2020高中数学---取球问题

第90炼 取球问题
一、基础知识：
在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下：
1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同。

2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取”
3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步抽球的影响
4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数。

5、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解。

二、典型例题：
例1：一袋中有6个黑球，4个白球
（1）不放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 （2）有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 （3）有放回的依次取出3个球，求取到白球个数X 的分布列，期望和方差
（1）思路：因为是不放回的取球，所以后面取球的情况受到前面的影响，要使用条件概率相关公式进行计算。

第一次已经取到白球，所以剩下6个黑球，3个白球；若第二次取到黑球，则第三次取到黑球的概率为
65
98
⋅，若第二次取到白球，则第三次取到黑球的概率为36
98
⋅，从而能够得到第三次取到黑球的概率 解：设事件A 为“不放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”
()65364829898723
P A ∴=
⋅+⋅== （2）思路：因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型，所以第三次取球时依然是6个黑球，3个白球，取得黑球的概率为
69
解：设事件B 为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”
()23
P B ∴=
（3）思路：本问依然属于独立重复试验模型，X 的取值为0,1,2,3，则X 符合二项分布，
即23,5X
B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以可通过二项分布的概率计算公式求得概率，得到分布列 解：X 的取值为0,1,2,3，依题意可得：23,5X
B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
()3
0332705125P X C ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭ ()2
133254155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ ()1
2233236255125P X C ⎛⎫
⎛⎫=== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭ ()3
332835125
P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭
23,5X
B ⎛⎫
⎪⎝⎭
26355EX ∴=⋅
= 2318
35525
DX =⋅⋅=
例2：已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲，乙两个盒内各任取2个球 （1）求取出的4个球中没有红球的概率 （2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率
（3）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望
思路：本题这三问的关键在于所取球中红球的个数，考虑红球个数来自于两个盒内拿出红球个数的总和，所以可将红球总数进行分配，从而得到每个盒中出红球的情况，进而计算出概率
（1）设事件i A 为“甲盒中取出i 个红球”，事件j B 为“乙盒中取出j 个红球”
则()()22133322
46
,i i j j
i j C C C C P A P B C C --== 设事件A 为“4个球中没有红球”
则()()()0202
13330022
46331
61510
C C C C P A P A P B C C =⋅=⋅=⋅= （2）设事件B 为“4个球中恰有1个红球”
()()()02111102
1333133301102222
464639332
6156155
C C C C C C C C P B P A B P A B C C C C ∴=+=⋅+⋅=⋅+⋅= （3）ξ可取的值为0,1,2,3
()()1
010
P P A ξ∴===
()()215P P B ξ===
()()()02201111
1333133302112222
46462
25C C C C C C C C P P A B P A B C C C C ξ==+=⋅+⋅= ()()1102
1333122246331
361510
C C C C P P A B C C ξ===⋅=⋅=
ξ∴的分布列为：
01231055102
E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=
例3：甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．
（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．
解：（1）设事件A 为“两只手中所取的球颜色不同”，则A 为“两只手中所取的球颜色相同”
()()
2333432
119999993
P A P A ⎛⎫=-=-⋅+⋅+⋅= ⎪⎝⎭
（2）X 可取的值为0,1,2
左手取球成功的概率2222341
295
18
C C C P C ++==
右手取球成功的概率22233322
91
4
C C C P C ++== ()511301118424P X ⎛
⎫⎛⎫∴==-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()51517
111184184
18
P X ⎛⎫⎛⎫==-⋅+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()515
218472
P X ==
⋅=
X ∴的分布列为
01224187236
EX ∴=⨯
+⨯+⨯= 例4：袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍，每次从袋中摸出一个球，然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第5次摸球后结束
（1）求摸球四次就停止的事件发生的概率
（2）记摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其期望
（1）思路：本题为有放回摸球，可理解为独立重复试验，如果摸球四次就停止，说明在这四次中一共摸到3次红球，且前三次有两次摸到红球，第四次又摸到红球。

通过红白球数量关系可知一次摸球中摸到红球的概率为
1
3
，然后可按照分析列式并求出概率。

解：设事件A 为“摸球四次即停止摸球“
解：依题意可得：在一次摸球中，摸到红球的概率为
13
()2
23214
339
P A C ⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）思路：可知ξ可取的值为0,1,2,3，当0,1,2ξ=时，摸球是通过完成5次后停止，所以可利用独立重复试验模型计算概率；当3ξ=时，按照规则有可能摸球提前结束，所以要按摸球的次数（3次，4次，5次）分类讨论后再汇总
解：ξ可取的值为0,1,2,3
()523203243P ξ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭ ()4
151280133243P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()2
3
25
1280233243
P C ξ⎛⎫⎛⎫
===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()32
2
2
2234112112151173333333324381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
ξ∴的分布列为：
01232432432438181
E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=
例5：某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖． （1）求分别获得一、二、三等奖的概率；
（2）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 解：（1）设i A 为“获得i 等奖”
()111111
4444256P A =
⨯⨯⨯=
()()3
231111514444256
P A A =⨯⨯⨯⋅-=
()1233411119444464P A C A =⋅⨯⨯⨯⋅= （2）摸球次数ξ可取的值为1,2,3,4
()114P ξ∴==
()31324416
P ξ==⋅=
()3319344464P ξ==
⋅⋅= ()33327
444464
P ξ==⋅⋅=
ξ∴的分布列为：
123441664644
E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=
例6：学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球；乙箱子里面装有1个白球，2个黑球；这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏后将球放回原箱） （1）求在一次游戏中 ① 摸出3个白球的概率 ② 获奖的概率
（2）求在三次游戏中获奖次数X 的分布列与期望
（1）思路：本题的结果实质上是一个“拼球”的过程，即两个箱子各自拿球，然后统计白球的个数。

则①：若摸出3个白球，则情况为甲2乙1。

②：若获奖，则白球个数不少于2个，可分成白球有3个或有2个两种情况，分别求出概率再求和即可 解：设i A 为“甲箱子里取出i 个白球”，j B 为“乙箱子里取出j 个白球” ① 设事件A 为“摸出3个白球”
()()211
3122121
531
5
C C C P A P A B C C ⋅∴==⋅= ② 设事件B 为“获奖”（即白球不少于2个）
()()()()111122
3212321120212222
535317
510
C C C C C C P B P A B P A B P A B C C C C ⋅∴=++=⋅+⋅+= （2）思路：三次游戏可视为独立重复试验，所以获奖次数X 服从二项分布，由（1）可得
73,10X
B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，从而可利用公式计算概率，列出分布列 解：X 可取的值为0,1,2,3，依题意可得：73,10X
B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
()3033270101000P X C ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭ ()2
1373189110101000
P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭ ()2
23
73441210101000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ ()3
3373433101000
P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭ X ∴的分布列为：
73,10X
B ⎛⎫
⎪⎝⎭
72131010
EX ∴=⋅
= 例7：一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。

（1）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；
（2）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”（每次操作完成后将球放回），某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。

（1）思路：此问可用古典概型解决，事件Ω为“10个球中任意摸出3个球”，则()3
10n C Ω=，
所求事件A 为“均是白球”，则()3
4n A C =，从而()()()
1
30
n A P A n =
=
Ω 解：设事件A 为“3个球均为白球“
()3431041
12030
C P A C ===
（2）思路：按题目叙述可知对于摸3次球，由于是有放回的摸，所以相当于独立重复试验，结合ξ的含义可知ξ服从二项分布。

但“摸球成功”的概率还未知，所以先根据“摸球成功”的要求利用古典概型计算出一次成功的概率，再通过二项分布的公式计算ξ的分布列即可 解：设事件B 为“一次摸球成功”
()213064643
10802
1203
C C C C P B C ⋅+⋅∴===
ξ的取值为0,1,2,3，依题意可得：23,3B ξ
⎛⎫ ⎪⎝⎭
()3
03110327P C ξ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭ ()2
1321613327P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭ ()2
1
23
211223327P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3
33283327
P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ξ∴的分布列为：
101232279927
E ξ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯= 例8：袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等.
（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）用X 表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X 的分布列和数学期望. （1）思路：本题的特点在于每个编号都有3个球，若将这12个球视为不同元素，则可利用古典概型进行计算，设Ω为“12个球中任取3个”，则()3
12n C Ω=，事件A 为“三个球数
字各不相同”，则计数时第一步要先选出不同的三个编号，即3
4C ，然后每个编号中都有3个小球可供选择，即1
1
1
333C C C ⋅⋅，所以()()2
3
143
n A C C =⋅。

进而可计算出()P A
解：设事件A 为“三个球数字各不相同”
()()()
()3
31
433
12
2755
C C n A P A n C ⋅∴=
=
=
Ω （2）思路：依题意可知X 的取值为1,2,3,4，依然用古典概型解决，但要明确X 取每个值时所代表的情况：当1X =时，只能3个球均为1号球；当2X =时，说明至少有一个2号
球，其余的用1号球组成，即32112
33333C C C C C ++，或者使用间接法：从1,2号共6个球中
先随意取三个，再减去不含2号球的情况，即(
)
33
63C C -个，同理可得：3X =时，至少有
一个3号球，其余的球为1,2号球，所以由()
36
93
C C -个，4X =时，至少有一个4号球，
其余的球为1,2,3号球，所以由()
33
129
C C -个，进而求得概率得到分布列 解：X 的取值为1,2,3,4
()3331211220C P X C ∴=== ()33
633
1219
2220C C P X C -=== ()3396312643220C C P X C -=== ()331293
12136
4220
C C P X C -=== X ∴的分布列为：
1234220220555522044
EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯==
例9：一个盒子中装有大小相同的小球n 个，在小球上分别标有1,2,3,,n 的号码，已知从
盒子中随机的取出两个球，两球的号码最大值为n 的概率为1
4
， （1）盒子中装有几个小球？
（2）现从盒子中随机的取出4个球，记所取4个球的号码中，连续自然数的个数的最大值为随机变量ξ（如取2468时，1ξ=；取1246时，2ξ=，取1235时，3ξ=） （1）思路：以两球号码最大值为n 的概率为入手点，则该叙述等价于“取出一个n 号球和
一个其它号码球的概率为
1
4
，从而利用古典概型列出关于n 的方程并解出n 解：设事件A 为“两球号码最大值为n ”
()1
1
2
114
n n C P A C -⋅∴==即()11142
n n n -=- 解得：8n = （2）思路：由（1）可得小球的编号为18-，结合所给的例子可知ξ的取值为1,2,3,4，其概率可用古典概型计算。

1ξ=代表所取得数两两不相邻，可能的情况有{}1,3,5,7，
{}{}{}{}1,3,5,8,1,3,6,8,1,4,6,8,2,4,6,8共5种；2ξ=表示只有一对相邻的数或两对相邻
的数（两队相邻的数之间不再相邻）；3ξ=表示有三个相邻的数，
与另一个数不相邻；4ξ=
表示四个数均相邻，共5个。

由于2ξ=包含情况较复杂，所以可以考虑算出其他情况的概率再用1减即可。

解：ξ的取值为1,2,3,4
()4
851114
P C ξ==
= ()484234202
3707P C ξ⨯+⨯==== ()48551
47014
P C ξ==
== ()()()()4211347
P P P P ξξξξ∴==-=-=-==
ξ∴的分布列为：
123414771414
E ξ∴=⨯+⨯+⨯
+⨯=
例10：袋中装有35个球，每个球上分别标有135-
的一个号码，设号码为n 的球重
2
5152
n n -+克，这些球等可能的从袋中被取出 （1）如果任取1球，试求其重量大于号码数的概率 （2）如果不放回任意取出2球，试求它们重量相等的概率
（3）如果取出一球，当它的重量大于号码数，则放回，将拌均匀后重取；当它的重量小于号码数时，则停止取球，按照以上规则，最多取球3次，设停止之前取球次数为ξ，求ξ的分布列和期望
思路：（1）本题的球重与编号存在函数关系，要解得重量大于号码数的概率，先要判断出在
35个球中，那些球的重量大于号码数，即解不等式2
5152n n n -+>，可解出6n >+6n <-，所以n 的解集为{}1,2,3,9,10,11,
35共30个数，所以取出球重量大于号码
数的概率为
306357
= 解：设事件A 为“取1球其重量大于号码数”
若球重量大于号码数，则2
5152
n n n -+> 212300n n ∴-+>
，解得：6n >+
6n <-135,n n N *≤≤∈
n ∴的取值集合为{}1,2,3,9,10,11,
35，共30个元素
()306357
P A ∴=
= （2）思路：不妨设取出的球的编号为,m n ，从而22
51551522
n m n m -+=-+，可推得：10m n +=，从而取出球的组合为{}{}{}{}1,9,2,8,3,7,4,6共4组，所以概率为
235
4
C 解：设所取球的编号为,m n ，依题意可得：
22
51551522
n m n m -+=-+ ()()()2210100n m n m n m n m ∴-=-⇒-+-=
m n ≠ 10m n ∴+=
取出球的组合为{}{}{}{}1,9,2,8,3,7,4,6 设事件B 为“取出2球重量相等”
()23544
595
P B C ∴=
= （3）思路：依题意可知：ξ可取的值为1,2,3，由（1）可知球重量大于号码的概率为
6
7
，因为是可放回的抽取，所以每次抽取为独立重复试验。

当1ξ=时，可知取出的球重量小于号码数；当2ξ=时，则第一次取出的球比号码数大，第二次取出的球比号码数小；当3ξ=时，则前两次取出的球比号码数大（无论第三次如何都终止取球），从而求出概率得到分布列
解：ξ可取的值为1,2,3，由（1）可知取出球重量大于号码的概率()6
7
P A =
()()
611177
P P A ξ∴===-
=
()61627749P ξ==
⋅=
()6636
37749
P ξ==⋅= ξ∴的分布列为：
1237494949
E ξ∴=⨯+⨯+⨯=
三、历年好题精选
1、（2014，福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ① 顾客所获的奖励额为60元的概率； ② 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．
（2）商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
2、（2014，重庆）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片． (1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望． (注：若三个数,,a b c 满足a b c ≤≤，则称b 为这三个数的中位数)
3、袋中共有10个大小相同的编号为1,2,3的球，其中1号球有1个，2号球有3个，3号球有6个
（1）从袋中任意摸出2个球，求恰好是一个2号球和一个3号球的概率
（2）从袋中任意摸出2个球，记得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望
4、袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，现从袋中任意取出3个小球，假设每个小球被取出的可能性都相等
（1）求取出的3个小球上的数字分别是1,2,3的概率 （2）求取出的3个小球上的数字恰有2个相同的概率 （3）用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求X 的分布列
习题答案：
1、解析：（1）① 设顾客所获的奖励额为X
()11
13241
602
C C P X C ∴===
（2）X 可取的值为20,60
()1113241602C C P X C === ()23241
202
C P X C ===
X ∴的分布列为
所以顾客所获的奖励额的期望为40EX =． （2）每个顾客平均奖励额为
60000
601000
=元，可知期望有可能达到60的只有方案()10,10,50,50或()20,20,40,40，分别分析以下两种方案：
方案一：()10,10,50,50，则1X 的取值为20,60,100
()12411206P X C === ()11
2212
42
603
C C P X C ⋅=== ()124111006P X C === 1121
206010060636
EX ∴=⋅+⋅+⋅=
()()()2221121
160020606060100606363
DX =-⋅+-⋅+-⋅=
方案二：()20,20,40,40，则2X 的取值为40,60,80
()22411406P X C === ()112222
42
603
C C P X C ⋅=== ()22411806P X C === 2121
40608060636
EX ∴=⋅+⋅+⋅=
()()()2221121
4004060606080606363
DX =-⋅+-⋅+-⋅=
由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.
2、解析：（1）设事件A 为“3张卡片数字完全相同”
()33
433
95
84
C C P A C +∴== （2）X 可取的值为1,2,3
()3214453
93417
18442C C C P X C +==== ()1122133443633
943
284C C C C C C P X C ++=== ()21
273
971
38412
C C P X C ==== X ∴的分布列为：
174312342841228
EX ∴=⋅
+⋅+⋅= 3、解析：（1）设事件A 为“一个2号球，一个3号球”
()11362
102
5
C C P A C ⋅∴== （2）ξ可取的值为3,4,5,6
()1321011315C P C ξ⋅=== ()21362
1011
45C C P C ξ+⋅=== ()1136210255C C P C ξ=== ()262101
63
C P C ξ===
ξ的分布列为：
134********
E ξ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯= 4、解析：（1）设事件A 为“3个小球上的数字分别是1,2,3”
()1112223
101
15
C C C P A C ⋅⋅== （2）设事件B 为“3个小球上的数字恰有2个相同”
()11583101
3
C C P B C ==
（3）X 可取的值为2,3,4,5
()121
2223
104
2120C C C P X C +=== ()211224243
1016
3120
C C C C P X C +===
()211226263
1036
4120C C C C P X C +=== ()2112
28283
1064
5120
C C C C P X C +=== X 的分布列为：
12345301510153
E ξ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯=。