几何光学、波动光学(一)
光的干涉(第1讲)详解
S
d S2 r
r2
O
d
暗纹中心坐标： d x = (2 k +1) 2d (k=0,1,2,) 0级,1级暗纹 (11-3)
明纹 暗纹
d x = k d P ( k =0,1,2, ) d x = (2 k +1) 2d B r1 S
复色光： 具有多个波长(频率)的光。: 1～2
激光的单色性最好！ 如何获得单色光？
E S
2．光的干涉条件
频率相同；E 的振动方向相同； 相差恒定。
普通光源发出的光一般不能满足干涉条件。
3. 获得相干光的方法 对实验仪器的要求： ① 两束相干光取自同一波列：“一分为二”
② 光波的波程差小于波列长度。
理论：(1) 牛顿的微粒说： 光是按照惯性定律沿直线飞行的微粒流。
u水 u空气
(2)惠更斯的波动说： u水 光是在特殊媒质“以太”中传播的机械波。 此间微粒说占据统治地位。
u空气
三．波动光学时期 (19世纪)
实验： 光的干涉(杨-英) 光的衍射(费涅耳-法)。 此间波动 理论： 麦克斯韦建立电磁场理论，指出光也是电磁波。说占主导 地位。 赫兹证实电磁波的存在；并测出光速。 确定光不是机械波 四．量子光学时期(19世纪后期——20世纪初) 普朗克提出能量量子化假说 爱因斯坦提出光量子假说 认为： 光是以光速运动的粒子流。 光到底是什麽？ ， 光也是物质的一种 它既具有波的性质、也具有粒子的性质。 它既非波、也非粒子、更不是两者的混合物。它就是它自己！
电磁波动说在解释“热幅射”及“光电效应”等实验时遇到困难。
在某些条件下，波动性表现突出，在另一些条件下，粒子性
1-1几何光学的基本原理
物空间 光 学 系 统
像空间
光 学 系 统 实物成虚实象
实物成实象
光 学 系 统 虚物成实象
二、球面透镜
（一）厚透镜和薄透镜 1、厚透镜：一切真实的透镜都有一定的中心 厚度，因此都是厚透镜。 2、薄透镜：透镜厚度为零的透镜。 3、薄透镜组：两个或两个以上的薄透镜组合 而成的光学系统。
平行光线通过凸透镜会聚于一点（焦点）； 从焦点发出的光线通过凸透镜而平行。
（2）二次反射棱镜 相当于双面镜。其出射光线与入射光线的 夹角取决于两反射面的夹角，像与物一致， 不存在镜像。
（3）三次反射棱镜 常用为施密特棱镜 出射光线与入射光线夹角为45度，奇次反 射成镜像。 最大特点：因为光线在棱镜中的光路很长， 可以折叠光路，使仪器结构更紧凑。
2、屋脊棱镜
正透镜：具有正的光焦度，对光束有会聚作用，又叫会聚 透镜或凸透镜。 应用：望远镜、准直仪、光学收发器、放大器、辐射计等 负透镜：具有负的光焦度，对光束有发散作用，又叫发散 透镜或凹透镜。 应用：激光光束扩展器＼光学特征读取器＼观察器和发射 系统等。
凸透镜有：平凸、双凸、月凸。 凹透镜有：平凹、双凹、月凹。
光的本质
光的波粒二象性 光是一种电磁辐射，由于光的折射、 反射、衍射等现象，说明光具有波动性； 同时光还具有热辐射、光电效应等作用， 又说明光具有粒子性，因此可以把光的这 种性质叫作光的波粒二象性。 光学分：波动光学和几何光学。
波动光学的起源
以波动理论研究光的传播及光与物质相互作用的 光学分支。17世纪，R.胡克和C.惠更斯创立了光 的波动说。惠更斯曾利用波前概念正确解释了光 的反射定律、折射定律和晶体中的双折射现象。 这一时期，人们还发现了一些与光的波动性有关 的光学现象，例如F.M.格里马尔迪首先发现光遇 障碍物时将偏离直线传播，他把此现象起名为 “衍射”。胡克和R.玻意耳分别观察到现称之为 牛顿环的干涉现象。这些发现成为波动光学发展 史的起点。
几何光学和波动光学的几个性质
水波的衍射
红光单缝衍射 泊松亮斑
2.波动光学简介
• 光的干涉
两列或几列光波在空间相遇时相互叠加，在某些区域始终加强，在另一 些区域则始终削弱，形成稳定的强弱分布的现象。
2.波动光学简介
• 光的偏振
振动方向对于传播方向的不对称性叫做偏振
●振动方向与缝隙方向 一致可以完全通过 ●振动方向与缝隙方向 垂直完全不能通过
1.几何光学简介
• 几何光学的性质
4.光的折射定律
（1）折射光线位于入射光线和界面法线所决定的平面内； （2）折射线和入射线分别在法线的两侧； （3）入射角的正弦和折射角的正弦的比值，对折射率一 定的两种媒质来说是一个常数.即：
2.波动光学简介
• 波动光学的定义
以波动理论研究光的传播及光与物质相互作用 的光学分支。
2.光的独立传播
两束光传播过程中交叉时，将互不影响，各自保持自 己的特性沿原来的方向独立传播
观察者A和B分别看到 光源S1和S2，不会因 为两光源发出的光交 叉而影响观察者看到 的景象。
1.几何光学简介
• 几何光学的性质
3.光的反射定律
①反射光线与入射光线及法线在同一平面内。 ②反射角等于入射角：
2.波动光学简介
• 光的本质
光的本质是电磁波
2.波动光学简介
• 波动光学中光的参数
1.波长：λ 2.频率：f 3.振幅：A 4.波速：v=f*λ
光在真空中的传播速度为c= 299792458m/s 一般取c=3.0×108m/s
பைடு நூலகம்
2.波动光学简介
• 光的衍射
光绕过障碍物偏离直线传播路径而进入阴影区里的现 象，叫光的衍射
一、光学理论介绍
几何光学_波动光学和量子光学的区别与联系_彭金松
从数学方法上
3 三个光学分支的联系
几何光学 、 波动光学和量子光学虽有表 1 所示的区别 , 但它们之间也有密切的联系 。 12
3 . 1 几何光学与波动光学 光沿直线传播是几何光学的一个基本定律 , 光的衍射是波动光学波动性的一个最基本的特征 。 波的传 播中通常表现出衍射现象 , 即不沿直线传播而向各方向绕射的现象 , 窗户内外的人 , 虽彼此不相见 , 但都能听 到对方的谈话声 , 这说明声波能绕过窗户边缘传播 , 水波也能绕过水面上的障碍物传播 , 无线电波也能绕过 山的障碍 , 使山区也能接收到电台的广播 , 这说明电磁波也能绕过障碍物的边缘传播 , 但光的传播通常看来 是沿着直线传播的 , 遇到不透明的障碍物时 , 会投射出清晰的影子 , 粗看起来 , 衍射和直线传播似乎是彼此矛 盾的现象 。 下面看看光的衍射实验 。 光作为一种波动也存在衍射现象 , 如图 1所示 。 让一单色强点光源 o 发出的光波通过半径为 ρ 且连续可调的小圆孔 后 , 则在小圆孔后的屏上将发现 : 当 ρ 足够大时 , 在屏上看到的是一个均匀 照明的光斑 , 光斑的大小为圆孔的几何投影 (AB 表示屏上光斑的宽度 ), 这 与光的直线传播相一致 。 当 ρ 减小到一定值后 , 屏上的光斑会随着 ρ 的减 小而逐渐扩展 、 弥漫 、光强分布不均匀 , 呈现出明暗相间的同心圆环 , 且圆环 中心时亮时暗 , 这就是光的衍射现象
[ 1]
。
根据爱因斯坦的光子理论 , 光子不仅具有波动性 , 也具有粒子性 , 即具有波粒二象性 。 光的二象性在下 面两个公式 E = hν ,P = h /λ 中 , 特别明显地表现出来 ; 能量 E 和动量 P 是描述粒子特性的标志性物理量 , 而 频率 ν 和波长 λ 是描述波动特性的标志性物理量 , 由此还可看出光的波动特性和粒子特性就是通过普朗克 常数 h 定量地联系起来 。 普朗克常数 h 是对判明波究竟是波动特性还是粒子特性起着决定性作用的物理 量 。 将上两式写成 h = ET , 和 h = Pλ , 于是玻尔 (Bohr) 指出 , h 是两个变量的乘积 : 一个表现粒子特性的 E 和一个表现波动特性的 T = 1 /ν 的乘积 ; 一个表现粒子特性的 P 和一个表现波动特性的 λ 的乘积 。 光的波 长既适宜显示波动特性 , 也显示粒子特性 。 对于长波和低频的光子 , 其能量和动量小 , 则波动性明显 ; 对于短 波和高频的光子 , 其能量和动量较大 , 故其粒子性明显 。 根据前面对波动光学和量子光学的区别的研究 , 我 们知道 : 波动光学侧重研究光的波动性 , 量子光学侧重研究光的粒子性 。 由于光的波粒二象性通过普朗克常 [ 1] [ 3] 数 h定量地联系起来 。 据此 , 我们可以认为 : 波动光学和量子光学也是通过普朗克常数 h 联系起来的 。 13
大学物理波动光学课件
麦克斯韦电磁理论：19 世纪中叶，英国物理学 家麦克斯韦建立了电磁 理论，揭示了光是一种 电磁波，为波动光学提 供了更加深入的理论根 据。
在这些重要人物和理论 的推动下，波动光学逐 渐发展成为物理学的一 个重要分支，并在现代 光学、光电子学等领域 中发挥了重要作用。
02 光的干涉
干涉的定义与分类
定义 分类 分波前干涉 分振幅干涉
干涉是指两个或多个相干光波在空间某一点叠加产生加强或减 弱的现象。
根据光源的性质，干涉可分为两类，分别是ห้องสมุดไป่ตู้波前干涉和分振 幅干涉。
波前上不同部位发出的子波在空间某点相遇叠加产生的干涉。 如杨氏双缝干涉、洛埃镜、菲涅尔双面镜以及菲涅尔双棱镜等
。
一束光的振幅分成两部分（或以上）在空间某点相遇时产生的 干涉。例如薄膜干涉、等倾干涉、等厚干涉以及迈克耳孙干涉
波动光学与几何光学的比较
几何光学
几何光学是研究光线在介质中传播的光学分支，它主要关注 光线的方向、成像等，基于光的直线传播和反射、折射定律 。
波动光学与几何光学的区分
波动光学更加关注光的波动性质，如光的干涉、衍射等现象 ，而几何光学则更加关注光线传播的几何特性。两者在研究 对象和方法上存在差异，但彼此相互补充，构成了光学的完 整体系。
VS
马吕斯定律
当一束光线通过两个偏振片时，只有当两 个偏振片的透振方向夹角为特定值时，光 线才能通过。这就是马吕斯定律，它描述 了光线通过偏振片时的透射情况。这两个 定律在光学和物理学中都有着广泛的应用 。
THANKS
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分类
根据障碍物的大小和光波波长的相对 关系，衍射可分为菲涅尔衍射和夫琅 禾费衍射。
单缝衍射与双缝衍射
单缝衍射
大学物理-第十四章-波动光学
一部分反射回原介质即光线a1， 另一部分折入另一介质，其中一 部分又在Ｃ点反射到Ｂ点然后又 折回原介质，即光线a2。因a1,a2是
从同一光线S1Ａ分出的两束，故
满足相干条件。
S
S1
a
a1
iD
e
A
B
C
a2
n1
n2
n1
31
2 薄膜干涉的光程差
n2 n1
CDAD
sin i n2
跃迁 基态
自发辐射
原子能级及发光跃迁
E h
普通光源发光特 点： 原子发光是断续
的，每次发光形成一
长度有限的波列, 各 原子各次发光相互独
立，各波列互不相干.
10
3.相干光的获得：
①原则：将同一光源同一点发出的光波列，即某个原子某次 发出的光波列分成两束，使其经历不同的路程之后相遇叠加。
S2
r2
P
20
为计算方便，引入光程和光程差的概念。
2、光程
光在真空中的速度 光在介质中的速度
c 1 00
u 1
u1 cn
介质的 折射率
真空
u n c
介质中的波长
n
n
n n
21
介质中的波长
n
n
s1 *
r1
P
波程差 r r2 r1
k 0,1,2,
x
d
'
d
(2k
1)
k 0,1,2,
暗纹
d
2
k=0,谓之中央明纹，其它各级明（暗）纹相对0点对称分布
第十一章波动光学(1)—光程差分波面干涉
长波无线电波
红外线 760nm 短波无线电波
紫外线 400nm X射线
可见光
射线
波长 m 10 8
10 4
10 0
10 4
10 8
10 12
10 16
无线电波 3 10 4 m ~ 0 . 1cm 5 红外线 6 10 nm ~ 760nm 可见光 760 nm ~ 400 nm
求 此云母片的厚度是多少？
解 设云母片厚度为d。无云母片时，零级亮纹在屏上P点，
到达P点的两束光的光程差为零。加上云母片后，到达P 点的两光束的光程差为
(n 1)d
当 P 点为第七级明纹位置时
7
d 7 n 1 7 550 10 1.58 1
6
P
d
6.6 10 mm
第十一章 波动光学
11-1 11-2 光的相干性 光程 分波面干涉
11-3
分振幅干涉
11-4 光的衍射 4-0 第四章教学基本要求 11-5 衍射光栅 4-0 第四章教学基本要求 11-6 光的偏振 4-0 第四章教学基本要求
* 光学发展简史
十七世纪以前 几何光学
十七世纪后半叶
微粒说(牛顿) 机械波动说(惠更斯)
假定 1 0
2 0，则：
2 r2
n2
2
2 r1
s1
*
r1
n1
n1
P
s 2*
r2
n2
( n 2 r2 n 1 r1 )
2 r2
n2
2 r1
n1
2
光学几何光学和波动光学
光学几何光学和波动光学光学几何光学是光学的一个主要分支领域，它主要研究光的传播和成像的几何性质，而波动光学则着重研究光的波动性质和干涉、衍射等现象。
本文将分别介绍和比较光学几何光学和波动光学的基本原理和应用。
一、光学几何光学光学几何光学是一种适用于光传播和成像的理论。
它基于光的传播直线性质，通过光线的追迹和成像原理来研究光学系统，包括透镜、反射镜、光纤等。
光学几何光学主要依赖以下原理：1. 光线传播：光在均匀介质中的传播速度是常量，可以通过直线路径描述光线的传播。
2. 光的反射和折射定律：在光线从一种介质到另一种介质的界面上发生反射或折射时，有相应的定律描述入射角、反射角和折射角之间的关系。
3. 光的成像：根据光线追迹原理，可以通过构造光线追迹图或使用光学元件的公式计算得到光学系统的成像位置和性质。
光学几何光学的应用非常广泛，其中包括凸透镜和凹透镜的成像、显微镜、望远镜、照相机等光学仪器的设计和优化。
通过光学几何光学理论，可以定量地分析和设计光学系统，使其具有所需的成像性能。
二、波动光学波动光学是研究光的波动性质和干涉、衍射等现象的理论。
与光学几何光学相比，波动光学更关注光的波动性质、波动方程和波动现象的解释。
以下是波动光学的基本原理：1. 光的波动性质：光可以被看作一种电磁波，具有波长、频率和振幅等波动性质。
2. 光的干涉和衍射：当光通过一个孔或遇到物体边缘时，会出现干涉和衍射现象。
干涉是指光波叠加引起互相增强或抵消的现象，而衍射是光波绕过障碍物传播和弯曲的现象。
3. 波动光学方程：通过对波动方程的求解，可以得到光波的传播和衍射的数学描述。
4. 非相干光和相干光：在波动光学中，还区分了非相干光和相干光。
非相干光是指光源发出的波长、相位和振幅都是随机变化的，而相干光则是指光源发出的波长和相位是有规律的，可以产生干涉和衍射现象。
波动光学的应用也非常广泛，包括干涉仪、衍射仪、激光、光纤通信等。
通过波动光学理论，我们可以深入理解光的本质和光与物质的相互作用。
物体成像原理
物体成像原理
物体成像原理是指物体在经过光学系统成像时，各点的位置、形状和颜色等特征在成像面上得到可见的结果。
成像原理主要包括几何光学和波动光学两种理论。
在几何光学中，物体成像是基于光的直线传播和反射定律的理论依据。
例如，当光线经过透明介质的界面时，会发生折射现象，根据斯涅尔定律可以预测光线在不同介质中的传播角度。
当光线在平面镜或曲面镜上发生反射时，按照反射定律可以确定光线的入射角和反射角。
根据几何光学原理，我们可以得出以下成像规律：
1. 物距与像距的关系：根据薄透镜成像公式可以得知，物体与像之间的距离与凸透镜的焦距和物体与凸透镜之间的距离有关。
当物体距离透镜的距离等于焦距时，成像位置位于无穷远处，称为无穷远点成像。
2. 物像大小的关系：根据放大倍数的定义，可以计算出物体与像的大小比例。
物体成像时，根据物距与像距的比值关系可以得知物体与像的大小关系。
波动光学是几何光学的补充，它将光视为一种波动现象。
光波经过光学系统成像时，根据波的干涉、衍射和透射等特性会产生一系列现象。
例如，在夜空中看到星星闪烁的现象就是由于大气中的折射和干涉造成的。
波动光学的原理可以用于解释像的分辨率、色散和像差等现象。
综上所述，物体成像原理包括几何光学和波动光学两个方面。
几何光学主要研究光的传播和反射定律，给出物体成像的基本规律；波动光学则通过对光波的特性进行分析，进一步解释了像的分辨率、色散等现象。
这些原理在光学系统设计、成像技术和显微镜等领域具有广泛应用。
第14章-波动光学
39
14-6 单缝衍射
二 光强分布
bsin 2k k
b sin
(2k
2 1)
2
干涉相消（暗纹） 干涉加强（明纹）
I
3 2
bb b
o 2 3 sin
bbb
40
14-6 单缝衍射
S
L1 R
b
L2
Px
x
O
f
I
当 较小时，sin
x f
3 2 o 2 3 sin
b
b
栅）；偏振
1
第十四章 波动光学
14-1 相干光 14-2 杨氏双缝干涉 光程 14-3 薄膜干涉 14-4 迈克尔逊干涉仪 14-5 光的衍射 14-6 单缝衍射 14-7 圆孔衍射
光学仪器的分辨本领
14-8 衍射光栅 14-9 光的偏振性 马吕斯定律 14-10 反射光和折射光的偏振 *14-11 双折射现象 *14-12 旋光现象 14-13 小结 14-14 例题选讲
1）劈尖 d 0
Δ 为暗纹.
2
(k 1) （明纹）
d 2 2n k 2n （暗纹）
25
14-3 薄膜干涉
2）相邻明纹（暗纹）间的厚度差
di1
di
2n
n
2
3）条纹间距（明纹或暗纹）
D L n 2
b
b D n L L
2n
2b 2nb
b
n1 n
L
n n / 2 D
n1
b 劈尖干涉
b
b
b
b
3 f 2 f f
bbb
f b
2 f b
3 f b
x
41
14-6 单缝衍射
波动光学
半波损失
相当于入射波与反射波之间附加了一个半波长的波程差
n1 n2 n1 n2
有半波损失
无半波损失
入射波
反射波
n1
n2
透射波 光密介质
透射波没有半波损失
2014-12-3
光疏介质
例: 双缝干涉实验中 , 用钠光灯作单色光源 , 其波长为 589.3nm, 屏与双缝的距离 D=600 mm.
求: (1) d=1.0mm 和 d=10mm, 两种情况下相邻明条纹间距？ (2) 若相邻条纹的最小分辨距离为0.065mm，能分清干涉 条纹的双缝间距 d 最大是多少？
解: (1) 明纹间距分别为： D 600 5.893 104 x 0.35mm d 1.0
D 600 5.893 104 x 0.035mm d 10 (2) 双缝间距 d 为：
物质相互作用的规律。
波动光学和量子光学，统称为物理光学
光的干涉
1 2 3 4 光的相干性 双缝干涉 薄膜干涉 迈克尔逊干涉仪
光的相干性
一、 光的电磁理论 当光经过物质时, 物质中的电子受到光波中的电 场作用比磁场作用强得多,人们把电场 E 矢量称为光
矢量，E 振动称为光振动.
各色光在真空中的波长 光的颜色 红 橙 黄
2014-12-3
波长(nm) 760－620 620－600 600－580
光的颜色 绿 蓝－靛 紫
波长(nm) 580－490 490－450 450－400
沿着 z 方向传播的单色平面电磁波可以表示为：
x z E x E0cos[ (t ) ] E u O z H y H 0cos[ (t ) ] y H u 式中：ω 为单色光波的角频率
波动光学
光具有波粒二象性机制都不起作用，介质的相对磁导率μr 1800s m 1058924997.21−⋅×==μεc 真空电容率μ0：真空磁导率光速（在介质中）rr μεcu =真空中光速ucn =介质的相对电容率μ是介质的相对磁导率可见光的范围基态原子能级及发光跃迁Δ=10 L⇒称波列长度L为相干长度普通光源的相干长度：理论证明cm 1010→⋅λΔλ=2L 可达几百公里1S 2S P激光的相干长度：L>Δ来自于原子辐射发光的时间有限，所以波列有一定的长度L 。
两列波能发生干涉的最大波程差λλλδΔ==2M M k λ：中心波长钠Na 光，波长589.6nm ，相干长度3.4*10-2m 氦氖激光，波长632.8nm ，相干长度40 *102m2.相干时间光通过相干长度所需时间§3.2 光程一. 光程、光程差媒质λπλϕ2nr =Δ光程:L = nr 在介质中传播的波长，折算成真空中的波长介质的折射率光在介质中传播的距离折算成真空中的长度。
)(1122r n r n −=Δ)(21122λλπϕr r −=ΔδλπλπΔ=−=0112202)(2r n r n杨(Thomas Young) ，英国物理学家、考古学家、医生。
在1801 年做了双孔和双缝干涉实验，首先提出波干涉和波长概念，论证了光的波动性，解释了牛顿环的成因和薄膜的彩色。
他还第一个测量了7 种颜色光的波长。
λ，D >> d (d ∼10 m, D ∼m )波程差：Dxd d d r r ⋅=≈≈−=θθδtg sin 12相位差：πλδϕ2=ΔLL,2,1,0,2,1,02)12(==⎪⎩⎪⎨⎧+±±==k k k k x D d 暗纹明纹λλδp(1)一定时，若变化,则将怎样变化？'d d 、λx Δλd Dx =Δ(2) 一定时,条纹间距与的关系如何？x Δd 'd 、λ白光入射的杨氏双缝干涉照片红光入射的杨氏双缝干涉照片四、杨氏干涉可用于测量波长)2sin (πλθϕd =Δ紧靠镜端处总是产生暗纹，说明在镜端处反射光与入射光的相位差为，相当于光程差，称为半波损失1、劳埃镜实验真空中：12r r −2)12(λ+λk k minmaxL2,1,0±±=k =λ+2介质中：12)()(i i i i r n r n ∑−∑2λ+L =1s s 1020例2：杨氏双缝实验中，测得双缝间距d=0.2mm ，双缝到观察屏的距离D=4m ，折射率n=1.0，1）若同侧的第一级明纹中心到第4级明纹中心的距离为3.0cm ，求单色光的波长。
波动光学
波动光学光学是物理学中一门重要的分支学科。
它是研究光的产生和传播，以及光与物质相互作用的学科。
光学可以分成三个部分：几何光学、波动光学和量子光学。
几何光学：以光的直线传播定律、光的独立传播定律、反射和折射定律为基础，研究光线的传播和对物体成像的规律。
它不涉及光的物理本性，主要应用于各种光学仪器的设计。
波动光学：从光的电磁波理论出发，研究光的干涉、衍射和偏振等现象。
光的波动说首先是惠更斯在1690年提出的，当时人们认为光是在某种假想的介质中传播的机械波。
直到1860年麦克斯韦提出了电磁波理论之后，才认识到光不是机械波，而是波长处于一定波段的电磁波，从而形成了以电磁波理论为基础的波动光学。
量子光学：以量子理论为基础，在微观领域研究光与物质相互作用的规律。
十九世纪末期，在光的电磁理论取得巨大成功的同时，也遇到了严重的困难。
如果认为光是经典的电磁波，就不能解释黑体辐射和光电效应等实验规律。
1900年，普朗克提出能量量子化的概念；1905年爱因斯坦提出光的量子理论，成功地解释了光电效应；康普顿效应的发现，进一步证明了光的微粒性。
这样，在20世纪初，一方面从光的干涉、衍射和偏振等现象确证了光是电磁波，而另一方面，又从光电效应、光压等现象无可怀疑地证明了光的量子性。
由此人们不得不承认光既具有粒子性又具有波动性,称为光的波粒二象性。
本课程只涉及波动光学，介绍作为波动特征的光的干涉、衍射和偏振等现象和规律。
1． 光波 光的相干性 光源1．1 光波的描述理论和实践均已证明：光是频率介于某一范围之内的电磁波，是电矢量E u r 与磁矢量H uu r 的变化在空间的传播，满足由麦克斯韦方程组导出的波动方程。
通常所说的光学区包括紫外线、可见光和红外线，波长范围从310m μ−到310m μ。
可见光是人的眼睛可以感觉到的各种颜色的光波，它的波长范围在400nm ～760nm 之间。
本章所讨论的光学现象是指在可见光范围。
在电场强度E u r 与磁场强度H uu r 中，通常对人的眼睛或感光仪器(如照相底片等)起作用的主要是E u r 矢量，因此我们把光波中E u r 的振动叫作光振动，E u r 振动形成的波场叫作光波场，E u r 矢量叫光矢量。
总结几何光学与波动光学的总结与应用
总结几何光学与波动光学的总结与应用几何光学和波动光学是光学学科中的两个重要分支，它们通过不同的理论和方法来描述和解释光的传播和现象。
本文将对几何光学和波动光学的基本原理进行总结，并探讨它们在现实生活中的应用。
一、几何光学几何光学是研究光在几何上的传播和反射规律的学科。
它假设光是由大量无穷小的光线组成，并遵循光线的传播法则。
以下是几何光学的基本原理和应用。
1. 光的传播路径：几何光学认为光在均匀介质中沿直线传播，光线与光的传播路径相垂直。
这种理论解释了光线在直线传播的情况，例如光的直射、反射和折射现象。
2. 反射和折射规律：根据几何光学的理论，光线在平面镜上的反射遵循入射角等于反射角的规律。
而在两种介质交界面上的折射则遵循斯涅尔定律，即入射角的正弦与折射角的正弦之比等于两个介质的折射率之比。
3. 成像原理与应用：几何光学中的成像原理可以解释物体在光线作用下形成的像的特点。
例如，凸透镜和凹透镜能够通过折光将光线汇聚或发散，用于成像和矫正视力问题。
二、波动光学波动光学是研究光的传播和现象涉及波动性的学科。
它假设光是一种电磁波，光的传播和现象可以用波动的理论和方法来描述。
以下是波动光学的基本原理和应用。
1. 光的干涉与衍射现象：波动光学认为光在传播过程中会发生干涉和衍射现象。
干涉是指两个或多个光波相遇形成明暗条纹的现象，如杨氏双缝实验。
衍射是指光通过小孔或物体边缘时产生偏折和扩散现象，如菲涅尔衍射。
2. 光的波长与频率：波动光学提出了光的波粒二象性，把光看作是由高频率的电磁波组成的。
根据波动光学的原理，光的波长和频率与其颜色和能量有关。
3. 波导与光纤通信：波动光学的研究成果被广泛应用于光通信技术中。
光纤通信利用光的全反射和波导效应，实现了高速、大容量的信息传输。
波动光学的理论指导了光纤通信系统的设计和优化。
总结与应用几何光学和波动光学是光学学科中研究光传播和光现象的两个重要分支。
几何光学着重研究光线在几何上的传播规律和成像原理，适用于解释光的直线传播、反射和折射等现象。
波动光学的基本原理
U~(P) A(P)ei (P)
11
2、平面波和球面波的复振幅
平面波的复振幅
U~(P) Aei(P) Aexp[i(k r 0 )]
球面波的复振幅
U~(P)
A( P)ei ( P)
一、波动概述 时空双重周期性，标量波、矢量波； 波面、波线； 波前、球面波、平面波。
5
二、定态光波的概念
1、定态波场的定义： （1）空间各点的扰动是同频率的简谐振荡 （频率与振源相同）。 （2）波场中各点扰动的振幅不随时间变化， 在空间形成一个稳定的振幅分布。
2、普遍定态标量波的表达形式：
U (P,t) A(P) cos[t (P)]
0 为振源的初相位（下同）。 7
8
定态球面波波函数的特点： （1）振幅反比于场点到振源的距离。
A(P) a / r
（2）位相的分布形式为：
(P) kr 0
9
4、光是一种电磁波，它是矢量波，需要用 两个矢量来描述：
E(P,t) E0 (P) cos[t (P)]
H (P, t) H0 (P) cos[t (P)]
波动光学的基本原理（1）
制作者： 赣南师范学院物理与电子信息学院：
王形华
1
第二章 波动光学的基本原理
几何光学和波动光学是经典光学的两个 组成部分。几何光学从光的直线传播、反射、 折射等基本实验定律出发，讨论成像等特殊 类型的光传播问题， 方法是几何上的，不 涉及到光的本性问题。在经典光学中，从本 质上讲，光是特定波段的电磁波，要真正理 解光，必须研究光的波动性。
仪器的像分辨本领。
第13章 波动光学(习题)
−2
条纹角间距 ∆θ ′ =
λ
d
480 ×10−9 ∆x′ = f ∆θ ′ = 50 × 10 × = 2.4mm −3 0.1× 10
条干涉主极大， （3）单缝衍射的中央包线内共有 条干涉主极大，两端处出现缺级 ）单缝衍射的中央包线内共有9条干涉主极大
波长为500nm和 520nm的两种单色光同时 例 13-15 波长为 和 的两种单色光同时 垂直入射在光栅常量为0.002cm的光栅上 ， 紧靠光栅 的光栅上， 垂直入射在光栅常量为 的光栅上 后用焦距为2m的透镜把光线聚焦在屏幕上 的透镜把光线聚焦在屏幕上。 后用焦距为 的透镜把光线聚焦在屏幕上。求这两束 光的第三级谱线之间的距离。 光的第三级谱线之间的距离。 x2 解： (a + b) sin ϕ = kλ x
A2o A2e C
d(no − ne ) 4300 ∴λ = = k k M 满足上式的波长λ即是在透射光中缺少的光波波长 即是在透射光中缺少的光波波长， 满足上式的波长 即是在透射光中缺少的光波波长， 的可见光范围内， 在400~700nm的可见光范围内，有： 的可见光范围内 k =10, λ10 = 430(nm) k = 9, λ9 = 478(nm)
4.薄膜干涉 4.薄膜干涉
2 δ = 2n2 e cos γ + δ 0 = 2e n2 − n12 sin 2 i + δ 0
5.迈克尔逊干涉仪 5.迈克尔逊干涉仪
三、光的衍射
1.惠更斯1.惠更斯-菲涅尔原理 惠更斯 2.单缝的夫琅和费衍射 2.单缝的夫琅和费衍射 3.圆孔的夫琅和费衍射 3.圆孔的夫琅和费衍射 4.多缝的夫琅和费衍射 4.多缝的夫琅和费衍射 5.X射线衍射 5.X射线衍射 亮纹 asin θ = ±(2k +1) λ , 2 λ θ 0 ≈ 1.22 爱利斑角半径
光学发展简史
至此，光的弹性波动理论既能说明光的直线传播，也能解释光的干 涉和衍射现象，并且横波的假设又可解释光的偏振现象。看来一切 似乎十分圆满了，但这时仍把光的波动看做是“以太”中的机械弹 性波动。至于“以太”究竟是怎样的物质，尽管人们赋予它许多附 加的性质，仍难自圆其说。
这样，光的弹性波理论存在的问题也就暴露出来了。此外，这个理 论既没有指出光学现象和其他物理现象间的任何联系，也没能把表 征介质特性的各种光学常量和介质的其他参量联系起来。
➢
首先观察到光的衍射现象
➢ 也观察到光的衍射现象
➢和
分别独立的研究了薄膜所产生的彩色干涉条纹
所有这些都是光的波动理论的萌芽
由此也拉开了微粒理论和波动理论关于光的本性之争的序幕
微粒理论
以 为代表 认为光是按照惯性定律沿直线飞行的微 粒流 • 直接说明了直线传播定律 • 解释了光的反射和折射定律 • 不能说明衍射现象 • 不能解释牛顿环 • 得出光在水中的速度大于空气中的速
1845年法拉第发现了光的振动面在强磁场中的旋转，从而揭示了光学现象和 电磁现象的内在联系。 1856年韦伯和柯尔劳斯通过在莱比锡做的电学实验发现了电荷的电磁单位和 静电单位的比值等于光在真空中的传播速度。 1865年麦克斯韦指出电磁波以光速传播，说明光是一种电磁现象。 1888年赫兹的实验证实光是一种电磁现象。 至此，确立了光的电磁理论基础，尽管关于以太的问题，要在相对论出现以 后才能得到完全解决。 在此期间，人们还用多种实验方法对光速进行了多次测量 1849年菲佐运用旋转齿轮法以及1862年傅科使用旋转镜法测定了光在各种不 同介质中的传播速度。
04 量 子 光 学 时 期 PART ONE
19世纪末到20世纪初，光学的研究深入到光的发生、光和物质相互作用的微观 机制中。光的电磁理论的主要困难是不能解释光和物质相互作用的某些现象， 例如黑体辐射问题、光电效应。
波动光学
E E 1 0 cos t
s1
r1 p
r2
n1 n2 s2 E E 2 0 cos t
光在n1中的波长
光在n2中的波长
相位差： 2 ( r2 r1 ) 2 1
r2 r1 2 ( ) 2 1
设真空中的波长为λ0
s1
r1 p
0 c cT r2 n1 n1 n1 v1 v1T 1 0 0 1 同理： 2 n1 n2 r2 r1 2 ( ) 2 ( n2 r2 n1 r1 ) 0 / n 2 0 / n1 0
r0 nr
定义：光程:光在介质中走过的几何路程乘以介质折射率 物理意义：“等效真空路程”
二、光程差
r1 E 1 E 10 cos ( t ) v1 2 r1 E 10 cos( t ) 1 r2 E 2 E 20 cos ( t ) v2 2 r2 E 20 cos( t ) 2
二、等倾干涉
2 n2 e cos 2 ' cos
P
2 n 2 e cos '
S
i i D
1
2
3
2.讨论附加光程差 a . n1 n 2 n 3 b. n 1 n 2 n 3
c. n1 n 2 , n 2 n 3
n1
b. n 1 n 2 , n 2 n 3 3.设 ' 2 2 2 2 2 n2 e cos 2 e n 2 n1 sin i 2 2
三、增透膜、增反膜
例 :在折射率为 n1的玻璃基片上均匀镀一层折射率为 n 的透明介质膜.波长λ的单色光由空气(n0)垂直入射,若 使反射光干涉相消,则膜至少多厚?(n0<n<n1) 解:设膜厚度为e 空气n0 光程差: 2 n e cos '
第十三章_波动光学
·p
S *
薄膜
反射光1和2干涉加强、减弱的条件.
补充：薄透镜的等光程性
A B F
A、B光线 在F点 会聚，互相加强
解 释
AF的光程与BF的光程相等， AF比BF经过的几 何路程长，但BF在透镜中经过的路程比AF长， 透镜折射率大于1，因此光程相等。
结论：与光束正交的波面上各点到透镜焦平面 上像点的光程相同。
四、劳埃德镜(Lloyd mirror)实验
P'
P
s1
d
s2
M
L
d'
四、劳埃德镜(Lloyd mirror)实验
思考： 光屏移到 紧贴住反 射镜的端 面处，该 处会出现 眀纹还是 暗纹？
反射光发生了相位为π的突变，相当于光波多走 了（或少走了）半个波长的距离，此现象称为半 波损失（half-wavelength loss）。
在入射单色光一定时，劈尖的楔角θ愈小，则l愈大，
干涉条纹愈疏； θ 愈大，则l愈小，干涉条纹愈密。
当用白光照射时，将看到由劈尖边缘逐渐分开的 彩色直条纹。
劈尖干涉的应用
1 检测工件是否平整
等厚条纹 平晶
待测工件
劈尖干涉的应用
2 测定样品的热膨胀系数
平板玻 璃 石英圆 环
样品
物件向上平移λ/4的距离，上下表面的两反射光的
太阳光
大量光波列形成 了光。太阳光即 由大量的不同波 长、振动方向各 异的波列组成。
2. 获得相干光的途径（方法）
分波阵面方法
从同一波阵面上的不同部分产生次级波相干
分振幅的方法
利用光的反射和折射将同一光束分割成振幅 较小的两束相干光 分波面法 分振幅法 p · 薄膜
波动光学_精品文档
波动光学第一节 光的干涉一、光波的相干叠加1、光波叠加原理：每一点的光矢量等于各列波单独传播时在该点的光矢量的矢量和。
2、光波与机械波相干性比较：（1)相同点：相干条件、光强分布。
（2)不同点：发光机制不同。
3、从普通光获得相干光的方法：(1)分波阵面法：将同一波面上不同部分作为相干光源。
(2)分振幅法：将透明薄膜两个面的反射（透射）光作为相干光源。
4、光程与光程差：（1）光程：即等效真空程：Δ=几何路程×介质折射率。
（2）光程差：即等效真空程之差。
5、光程差引起的相位差：Δφ=φ2-φ1+λ∆∏2，Δ为光程差，λ为真空中波长。
（1）Δφ=2k ∏时，为明纹。
（2）Δφ=（2k+1)∏时，为暗纹。
6、常见情况：（1）真空中加入厚d 的介质，增加（n-1)d 光程。
（2）光由光疏介质射到光密介质界面上反射时附加λ/2光程。
（3）薄透镜不引起附加光程。
二、分波面两束光的干涉1、杨氏双缝实验：（1）Δ=±k λ时，（k=0,1,2,3……）为明纹。
Δ=±（2k-1)2λ时，（k=1,2,3……）为暗纹。
（2）x=λdD k ±时，为明纹。
x=2)12(λd D k -±时，为暗纹。
(k=0,1,2,……) （3）条纹形态：平行于缝的等亮度、等间距、明暗相间条纹。
（4）条纹亮度：Imax=4I1,Imin=0.（5）条纹宽度：λdD x =∆. 2、其他分波阵面干涉：菲涅耳双棱镜、菲涅耳双面镜。
三、分振幅干涉1、薄膜干涉：2sin 222122λ+-=i n n e Δ反（2λ项：涉及反射，考虑有无半波损失） 透Δi n n e 22122sin 2-=（无2λ项） 讨论：（1）反Δ/透Δ=k λ时，(k=1,2,3……）为明纹，（2k+1)2λ时，（k=0,1,2……）为暗纹。
（2）等倾干涉：e 一定，Δ随入射角i 变化。
（3）等厚干涉：i 一定，Δ随薄膜厚度e 变化。
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几何光学、波动光学（一）作业班级:_____________ 姓名:_____________ 学号:_____________ 日期:__________年_______月_______日 成绩:_____________ 一、选择题 1.如图所示，折射率为n 2、厚度为e 的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质的折射率分别为n 1和n 3，已知n 1< n 2> n 3．若用波长为λ的单色平行光垂直入射到该薄膜上，则从薄膜上、下两表面反射的光束(用①与②示意)的光程差是(A) 2n 2 e ． (B) 2n 2 e －λ / 2. (C) 2n 2 e －λ ． (D) 2n 2 e －λ / (2n 2)．［ ］ 2.如图所示，平行单色光垂直照射到薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，若薄膜的厚度为e ，并且n 1＜n 2＞n 3，λ1为入射光在折射率为n 1的媒质中的波长，则两束反射光在相遇点的相位差为(A) 2πn 2e / ( n 1 λ1)． (B)[4πn 1e / ( n 2 λ1)] + π．(C) [4πn 2e / ( n 1 λ1) ]+ π． (D) 4πn 2e / ( n 1 λ1)．［ ］3.单色平行光垂直照射在薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，如图所示，若薄膜的厚度为e ，且n 1＜n 2＞n 3，λ1为入射光在n 1中的波长，则两束反射光的光程差为(A) 2n 2e ． (B) 2n 2 e - λ1 / (2n 1)．(C) 2n 2 e - n 1 λ1 / 2． (D) 2n 2 e - n 2 λ1 / 2．［ ］如图，S 1、S 2是两个相干光源，它们到P 点的距离分别为r 1和r 2．路径S 1P 垂直穿过一块厚度为t 1，折射率为n 1的介质板，路径S 2P 垂直穿过厚度为t 2，折射率为n 2的另一介质板，其余部分可看作真空，这两条路径的光程差等于(A) )()(111222t n r t n r +-+(B) ])1([])1([211222t n r t n r -+--+ (C) )()(111222t n r t n r ---(D) 1122t n t n - ［ ］ 5.n 3n 1 3λ1 n 3PS 1S2 r 1 n 1 n 2t 2r 2t 1在双缝干涉实验中，屏幕E 上的P 点处是明条纹．若将缝S 2盖住，并在S 1 S 2连线的垂直平分面处放一高折射率介质反射面M ，如图所示，则此时 (A) P 点处仍为明条纹．(B) P 点处为暗条纹．(C) 不能确定P 点处是明条纹还是暗条纹．(D) 无干涉条纹．［ ］ 6.在双缝干涉实验中，两条缝的宽度原来是相等的．若其中一缝的宽度略变窄(缝中心位置不变)，则(A) 干涉条纹的间距变宽． (B) 干涉条纹的间距变窄． (C) 干涉条纹的间距不变，但原极小处的强度不再为零．(D) 不再发生干涉现象． ［ ］ 7.在双缝干涉实验中，两条缝的宽度原来是相等的．若其中一缝的宽度略变窄(缝中心位置不变)，则(A) 干涉条纹的间距变宽． (B) 干涉条纹的间距变窄． (C) 干涉条纹的间距不变，但原极小处的强度不再为零．(D) 不再发生干涉现象． ［ ］ 8.在图示三种透明材料构成的牛顿环装置中，用单色光垂直照射，在反射光中看到干涉条纹，则在接触点P 处形成的圆斑为 (A) 全明．(B) 全暗．(C) 右半部明，左半部暗．(D) 右半部暗，左半部明． ［ ］ 9.如图a 所示，一光学平板玻璃A 与待测工件B λ＝500 nm (1 nm=10-9 m)的单色光垂直照射．看到的反射光的干涉条纹如图b 所示．有些条纹弯曲部分的顶点恰好与其右边条纹的直线部分的连线相切．则工件的上表面缺陷是(A) 不平处为凸起纹，最大高度为500 nm ． (B) 不平处为凸起纹，最大高度为250 nm ． (C) 不平处为凹槽，最大深度为500 nm ． (D) 不平处为凹槽，最大深度为250 nm ．［ ］ 10.把一平凸透镜放在平玻璃上，构成牛顿环装置．当平凸透镜慢慢地向上平移时，由反射光形成的牛顿环(A) 向中心收缩，条纹间隔变小．图中数字为各处的折射图b(B) 向中心收缩，环心呈明暗交替变化． (C) 向外扩张，环心呈明暗交替变化． (D) 向外扩张，条纹间隔变大． ［ ］ 二、填空题 11.单色平行光垂直入射到双缝上．观察屏上P 点到两缝的距离分别为r 1和r 2．设双缝和屏之间充满折射率为n 的媒质，则P 点处二相干光线的光程差为________________．12. 在双缝干涉实验中，所用光波波长λ＝5.461×10–4mm ，双缝与屏间的距离D ＝300 mm ，双缝间距为d ＝0.134 mm ，则中央明条纹两侧的两个第三级明条纹之间的距离为__________________________． 13.一双缝干涉装置，在空气中观察时干涉条纹间距为1.0 mm ．若整个装置放在水中，干涉条纹的间距将为____________________mm ．(设水的折射率为4/3) 14.波长为λ的平行单色光垂直地照射到劈形膜上，劈形膜的折射率为n ，第二条明纹与第五条明纹所对应的薄膜厚度之差是________________． 15.已知在迈克耳孙干涉仪中使用波长为λ的单色光．在干涉仪的可动反射镜移动距离d 的过程中，干涉条纹将移动________________条． 16.有一凹球面镜，曲率半径为20 cm ，如果把小物体放在离镜面顶点6 cm 处，则像在镜__________________cm 处，是______像．（正或倒） 17.有一凸球面镜，曲率半径为20 cm ．如果将一点光源放在离镜面顶点14 cm远处，则像点在镜______________cm 处，是________像．（实或虚） 18.有一凸球面镜，曲率半径为40 cm ，物体放在离镜面顶点20 cm 处，物高是4 cm ，则像高为______________cm ，是______像．（正或倒） 19.一薄透镜对物体的横向放大率m = _________________，m 值的正或负表示像的____________________．p d r 1 r 2S 2S 1 n20.一薄透镜的焦距f = -20 cm．一物体放在p = 30 cm处，物高h0 = 5 cm．则像距q = __________cm，像高h i = __________cm．三、计算题21.在双缝干涉实验中，波长λ＝550 nm的单色平行光垂直入射到缝间距a＝2×10-4 m的双缝上，屏到双缝的距离D＝2 m．求：(1) 中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距；(2) 用一厚度为e＝6.6×10-5 m、折射率为n＝1.58的玻璃片覆盖一缝后，零级明纹将移到原来的第几级明纹处？(1 nm = 10-9 m)22.在双缝干涉实验中，单色光源S0到两缝S1和S2的距离分别为l1和l2，并且l1－l2＝3λ，λ为入射光的波长，双缝之间的距离为d，双缝到屏幕的距离为D(D>>d)，如图．求：(1) 零级明纹到屏幕中央O点的距离．(2) 相邻明条纹间的距离．23.双缝干涉实验装置如图所示，双缝与屏之间的距离D＝120 cm，两缝之间的距离d＝0.50 mm，用波长λ＝500 nm (1 nm=10-9 m)的单色光垂直照射双缝．(1) 求原点O (零级明条纹所在处)上方的第五级明条纹的坐标x．(2) 如果用厚度l＝1.0×10-2 mm，折射率n＝1.58的透明薄膜复盖在图中的S1缝后面，求上述第五级明条纹的坐标x'．24.用波长为500 nm (1 nm=10-9 m)的单色光垂直照射到由两块光学平玻璃构成的空气劈形膜上．在观察反射光的干涉现象中，距劈形膜棱边l= 1.56 cm的A 处是从棱边算起的第四条暗条纹中心．(1) 求此空气劈形膜的劈尖角θ；(2) 改用600 nm的单色光垂直照射到此劈尖上仍观察反射光的干涉条纹，A 处是明条纹还是暗条纹？(3) 在第(2)问的情形从棱边到A处的范围内共有几条明纹？几条暗纹？屏参考答案1.B2.C3.C4.B5.B6.C7.C8.D9.B 10.B11.n(r2–r1 ) 3分12.7.32 mm3分13.0.75 3分14.3λ / (2n) 3分15.2d/λ 3分16.后15（或-15）2分正1分17.后5.8(或-5.8) 2分虚1分18.2 2分正1分19.-( q / p ) 2分正或倒1分20.-12 2分2 1分21.解：(1) ∆x＝20 Dλ / a2分＝0.11 m 2分(2) 覆盖云玻璃后，零级明纹应满足(n－1)e＋r1＝r22分设不盖玻璃片时，此点为第k级明纹，则应有r2－r1＝kλ2分所以(n－1)e = kλk＝(n－1) e / λ＝6.96≈7零级明纹移到原第7级明纹处2分22.解：(1) 如图，设P 0为零级明纹中心 则 D O P d r r /012≈- 3分 (l 2 +r 2) - (l 1 +r 1) = 0∴ r 2 – r 1 = l 1 – l 2 = 3λ ∴ ()d D d r r D O P /3/120λ=-= 3分 (2) 在屏上距O 点为x 处, 光程差 λδ3)/(-≈D dx 2分 明纹条件 λδk ±= (k ＝1，2，....)()d D k x k /3λλ+±=在此处令k ＝0，即为(1)的结果．相邻明条纹间距d D x x x k k /1λ=-=+∆ 2分23.解：(1) ∵ dx / D ≈ k λx ≈Dk λ / d = (1200×5×500×10-6 / 0.50)mm= 6.0 mm 4分 (2) 从几何关系，近似有r 2－r 1≈ D x /d ' 有透明薄膜时，两相干光线的光程差 δ = r 2 – ( r 1 –l +nl ) = r 2 – r 1 –(n -1)l ()l n D x 1/d --'=对零级明条纹上方的第k 级明纹有 λδk =零级上方的第五级明条纹坐标()[]d k l n D x /1λ+-=' 3分=1200[(1.58－1)×0.01±5×5×10-4] / 0.50mm=19.9 mm 3分 24.解：(1) 棱边处是第一条暗纹中心，在膜厚度为e 2＝21λ处是第二条暗纹中心，依此可知第四条暗纹中心处，即A 处膜厚度 e 4=λ23∴ ()l l e 2/3/4λθ==＝4.8×10-5 rad 5分 (2) 由上问可知A 处膜厚为 e 4＝3×500 / 2 nm ＝750 nm对于λ＇＝600 nm 的光，连同附加光程差，在A 处两反射光的光程差为λ'+2124e ，它与波长λ'之比为0.321/24=+'λe ．所以A 处是明纹 3分(3) 棱边处仍是暗纹，A 处是第三条明纹，所以共有三条明纹，三条暗纹． 2分P dλ x '。