变限积分求导 【难易度】★★ 【详解】2220()()()()2()x x x x f t dt x f t dt x x f x ϕϕ'=⇒=+⋅⋅⎰⎰1(1)()2(1)(1)2(1)5(1)2f t dt f f f ϕϕ'=+=+=⇒=⎰.12、设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解,且在0x =处()y x 取值3,则()y x = 【答案】 【考点】【难易度】★★【详解】微分方程的通解是212xx y c ec e -=+则12(0)33y c c ==+=,12(0)020y c c '==-+=,121,2c c ⇒==22x x y e e -⇒=+.13、若函数(,)z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定,则(0,0)dz =【答案】1233dx dy --【考点】隐函数求导法则 【难易度】★★★【详解】,0z zdz dx dy x x y∂∂=+=∂∂0y =0z = 两边对x 求导23(31)0x y z z ze yz xy x x ++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==01|3x z x =∂=-∂两边对y 求导23(32)0x y zz zexz xy y y++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==02|3y z y =∂⇒=-∂(0,0)12|33dz dx dy ⇒=--. 14、设3阶矩阵A 的特征值为2,-2,1,2B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵,则行列式B = 【答案】21【考点】矩阵的特征值 【难易度】★★【详解】A 的特征值为2,-2,1,又由于2B A A E =-+,因此矩阵B 的特征值为3,7,1,因此矩阵B 的行列式的值为21三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、(本题满分10分)设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++,2()g x kx =,若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小,求,,a b k 的值。

合工大高数历年统考题

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学年第 二 学期 课程名称 高等数学(下)一、填空题(每小题3分,满分15分) 1.设函数ln(32)xy z x y e =-+,则(1,0)dz =3144dx dy -。

2.=⎰⎰dy yydx x sin 0ππ2。

3.设V 为柱体:10,122≤≤≤+z y x ,则=⎰⎰⎰υυd e z(1)e π-。

4.设()1f x x =+,ππ≤≤-x ,则其以2π为周期的傅立叶级数在点x π=处收敛于1。

二、选择题(每小题3分,共15分) 1.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,,),(2222,y x y x y x xy y x f 则( .C ).A ),(lim 0y x f y x →→存在 .B ),(y x f 在点(0,0)处连续.C )0,0(),0,0(y x f f ''都存在 .D ),(y x f 在点(0,0)处可微2.曲线⎩⎨⎧=-+=+-632,922222z y x z e x y 在点(3,0,2)处的切线方程为(.B ) .A 32x y z -==- .B 326yx z -==- .C 32214x y z --==- .D {3(2)0x z y -=--= 3.设L 为圆周,122=+y x 则⎰=+Lds y x)(33( .A ).A 0 .B 1 .C 2 .D 34.设常数0a >,则级数1111(1)ln n an n n∞++=-∑( .C )。

.A 发散 .B 条件收敛 .C 绝对收敛 .D 敛散性与a 有关。

三、设),)((2xy y x f z -=,其中f 具有二阶连续偏导数,求2zx y∂∂∂。

(本题10分)解:122()zx y f yf x∂=-+∂, 2121111222122(2())22()[2()][2()]z x y f yf f x y x y f xf f y y x f xf x y y∂∂=-+=-+---+++-+∂∂∂ 221111222224()2()f x y f x y f xyf f =---+-++ 四(10分)、求函数)1(),(-=y x y x f 在由上半圆周)0(322≥=+y y x 与x 轴所围成的闭区域D 上的最大值和最小值。

考研数学二真题及答案解析图文稿

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考研数学二真题及答案解析集团文件版本号:(M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988)2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题:(1~8小题,每小题4分,共32分。

下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。

) (1)下列反常积分中收敛的是(A)∫x +2 (B)∫xxxx +∞2xx (C)∫1xxxx +∞2xx (D) ∫xx x+∞2xx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。

∫√x +2=2√x |2+∞=+∞;∫xxx x+∞2xx =∫xxx +∞2x (xxx )=12(xxx )2|2+∞=+∞; ∫1xxxx +∞2xx =∫1xxx +∞2x (xxx )=ln ?(xxx )|2+∞=+∞;∫x x x +∞2xx =−∫x +∞2xx −x =−xx −x |2+∞+∫x −x +∞2xx =2x −2−x −x |2+∞=3x −2, 因此(D)是收敛的。

综上所述,本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数x (x )=lim x →0(1+xxx x x)x2x 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限,直接有x (x )=lim x →0(1+xxx x x)x 2x=xlimx →0x 2x(1+xxx x x −1)=ex limx →0xxxxx=x x (x ≠0),x (x )在x =0处无定义,且lim x →0x (x )=lim x →0x x =1,所以 x =0是x (x )的可去间断点,选B 。

综上所述,本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数x (x )={x αcos 1x β,x >0,0,x ≤0(α>0,x >0).若x ′(x )在x =0处连续,则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<x −β≤2 【答案】A 【解析】易求出x′(x )={xx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0,0,x ≤0再有 x +′(0)=lim x →0+x (x )−x (0)x =lim x →0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在,α≤1, x −′(0)=0于是,x ′(0)存在α>1,此时x ′(0)=0.当α>1时,lim x →0x α−1cos 1x β=0,lim x →0βx α−β−1sin 1x ={0, α−β−1>0,不存在,α−β−1≤0,因此,x′(x )在x =0连续α−β>1。

考研_2015考研数学二真题及答案

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2021 考研数学二真题及答案一、选择题:18小题,每题4分,共32分.以下每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1) 以下反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B)2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dx x x +∞⎰ (D)2x x dx e +∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)x x xdx x e e-=-+⎰,那么 2222(1)3lim (1)3x x x x xdx x e e x e e e+∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰.(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x →=+ 在(,)-∞+∞内 ( )(A) 连续 (B) 有可去连续点(C) 有跳跃连续点 (D) 有无穷连续点 【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==,0x ≠,故()f x 有可去连续点0x =.(3)设函数()1cos ,00,0x x x f x x αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,假设()'f x 在0x =处连续那么:( )(A)0αβ-> (B)01αβ<-≤(C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时,()0f x '=()00f -'=()1001cos10lim lim cosx x x x f x x x αβαβ++-+→→-'== 0x >时,()()()11111cos1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x x ααβββαβ---=+()f x '在0x =处连续那么:()()10100lim cos 0x f f x x αβ+--+→''===得10α->()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得:10αβ-->,答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如下图,那么曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点,二阶导数变号.那么拐点个数为2个。

2015共创数二5套卷完整版

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(18) (本题满分 10 分) 设函数 f ( x) 在 [0,1] 上连续, f (0) 0 , 且 证明: (0,1) ,使得

1
0
f ( x) d x 0 ,


0
f ( x) d x f ( ) 。
得分
评卷人
(19) (本题满分 10 分)半径为 R 的球沉入水中,球面顶部与水面相切,球的密度 为 水的密度为 0 ( 0 ) ,要把球完全从水中取出,问至少要做多少功?。
f ( x) 是偶函数, F ( x) 必为奇函数,又 f ( x) 有界,因而 ∃M > 0 ,使得对 ∀x ∈ (−∞, +∞) 均有 f ( x) ≤ M 相应的有

x
0
。 te t f (t ) d t 在 (, ) 内( )
2
(B)必为有界的偶函数 (A)必为有界的奇函数 (C)为奇函数但未必有界 (D)为偶函数但未必有界 (5) 若 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的偏导数 f x( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 均存在,则( (A) f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续 (C) lim f ( x, y ) 存在
ln x 2 − 1 sin( x + 1) x2
e

1 x
的可去间断点个数为( ).
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【解】 :函数 f ( x) 在 x = 0, ±1 处无定义,因而间断。
ln x 2 − 1 sin( x + 1) − 1 ln x 2 − 1 sin( x + 1) − 1 ln x 2 − 1 sin( x + 1) − 1 x x x lim 0, lim 0= lim = e = e , e ∞ ,故 x = 0, −1 2 2 2 x →−1 x x 0 1 → → x x x 为 f ( x) 的可去间断点,答案 C。

2015年_全国II卷数学(原卷+答案)

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【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.
2.渐近线方程为 x y 0 的双曲线的离心率是( )
2
A. 2
B. 1
C. 2
D. 2
【答案】C 【解析】
【分析】
本题根据双曲线的渐近线方程可求得 a b 1 ,进一步可得离心率.容易题,注重了双曲线基
础知识、基本计算能力的考查.
【详解】因为双曲线的渐近线为 x y 0 ,所以 a=b=1,则 c a2 b2 2 ,双曲线的
数 a 的最大值是____.
17.已知正方形 ABCD 的边长为 1,当每个 i (i 1, 2, 3, 4, 5, 6) 取遍 1时, uuur uuur uuur uuur uuur uuur
| 1 AB 2 BC 3CD 4 DA 5 AC 6 BD | 的最小值是________,最大值是
x, 2a
求 a 的取值范围.
注:e=2.71828…为自然对数的底数.
2019 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
数学
参考公式:
若事件 A, B 互斥,则 P( A B) P( A) P(B) 若事件 A, B 相互独立,则
P( AB) P( A)P(B) 若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,则
x y 0
A. 1
B.1
C.10
D.12
4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同,则积不容易”称为祖暅原
理,利用该原理可以得到柱体体积公式 V 柱体=Sh,其中 S 是柱体的底面积,h 是柱体的
高.若某柱体的三视图如图所示,则该柱体的体积是
A.158
B.162
C.182
D.32
5.若 a>0,b>0,则“a+b≤4”是 “ab≤4”的

合肥工业大学近两年高数上试卷

合肥工业大学近两年高数上试卷

2014-2015试卷 一、填空题1、极限2sin 0lim(13)x x x →+=. 2、设2arctan()y x x =,则y ′ . 3、设()f x 的一个原函数为2x e−,则()________xf x dx ′=∫.4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________. 5、曲线2r e θ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________.二、选择题 1、当1x →−时,31x+与3(1)x +为()(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是( )(A) 1sin x + (B) 1sin x − (C) 1cos x + (D) 1cos x −3、设()f x 在0x =处连续,且0()lim11cos x f x x→=−,则在点0x =处( ). (A) (0)f ′不存在 (B) (0)0f ′=,且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f ′存在,且(0)0f ′≠ (D) (0)0f ′=,且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是( )(A)1∫(B)111sin dx x −∫ (C)221ln dx x x+∞∫(D) 2x xe dx +∞−−∞∫5、曲线2211x x e y e−−+=−()(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题(每小题6分,共36分)1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++ . 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +−−−→.3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x ′.4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t =+ = 求22d d ,d d y y x x .5、2arctan x dx x∫. 6、设2ln(1)0()101x x f x x x+≥= < + ,求20(1)f x dx −∫. 四、(本题满分10分)设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x −<== > ∫ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性.五、(本题满分10分)设曲线2xe y =,切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ,求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、(本题满分8分)证明不等式:0>x 时,有11ln ≥+xx . 七、(本题满分6分)设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,0)(≠x f (01x <<),且0)1()0(==f f ,证明:在)1,0(内至少存在一点ξ,使()2015()f f ξξ′=2013-2014高数试卷一、填空题 1、极限0_________x →=.2、曲线221x xy y −+=在点(1,1)处的切线方程为 .3、设曲线()y f x =过点(0,0),且当x 在0x =处取得增量x ∆时相应的函数值增量3()(0)y x o x x ∆=∆+∆∆→,则2lim ()________n nf n→∞=.4、设连续函数()f x 满足1()2()d f x x f x x =,则1()d __________f x x =∫.5、积分121[ln(]_________x x −+=∫.二、选择题1、设lim n n x →∞与lim n n y →∞均不存在,那么下列命题正确的是( ).(A )若lim()n n n x y →∞+不存在,则lim()n n n x y →∞−必也不存在(B )若lim()n n n x y →∞+存在,则lim()n n n x y →∞−必也存在(C )lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−均不存在(D )lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−中只要有一个存在,另一个必定不存在2、已知0x =是函数ln()()sin a x f x x bx+=−的可去间断点,则常数,a b 的取值情况为( ).(A )1,a b =为任意实数 (B )1,b a =为任意实数 (C )1,a b ≠为任意实数 (D )=1,1a b ≠3、设21sin ,0()0,0,x x f x xx ≠= = 那么()f x 在0x =处( ). (A) 不连续 (B) 连续但不可导 (C) 可导但()f x ′不连续 (D) 可导且()f x ′也连续 4、极限22212lim()12n nn n n n→∞++⋅⋅⋅+=+++( ). (A) 14 (B) 13 (C) 12(D) 15、设2sin 1x +为)(x f 的一个原函数,则()d x f x x ′=∫( ).(A) 22cos x x C + (B) 2222cos sin x x x C −+ (C) 2222sin cos x x x C −+ (D) 222cos sin x x x C ++三、计算下列各题(每小题5分,共30分)1、011lim()ln(1)x x x →−+.2、设,0,(),0,x e x f x x x ≤= >求()21sin 0lim()d xxx f t t+−∞→∫.3、设y =d y 及y ′′.4、设()y y x =由220ln(1),d 1,1u t x te y u u =+ −= +∫确定,求1d d t y x =.5、x .6、设20sin ()d 1cos xt f x t t=+∫,求220()d 1()f x x f x π′+∫. 四、(本题满分8分)已知0x →时,22cos sin ()x x A Bx Cx o x +=+++,其中2()o x 是2x 的高阶无穷小,求常数,,A B C 的值.五、(本题满分10分)设2()1xf x x x =+−,(1)求函数()f x 的单调区间,(2)求函数()f x 的极值.六、(本题满分10分)如图所示1D 是由抛物线22y x x =−与直线(0)y kx k =>围成的图形,2D 是由曲线22y x x =−与直线y kx =及x 轴围成的图形,设1D 的面积为1S ,2D 的面积为2S ,若12:1:7S S =. (1)求常数k 的值;(2)求1D 绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积x V 及2D 绕y 轴旋转一周所得到的旋转体的体积y V . 七、(本题满分6分)证明:0x ≠时,2cos 12x x >−.八、(本题满分6分)设()f x 在[]0,1上连续,在()0,1内可导,且1(0)(1)0,(0)()02f f f f ><.证明:(1)在()0,1内存在两个不同的点,ξη,使得()()0f f ξη==成立;(2)(0,1)ζ∃∈使得()()0f f ζζζ′−=成立。

合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷A试题

合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷A试题

一、填空题(每小题3分,共15分)1、椭球面∑:222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________.2、设曲线L 的方程为221x y +=,则2[()]Lx y y d s +-=⎰ .3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于 . 4、微分方程220y y y '''++=的通解为 . 5、设23(,,)2f x y z x y z =++,则(1,1g r a d f = .二、选择题(每小题3分,共15分) 1、设222zx y ze ++=,则11x y dz===( ) 2、二次积分2(,)dx f x y dy ⎰化为极坐标下累次积分为( )3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为( ). (A )*()sin cos y x ax b A x B x =+++ (B )*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ (C )*(sin cos )y x ax b A x B x =+++(D )*sin cos y ax b A x B x =+++4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是( ))(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=,1∑为∑在第一卦限的部分,则下列结论不正确...的是( ).(A )0xdS ∑=⎰⎰(B )0zdS ∑=⎰⎰(C )1224zdS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (D )22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 三、(本题满分10分)设(,)sin xz f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z z x x y∂∂∂∂∂. 四、(本题满分12分)求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D :2214y x +≤上的最大值和最小值. 五、(本题满分10分)计算二重积分:2DI y x d σ=-⎰⎰,其中:11,02D x y -≤≤≤≤.六、(本题满分12分)已知积分22(5())()xx Ly yef x dx e f x dy---+⎰与路径无关,且6(0)5f =.求()f x ,并计算(222(1,0)(5())(x x I y ye f x dx e f x--=-+⎰.七、(本题满分12分)计算积分22322()x z d y d zx y z dI x y z∑+-+=++⎰⎰,其中∑是上半球面z =,取上侧.八、(本题满分10分).求幂级数∑∞=---12112)1(n nn x n 的收敛域及和函数,并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和.九、(本题满分4分)设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?。

2015年考研数二真题

2015年考研数二真题

2015年考研数二真题考研数学二对于很多考生来说,是一场具有挑战性的考试。

2015 年的考研数二真题更是在知识点的考查、题型的设计以及难度的把控上有着独特的特点。

从整体上看,2015 年考研数二真题涵盖了高等数学和线性代数两大部分。

高等数学部分,重点考查了函数、极限、连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学等核心知识点。

比如,在函数极限的计算中,出题方式灵活多变,不仅要求考生熟练掌握常见的求极限方法,如洛必达法则、等价无穷小替换等,还需要考生具备较强的分析问题和灵活运用知识的能力。

就一元函数微积分学而言,对导数和积分的应用考查较为深入。

通过设置各种实际问题的情境,要求考生能够准确地建立数学模型,并运用所学的导数和积分知识进行求解。

例如,一道关于利用导数求函数最值的题目,就需要考生对函数的单调性和极值点有清晰的认识和准确的判断。

多元函数微积分学部分,重点考查了偏导数、全微分、二重积分等内容。

在这部分的题目中,往往需要考生熟练掌握相关的计算方法和技巧,并且能够清晰地理解多元函数的概念和性质。

线性代数部分,矩阵、向量、线性方程组等是考查的重点。

矩阵的运算、矩阵的秩、向量组的线性相关性等知识点在真题中均有体现。

线性方程组的求解是一个常考的考点,要求考生能够熟练运用高斯消元法等方法求解线性方程组。

在题型方面,2015 年考研数二真题包括选择题、填空题和解答题。

选择题注重考查对基本概念和基本定理的理解,需要考生能够准确地辨析和判断。

填空题则侧重于考查计算能力,要求考生在短时间内准确地得出计算结果。

解答题的分值较大,对考生的综合能力要求较高,不仅要能够正确地解题,还要有清晰的解题思路和规范的书写格式。

从难度上来说,2015 年考研数二真题难度适中,但也有一些具有一定挑战性的题目。

对于基础扎实、复习全面的考生来说,大部分题目都能够顺利解答。

然而,对于一些知识点掌握不够牢固或者缺乏解题技巧的考生,可能会在某些题目上遇到困难。

2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题及答案

2015年考研数学二真题一、选择题:(1~8小题,每小题4分,共32分。

下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。

) (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。

∫√x +∞2=2√x|2+∞=+∞;∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞;∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞; ∫x e x +∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x +∞2dx =2e −2−e −x |2+∞=3e −2, 因此(D)是收敛的。

综上所述,本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限,直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elim t→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义,且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点,选B 。

综上所述,本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0,0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续,则(A)α−β>1(B)0<α−β≤1(C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αxα−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1xβ,x >0,0,x ≤0 再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos1x β={0, α>1,不存在,α≤1,f −′(0)=0于是,f ′(0)存在⟺α>1,此时f ′(0)=0. 当α>1时,lim x→0x α−1cos1x β=0,lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在,α−β−1≤0,因此,f′(x)在x=0连续⟺α−β>1。

2015考研数学二真题与答案解析

2015考研数学二真题与答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题:(1~8小题,每小题4分,共32分。

下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。

)(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。

;;;,因此(D)是收敛的。

综上所述,本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-∞,+∞)内(A) (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限,直接有,在处无定义,且所以是的可去间断点,选B。

综上所述,本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数().若(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出再有于是,存在此时.当,,=因此,在连续。

选A综上所述,本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念,函数的左极限和右极限(4)设函数在(-∞,+∞)内连续,其二阶导函数的图形如右图所示,则曲线的拐点个数为(C) (D)【答案】C【解析】在(-∞,+∞)内连续,除点外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个,如上图所示,A点两侧恒正,对应的点不是拐点,B点两侧,对应的点就是的拐点。

虽然不存在,但点两侧异号,因而() 是的拐点。

综上所述,本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性,曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足则与依次是(A) (B)(C) (D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述,本题正确答案是D。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域,函数在D上连续,则(A)(B)(C)(D)【答案】 B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域,作极坐标变换,将化为累次积分。

考研数学二真题及答案解析

考研数学二真题及答案解析

考研数学二真题及答案解析Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题:(1~8小题,每小题4分,共32分。

下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。

)(1)下列反常积分中收敛的是(A)∫√x 2(B)∫lnx x +∞2dx (C)∫1xlnx+∞2dx (D) ∫x e x +∞2dx 【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。

∫x 2=2√x|2+∞=+∞; ∫lnx x +∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞; ∫1xlnx +∞2dx =∫1lnx +∞2d(lnx)=ln?(lnx)|2+∞=+∞; ∫xe x +∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x +∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2, 因此(D)是收敛的。

综上所述,本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t在(-∞,+∞)内 (A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“1∞”型极限,直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t=e lim t→0x 2t (1+sin t x −1)=e x lim t→0sintt =e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义,且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点,选B 。

综上所述,本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0,0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续,则 (A)α−β>1 (B)0<α−β≤1(C)α−β>2 (D)0<α−β≤2【答案】A【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0,0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x =lim x→0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在,α≤1, f −′(0)=0于是,f ′(0)存在α>1,此时f ′(0)=0.当α>1时,lim x→0x α−1cos 1x β=0,lim x→0βx α−β−1sin 1x β={0, α−β−1>0,不存在,α−β−1≤0,因此,f′(x )在x =0连续α−β>1。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析戴又发一、选择题 共8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是( )(A )dx x⎰+∞21(B )dx x x ⎰+∞2ln (C )dx x x ⎰+∞2ln 1 (D )dx e x x ⎰+∞2 【解析】22222331lim 3)1(lim lim --+∞→--+∞→+∞→+∞=+-=++-==⎰⎰e e e e t e dx e x dx ex t t t t t x t x . 故选D .(2)函数tx t x t x f 2sin 1lim )(⎪⎭⎫⎝⎛+=+∞→ 在),(+∞-∞内 ( ) (A )连续 (B )有可去间断点 (C )有跳跃间断点 (D )有无穷间断点【解析】ttx t x t tx t x t x t x f sin sin sin 1lim sin 1lim )(2⨯+∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=,当0≠x 时,由e x t tx t =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→sin sin 1lim ,x ttx t =+∞→sin lim,得x e x f =)(, 故函数在),(+∞-∞内有可去间断点,故选B .(3)设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,00,1cos )(x x xx x f α)0,0(>>βα,若)(x f '在0=x 处连续,则( ) (A )1>-βα (B )10≤-<βα (C )2>-βα (D )20≤-<βα 【解析】显然0<x 时0)(='x f ,当0>x 时111sin 1cos)(---⋅+='ββαβαβαx xx x x x f ββαβαβαxx x x 1sin 1cos11---+=,由0,0>>βα,)(x f '在0=x 处连续,有01,01>-->-βαα, 所以1>-βα,故选A .(4)设函数)(x f 在),(+∞-∞内连续,其2阶导数)(x f ''的图形如右图所示,则曲线)(x f y =的拐点个数为( )(A ) 0 (B )1 (C )2 (D )3【解析】若函数)(x f 的2阶导数存在,那么使函数2的阶导数)(x f ''为零,且三阶导数不为零的点是函数)(x f 的拐点,当2阶导数不存在时,只要在某点处的2阶导数改变符号,该点就是拐点,显然)(x f y =的拐点个数为2,故选C . (5)设函数),(v u f 满足22),(y x xy y x f -=+,则11==∂∂v u uf 与11==∂∂v u vf 依次是( )(A )21,0 (B )0,21 (C )21-,0 (D )0,21-【解析】记 x y v y x u =+=, ,得v uvy v u x +=+=1,1,于是22)1()1(),(),(v uv v u v u f x y y x f +-+==+,所以222)1(2)1(2v uv v u u f +-+=∂∂,011=∂∂==v u uf ;3222232)1(2)1(2)1(2v v u v vu v u v f +++-+-=∂∂,2141214111-=+--=∂∂==v u uf,故选D.(6)设D 是第一象限中的曲线14,12==xy xy 与直线x y x y 3,==围成的平面区域,函数),(y x f 在D 上连续,则⎰⎰=Ddxdy y x f ),(( )(A )⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d(B )⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d(C )⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (dr r r f d(D )⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (dr r r f d【解析】记 θθsin ,cos r y r x ==,区域D 可表示为,θθ2sin 212sin 1≤≤r ,34πθπ≤≤,θrdrd dxdy =,于是 ⎰⎰=Ddxdy y x f ),(⎰⎰θθππθθθ2sin 12sin 2134)sin ,cos (rdr r r f d ,故选B.(7)设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛24121111a a ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21d d b ,若集合{}2,1=Ω,则线性方程组b Ax =有无穷多解的充分必要条件为( )(A )Ω∉Ω∉d a , (B )Ω∈Ω∉d a , (C )Ω∉Ω∈d a , (D )Ω∈Ω∈d a ,【解析】由方程组b Ax =有无穷多解,得3)()(<=A r A r , 而当0)12)(2)(1(=---=a a A 时,2,1==a a ,当1=a 时,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23000101011111030101011111411211111222d d d d d d d A 3)(<A r ,所以1=d 或2=d .当2=a 时,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23000111011111330111011114412211111222d d d d d d d A 3)(<r ,所以1=d 或2=d .故选D.(8)设二次型),,(321x x x f 在正交变换PY X =下的标准型为2322212y y y -+,其中),,(321e e e P =,若),,(231e e e Q -=,则),,(321x x x f 在正交变换QY X =下的标准型为( )(A )2322212y y y +- (B )2322212y y y -+ (C )2322212y y y -- (D )2322212y y y ++ 【解析】设二次型对应的矩阵为A ,由),,(321x x x f 经正交变换PY X =化为标准型2322212y y y -+,得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121AP P ,其中),,(321e e e P =,又因为),,(231e e e Q -=,于是有 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121AQ Q , 所以),,(321x x x f 在正交变换QY X =下的标准型为2322212y y y +-.故选A.二、填空题:9~14每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设⎩⎨⎧+==33arctan t t y t x ,则==122t dx y d .【解析】233t dt dy += ,211t dt dx +=, 363)1)(33(2422++=++=t t t t dx dy ,22232322)1(12)1)((12111212)(t t t t t t t t dt dx dt dx dy d dxy d +=++=++==. 所以==122t dx y d 48.(10)函数x x x f 2)(2⋅=在0=x 处的n 阶导数为=)0()(n f .【解析】因为)2ln 2(22ln 222)(22x x x x x f x x x +=⋅+⋅=',0)0(='f ;))2(ln 2ln 42(22ln )2ln 2(2)2ln 22(2)(222x x x x x x f x x x ++=+++='',222)0(0=⋅=''=x x f ;2ln ))2(ln 2ln 42(2))2(ln 22ln 4(2)(222x x x x f x x ++++='''))2(l n )2(l n 62ln 6(2322x x x ++=,2ln 62ln 62)0(0=⋅='''=x xf ; 2ln ))2(ln )2(ln 62ln 6(2))2(ln 2)2(ln 6(2)(32232)4(x x x x f x x ++++=))2(ln ))2(ln 8)2(ln 12(24232x x x ++=,202)4()2(ln 12)2(ln 122)0(=⋅==x x f ;202)()2)(ln 1()2)(ln 1(2)0(-=--=-⋅=n x n x n n n n n f .(11)设函数)(x f 连续,由方程⎰=2)()(x dt t xf x ϕ,若5)1(,1)1(='=ϕϕ,则=)1(f . 【解析】由⎰⎰==22)()()(x x dt t f x dt t xf x ϕ,得)(2)()(202x f x x dt t f x x ⋅⋅+='⎰ϕ,又5)1(2)()1(1=+='⎰f dt t f ϕ,1)()1(10==⎰dt t f ϕ,所以2)1(=f .(12)设函数)(x y y =是微分方程02=-'+''y y y 的解,且在0=x 处)(x y 取得极值3,则=)(x y .【解析】由022=-+λλ,得2,1-==λλ,于是微分方程的特解为x x e C e C y 221-+=,由022)0(21221=-=-='-C C eC e C y xx,3)0(21=+=C C y ,得1,221==C C ,所以x x e e x y 22)(-+=.(13)若函数),(y x z z =由方程132=+++xyz e z y x 确定,则=)0,0(dz.【解析】由dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=, 方程132=+++xyz e z y x 两边对x 求导,0)31(32=+∂∂+∂∂+++yz xzxy x z e z y x , 代入0,0==y 得310-=∂∂=x xz;方程132=+++xyz e z y x 两边对y 求导,0)32(32=+∂∂+∂∂+++xz yzxy y z e z y x , 代入0,0==y 得32-=∂∂=y yz;所以dy dx dz3231)0,0(--=.(14)设三阶矩阵A 的特征值为1,2,2-,E A A B +-=2,其中E 为3阶单位矩阵,则行列式=B .【解析】由矩阵A 的特征值为1,2,2-, 且E A A B +-=2,可知矩阵B 的特征值为1,7,3,所以21=B .三、解答题:15~23小题,共94分。

2015年考研数二真题

2015年考研数二真题

2015年考研数二真题考研数学二作为众多考研学子重点攻克的科目之一,其真题具有重要的研究价值。

2015 年的考研数二真题涵盖了多个重要的知识点,题型分布合理,对考生的数学基础、思维能力和解题技巧都进行了全面的考查。

从选择题来看,题目涉及的知识点较为广泛。

比如,函数的性质、极限的计算、导数的应用等等。

这些题目要求考生对基本概念有清晰的理解,能够迅速准确地运用相关定理和方法进行求解。

填空题部分同样注重对基础知识的考查。

像积分的计算、曲线方程的求解等,需要考生在掌握基本运算规则的前提下,细心认真地完成计算。

在解答题中,难度逐渐递增。

其中,有关于函数的单调性和极值问题,这就要求考生能够熟练运用导数工具,通过求导判断函数的增减性,进而求出极值。

还有一类常见的题型是关于定积分和不定积分的计算。

这不仅考验考生对积分公式的熟练程度,还需要他们能够灵活运用换元法、分部积分法等技巧,将复杂的积分问题化简求解。

另外,在概率论与数理统计的部分,也有相应的题目出现。

例如,求随机变量的概率分布等,这需要考生对概率的基本概念和相关定理有扎实的掌握。

对于 2015 年考研数二真题的整体难度而言,可以说是适中偏难。

它既考查了考生对基础知识的掌握程度,又对考生的综合运用能力和解题思维提出了较高的要求。

对于准备考研数学二的同学来说,研究这套真题具有多重意义。

首先,通过真题可以了解考试的题型和命题规律,明确复习的重点和方向。

其次,在做真题的过程中,可以发现自己在知识上的漏洞和薄弱环节,从而有针对性地进行补充和强化。

再者,反复练习真题有助于提高解题的速度和准确性,培养良好的解题习惯和思维方式。

在复习备考的过程中,建议同学们不要单纯地为了做题而做题。

做完每一道真题后,都要进行深入的分析和总结。

思考这道题考查的知识点是什么,自己的解题思路是否正确,有没有更简便的方法等等。

同时,还可以将真题按照知识点进行分类整理,以便更好地进行对比和归纳。

此外,与同学或老师进行交流也是很有必要的。

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