2019河南中考数学专题训练—几何图形的折叠与动点问题
2019河南中考数学专题训练—几何图形的折叠与动点问题
几何图形的折叠与动点问题1.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝9，点E 在BC 上，CE ＝4，点F 是AD 上的一个动点，若把△BEF 沿EF 折叠，点B 落在点B ′处，当点B ′恰好落在矩形ABCD 的一边上，则AF 的长为________．第1题图3或 113 【解析】如解图①，当点B ′落在边AD 上时，则易证四边形BEB ′F 为菱形，∴BF ＝BE ＝9－4＝5，由勾股定理易求AF ＝3；如解图②，当点B ′落在边CD 上时，BE ＝B ′E ＝9－4＝5.由勾股定理易求B ′C ＝3，∴B ′D ＝4－3＝1.设AF ＝x ，则FD ＝9－x .根据折叠的性质得BF ＝B ′F ，∴x 2＋42＝(9－x )2＋12，解得x ＝113，∴AF ＝3或 113.第1题解图2.如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，点P 是边BC 上的动点，现将纸片折叠，使点A 与点P 重合，折痕与矩形边的交点分别为E 、F ，要使折痕始终与边AB 、AD 有交点，则BP 的取值范围是________．第2题图6－25≤BP≤4【解析】①如解图①，当F、D重合时，BP的值最小，根据折叠的性质可知：AF＝PF＝6，在Rt△PFC中，PF＝6，FC＝4，则PC＝25，∴BP min＝6－25；②如解图②，当E、B重合时，BP的值最大，根据折叠的性质即可得到AB＝BP＝4，即BP的最大值为4；故BP的取值范围是6－25≤BP≤4.第2题解图3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，E，F分别是线段AD、BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为__________．第3题图4或4－22【解析】当C落在BE的延长线上时，对应点为P1，如解图①，连接FP1，AP1，过P1点作P1H⊥FC，垂足为点H，交AD于点N，设FH＝x，∵∠P1BH＝45°，∴P1H＝BH＝x＋2，由折叠性质可得P1F＝FC＝6－2＝4，在Rt△P1HF中，x2＋(x＋2)2＝42，解得x＝7－1或x＝－7－1(舍去)，∴P1H＝2＋7－1＝7＋1，P1N＝7＋1－2＝7－1，在Rt△P1NA 中，AP1＝AN2＋P1N2＝（7＋1）2＋（7－1）2＝4；当点C落在F A的延长线上时，对应点为P 2，如解图②，易知P 2F ＝CF ＝4，AF ＝22＋22＝22，∴AP 2＝P 2F －AF ＝4－2 2 .第3题解图4.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC (AD ＜BC )，AB 与CD 不平行，AB ＝CD ＝5，BC ＝12，点E 是BC 上的动点，将∠B 沿着AE 折叠，使点B 落在直线AD 上的点B ′处，DB ′＝1，直线BB ′与直线DC 交于点H ，则DH ＝________．第4题图511或513 【解析】如解图①所示，∵AD ∥BC ，∴△HB ′D ∽△HBC ，∴HD HC ＝DB ′CB ，∵AB ＝CD ＝5，BC ＝12，DB ′＝1，∴HD 5＋HD ＝112，解得：HD ＝511；如解图②所示，∵AD ∥BC ，∴△HB ′D ∽△HBC ，∴HD HC ＝DB ′BC ，∵AB ＝CD ＝5，BC ＝12，DB ′＝1，∴HD 5－HD ＝112，解得：DH ＝513.故DH 的长度为511或513.5.如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝8，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′分线段MN为3∶5的两部分时，EN的长为________．第5题图355 11或53913【解析】由翻折的性质，得AB＝AB′，BE＝B′E.①当MB′＝3，B′N＝5时，设EN＝x，得B′E＝x2＋25.由题意得△B′EN∽△AB′M，∴ENB′M＝B′EAB′，即x3＝x2＋258，解得x2＝4511，∴EN＝x＝35511；②当MB′＝5，B′N＝3时，设EN＝x，得B′E＝x2＋9，由题意得△B′EN∽△AB′M，∴ENB′M＝B′EAB′，即x5＝x2＋98，解得x2＝7513，∴EN＝x＝53913，故EN的长为35511或53913.6.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是对角线BD上一动点，将纸片折叠，使点C与点P重合，折痕为EF，折痕EF的两端分别在BC、DC边上(含端点)，当△PDF为直角三角形时，FC的长为________．第6题图24 7或83【解析】在矩形ABCD中，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝10.由折叠得PE＝EC，PF＝CF，∠EPF＝∠FCE ＝90°.∵∠PDF＜90°，∴△PDF为直角三角形有以下两种情况：(Ⅰ)如解图1，当∠PFD＝90°时，∵∠FCE＝∠FPE＝∠PFC＝90°，∴四边形PECF 是矩形．∵PF＝FC，∴四边形PECF是正方形，∴PF∥BC，∴△DPF∽△DBC，∴PFBC＝DFDC.设FC＝PF＝x，则DF＝6－x，∴x8＝6－x6，解得：x＝247，即FC＝247；(Ⅱ)如解图2，当∠DPF＝90°时，∵∠FPE＝∠FCB＝90°，∴此时点E与点B重合，∴BP＝BC＝8，∴PD＝10－8＝2.∵∠PDF公用，∠DPF＝∠DCB＝90°，∴△DPF∽△DCB，∴PFBC＝PDDC，即：PF8＝26，解得：PF＝83，∴FC＝83.综上所述，FC的长为247或83.第6题解图7.如图，正方形的边长为4，E是BC的中点，点P是射线AD上一动点，过P 作PF ⊥AE 于F .若以P 、F 、E 为顶点的三角形与△ABE 相似，则P A ＝________．第7题图2或5 【解析】分两种情况：如解图①，当△EFP ∽△ABE 时，则有∠PEF ＝∠EAB ，∴PE ∥AB ，∴四边形ABEP 为矩形，∴P A ＝EB ＝2；如解图②，当△PFE ∽△ABE 时，则有∠PEF ＝∠AEB ，又∵∠P AF ＝∠AEB ，∴∠PEF ＝∠P AF ，∴PE ＝P A ，∵PF ⊥AE ，∴点F 为AE 的中点，∵AE ＝42＋22＝25，PE AE ＝EF EB ，即PE 25＝52，得PE ＝5，∴P A ＝5，∴当P A ＝2或P A ＝5时，以P 、F 、E 为顶点的三角形与△ABE 相似．第7题解图8.如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，E 是AD 中点，点P 在射线BD 上运动，若△BEP 为等腰三角形，则线段BP 的长度等于____________．第8题图 2或53或655 【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∴∠BAD ＝90°，AE ＝DE ＝1，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴BE ＝2AB ＝ 2.若△BEP 为等腰三角形，则分三种情况：①当BP ＝BE 时，显然BP ＝2；②当PB ＝PE 时，如解图①，连接AP .∵PB ＝PE ，AB ＝AE ，∴AP 垂直平分BE ，∵△ABE 是等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠EAP ＝45°，作PM ⊥AB 于点M ，设PM ＝x ，∵S △ABD ＝S △ABP ＋S △APD ，∴12×1×2＝12×1×x ＋12×2×x ，解得x ＝23，∴PM ＝23，∴BP ＝PM sin ∠ABD＝2325＝53；③当EB ＝EP 时，如解图②，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，过点E 作EG ⊥BD 于点G ，在Rt △ABF 中，AF ＝AB ·sin ∠ABF ＝1×25＝255，∵AE ＝ED ，EG ∥AF ，∴EG ＝12AF ＝55，在Rt △BEG 中，∵BE ＝2，EG ＝55，∴BG ＝BE 2－EG 2＝355，∵EB ＝EP ，EG ⊥BP ，∴BP ＝2BG ＝655.综上所述，线段BP 的长度等于2或53或655.第8题解图①第8题解图②9.如图，在▱ABCD 中，∠B ＝30°，AB ＝AC ，O 是两条对角线的交点，过点O 作AC 的垂线分别交边AD 、BC 于点E 、F ；点M 是边AB 的一个三等分点．则△AOE 与△BMF的面积比为__________．第9题图3∶4或3∶8 【解析】如解图，连接AF 、MF ，∵AB ＝AC ，∠B ＝30°，∴∠ACB ＝∠B ＝30°， ∵点O 是对角线的交点，EF ⊥AC ，∴AF ＝FC ，∴∠ACB ＝∠F AC ＝30°，∴∠F AB ＝90°，∴BF ＝2AF ＝2FC ，∵点M 为AB 的三等分点，如解图①，当BM ＝13AB 时，设S △BMF ＝a ，则S △AMF ＝2a ，S △ABF ＝3a ，∴S △AFC ＝3a 2，∴S △AOE ＝3a 4，∴S △AOE ∶S △BMF ＝3a 4∶a ＝3∶4.则△AOE 与△BMF 的面积比为3∶4；如解图②，当BM ＝23AB 时，S △AOE ∶S△BMF ＝3a 4∶2a ＝3∶8.综上所述：△AOE 与△BMF 的面积比为3∶4或3∶8.第9题解图①第9题解图②10.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，E 为斜边AB 的中点，点P 是射线BC 上的一个动点，连接AP 、PE ，将△AEP 沿着边PE 折叠，折叠后得到△EP A ′，若△EP A ′与△ABC 的另一个交点为F ，当EF ＝14AB 时，则BP 的长为________．第10题图 2或23 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，E 为斜边AB 的中点，∴AB ＝4，AE ＝12AB ＝2，BC ＝2 3.①若P A ′与AB 交于点F ，连接A ′B ，如解图①，由折叠可得S △A ′EP ＝S △AEP ，A ′E ＝AE ＝2，∵点E 是AB 的中点，∴S △BEP ＝S △AEP ＝12S △ABP .∵EF ＝14AB ，∴S △EFP ＝12S △BEP ＝12S △AEP ＝12S △A ′EP ，∴EF ＝12BE ＝BF ，PF ＝12A ′P ＝A ′F .∴四边形A ′EPB 是平行四边形，∴BP ＝A ′E ＝2；②若EA ′与BC 交于点F ，连接AA ′，交EP 于H ，如解图②.同理可得FP ＝12BP ＝BF ，EF ＝12×2＝1.∵BE ＝AE ，∴EF ＝12EA ′＝12AP ＝1，∴AP ＝2＝AC ，∴点P 与点C 重合，∴BP ＝BC ＝2 3.故BP 的长为2或2 3.第10题解图① 第10题解图②。
河南中招折叠专题
河南中招折叠专题一．填空题（共38小题）1．如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标是．2．若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是．3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜边AC上的一点，且AE=AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C 落在DE所在直线上，则折痕的长度为．4．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF 绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为．5．如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC 沿BE折叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，CE=．6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，AE=4，点F是边BC上一点，将△ABF 沿AF折叠，使点B落在BE上的点B′处，射线DC与射线AF相交于点M，若点N是射线AF上一动点，则当△DMN是等腰三角形时，AN的长为．7．如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且AB ∥MN，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD边上距D点最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=．8．如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为．9．如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP=．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C逆时针，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度旋转α角后得到△A′B′Ｃ数是度，阴影部分的面积为．11．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD 的长为．12．已知如图所示，矩形ABCD，P为BC上的一点，连接AP，过D点做DH⊥AP 交AP与H，AB=2，BC=4，当△CDH为等腰三角形时，则BP=．13．如图所示，在一张长为4cm、宽为3cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长2cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，另两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形面积为cm2．14．如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′Ｂ，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=．15．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．16．矩形纸片ABCD中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为．17．如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′Ｄ平行于Rt△ABC的直角边时，AD的长为．18．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2014的坐标是．19．如图所示，⊙I是Rt△ABC的内切圆，点D、E、F分别是切点，若∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，则⊙I的周长为cm．20．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线l垂直平分BF，垂足为D，当△AFC是等腰三角形时，BD的长为．21．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是．22．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是边BC上一动点，把△DCE沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP 的长为．23．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC的余弦值为．24．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=．25．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为．26．如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE折叠，点D落在矩形ABCD内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE的长为．27．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），点D 是x轴上一个动点，以AD为一直角边在右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，若△ABD为等腰三角形时点E的坐标为．28．如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D 处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长为．29．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE 折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为．30．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，点D在双曲线上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好也落在此双曲线上，则a的值是．31．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A、B的对应点G、F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN的长为．32．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．33．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．34．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的一个动点，以EF为对称轴折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，则CF的取值范围为．35．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积．36．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG=．37．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，点E在边BC上，且BE=2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C、D的对应点分别为C′、D′，折痕与边AD交于点F，当点B、C′、D′恰好在同一直线上时，AF的长为．38．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=10，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是．三．解答题（共1小题）39．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求直线AB和OB的解析式．（2）求抛物线的解析式．（3）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．问△BOD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值并写出此时点D的坐标；若不存在说明理由．参考答案与试题解析一．填空题（共38小题）1．如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标是P（5，2），P（8，8），P（0，﹣8），P （3，﹣2）．【解答】解：∵直线l过点A（4，0），且l⊥AB，∴直线L的解析式为；y=2x﹣8，∠BAO+∠PAC=90°，∵PC⊥x轴，∴∠PAC+∠APC=90°，∴∠BAO=∠APC，∵∠AOB=∠ACP，∴△AOB∽△PCA，∴=，∴==，设AC=m，则PC=2m，∵△PCA≌△PDA，∴AC=AD，PC=PD，∴==，如图1：当△PAD∽△PBA时，则=，则==，∵AB==2，∴AP=4，∴m2+（2m）2=（4）2，∴m=±4，当m=4时，PC=8，OC=8，P点的坐标为（8，8），当m=﹣4时，如图2，PC=8，OC=0，P点的坐标为（0，﹣8），如图3，若△PAD∽△BPA，则==，PA=AB=×2=，则m2+（2m）2=（）2，∴m=±1，当m=1时，PC=2，OC=5，P点的坐标为（5，2），当m=﹣1时，如图4，PC=2，OC=3，P点的坐标为（3，﹣2）；则所有满足此条件的点P的坐标是：P（5，2 ），p（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2）．故答案为：P（5，2 ），p（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2）．3．若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是3＜x＜7．【解答】解：如图所示：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为：（7，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是：3＜x＜7．故答案为：3＜x＜7．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜边AC上的一点，且AE=AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C 落在DE所在直线上，则折痕的长度为和．【解答】解：∵∠ABC=90°，AC=10，BC=8，∴AB==6，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠EAD，在△ABD与△AED中，，∴△ABD≌△AED，∴∠AED=∠B=90°，BD=DE，如图1，过M作MP⊥DE于P，∵EM平分∠PEC，∴∠PEM=45°，∴PE=PM，∵△EC′Ｍ是△ECM沿EM折叠得到的，∴EC′=EC=AC﹣AE=4，设PE=PM=x，则PC′=4﹣x，∵tanC=tanC′＝，∴，解得：x=，∴EM=PM=；如图2，∵tanC=，∴DE=BD=3，∴CD=C′D=5，∴C′E=2，∵tanC′=tanC=，∴EM=，∴DM===．综上所述：折痕的长度为：和．故答案为：和．5．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF 绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为或或．【解答】解：（1）当BD=BQ，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，则AB=5，过D作DM⊥BC与M，DN⊥AC于N，如图，∵D为AB的中点，∴DM=AN=AC=，BD=AB=，DN=BM=BC=2，∴BQ=BD=，QM=﹣2=，∴∠3=90°﹣∠B，而∠2+∠3=90°，∴∠2=∠B，又∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠EDF=∠A=90°﹣∠B，而∠1+∠EDF+∠2=90°，∴∠1=∠B，即∠1=∠2，∴△DQM∽△DPN，∴PN：QM=DN：DM，即PN：=2：，∴PN=，∴AP=+=；（2）当DB=DQ，则Q点在C点，如图，DA=DC=，而Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠EDF=∠A，∴△CPD∽△CDA，∴CP：CD=CD：CA，即CP：=：3，∴CP=，∴AP=3﹣=；（3）当QB=QD，则∠B=∠BDQ，而∠EDF=∠A，∴∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，如图，∴Rt△APD∽Rt△ABC，∴AP：AB=AD：AC，即AP：5=：3，∴AP=．故答案为或或．6．如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC 沿BE折叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，CE=．【解答】解：∵AB=4，AD=3，∴BD=5，∵把△EBC沿BC折叠得到△BC′Ｅ，，∴C′E=CE，BC′=BC=AD=3∵当点C落在矩形ABCD的对角线上，∴D，C′，B三点共线，∴C′D=2，∠DC′E=90°，∵DE=4﹣CE，∵DE2=DC′2+C′Ｅ2，即（4﹣CE）2=22+CE2，∴CE=．故答案为：．7．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，AE=4，点F是边BC上一点，将△ABF 沿AF折叠，使点B落在BE上的点B′处，射线DC与射线AF相交于点M，若点N是射线AF上一动点，则当△DMN是等腰三角形时，AN的长为2或5或18．【解答】解：由题意可知，AF⊥BE，∴∠BAF+∠ABE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠D=90°，∴∠BAF+∠DAM=90°，∴∠DAM=∠ABE，∴△ABE∽△DAM，∴=，∴=，∴DM=8，AM===10，①当MN=MD时，AN=AM﹣DM=10﹣8=2或AN=AM+DM=10+8=18，②当ND=NM时，易知点N是AM中点，所以AN=AM=5，综上所述，当AN=2或5或18时，△DMN是等腰三角形．8．如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且AB ∥MN，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD边上距D点最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=．【解答】解：∵将纸片的一角沿过点B的直线折叠，A落在MN上，落点记为A′，∴A′B=AB=1，∵AB∥MN，M是AD边上距D点最近的n等分点，∴MD=NC=，∴BN=BC﹣NC=1﹣=，在Rt△A′BN中，根据勾股定理得，A′Ｎ2=A′Ｂ2﹣BN2=12﹣（）2=，所以，A′N==．故答案为：．9．如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为或．【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作⊥BC交BC于点PD′Ｐ∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB﹣BM=7﹣x，又折叠图形可得AD=AD′=5，∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4，即MD′=3或4．在Rt△END′中，设ED′=a，①当MD′=3时，AM=7﹣3=4，D′N=5﹣3=2，EN=4﹣a，∴a2=22+（4﹣a）2，解得a=，即DE=，②当MD′=4时，AM=7﹣4=3，D′N=5﹣4=1，EN=3﹣a，∴a2=12+（3﹣a）2，解得a=，即DE=．故答案为：或．10．如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP=﹣1或．【解答】解：连接AE，∵四边形ABCD、APEF是正方形，∴A、E、C共线，①当CD=CE=时，AE=AC﹣EC=2﹣，∴AP=AE=﹣1②当ED=EC时，∠DEC=90°，∠EDC=∠ECD=45°，EC=CD=1，∴AE=AC﹣EC=1，∴AP=AE=．∴当△CDE为等腰三角形时，AP=﹣1或．故答案为﹣1或．11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C逆时针，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度旋转α角后得到△A′B′Ｃ数是60度，阴影部分的面积为．【解答】解：∵AC=A′Ｃ，且∠A=60°，∴△ACA′是等边三角形．，∴∠ACA′=60°﹣60°=30°，∴∠A′CB=90°∵∠CA′D=∠A=60°，∴∠CDA′=90°，﹣30°=60°，∵∠B′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB=90°，∴∠CB′D=30°∴CD=CB′＝CB=×2=1，∴B′D==，∴S△CDB′=×CD×DB′＝×1×=，S扇形B′CB==，则阴影部分的面积为：﹣，故答案为：﹣．12．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD 的长为．【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′＝，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′＝，∴BD=CD′＝，故答案为：．13．已知如图所示，矩形ABCD，P为BC上的一点，连接AP，过D点做DH⊥AP 交AP与H，AB=2，BC=4，当△CDH为等腰三角形时，则BP=4﹣2、2或2．【解答】解：①当HD=HC时，过点H作HE⊥CD于点E，延长EH交AB于点F，连接DP，如图1所示．∵HD=HC，∴点E为CD的中点，∵EF∥AD，∴FH为△ABP的中位线，∴AH=HP．∵DH⊥AP，∴△DAP为等腰三角形，∴AD=DP．设BP=a，则CP=4﹣a，由勾股定理得：DP2=CD2+CP2，即16=8+（4﹣a）2，解得：a=4﹣2，或a=﹣4﹣2（舍去）；②当DH=DC时，如图2所示．∵DC=AB=2，∴DH=2．在Rt△AHD中，AD=4，DH=2，∴AH==2，∴AH=DH，∴∠DAH=∠ADH=45°．∵AD∥BC，∴∠APB=∠DAH=45°，∵∠B=90°，∴△ABP为等腰直角三角形，∴BP=AB=2；③当CH=CD时，过点C作CE⊥DH于点E，延长CE交AD于点F，如图3所示．∵CH=CD，CE⊥DH，∴DE=HE=DH．∵DH⊥CF，DH⊥AP，∴CF∥AP，∵AF∥CP，∴四边形AFCP为平行四边形，∴AF=CP．∵EF∥AH，DE=HE，∴DF=AF=AD=2，∴BP=BC﹣CP=BC﹣AF=4﹣2=2．综上所述：BP的长度为4﹣2、2或2．故答案为：4﹣2、2或2．14．如图所示，在一张长为4cm、宽为3cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长2cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，另两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形面积为2或cm2．【解答】解：如图1，等腰三角形面积为：×2×2=2，如图2，等腰三角形的高为：=，则其面积为：×2×=．故答案为：2或．15．如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′Ｂ，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=或1．【解答】解：∵△BP'C是由△BPA旋转得到，∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，∵∠ABP+∠PBC=90°，∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，∴△BPP'是等腰直角三角形，∴∠BP'P=45°，∵∠APB=∠CP'B=135°，∴∠PP'C=90°，设BP=BP'=a，AP=CP'=b，则PP'=a，在RT△PP'C中，∵PP'2+P'C2=PC2，且PC=3，∴CP'==，∵BP的长a为整数，∴满足上式的a为1或2，当a=1时，AP=CP'=，当a=2时，AP=CP'=1，故答案为：或1．16．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是或4．【解答】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应情况，有两种情况：①△B′FC∽△ABC时，=，，又因为AB=AC=6，BC=8，B′F=BF所以=，解得BF=；②△B′CF∽△BCA时，=，，又因为AB=AC=6，BC=8，B′F=CF，BF=B′Ｆ又BF+FC=8，即2BF=8，解得BF=4．故BF的长度是或4．故答案为：或4．17．矩形纸片ABCD中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为．【解答】解：如图所示，设PF⊥CD，∵BP=FP，由翻折变换的性质可得BP=B′Ｐ，，∴FP=B′Ｐ∴FP⊥CD，∴B′，F，P三点构不成三角形，∴F，B′重合分别延长AE，CD相交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠AGD，∵∠BAG=∠B′AG，∴∠AGD=∠B′AG，，∴GB′=AB′=AB=5∵PB′（PF）⊥CD，∴PB′∥AC，∴△ACG∽△PB′Ｇ，∵Rt△ACB′中，AB′=AB=5，AC=3，∴B′C==4，∴CB′=5﹣4=1，CG=CB′+B′G=4+5=9，∴△ACG与△PB′Ｇ的相似比为9：5，∴AC：PB′=9：5，∵AC=3，∴PB′＝．故答案为：．18．如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′Ｄ平行于Rt△ABC的直角边时，AD的长为2或2﹣2．【解答】解：Rt△ABC中，BC=AC=2，，∴AB=2，∠B=∠A′CB=45°①如图1，当A′Ｄ∥BC，设AD=x，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，，A′D=AD=x，∴∠A′＝∠A=∠A′CB=45°∵∠B=45°，⊥AB，∴A′Ｃ∴BH=BC=，DH=A′D=x，∴x+=2，∴x=2﹣2，∴AD=2﹣2；②如图2，当A′Ｄ∥AC，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，∴AD=A′Ｄ，AC=A′Ｃ，∠ACD=∠A′CD，∵∠A′DC=∠ACD，∴∠A′DC=∠A′CD，，∴A′D=A′Ｃ∴AD=AC=2，综上所述：AD的长为：2或2﹣2．19．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2014的坐标是（2014，2016）．【解答】解：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，由题意可得：A（0，2），AO∥A1B1，∠B1OC=30°，∴CO=OB1cos30°=，∴B1的横坐标为：，则A1的横坐标为：，连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上，∵点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，AO=2，∴直线AA1的解析式为：y=x+2，∴y=×+2=3，∴A1（，3），同理可得出：A2的横坐标为：2，∴y=×2+2=4，∴A2（2，4），∴A3（3，5），…A2014（2014，2016）．故答案为：（2014，2016）．20．如图所示，⊙I是Rt△ABC的内切圆，点D、E、F分别是切点，若∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，则⊙I的周长为2πcm．【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，∴AC=3cm，设⊙I的半径为x，∵⊙I是Rt△ABC的内切圆，∴AE=3﹣x，BF=4﹣x，故3﹣x+4﹣x=5，解得：x=1，故⊙I的周长为2πcm．故答案为：2π．21．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线l垂直平分BF，垂足为D，当△AFC是等腰三角形时，BD的长为或﹣1．【解答】解：∵等腰Rt△ABC中，AB=AC=2，∴BC=2，分两种情况：①当AF=CF时，∠FAC=∠C=45°，∴∠AFC=90°，∴AF⊥BC，∴BF=CF=BC=，∵直线l垂直平分BF，∴BD=BF=；②当CF=CA=2时，BF=BC﹣CF=2﹣2，∵直线l垂直平分BF，∴BD=BF=﹣1；故答案为：或﹣122．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是6﹣π．【解答】解：连接AD，∵BC是切线，点D是切点，∴AD⊥BC，∴∠EAF=2∠EPF=100°，∴S扇形AEF==π，S△ABC=AD?BC=×2×6=6，∴S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF=6﹣π．故答案为：6﹣π．23．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是边BC上一动点，把△DCE沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP 的长为或．【解答】解：∵AD=BC=4，DF=CD=AB=6，∴AD＜DF，故分两种情况：①如图所示，当FA=FD时，过F作GH⊥AD与G，交BC于H，则HG⊥BC，DG=AD=2，∴Rt△DFG中，GF==4，∴FH=6﹣4，∵DG∥PH，∴△DGF∽△PHF，∴=，即=，解得PF=﹣6，∴DP=DF+PF=6+﹣6=；②如图所示，当AF=AD=4时，过F作FH⊥BC于H，交DA的延长线于G，则Rt△AFG中，AG2+FG2=AF2，即AG2+FG2=16；Rt△DFG中，DG2+FG2=DF2，即（AG+4）2+FG2=36；联立两式，解得FG=，∴FH=6﹣，∵∠G=∠FHP=90°，∠DFG=∠PFH，∴△DFG∽△PFH，∴=，即=，解得PF=﹣6，∴DP=DF+PF=6+﹣6=，故答案为：或．24．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC的余弦值为．【解答】解：设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，∵∠COD=90°，∴CD是直径，即CD=10，∵C（0，5），∴OC=5，∴OD==5，∵∠OBC=∠ODC，∴cos∠OBC=cos∠ODC===．故答案为：．25．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）=900°﹣（5﹣2）×180°=900°﹣540°=360°．故答案为：360°．26．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为或．【解答】解：①点A落在矩形对角线BD上，如图1，∵AB=4，BC=3，∴BD=5，，根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′Ｐ，∠A=∠PA′D=90°∴BA′=2，设AP=x，则BP=4﹣x，∵BP2=BA′2+PA′2，∴（4﹣x）2=x2+22，解得：x=，∴AP=；②点A落在矩形对角线AC上，如图2，根据折叠的性质可知DP⊥AC，∴△DAP∽△ABC，∴，∴AP===．故答案为：或．27．如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE折叠，点D落在矩形ABCD内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE的长为或．【解答】解：①：CD'=BD'时，如图，由折叠性质，得AD=AD′，∠DAE=∠D′AE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，∵△BCD′为等腰三角形，，∠D′BC=∠D′CB，∴D′B=D′Ｃ∴∠DCD′＝∠ABD′，在△DD′Ｃ和△AD′Ｂ中，，∴△DD′Ｃ≌△AD′Ｂ，∴DD′=AD′，，∴DD′=AD′=AD∴△ADD′是等边三角形，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴DE=AE，设DE=x，则AE=2x，（2x）2﹣x2=42，解得：x=，即DE=．②：当CD'=CB时，如图，连接AC，由于AD'=4，CD'=4，而AC==＞4+4；故这种情况不存在．③当BD'=BC时，如图过D'作AB的垂线，垂足为F，延长D'F交CD于G，由于AD'=BD'，D'F=D'F；易知AF=BF，从而由勾股定理求得D'F===，又易证△AD'F∽△D'EG，设DE=x，D'E=x，∴，即；解得x=综上，故答案为：或．28．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），点D 是x轴上一个动点，以AD为一直角边在右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，若△ABD为等腰三角形时点E的坐标为（2，2）或（2，4）或（2，2）或（2，﹣2）．【解答】解：连接EC．∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=EC．∠ABD=∠ACE=45°，∵∠ACB=45°，∴∠ECD=90°，∴点E在过点C垂直x轴的直线上，且EC=DB，①当DB=DA时，点D与O重合，BD=OB=2，此时E（2，2）．②当AB=AD时，BD=CE=4，此时E（2，4）．③当BD=AB=2时，E（2，2）或（2，﹣2），故答案为（2，2）或（2，4）或（2，2）或（2，﹣2）．29．如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D 处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长为7或．【解答】解：①当点A落在如图1所示的位置时，∵△ACB是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，∴∠BMD=∠NDC，∴△BMD∽△CDN．∴得==，∵DN=AN，∴得==，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=2，CD=8，设AN=x，则CN=10﹣x，∴==，∴DM=，BM=，∵BM+DM=10，∴+=10，解得x=7，∴AN=7；②当A在CB的延长线上时，如图2，与①同理可得△BMD∽△CDN．∴得==，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=，CD=，设AN=x，则CN=x﹣10，∴==，∴DM=，BM=，∵BM+DM=10，∴+=10，解得：x=，∴AN=．故答案为：7或．30．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE 折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为2或1．【解答】解：连接B′Ｄ，过点B′作B′Ｍ⊥AD于M．∵点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上，∴设DM=B′M=x，则AM=7﹣x，又由折叠的性质知AB=AB′=5，∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：AM2=AB′2﹣B′Ｍ2即（7﹣x）2=25﹣x2，解得x=3或x=4，则点B′到BC的距离为2或1．故答案为：2或1．31．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，点D在双曲线上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好也落在此双曲线上，则a的值是2．【解答】解：过点CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，在y=2x+4中，令x=0，解得：y=4，即B的坐标是（0，4）．令y=0，解得：x=﹣2，即A的坐标是（﹣2，0）．则OB=4，OA=2．∵∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAF=90°，又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，∴∠DAF=∠OBA，在△OAB和△FDA中，，∴△OAB≌△FDA（AAS），同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，∴AF=OB=EC=4，DF=OA=BE=2，∴D的坐标是（﹣6，2），C的坐标是（﹣4，6）．将点D代入y=得：k=﹣12，则函数的解析式是：y=﹣．∴OE=6，则C的纵坐标是6，把y=6代入y=﹣得：x=﹣2．即G的坐标是（﹣2，6），∴CG=4﹣2=2．∴a=2．故答案为：2．32．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A、B的对应点G、F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN的长为或．【解答】解：分两种情况：①如图所示，当∠DFE=90°时，△DEF为直角三角形，∵∠CDF+∠CFD=∠EFN+∠CFD=90°，∴∠CDF=∠EFN，由折叠可得，EF=EB，∴∠EFN=∠EBN，∴∠CDF=∠CBD，又∵∠DCF=∠BCD=90°，∴△DCF∽△BCD，∴=，即=，∴CF=，∴FN==，∴CN=CF+NF=+=；②如图所示，当∠EDF=90°时，△DEF为直角三角形，∵∠CDF+∠CDB=∠CDF+∠CBD=90°，∴∠CDF=∠CBD，又∵∠DCF=∠BCD=90°，∴△DCF∽△BCD，∴=，即=，∴CF=，∴NF==，∴CN=NF﹣CF=﹣=，综上所述，CN的长为或．故答案为：或．33．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或2或2．【解答】解：当∠APB=90°时（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB=BC=4，∴AP=AB?sin60°=4×=2；当∠ABP=90°时（如图2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===2，在直角三角形ABP中，AP==2，情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=2，故答案为：2或2或2．34．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．【解答】解：延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE交于点H，如图所示：∵∠A=60°，四边形ABCD是菱形，∴∠MDF=60°，∴∠MFD=30°，设MD=x，则DF=2x，FM=x，∵DG=1，∴MG=x+1，∴（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解得：x=0.3，∴DF=0.6，AF=1.4，∴AH=AF=0.7，FH=AF?sin∠A=1.4×=，∵CD=BC，∠C=60°，∴△DCB是等边三角形，∵G是CD的中点，∴BG⊥CD，∵BC=2，GC=1，∴BG=，设BE=y，则GE=2﹣y，∴（）2+y2=（2﹣y）2，解得：y=0.25，∴AE=1.75，∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05，∴EF===．故答案为：．35．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的一个动点，以EF为对称轴折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，则CF的取值范围为≤CF≤3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，BC=AD=5，CD=AB=3，当点D与F重合时，CF最大=3，如图1所示：当B与E重合时，CF最小，如图2所示：在Rt△ABG中，∵BG=BC=5，AB=3，∴AG==4，∴DG=AD﹣AG=1，设CF=FG=x，在Rt△DFG中，∵DF2+DG2=FG2，∴（3﹣x）2+12=x2，∴x=，∴≤CF≤3．故答案为≤CF≤3．36．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积．【解答】解：如图1，作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P．∵∠B=60°，∴CK=BC?sin60°=4×=2 ，∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，∴点E到CD的距离是2 ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠D=∠B，∠A=∠BCD，由折叠可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，∴BC=GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，∴∠BCE=∠GCF，在△BCE和△GCF中，，∴△BCE≌△GCF（ASA）；∴CE=CF，∵∠B=60°，∠EPB=90°，∴∠BEP=30°，∴BE=2BP，设BP=m，则BE=2m，∴EP=BE?sin60°=2m×=m，由折叠可知，AE=CE，∵AB=6，∴AE=CE=6﹣2m，∵BC=4，∴PC=4﹣m，在Rt△ECP中，由勾股定理得（4﹣m）2+（﹣m）2=（6﹣2m）2，解得m=，∴EC=6﹣2m=6﹣2×=，∴CF=EC=，∴S△CEF=××2 =，故答案为．37．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，。
2019年河南中考数学之选择、填空重难点题型：专题四 几何图形的折叠与动点问题
折叠后点位置的不确定
8．(2018· 达州)如图，Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝2，BC＝5，点 D 是 BC 边上 一点，且 CD＝1，点 P 是线段 DB 上一动点，连接 AP，以 AP 为斜边在 AP 的下方作等 腰直角三角形 AOP.在点 P 从点 D 运动至点 B 的过程中， 点 O 的运动路径长为 2 2 ．
4．如图，在直角坐标系中，点 A(4，0)，B(0，2)，过点 A 的直线 l⊥AB，点 P 是 直线 l 上一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴，垂足为点 C，把△ACP 沿 AP 翻折，使点 C 落在 点 D 处，且以点 A，D，P 为顶点的三角形与△ABP 相似，则所有满足条件的点 P 的坐 标是 (5，2)或(8，8)或(0，－8)或(3，－2) ．
12．(2018· 安阳一模改编)在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝9，点 E 是 AD 边上一动 点， 将△ABE 折叠， 点 A 的对应点为 A′， 若点 A′到矩形较长两对边的距离之比为 1∶3， 4 4 则线段 AE 的长为 5 15或7 7或 4 3 ． 13．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝6，点 E 为 AD 边上一点，将△ABE 沿 BE 折叠，点 A 落在点 A′处，取 BE 的中点 F，连接 A′F，当 A′F 平行于矩形的某条边 时，AE 的长为
折叠后特殊三角形的判定
1．(2018· 宜宾)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，CB＝2，点 E 为线段 AB 上的动点， 将△CBE 沿 CE 折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，下列结论正确的是 ①②③ 所有正确结论的序号) ．(写出
①当 E 为线段 AB 中点时，AF∥CE； 9 ②当 E 为线段 AB 中点时，AF＝ ； 5 13－2 13 ③当 A，F，C 三点共线时，AE＝ ； 3 ④当 A，F，C 三点共线时，△CEF≌△AEF.
河南省2019年中考数学专题复习专题三 几何图形的折叠与动点问题训练(含答案)
专题三几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关(2018·河南)如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE 并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为________．【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①∠A′EF＝90°，②∠A′FE＝90°进行讨论．【自主解答】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A′EF＝90°时，如解图①，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A′C＝AC＝4，∠ACB＝∠A′CB.∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE ＝∠A′EF，∴AC∥A′E，∴∠ACB＝∠A′EC，∴∠A′CB＝∠A′EC，∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB 中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A′E＝8，由勾股定理，得AB2＝BC2－AC2，∴AB＝82－42＝43；②当∠A′FE＝90°时，如解图②，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA′＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为43或4.图①图②1．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为D′，连接D′B. 若使△D′BC为等边三角形，则DE＝________________.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，E、F分别为AB、AC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处．当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为______．3．(2017·河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C 为直角三角形，则BM的长为__________．4．(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4，∠DAB＝60°，点M、N分别在边AD、AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形，则AP的长为____________．5．(2017·三门峡一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连接C′D交AB于点E，连接BC′.当△BC′D是直角三角形时，DE的长为______．6．(2018·盘锦)如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝23＋4，点M、N分别在线段AC、AB上．将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__________．7．(2018·乌鲁木齐)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝23，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为________．8．(2017·洛阳一模)在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF垂直AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF折叠，使点A落在点A′处，当△A′CD 为等腰三角形时，AP的长为______．9．(2018·濮阳一模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E为AC，BC 上两个动点．若将∠C沿DE折叠，点C的对应点C′恰好落在AB上，且△ADC′恰好为直角三角形，则此时CD的长为__________．类型二点的位置不确定(2016·河南)如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为________．【分析】 根据勾股定理，可得EB ′，根据相似三角形的性质，可得EN 的长，根据勾股定理，可得答案．【自主解答】 由翻折的性质，得AB ＝AB ′，BE ＝B ′E .①当MB ′＝2，B ′N ＝1时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋1.由△B ′EN ～△AB ′M ，EN B′M ＝B′E AB′，即x 2＝x 2＋13，x 2＝45，BE ＝B ′E ＝45＋1＝355； ②当MB ′＝1，B ′N ＝2时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋22，△B ′EN ∽△AB ′M ，EN B′M ＝B′E AB′，即x 1＝x 2＋43，解得x 2＝12，BE ＝B ′E ＝12＋4＝322，故答案为：322或355.1．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使D 点落在BC 边上的点E 处，折痕为GH .若点E 是BC 的三等分点，则线段CH 的长是_______．2．(2018·林州一模)在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝9，点E 是AD 边上一动点，将边AB 沿BE 折叠，点A 的对应点为A ′.若点A ′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则AE 的长为__________．3．(2015·河南)如图，矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝7，点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D ′落在∠ABC 的平分线上时，DE 的长为______．4．(2017·商丘模拟)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝8，点E 为射线DC 上一个动点，把△ADE 沿直线AE 折叠，当点D 的对应点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，则DE 的长为__________．5．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝8，点P是AB上(不含端点A，B)任意一点，把△PBC 沿PC折叠，当点B的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时，BP＝________．6．(2018·河南模拟)如图，△ABC中，AB＝5，AC＝5，tan A＝2，D是BC中点，点P是AC 上一个动点，将△BPD沿PD折叠，折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD 面积的一半，则AP的长为____________．7．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为__________________．类型三根据图形折叠探究最值问题如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是________．【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE.当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，根据折叠的性质可知A′E＝1，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE －A′E即可求出结论．例3题解图【自主解答】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，如解图所示．根据折叠可知：A ′E ＝AE ＝12AB ＝1.在Rt △BCE 中，BE ＝12AB ＝1，BC ＝3，∠B ＝90°，∴CE ＝BE 2＋BC 2＝10，∴A ′C 的最小值＝CE －A ′E ＝10－1.故答案为10－1.1．(2019·原创)如图，在边长为10的等边三角形△ABC 中，D 是AB 边上的动点，E 是AC 边的中点，将△ADE 沿DE 翻折得到△A ′DE ，连接BA ′，则BA ′的最小值是__________．2．在矩形ABCD 中，AD ＝12，E 是AB 边上的点，AE ＝5，点P 在AD 边上，将△AEP 沿EP 折叠，使得点A 落在点A ′的位置，如图，当A ′与点D 的距离最短时，△A ′PD 的面积为________．3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，F 是BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F ，连接B ′D .则当B ′D 取得最小值时，tan ∠BEF 的值为__________．4．(2017·河南模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上的任意一点(点E 不与点B 重合)，沿DE 翻折△DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 的长取最小值时，BF 的长为_________．参考答案类型一针对训练 1.3＋1或23－2 【解析】(1)当点E 在边AD 上时，过点E 作EF ⊥CD 于F ，如解图①，设CF ＝x ，第1题解图①∵∠ABC ＝30°，∴∠BCD ＝150°.∵△BCD ′是等边三角形，∴∠DCD ′＝90°.由折叠可知，∠ECD ＝∠D ′CE ＝45°，∵EF ＝CF ＝x ，在直角三角形DEF 中，∠D ＝30°，∴DE ＝2x ，∴DF ＝3x ，∴CD ＝CF ＋DF ＝x ＋3x ＝2，解得x ＝3x －1，∴DE ＝2x ＝23－2.(2)当E 在DA 的延长线上时，如解图②.第1题解图②过点B 作BF ⊥DA 于点F ，根据折叠可知，∠ED ′C ＝∠D ＝30°，又∵三角形BD ′C 是等边三角形，∴D ′E 垂直平分BC ，∵AD ∥BC .∴D ′E ⊥AD ，∵∠ABC ＝30°∴∠BAF ＝30°，又∵AB＝2，∴AF ＝ 3.令D ′E 与BC 的交点为G ，则易知EF ＝BG ＝12BC ＝1，∴AE ＝3－1，∴DE ＝3＋1，综上所述，DE 的长度为3＋1或23－2.2.158或157【解析】在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，∴BC ＝3.沿直线EF 将∠B 折叠，使点B 恰好落在BC 上的D 处，当△ADE 恰好为直角三角形时，根据折叠的性质：BE ＝DE ，设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝5－x ，①当∠ADE ＝90°时，则DE ∥BC ，∴DE CB ＝AE AB ，∴x 3＝5－x 5，解得x ＝158；②当∠AED ＝90°时，则△AED ∽△ACB ，∴DE BC ＝AE AC ，∴x 3＝5－x 4，解得x ＝157，故所求BE 的长度为：158或157.3.122＋12或1 【解析】①如解图①，当∠B ′MC ＝90°，B ′与A 重合，M 是BC 的中点，∴BM ＝12BC ＝122＋12；②如解图②，当∠MB ′C ＝90°，∵∠A ＝90°，AB ＝AC ，∴∠C ＝45°，∴△CMB ′是等腰直角三角形，∴CM ＝2MB ′.∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点为B ′，∴BM ＝B ′M ，∴CM ＝2BM .∵BC ＝2＋1，∴CM ＋BM ＝2BM ＋BM ＝2＋1，∴BM ＝1，综上所述，若△MB ′C 为直角三角形，则BM 的长为122＋12或1.图①图②第3题解图 4.433或23－2 【解析】①如解图①，当A ′D ＝A ′C 时，∠A ′DC ＝∠A ′CD ＝30°，∴∠AA ′D ＝60°.又∵∠CAD ＝30°，∴∠ADA ′＝90°，在Rt △ADA ′中，AA ′＝AD cos 30°＝432＝833，由折叠可得AP ＝12AA ′＝433；图①图②第4题解图②如解图②，当CD ＝CA ′＝4时，连接BD 交AC 于O ，则Rt △COD 中，CO ＝CD ×cos 30°＝4×32＝23，∴AC ＝43，∴AA ′＝AC －A ′C ＝43－4，由折叠可得AP ＝12AA ′＝23－2；故答案为433或23－2. 5 .32或34【解析】如解图①所示，点E 与点C ′重合时．在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝4.由翻折的性质可知；AE ＝AC ＝3、DC ＝DE ，则EB ＝2.设DC ＝ED ＝x ，则BD ＝4－x .在Rt △DBE中，DE 2＋BE 2＝DB 2，即x 2＋22＝(4－x )2.解得x ＝32.∴DE ＝32.图①图②第5题解图如解图②所示：∠EDB ＝90°时．由翻折的性质可知：AC ＝AC ′，∠C ＝∠AC ′D ＝90°.∵∠C ＝∠AC ′D ＝∠CDC ′＝90°，∴四边形ACDC ′为矩形．又∵AC ＝AC ′，∴四边形ACDC ′为正方形．∴CD ＝AC ＝3.∴DB ＝BC －DC ＝4－3＝1.∵DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BCA .∴DE AC ＝DB CB ＝14，即ED 3＝14.解得DE ＝34.点D 在CB 上运动，∠DBC ′＜90°，故∠DBC ′不可能为直角．故答案为：32或34. 6.23＋43或6 【解析】分两种情况：①如解图①，当∠CDM ＝90°，△CDM 是直角三角形，∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝23＋4，∴∠C ＝30°，AB ＝12AC ＝3＋2，由折叠可得，∠MDN ＝∠A ＝60°，∴∠BDN ＝30°，∴BN ＝12DN ＝12AN ，∴BN ＝13AB ＝3＋23，∴AN ＝2BN ＝233＋43，∵∠DNB ＝60°，∴∠ANM ＝∠DNM ＝60°，∴∠ANM ＝60°，∴AN ＝MN ＝23＋43.②如解图②，当∠CMD ＝90°时，△CDM 是直角三角形，由题可得∠CDM ＝60°，∠A ＝∠MDN ＝60°，∴∠BDN ＝60°，∠BND ＝30°，∴BD ＝12DN ＝12AN ，BN ＝3BD ，又∵AB＝3＋2，∴AN ＝2，BN ＝3，过N 作NH ⊥AM 于H ，则∠ANH ＝30°，∴AH ＝12AN ＝1，HN ＝3，由折叠可得∠AMN ＝∠DMN ＝45°，∴△MNH 是等腰直角三角形，∴HM ＝HN ＝3，∴MN ＝6，故答案为23＋43或 6.图①图②第6题解图7．3或145 【解析】∴∠C ＝90°，BC ＝23，AC ＝2，∴tan B ＝AC BC ＝223＝33，∴∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝4.∵点D 是BC 的中点，沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B ′D ′E 的位置，B ′D 交AB 于点F ，∴DB ＝DC ＝3，EB ′＝EB ，∠DB ′E ＝∠B ＝30°.设AE ＝x ，则BE ＝4－x ，EB ′＝4－x ，当∠AFB ′＝90°时，在Rt △BDF 中，cos B ＝BF BD ，∴BF ＝3cos 30°＝32，∴EF ＝32－(4－x )＝x －52.在Rt △B ′EF 中，∵∠EB ′F ＝30°，∴EB ′＝2EF ， 则4－x ＝2(x －52)，解得x ＝3，此时AE 为3；第7题解图当∠FB ′A ＝90°时，作EH ⊥AB ′于H ，连接AD ，如解图，∵DC ＝DB ′，AD ＝AD ，∴Rt △ADB ′≌Rt △ADC ，∴AB ′＝AC ＝2.∵∠AB ′E ＝∠AB ′F ＋∠EB ′F ＝90°＋30°＝120°，∴∠EB ′H ＝60°.在Rt △EHB ′中，B ′H ＝12B ′E ＝12(4－x )，EH ＝3B ′H ＝32(4－x )，在Rt △AEH中，∵EH 2＋AH 2＝AE 2，∴34(4－x )2＋[12(4－x )＋2]2＝x 2，解得x ＝145，此时AE 为145.综上所述，AE 的长为3或145. 8.32或3916【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝5，∠DAC ＝∠BAC .∵EF ⊥AA ′，∴∠EPA ＝∠FPA ′＝90°，∴∠EAP ＋∠AEP ＝90°，∠FAP ＋∠AFP ＝90°，∴∠AEP ＝∠AFP ，∴AE ＝AF .∵△A ′EF 是由△AEF 翻折，∴AE ＝EA ′，AF ＝FA ′，∴AE ＝EA ′＝A ′F ＝FA ，∴四边形AEA ′F 是菱形，∴AP ＝PA ′.①当CD ＝CA ′时，∵AA ′＝AC －CA ′＝3，∴AP ＝12AA ′＝32.②当A ′C ＝A ′D 时，∵∠A ′CD ＝∠A ′DC ＝∠DAC ，∴△A ′CD ∽△DAC ，∴A′C AD ＝DC AC，∴A ′C ＝258，∴AA ′＝8－258＝398，∴AP ＝12AA ′＝3916，故答案为32或3916. 9.127或43【解析】①如解图①，当∠ADC ′＝90°时，∠ADC ′＝∠C ，第9题解图①∴DC ′∥CB ，∴△ADC ′∽△ACB .又∵AC ＝3，BC ＝4，∴AD DC′＝34，设CD ＝C ′D ＝x ，则AD ＝3－x ，∴3－x x ＝34，解得x ＝127，经检验：x ＝127是所列方程的解，∴CD ＝127；②如解图②，当∠DC ′A ＝90°时，∠DCB ＝90°，第9题解图②由折叠可得，∠C ＝∠DC ′E ＝90°，∴C ′B 与CE 重合，由∠C ＝∠AC ′D ＝90°，∠A ＝∠A ，可得△ADC ′∽△ABC ，在Rt △ABC 中，AB ＝5，∴AD C′D ＝AB CB ＝54，设CD ＝C ′D ＝x ，则AD ＝3－x ，∴3－x x ＝54，解得x ＝43，∴CD ＝43.综上所述，CD 的长为127或43. 类型二针对训练1．4或52 【解析】设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝9－x ，当BE ∶EC ＝2∶1时，BC ＝9，∴CE ＝13BC＝3.在Rt △ECH 中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x )2＝32＋x 2，解得x ＝4，即CH ＝4.当BE ∶EC＝1∶2时，CE ＝23BC ＝6.在Rt △ECH 中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x )2＝62＋x 2，解得：x ＝52，即CH ＝52.故CH 的长为4或52. 2.477或4155【解析】如解图，过点A ′作A ′M ⊥AD 于M 交BC 于N ，则四边形ABNM 是矩形，∴AB ＝MN ＝4.∵若点A ′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，∴A ′M ＝1，A ′N ＝3或A ′M ＝3，A ′N ＝1.①当A ′M ＝1，A ′N ＝3时，在Rt △BA ′N 中，BN ＝42－32＝7，∴AM ＝BN ＝7.由△A ′EM ～△BA ′N ，∴EM A′N ＝A′M BN ，∴EM 3＝17，∴EM ＝377，∴AE ＝477；②当A ′M ＝3，A ′N ＝1时，同理可得AE ＝4155.,第2题解图)第3题解图3.52或53【解析】如解图，连接BD ′，过D ′作MN ⊥AB ，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D ′P ⊥BC 交BC 于点P .∵点D 的对应点D ′落在∠ABC 的平分线上，∴MD ′＝PD ′.设MD ′＝x ，则PD ′＝BM ＝x ，∴AM ＝AB －BM ＝7－x ，又由折叠图形可得AD ＝AD ′＝5，∴x 2＋(7－x )2＝25，解得x ＝3或4，即MD ′＝3或4.在Rt △END ′中，设ED ′＝a ，①当MD ′＝3时，AM ＝7－3＝4，D ′N＝5－3＝2，EN ＝4－a ，∴a 2＝22＋(4－a )2，解得a ＝52，即DE ＝52；②当MD ′＝4时，AM ＝7－4＝3，D ′N ＝5－4＝1，EN ＝3－a ，∴a 2＝12＋(3－a )2，解得a ＝53，即DE ＝53.综上所述，DE 的长为52或53. 4.52或10 【解析】分两种情况：①如解图①，当点F 在矩形内部时，∵点F 在AB 的垂直平分线MN 上，∴AN ＝4.∵AF ＝AD ＝5，由勾股定理得FN ＝3，∴FM ＝2.设DE 为x ，则EM ＝4－x ，FE ＝x ，在△EMF 中，由勾股定理，得x 2＝(4－x )2＋22，∴x ＝52，即DE 的长为52；图①图②第4题解图②如解图②，当点F 在矩形外部时，同①的方法可得FN ＝3，∴FM ＝8，设DE 为y ，则EM ＝y －4，FE ＝y ，在△EMF 中，由勾股定理，得y 2＝(y －4)2＋82，∴y ＝10，即DE 的长为10.综上所述，点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，DE 的长为52或10. 5．3或92【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上，如解图①，∵在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6∴∠ABC ＝90°，AC ＝BD ，∴AC ＝BD ＝62＋82＝10.根据折叠的性质，得PC ⊥BB ′，∴∠PBD ＝∠BCP ，∴△BCP ∽△ABD ，∴BP AD ＝BC AB ，即BP 6＝68，解得BP ＝92；②点A 落在矩形对角线AC 上，如解图②，根据折叠的性质，得BP ＝B ′P ，∠B ＝∠PB ′C ＝90°，∴∠AB ′A＝90°，∴△APB ′∽△ACB ，∴B′P BC ＝AP AC ，即BP 6＝8－BP 10，解得BP ＝3，故答案为：3或92.图①图②第5题解图6．2或5－5 【解析】分两种情况：①当点B ′在AC 的下方时，如解图①，∵D 是BC 中点，∴S△BPD＝S△PDC，∵S△PDF＝12S△BPD，∴S△PDF＝12S△PDC.∴F是PC的中点，∴DF是△BPC的中位线，∴DF∥BP，∴∠BPD＝∠PDF，由折叠得：∠BPD＝∠B′PD，∴∠B′PD＝∠PDF，∴PB′＝B′D，即PB＝BD，过B作BE⊥AC于E，在Rt△ABE中，tan A＝BEAE＝2，∵AB＝5，∴AE ＝1，BE＝2，∴EC＝5－1＝4，由勾股定理，得BC＝BE2＋EC2＝22＋42＝25，∵D为BC的中点，∴BD＝5，∴PB＝BD＝5，在Rt△BPE中，PE＝1，∴AP＝AE＋PE＝1＋1＝2；图①图②第6题解图②当点B′在AC的上方时，如解图②，连接B′C，同理得：F是DC的中点，F是PB′的中点，∴DF＝FC，PF＝FB′，∴四边形DPCB′是平行四边形，∴PC＝B′D＝BD＝5，∴AP＝5－5，综上所述，AP的长为2或5－ 5.7．8＋23或8－23【解析】由折叠的性质得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE.∵点B、C′、D′在同一直线上，∴∠BC′E＝90°，∵BC＝12，BE＝2CE，∴BE＝8，C′E＝CE＝4，在Rt△BC′E中，BEC′E＝2，∴∠C′BE＝30°.①当点C′在BC的上方时，如解图①，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形，∴EG＝AB＝6，AG＝BE＝8，∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，∴∠BEC′＝60°，由折叠的性质得，∠C′EF＝∠CEF＝60°.∵AD∥BC，∴∠HFE ＝∠CEF＝60°，∴△EFH是等边三角形，∴在Rt△EFG中，EG＝6，∴GF＝23，∴AF＝8＋23；②当点C′在BC的下方时，如解图②，过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得，四边形ABGF是矩形，△EFH是等边三角形，∴AF＝BG，FG＝AB＝6，∠FEH＝60°，在Rt△EFG中，GE＝2 3.∵BE＝8，∴BG＝8－23，∴AF＝8－2 3.图①图②第7题解图类型三针对训练1．53－5 【解析】如解图，连接BE .第1题解图∵AB ＝BC ＝AC ＝10，∴∠C ＝60°.∵AB ＝BC ，E 是AC 的中点，∴BE ⊥AC .∴BE ＝BC 2－EC 2＝102－52＝5 3.∵AC ＝10，E 是AC 边的中点，∴AE ＝5.由翻折的性质可知A ′E ＝AE ＝5.∵BA ′＋A ′E ≥BE ，∴当点B 、A ′、E 在一条直线上时，BA ′有最小值，最小值＝BE －A ′E ＝53－5. 2.403【解析】连接DE ，DE ＝52＋122＝13，∵将△AEP 沿FP 折叠，使得点A 落在点A ′的位置，∴EA ′＝EA ＝5，∵A ′D ≥DE －EA ′第2题解图(当且仅当A ′点在DE 上时，取等号)，∴当A ′与点D 的距离最短时，A ′点在DE 上，∴DA ′＝13－5＝8，设PA ′＝x ，则PA ＝x ，PD ＝12－x ，在Rt △DPA ′中，x 2＋82＝(12－x )2，解得x ＝103，∴△A ′PD 的面积＝12×8×103＝403. 3.1＋52【解析】在Rt △ADE 中，DE ＝22＋42＝25，当B ′在ED 上时，B ′D 最小，在ED 上截取EB ′＝EB ＝2，连接B ′F ，FD ，则B ′D ＝ED －EB ′＝25－2，设BF ＝x ，则B ′F ＝x ，CF ＝4－x ，在Rt △B ′FD 和Rt △FCD 中，利用勾股定理，可得DB ′2＋B ′F 2＝DF 2＝CF 2＋DC 2，即(25－2)2＋x 2＝(4－x )2＋42，解得x ＝5＋1，∴Rt △BEF 中，tan ∠BEF ＝BF BE ＝1＋52.第3题解图 4.1255【解析】由题意得：DF ＝DB ，第4题解图∴点F 在以D 为圆心，BD 为半径的圆上，作⊙D ; 连接AD 交⊙D 于点F ，此时AF 值最小，∵点D 是边BC 的中点，∴CD ＝BD ＝3；而AC ＝4，由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2，∴AD ＝5，而FD ＝3，∴FA ＝5－3＝2，即线段AF 长的最小值是2，连接BF ，过F 作FH ⊥BC 于H ，∵∠ACB ＝90°，∴FH ∥AC ，∴△DFH ∽△DAC ，∴DF AD ＝DH CD ＝HF AC ，即35＝DH 3＝HF 4，∴HF ＝125，DH ＝95，∴BH ＝245，∴BF ＝BH 2＋HF 2＝1255.。
15题压轴题练习--图形折叠及动点问题的相关计算
图形折叠及动点问题的相关计算考情总结：图形折叠及动点问题的相关计算是近五年河南中招考试的重点及必考点，均在填空题第15题进行考查，分值为3分，常见的类型有三角形折叠相关计算、四边形结合的相关计算，常见的设问为探究特殊三角形存在时的线段长、探究动点在特殊位置时的线段长．【方法指导】对于河南中招考试中的几何图形折叠与动点问题的计算，常涉及特殊三角形的探究及动点特殊位置的探究．1．掌握折叠的性质是解决问题的关键．(1)折叠前后位置的图形全等，对应边、角相等；(2)折痕两边的图形关于折痕对称；(3)折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分；2．特殊三角形：(1)直角或等腰三角形的判定：首先从可能满足直角的顶点或腰入手，通过矩形的性质、折叠的性质或结合直角三角形勾股定理直接计算，或设出某条线段长，根据相似、勾股定理等，列方程进行求解；3．河南中招考试中，此类问题的重点为分类讨论，即该题多为多解题，注意等腰三角形的腰，直角三角形的直角顶点，特殊点的位置等．1.（2017年）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BC=+1，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′始终落在边AC 上，若△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为21221 或1．【分析】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=MB′，列方程即可得到结论．【解答】解：①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，∴BM=BC=+；②如图2，当∠MB′C=90°，∵∠A=90°，AB=AC ，∴∠C=45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM=MB′，∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′，∴BM=B′M ，∴CM=BM ，∵BC=+1，∴CM +BM=BM +BM=+1，∴BM=1，综上所述，若△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为+或1，故答案为：+或1．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．2.（2016年）如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=3.点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B′处，过点B′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点M ，N ．当点B′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为__________223或553________.解：由翻折的性质可得：AB=AB’BE=B’E①当MB’=2，B’N=1时，设EN=x 得B’E=12+x △B’EN ∽△AB’E'''AB EB M B EN =即3122+=x x解得2x =54BE=B’E=154+=553②当MB’=1，B’N=2时，设EN=x 得B’E=222+x △B’EN ∽△AB’E'''AB EB M B EN =即3412+=x x解得2x =21BE=B’E=421+=223故答案为：223或5533.（2015年）如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE ＝3，点F 是边BC 上不与点B ，C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B'处．若△CDB'恰为等腰三角形，则DB'的长为16或45.4．（2014年）如图，矩形ABCD 中，AD=5,AB=7.点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D /落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为53或52.5．（2013年）如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B'处，当△CEB'为直角三角形时，BE 的长为___32或3_______．对应练习1．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=6，点E 是射线BC 上一动点，将△ABE 沿AE 翻折得到△AEF ，延长AF 交CD 的延长线于点G ，当BE=3EC 时，DG=25或8.如图①，当E 点在边BC 上时，BE=3EC ，BE=4.5，EC=1.5设AH=HE=x ，FH=4.5-x在Rt △AHF 中：222)5.4(3x x =-+解得：x=3.25FH=4.5-3.25=1.25∵△AHF ∽△AGD ，∴DG FHAD AF =DG25.163=解得DG=2.5=25如图②，当E 点在BC 延长线上时，BE=3EC ，BC=6，EC=3设AH=HE=x ，FH=9-x在Rt △AHF 中：222)9(3x x =-+解得：x=5FH=9-5=4∵△AHF ∽△AGD ，∴DG FHAD AF =DG463=解得DG=82．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD 是∠BAC 的平分线，点E 是斜边AC 上的一点，且AE=AB 。
2019年 中考数学 图形折叠问题 专题复习(含答案)
2019年中考数学图形折叠问题专题复习1.如图，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A.25°B.30°C.35°D.40°2.如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE：EC=2:1,则线段CH的长是（）A.3B.4C.5D.63.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A.1.8B.2.4C.3.2D.3.64.如图，在Rt △ABC中,AB⊥BC，AB=10,BC=8，点D是AB上一点，且AD = 4，点E为AC上一动点，将△ADE沿DE翻折得到△A/DE,连接A/C,则A/C的最小值为( )A. B.5 C.6 D.5.如图，矩形ABCD中，将四边形ABFE沿EF折叠得到四边形HGFE，已知∠CFG=400,则∠DEF= .6.如图,将矩形ABCD沿AE向上折叠,使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9,△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为________．7.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使边AB、CB均落在对角线BD上,折痕为BE,则∠EBF的大小为_______．8.矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于．9.如图,在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8）,则点E的坐标为10.如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE、DE，将△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．若AB=6，BE：EC=4：1，则线段DE的长为．11.如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为 .12.如图,在一张矩形纸片ABCD中,AD=4cm,点E,F分别是CD和AB的中点.现将这张纸片折叠,使点B落在EF上的点G处，折痕为AH．若HG的延长线恰好经过点D，则CD的长为 .13.如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，则AG的长是__________．14.如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC 沿OB折叠，使点A落在A/的位置上.若OB=,OC=2BC,则点A′的坐标 .15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEO的度数是．16.如图,已知把长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点D与点B重合,点C落在点C′的位置上,若∠1=60°，AE=2．（1）求∠2，∠3的度数．（2）求长方形ABCD的纸片的面积S．17.如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，AC与EF交于点H.(1)求证：△ABE≌△AGF；(2)若AB=6，BC=8，求△ABE的面积．18.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．19.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由．20.已知矩形OABC在平面直角坐标系中，O为原点，A(8，0)，C（0，4），如图所示.D在AB上(D可以与A、B重合)，连接CD，将△BCD沿CD翻折得到△CDE.（1）如图1，若E点落在OA上，求D、E坐标；（2）如图2，F为CD中点，连接BF、EF、BE，若BEF为直角三角形，求E点坐标；（3）如图3，若F点始终为CD的中点，求F点运动路径长度.图1 图2 图3答案1.D2.B.3.D4.C；5.答案为：1106.答案为：127.答案为：45°8.答案为：75/16；9.答案为：（10，3）．10.答案是：2．11.答案为：3.7512.答案为：；13.答案为：1.514.答案为：(-0.6,0.8)15.答案为：100°．16.17.18.解：（1）GF=GC．理由如下：连接GE，∵E是BC的中点，∴BE=EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∴EF=EC，∵在矩形ABCD中，∴∠C=90°，∴∠EFG=90°，∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF=GC；（2）设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，解得x=4/3．19.解：（1）△AED≌△CEB′证明：∵四边形ABCD为矩形，∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，又∵∠B′EC=∠DEA，∴△AED≌△CEB′；（2）由折叠的性质可知，∠EAC=∠CAB，∵CD∥AB，∴∠CAB=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC=8﹣3=5．在△ADE中，AD=4，延长HP交AB于M，则PM⊥AB，∴PG=PM．∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4．20.解：(1)D(8,),E(,0);(2)E();(3)F点运动路径长度为2.。
中考复习方案河南省中考试题研究 题型四 几何图形的折
题型四 几何图形的折叠与动点问题针对演练1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝6，点E 是AB 上的动点，点F 在BC 上，沿EF 将∠B 翻折，使顶点B 落在边AC 上的点B ′处，则AE 的最大值为________．第1题图 第2题图 2. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠BCD ＝30°，BC ＝4，CD ＝33，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是________．3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，点P 在线段AB 上运动，设AP ＝x ，现将纸片折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF (点E 、F 为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原 .那么使得四边形EPFD 为菱形的x 的取值范围是_______．第3题图 第4题图 4. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝32，点P 为线段AC 上一个动点，过点P 作PD ⊥AC 交AB 于点D ，将△APD 沿直线PD 折叠，点A 的对应点为E ，连接DE ，BE 当△DEB 的两直角边之比为12时，AP 的长为________．5. (2015洛阳模拟)如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为BC的中点，E、F分别为AB、CD边上的动点．在点E、F运动的过程中始终保持△EMF为直角三角形，其中∠EMF ＝90°.则直角三角形的斜边EF的取值范围是________．第5题图第6题图6. 如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，点P是线段CB延长线上的动点，连接P A，若△P AF 是等腰三角形，则PB的长为________．7. 如图，正△ABC中，AB＝6，BD⊥AC于点D，点E、F分别是BC、DC上的动点，沿EF所在直线折叠△CEF，使点C落在BD上的点C′处，当△BEC′是直角三角形时，BC′的值为________．第7题图第8题图8. (2015商丘模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点E是AB边上一动点，过点E作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB 上的点F处，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为________．9. (2015绥化)在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在AB上，若将△DAP沿DP 折叠，使点A落在矩形对角线上的点A′处，则AP的长为________．10. (2015随州)在▱ABCD中，AB＜BC，已知∠B＝30°，AB＝23，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在▱ABCD所在的平面内，连接B′D.若△AB′D是直角三角形，则BC 的长为________．11. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P为射线AB上一个动点，过点P作PE⊥AB交射线AD于点E，将△AEP沿直线PE折叠，点A的对应点为F，连接FD、FC，若△FDC为直角三角形时，AP的长为________．第11题图第12题图12. 如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝4，F为线段BC上的一动点，且不和B、C重合，连接F A，过点F作FE⊥F A交CD所在直线于E，将△FEC沿FE翻折到△FEG位置，使点G落到AD上，则BF＝________．13. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝2AB＝4，E是AD边的中点，点P是CD边上一动点，则△OEP的周长最小值是________．第13题图14. 如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点P为边AB上一个动点(不与A、B重合)，过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP＝__________．第14题图第15题图15. 如图，在矩形纸片ABCD中，BC＝40 cm，AB＝16 cm，M点为BC边上的中点，点G沿B→A→D运动(不含端点)，将矩形纸片沿直线MG翻折，使得点B落在AD边上，则折痕长度为________．【答案】针对演练1. 4 【解析】∵沿EF 将△EBF 翻折，使顶点B 落在AC 上， ∴EB ＝EB ′，当BE 最小时，即EB ′最小，此时AE 最大，即EB ′⊥AC ，∵∠C ＝90°，∴EB ′∥BC ，∵∠A ＝30°，AB ＝6，∴EB ′＝12 AE ，∴BE ＝12AE ，∴AE ＋12AE ＝6，∴AE ＝4. 2. 5 【解析】如解图，连接MC ；过点M 作ME ⊥CD ，交CD 的延长线于点E ；∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ＝4，∵点M 为AD 的中点，∠BCD ＝30°，∴DM ＝MA ＝2，∠MDE ＝∠BCD ＝30°，∴ME ＝12DM ＝1，DE ＝3，∴CE ＝CD ＋DE ＝43，由勾股定理得：CM 2＝ME 2＋CE 2，∴CM ＝7；由翻折变换的性质得：MA ′＝MA ＝2，显然，当折线MA ′C 与线段MC 重合时，线段A ′C 的长度最短，此时A ′C ＝7－2＝5.第2题解图 第3题解图 3. 1≤x ≤3 【解析】∵四边形EPFD 为菱形，∴DE ＝EP ＝PF ＝DF ，如解图①所示，当点E 与点A 重合时，AP 的值最小，AP ＝AD ＝1；如解图②所示，当点P 与点B 重合时，AP 的值最大，AP ＝AB ＝3，∴当四边形EPFD 为菱形时，x 的取值范围是1≤x ≤3.4.2或22 【解析】∵AC ＝32，∴AB ＝6，根据题意分两种情况考虑：(1)当DE DB ＝12时，如解图①，AD ＝DE ，DE DB ＝12，即AD DB ＝12，∴AD ＝2，在等腰直角三角形ADP 中，AP ＝2；(2)当DB DE ＝12时，如解图②，AD ＝DE ，DB DE ＝12，即DB AD ＝12，∴AD ＝4，在等腰直角三角形ADP 中，AP ＝2 2.第4题解图5. 4≤EF ≤5 【解析】∵点M 为BC 的中点，正方形ABCD 的边长为4，∴BM ＝CM ＝2，∵∠EMF ＝90°，∴∠BME ＋∠CMF ＝90°，∵∠CFM ＋∠CMF ＝90°，∴∠BME ＝∠CFM ，又∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△BME ∽△CFM ，∴BM CF ＝BE CM，∴BE ·CF ＝BM ·CM ＝2×2＝4，∵CF 最大时为4，此时BE ＝1，BE 最大时为4，此时CF ＝1，∴0≤|CF －BE |≤3，过点E 作EG ⊥CD 于点G ，则EG ＝BC ＝4，在Rt △EFG 中，EF 2＝EG 2＋FG 2＝16＋(CF －BE )2，∴16≤EF 2≤16＋9，∴4≤EF ≤5.第5题解图 第7题解图6. 6或4或73【解析】∵四边形ABCD 是矩形，由折叠对称性得：AF ＝AD ＝10，FE ＝DE .在Rt △ABF 中，BF ＝102－82＝6，∴FC ＝4，要使△P AF 为等腰三角形，分三种情形讨论：(1)若AP ＝AF ，∵AB ⊥PF ，∴PB ＝BF ＝6；(2)若PF ＝AF ，则PB ＋6＝10，解得PB ＝4；(3)若AP ＝PF ，在Rt △APB 中，AP 2＝PB 2＋AB 2，即(PB ＋6)2＝PB 2＋82，解得PB ＝73，综上得PB 为6或4或73. 7. 63－6或23 【解析】∵△ABC 是等边三角形，BD ⊥AC 于点D ，∴∠CBD ＝30°.∵△C ′EF 是由△CEF 折叠得到，∴C ′E ＝CE ，当∠BEC ′＝90°，如解图①所示，设C ′E ＝x ，在Rt △BEC ′中，BC ′＝2x ，BE ＝6－x ，由勾股定理得C ′B 2＝C ′E 2＋BE 2，即4x 2＝x 2＋(6－x )2，解得x ＝33－3，∴BC ′＝63－6；当∠BC ′E ＝90°，如解图②，BE ＝2C ′E ，∵C ′E ＝CE ，∴3C ′E ＝BC ＝6，解得C ′E ＝2.在Rt △BEC ′，BC ′＝3C ′E ＝2 3.8. 1或54或710【解析】本题考查三角形的折叠，等腰三角形的性质求线段的长．在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝5.由折叠性质得AE ＝EF ，在△BCF 中，当BF ＝BC 时，有BF ＝AB －AF ＝AB －2AE ＝3，则AE ＝1; 当BF ＝CF 时，过BC 中点作AC 的平行线，交AB 于点F ，此时F 点满足题意，且AF ＝BF ＝52，则AE ＝54； 当CF ＝CB 时，如解图，过C 作CN ⊥AB 于点N .由等面积法得CN ＝AC·BC AB ＝125.由△BCN ∽△BAC 得BN BC ＝BC AB ，则BN ＝95.由等腰三角形三线合一性质得FN ＝BN ＝95，则AE ＝12AF ＝12(AB －BF )＝12×(5－185)＝710.第8题解图 第9题解图 第10题解图9. 32或94【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上，如解图①，∵AB ＝4，BC ＝3，∴BD ＝5，根据折叠的性质，AD ＝A ′D ＝3，AP ＝A ′P ，∠A ＝∠P A ′D ＝90°，∴BA ′＝2，设AP ＝x ，则BP ＝4－x ，∵BP 2＝BA ′2＋P A ′2，∴(4－x )2＝x 2＋22，解得：x ＝32，∴AP ＝32；②点A 落在矩形对角线AC 上，如解图②，根据折叠的性质可知DP ⊥AC ，∴△DAP ∽△ABC ，∴AD AP＝AB BC ，∴AP ＝AD·BC AB ＝3×34＝94. 10. 4或6 【解析】如解图，由于AB ＜BC ，若△AB ′D 是直角三角形，则∠ADB ′≠0.由折叠的性质可得∠AB ′C ＝∠B ＝∠CDA ，∠AFB ′＝∠CFD ，AB ′＝CD ，∴△AFB ′≌△CFD ，∴FB ′＝ FD ，AF ＝CF ，∠FB ′D ＝∠FD B ′.若△AB ′D 是直角三角形，分两种情况，当∠B ′AD ＝90°时，∵∠AB ′F ＝30°，AB ′＝AB ＝23，∴AF ＝ 2，B ′F ＝4，∴AD ＝BC ＝6；当∠AB ′D ＝90°时，∵∠AB ′F ＝30°，∴∠ F B ′ D ＝60°，∴∠AD B ′＝60°，∵AB ′＝23，∴AF ＝ 2，B ′F ＝4，∴AD ＝BC ＝AB ′÷sin 60°＝4.11. 12或32【解析】根据题意可得△FDC 为直角三角形时分三种情况考虑：(1)如解图①，当∠FDC ＝90°时，DF ⊥AB ，在△AFD 中，∠A ＝60°，AD ＝2，∴AF ＝1，AP ＝12；(2)如解图②，当∠DCF ＝90°时，CF ⊥AB ，在△CFB 中，∠CBF ＝60°，BC ＝2，∴BF ＝1，AF＝3，AP ＝32；(3)当∠DFC ＝90°，不存在．综上可知AP 的值为12或32.第11题解图 第12题解图 第13题解图 12. 23或2 【解析】作FH ⊥AD 于H ，如解图，设BF ＝x ，则CF ＝4－x ，∵FE ⊥F A ，∴∠2＋∠3＝90°，而∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3，∴Rt △ABF ∽Rt △FCE ，∴AB FC ＝BF CE，即24－x ＝x CE，∴CE ＝x （4－x ）2，∵△FEC 沿FE 翻折到△FEG 位置，使点G 落到AD 上，∴EG ＝CE ＝x （4－x ）2，FG ＝FC ＝4－x ，∠FGE ＝∠C ＝90°，∴DE ＝DC －CE ＝2－x （4－x ）2，∠5＋∠6＝90°，而∠4＋∠6＝90°，∴∠5＝∠4，∴Rt △FHG ∽Rt △GDE ，∴FH GD＝FG GE ，即2GD ＝4－x x （4－x ）2，∴GD ＝x ，在Rt △DGE 中，∵DE 2＋DG 2＝GE 2，∴[2－x （4－x ）2]2＋x 2＝[x （4－x ）2]2，整理得3x 2－8x ＋4＝0，解得x 1＝23，x 2＝2，即BF 的长为23或2. 13. 1＋13 【解析】∵2AB ＝4，∴AB ＝2，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝90°，CD ＝AB ＝2, AO ＝CO , 在Rt △ACD 中，AC ＝4，CD ＝2，根据勾股定理，得AD ＝42－22＝23， ∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ＝3，又∵AO ＝CO ，∴OE 是△ACD 的中位线，∴OE ＝12CD ＝1，OE ∥CD ，∴∠OED ＝90°，∵△OPE 的周长＝OE ＋OP ＋EP ＝1＋OP ＋EP ，∴求△OPE 的周长的最小值就是求OP ＋EP 的最小值．如解图，延长ED 至E ′，使DE ′＝DE ，连接OE ′，交CD 于点P ′，此时OP ′＋EP ′＝OP ′＋E ′P ′＝OE ′，即OE ′为OP ＋EP 的最小值，在Rt △OEE ′中，OE ＝1，EE ′＝2ED ＝23，根据勾股定理，得OE ′＝12＋（23）2＝13，即OP ＋EP 的最小值为13，∴△OPE 的周长的最小值为1＋13.14. 2－1或22【解析】如解图，延长FE 交BC 于G ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠A ＝∠B ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90°， ∵四边形APEF 是正方形， ∴AP ＝PE ＝EF ＝F A , ∠A ＝∠APE ＝∠PEF ＝∠EF A ＝90°.①当DC ＝CE 时，∵∠A ＝∠B ＝∠EF A＝90°，∴四边形ABGF 是矩形，同理四边形PBGE 是矩形，∴FG ＝AB ，EG ＝PB ，FG －FE ＝BC －BG ，即CG ＝EG ，△ECG 为等腰直角三角形，在Rt △ECG 中，EG ＝CE ×cos 45°＝2×22＝1，∴AP ＝AB －PB ＝AB －EG ＝2－1；②当DE ＝CE 时，在Rt △DFE 和Rt △CGE 中，AD －AF ＝BC －BG ，即DF ＝CG ，∴Rt △DFE ≌Rt △CGE , ∴FE ＝EG ＝AP ＝12AB ＝22；③当DE ＝DC 时，在Rt △DFE 中，设正方形APEF 长为x ，则FE ＝x ，DF ＝2－x ，DE ＝2，DF 2＋FE 2＝DE 2，即x 2＋(2－x )2＝(2)2，解得x 1＝0，x 2＝2，∵点P 不与A ，B 重合，所以此种情况不存在，故舍去．第14题解图第15题解图 15. 105或85 【解析】分两种情况考虑：①如解图①所示，过M 作ME ⊥AD 于E ，G 在AB 上，B ′落在AE 上，可得四边形ABME 为矩形，∴EM ＝AB ＝16，AE ＝BM ，又∵BC＝40，M 为BC 的中点，∴由折叠可得：B ′M ＝BM ＝12BC ＝20，在Rt △EMB ′中，根据勾股定理得：B ′E ＝B′M 2－EM 2＝12，∴AB ′＝AE －B ′E ＝20－12＝8，设AG ＝x ，则有GB ′＝GB ＝16－x ，在Rt △AGB ′中，根据勾股定理得：GB ′2＝AG 2＋AB ′2，即(16－x )2＝x 2＋82，解得：x ＝6，∴GB ＝16－6＝10，在Rt △GBM 中，根据勾股定理得：GM ＝GB 2＋BM 2＝105；②如解图②所示，过M 作ME ⊥AD 于E ，G 在AE 上，B ′落在ED 上，可得四边形ABME 为矩形，∴EM ＝AB ＝16，AE ＝BM ，又BC ＝40，M 为BC 的中点，∴由折叠可得：B ′M ＝BM ＝12BC ＝20，在Rt △EMB ′中，根据勾股定理得：B ′E ＝B′M 2－EM 2＝12，∴AB ′＝AE ＋B ′E ＝20＋12＝32，设AG ＝A ′G ＝y ，则GB ′＝AB ′－AG ＝AE ＋EB ′－AG ＝32－y ，A ′B ′＝AB ＝16，在Rt △A ′B ′G 中，根据勾股定理得：A ′G 2＋A ′B ′2＝GB ′2，即y 2＋162＝(32－y )2，解得：y＝12，∴AG＝12，∴GE＝AE－AG＝20－12＝8，在Rt△GEM中，根据勾股定理得：GM ＝GE2＋EM2＝85，综上可知折痕的长度为105或8 5.。
2019届中考数学专题复习演练：折叠问题含答案
折叠问题一、选择题1.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A. 78°B. 75°C. 60°D. 45°2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使DA与对角线DB重合，点A落在点A′处，折痕为DE，则A′G的长是A. 1B.C.D. 23.如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，E为AD边上一点，且AE= AB，连结BE，将△ABE沿BE翻折，若点A恰好落在CE上点F处，则∠CBF的余弦值为（）A. B. C. D.4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=8，折叠该纸片，使得AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，则线段EF的长为（）A. 3B. 4C. 5D. 65.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，沿DE所在直线折叠，使点B恰好与点A重合，若CD=2，则AB的值为（）A. B. 4 C. D. 8二、填空题6.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点N是线段BC上的一个动点，将△ACN沿AN折叠，使点C落在点C'处，当△NC'B是直角三角形时，CN的长为________．7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2 ，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的周长不变；③点C到线段EF的最大距离为1．其中正确的结论有________．（填写所有正确结论的序号）8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2 ，AC=2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为________．9.如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=6，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点F为CD上一个动点，把△BCF沿BF折叠，当点D的对应点和点C的对应点都落在点D′处时，EF的长为________．10.矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=________ cm．11.如图，在▱ABCD中，AB=，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为 ________.12.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′的度数为________.13.已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为________14.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为________．15.如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接、，若，，，则________（结果保留根号）．三、综合题16.已知将一矩形纸片ABCD折叠，使顶点A与C重合，折痕为EF．（1）求证：CE=CF；（2）若AB =8 cm，BC=16 cm，连接AF，写出求四边形AFCE面积的思路．17.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．折叠纸片使点B落在AD上，落点为B′．点B′从点A开始沿AD移动，折痕所在直线l的位置也随之改变，当直线l经过点A时，点B′停止移动，连接BB′．设直线l与AB相交于点E，与CD所在直线相交于点F，点B′的移动距离为x，点F与点C的距离为y．（1）求证：∠BEF=∠AB′B；（2）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．参考答案一、选择题1. B2. C3.B4.A5. C二、填空题6.或7.①③8.3或9.10.5.811.3 12.50°13.80°14.或15 15.三、综合题16.（1）证明：∵矩形纸片ABCD折叠，顶点A与C重合，折痕为EF，∴∠1=∠2，AD∥BC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴CE=CF．（2）解：思路：连接AF① 由矩形纸片ABCD折叠，易证四边形AFCE为平行四边形；② Rt△CED中，设DE为x，则CE为16-x，CD=8，根据勾股定理列方程可求得DE，CE的长；③由CF=CE，可得CF的长；运用平行四边形面积公式计算CF×CD可得四边形AFCE的面积．17.（1）证明：如图，由四边形ABCD是矩形和折叠的性质可知，BE=B′E，∠BEF=∠B′EF，∴在等腰△BEB′中，EF是角平分线，∴EF⊥BB′，∠BOE=90°，∴∠ABB′+∠BEF=90°，∵∠ABB′+∠AB′B=90°，∴∠BEF=∠AB′B；（2）解：①当点F在CD之间时，如图1，作FM⊥AB交AB于点M，∵AB=6，BE=EB′，AB′=x，BM=FC=y，∴在Rt△EA B′中，EB′2=AE2+AB′2，∴（6﹣AE）2=AE2+x2解得AE=，tan∠AB′B==，tan∠BEF==，∵由（1）知∠BEF=∠AB′B，∴=，化简，得y=x2﹣x+3，（0＜x≤8﹣2）②当点F在点C下方时，如图2所示．设直线EF与BC交于点K设∠ABB′=∠BKE=∠CKF=θ，则tanθ==．BK=，CK=BC﹣BK=8﹣．∴CF=CK•tanθ=（8﹣）•tanθ=8tanθ﹣BE=x﹣BE．在Rt△EAB′中，E B′2=AE2+AB′2，∴（6﹣BE）2+x2=BE2解得BE=．∴CF=x﹣BE=x﹣=﹣x2+x﹣3∴y=﹣x2+x﹣3（8﹣2＜x≤6）综上所述，y=．。
2019年中考数学几何变形题归类辅导 专题04 折叠问题(解析版)(1)
【2019年中考数学几何变形题归类辅导】专题4：折叠问题【典例引领】例：如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（2）（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【答案】（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；证明见解答．【分析】（1）由折叠可得AB=AB′，BE=B'E，再根据四边形ABCD是正方形，易证B'E=B'F，即可证明DF+BE=AF；（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；证明图（2）：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，根据CB∥AD，得∠AEB=∠EAD，即可得出∠B′AE=∠DAG，则∠GAF=∠DAE，则∠AGD=∠GAF，即可得出答案BE+DF=AF．【解答】解：（1）由折叠可得AB=AB′，BE=B'E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC=DF，∠CB'E=45°，∴B'E=B'F，∴AF=AB'+B'F，即DF+BE=AF；（3）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；图（2）的证明：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，∵CB∥AD，∴∠AEB=∠EAD，∵∠BAE=∠B'AE，∴∠B'AE=∠DAG，∴∠GAF=∠DAE，∴∠AGD=∠GAF，∴GF=AF，∴BE+DF=AF；图（3）的证明：在BC上取点M，使BM=DF，连接AM，需证△ABM≌△ADF，∴∠BAM=∠FAD，AF=AM ∵ΔABE≌AB'E∴∠BAE=∠EAB′，∴∠MAE=∠DAE，∵AD∥BE，∴∠AEM=∠DAE，∴∠MAE=∠AEM，∴ME=MA=AF，∴BE﹣DF=AF．【强化训练】1、数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题.动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.将三角形纸片ABC 进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC 使点C 与点A 重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：将△ABC 沿折痕DE 展开，然后将△DEC 绕点D 逆时针方向旋转得到△DFG，点E，C 的对应点分别是点F，G，射线GF 与边AC 交于点M(点M 不与点A 重合)，与边AB交于点N，线段DG 与边AC 交于点P.数学思考：（1）求DC 的长；（2）在△DEC 绕点D 旋转的过程中，试判断MF 与ME 的数量关系，并证明你的结论；问题解决：（3）在△DEC 绕点D 旋转的过程中，探究下列问题：①如图2，当GF∥BC 时，求AM 的长；②如图3，当GF 经过点B 时，AM 的长为③当△DEC 绕点D 旋转至DE 平分∠FDG 的位置时，试在图 4 中作出此时的△DFG 和射线GF，并直接写出AM 的长（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标记出所有相应的字母）【答案】(1) DC＝5;(2)相等，理由见解析；（3）①AM＝3；②AM＝；③AM＝10 3【分析】（1）理由勾股定理求出BC即可解决问题．（2）结论：MF=ME．证明Rt△DMF≌Rt△DME（HL），即可解决问题．（3）①如图2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．由KM∥CH，推出，求出AK，AH即可解决问题．②证明BM=MC，设BM=MC=x，在Rt△ABM中，根据BM2=AB2+AM2，构建方程即可解决问题．③尺规作图如图4-1所示．作DR平分∠CDF，在DR上截取DG=DC，分别以D，G为圆心，DE，CE为半径画弧，两弧交于点F，△DFG即为所求．如图4-1中，连接DM，设DG交AC于T，作TH⊥CD于H，作DK平分∠CDG交TH于K，作KJ⊥DG于J．易证△DEM≌△DHK（AAS），推出EM=HK，只要求出HK即可．【解答】解：（1）如图1中，∵DE⊥AC，∴∠DEC=∠A=90°，∴DE∥AB，∵AE=EC，∴BD=DC，在Rt△ABC中，∵AB=6，AC=8，∴BC==10，∴CD=BC=5．（2）结论：MF=ME．理由：如图1中，连接DM，∵∠DFM=∠DEM=90°，DM=DM，DF=DE，∴Rt△DMF≌Rt△DME（HL），∴MF=ME．（3）①如图2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．易知，四边形DFKH是矩形，∴DF=KH=3，∴AK=AH-KH=，∵KM∥CH，∴，∴，∴AM=3．②如图3中，∵DG=DB=DC，∴∠G=∠DBG，∵∠G=∠C，∴∠MBC=∠C，∴BM=MC，设BM=MC=x，在Rt△ABM中，∵BM2=AB2+AM2，∴62+（8-x）2=x2，∴x=∴AM=AC-CM=8-=．故答案为.③尺规作图如图4-1所示．作DR平分∠CDF，在DR上截取DG=DC，分别以D，G为圆心，DE，CE为半径画弧，两弧交于点F，△DFG即为所求．如图4-1中，连接DM，设DG交AC于T，作TH⊥CD于H，作DK平分∠CDG交TH于K，作KJ⊥DG 于J．易证△DEM≌△DHK（AAS），推出EM=HK，只要求出HK即可．∵TE⊥DE，TH⊥DC，DG平分∠CDE，∴TE=TH，设TE=TH=x，在Rt△TCH中，x2+22=（4-x）2，∴x=，∴，∵DK平分∠CDT，KJ⊥DT，KH⊥CD，∴KJ=KH，设KJ=KH=y，在Rt△KTJ中，∴，∴EM=∴．2．（2016内蒙古包头市）如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F 分别是AC、AB边上点，连接EF．（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=3S△EDF，求AE的长；（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使M F∥CA．①试判断四边形AE M F的形状，并证明你的结论；②求EF的长；（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE=，求的值．【答案】（1）；（2）①四边形AE M F为菱形；②；（3）．【分析】试题分析：（1）先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则S△AEF≌S△DEF，则易得S△ABC=4S△AEF，再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到=（）2，再利用勾股定理求出AB 即可得到AE的长；（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形；②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，先证明△CME∽△CBA得到==，解出x后计算出CM=，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF；（3）如图③，作FH⊥BC于H，先证明△NCE∽△NFH，利用相似比得到FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，再证明△BFH∽△BAC，利用相似比可计算出x=，则可计算出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF的长，于是可计算出的值．【解答】（1）如图①，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴S△AEF≌S△DEF，∵S四边形ECBF=3S△EDF，∴S△ABC=4S△AEF，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵∠EAF=∠BAC，∴Rt△AEF∽Rt△ABC，∴=（）2，即（）2=，∴AE=；（2）①四边形AEMF为菱形．理由如下：如图②，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，∵MF∥AC，∴∠AEF=∠MFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=EM=MF=AF，∴四边形AEMF为菱形；②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，∵四边形AEMF为菱形，∴EM∥AB，∴△CME∽△CBA，∴==，即==，解得x=，CM=，在Rt△ACM中，AM===，∵S菱形AEMF=EF•AM=AE•CM，∴EF=2×=；（4）如图③，作FH⊥BC于H，∵EC∥FH，∴△NCE∽△NFH，∴CN：NH=CE：FH，即1：NH=：FH，∴FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，∵FH∥AC，∴△BFH∽△BAC，∴BH：BC=FH：AC，即（4﹣7x）：3=4x：4，解得x=，∴FH=4x=，BH=4﹣7x=，在Rt△BFH中，BF==2，∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3，∴=．3．如图1，四边形的对角线相交于点，，，，.（1）填空：与的数量关系为；（2）求的值；（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长.【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1.【分析】（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°；（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出，可得，可得4y2+2xy﹣x2=0，即，求出的值即可解决问题；（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得，可得，即，由此即可解决问题；【解答】（1）如图1中，在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ABD+∠ADB=∠ACB，∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°．（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴，∴，∴4y2+2xy﹣x2=0，∴，∴（负根已经舍弃），∴．（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，∵△EAD∽△ACB，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D∥BC，∴△PA′D∽△PBC，∴，∴，即∴PC=1．4．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝7，点P是边AC上不与点A、C重合的一点，作PD∥BC交AB边于点D．（1）如图1，将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，作AE∥PD．求证：AE＝ED；（2）将△APD绕点A顺时针旋转，得到△AP'D'，点P、D的对应点分别为点P'、D'，①如图2，当点D'在△ABC内部时，连接P′C和D'B，求证：△AP'C∽△AD'B；②如果AP：PC＝5：1，连接DD'，且DD'＝AD，那么请直接写出点D'到直线BC的距离．【答案】(1)见解析；（2）①见解析；②点D'到直线BC的距离为或【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质可得∠EAD＝∠ADP＝∠ADP'，即可得AE＝DE；（2）①由题意可证△APD∽△ACB，可得，由旋转的性质可得AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，即∠P'AC＝∠D'AB，，则△AP'C∽△AD'B；②分点D'在直线BC的下方和点D'在直线BC的上方两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求PD＝，通过证明△AMD'≌△DPA，可得AM＝PD＝，即可求点D'到直线BC的距离．【解答】证明：（1）∵将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，∴∠ADP'＝∠ADP，∵AE∥PD，∴∠EAD＝∠ADP，∴∠EAD＝∠ADP'，∴AE＝DE（2）①∵DP∥BC，∴△APD∽△ACB，∴，∵旋转，∴AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，∴∠P'AC＝∠D'AB，，∴△AP'C∽△AD'B②若点D'在直线BC下方，如图，过点A作AF⊥DD'，过点D'作D'M⊥AC，交AC的延长线于M，∵AP：PC＝5：1，∴AP：AC＝5：6，∵PD∥BC，∴=，∵BC＝7，∴PD＝，∵旋转，∴AD＝AD'，且AF⊥DD'，∴DF＝D'F＝D'D，∠ADF＝∠AD'F，∵cos∠ADF＝＝=，∴∠ADF＝45°，∴∠AD'F＝45°，∴∠D'AD＝90°∴∠D'AM+∠PAD＝90°，∵D'M⊥AM，∴∠D'AM+∠AD'M＝90°，∴∠PAD＝∠AD'M，且AD'＝AD，∠AMD'＝∠APD，∴△AD'M≌△DAP（AAS）∴PD＝AM＝，∵CM＝AM﹣AC＝﹣3，∴CM＝，∴点D'到直线BC的距离为若点D'在直线BC的上方，如图，过点D'作D'M⊥AC，交CA的延长线于点M，同理可证：△AMD'≌△DPA，∴AM＝PD＝，∵CM＝AC+AM，∴CM＝3+＝，∴点D'到直线BC的距离为综上所述：点D'到直线BC的距离为或；。
河南省2019年中考数学专题复习专题三：几何图形的折叠与动点问题训练
2.如图，在 Rt^ABC 中，/ACB= 90°, AB= 5, AC= 4, E 、F 分别为 AR AC 上的点，沿直线 EF 将/B 折专题三 几何图形的折叠与动点问题专题类型突破类型一与特殊图形有关例1工（2018・河南）如图，Z MAN= 90° ,点 C 在边 AM 上，AC= 4,点B 为边 AN 上一动点，连接 BC,△ A' BC 与4ABC 关于BC 所在直线对称，点 D, E 分别为AG BC 的中点，连接 DE 并延长交A' B 所在直线于点F,连接A' E.当EF 为直角三角形时，AB 的长为【分析】 当EF 为直角三角形时，存在两种情况：①/ A' EF= 90° ,②/A' FE= 90°进行讨论. 【自主解答】 当EF 为直角三角形时，存在两种情况：①当/ A' EF= 90°时，如解图①，,「△ A' BC 与△ABQ^于BC 所在直线又出张，A' C= AC= 4, / ACB= /A' CB ；・点 D, E 分别为AC, BC 的中点，，口E 是 ^ABC 的中位线，DE// AB, / CDE= Z MAN= 90° , / CDE= /A' EF, .. AC// A' E, / ACB=/A' EC ，/A' CB= /A' EC : A C= A' E= 4.在 Rt^A' CB 中，「E 是斜边 BC 的中点，BC= 2A' E =8,由勾股定理，得 Ad=BC2—AC2,，AB= ^82-42 =443;②当/ A' FE= 90° 时，如解图②，,一/ ADF = /A= /DFB= 90° .，/ABF= 90° , .△A' BC 与 ^ABC 关于 BC 所在直线对称，・./ ABC= / CBA = 45° ,「.△ABC 是等腰直角三角形，・•. AB= AC= 4;综上所述，AB 的长为4木或4.针对训练《1 .如图，四边形 ABCD^菱形，AB= 2, /ABC= 30° ,点 E 是射线DA 上一动点，把^ CDE 沿CE 折叠，其 中点D 的对应点为D',连接D' B.若使BC 为等边三角形，则DE=4,.\叠，使点B恰好落在AC上的D处.当△ ADE恰好为直角三角形时，BE的长为3.（2017 ・河南）如图，在Rt^ABC中，/A= 90° , AB= AC, BG= 1,点M N分别是边BC AB上的动点，沿MN/f在的直线折叠/ B,使点B的对应点B'始终落在边AC上.若4 MB C为直角三角形，则BM 的长为.4.（2018 ・新乡一模）菱形ABCD勺边长是4, /DAB= 60°，点M N分别在边AR AB上，且MNLAC 垂足为P,把4AMN沿MN^f叠得到AA' MN若匕A DC恰为等腰三角形，则AP的长为.D C5.（2017 •三门峡一模）如图，在Rt^ABC中，/ACB= 90° , AB= 5, AC= 3,点D是BC上一动点，连接AD,将4ACD沿AD折叠，点C落在点C',连接C' D交AB于点E,连接BC .当ABC D是直角三角形时，DE的长为.6.（2018 ・盘锦）如图，已知Rt^ABC 中，/ B= 90° , / A= 60° , AC= 243 + 4,点M N 分别在线段AG AB上.将^ANM沿直线MN^f叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△ DCM为直角三角形时，折痕MN的长为.7.（2018 •乌鲁木齐）如图，在Rt^ABC中，/C= 90° , BC= 2® AC= 2,点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△ BDE翻折到AB' DE的位置，B' D交AB于点F,若^AB' F为直角三角形，则AE的长为.A8. （2017 •洛阳一模）在菱形ABC 邛，AB= 5, AC= 8,点P 是对角线AC 上的一个动点，过点 P 作EF 垂直 AC 交AD 于点E,交AB 于点F,将AAEF 折叠，使点A 落在点A 处，当△ A' CD 为等腰三角形时,9. （2018 •濮阳一模）如图，在 RtAABC 中，Z C= 90° , AG= 3, BC= 4,点 D, E 为 AC, BC 上两个动点.若将/C 沿DE 折叠，点C 的对应点C'恰好落在 AB 上，且△ ADC 恰好为直角三角形，则此时 长为类型二点的位置不确定（2016 •河南）如图，已知 AD// BC AB±BC AB= 3,点E 为射线BC 上一个动点，连接 AE,沿AE 折叠，点B 落在点B'处，过点BYAD 的垂线，分别交 AD, BC 于点M N.当点B'为线段 等分点时，BE 的长为AP 的长CD 的将^ ABEMN 的三【分析】 根据勾股定理，可得 EB ,根据相似三角形的性质，可得 EN 的长，根据勾股定理，可得答案. 【自主解答】 由翻折的性质，得 AB= AB' , BE= B' E.①当MB =2, B' N= 1V x VT 由AB' EN^匕A M 热="，即x ：2^^， x 2=；, BE= B' E=B M AB 2 35时，设 EN= x,得 B' E=4 3 57+1=^-; 5 5 ②当 MB = 1, B' N= 2 时，设 EN= x,得 B' E= J x2+ 22, AB' EN^AAB ?EN BE 口 x武=才即彳=x^4,解得x 2=1, BE= B' E= \lj + 4 =乎，故答案为： 乎或乎.32 1 2 2 251.如图，正方形 ABCD 勺边长为9,将正方形折叠，使 D 点落在BC 边上的点E 处，折痕为GH 若点E 是BC的三等分点，则线段 CH 的长是EF \M2.（2018-林州一模）在矩形ABCD^, AB= 4, BG= 9,点E是AD边上一动点，将边AB沿BE折叠，点A的对应点为A'.若点A到矩形较长两对边的距离之比为 1 ： 3,则AE的长为.3.（2015•河南）如图，矩形ABCN, AD= 5, AB= 7,点E为DC上一个动点，把^ ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在/ABC的平分线上时，DE的长为.4.（2017 ・商丘模拟）如图，在矩形ABCD^, AD= 5, AB= 8,点E为射线DC上一个动点，把^ ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为.5.如图，在矩形ABCD^, BC= 6, CD= 8,点P是AB上（不含端点A, B）任意一点，把^ PBC沿PC折叠, 当点B的对应点B'落在矩形ABCD寸角线上时，BP=.6.（2018 •河南模拟）如图，△ ABC中，AB=、/5, AC= 5, tan A= 2, D是BC中点，点P是AC上一个动点，将ABPD沿PD折叠，折叠后的三角形与△ PBC的重合部分面积恰好等于△ BPD面积的一半，则AP的长为7.在矩形ABCD43, AB= 6, B C= 12,点E在边BC上，且BE= 2CE,将矩形沿过点E的直线折叠，点C, D 的对应点分别为C' , D',折痕与边AD交于点F,当点B, C' , D'恰好在同一直线上时，AF的长为类型三根据图形折叠探究最值问题例3如图，在矩形纸片ABCD^, AB= 2, AD= 3,点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将4 AEF 沿EF所在直线翻折，得到△ A EF,则A' C的长的最小值是 .C【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE.当点A在线段CE上时，A C的长取最小值，根据折叠的性质可知A E= 1,在Rt^ BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE-A' E即可求出结论.D【自主解答】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE当点A在线段CE上时，A C的长取最小1 _ __ 1 一 C 值，如解图所本.根据折叠可知：A E= AE= 2AB= 1.在Rt^BCE中，BE= 2AB= 1 , BC= 3, / B= 90 , .•.CE= yj BE+BC =诉，「.A' C 的最小值=CE-A E=小0—1.故答案为师—1.【针对训练电1. （2019-原创）如图，在边长为10的等边三角形△ ABC中，D是AB边上的动点，E是AC边的中点，将△ ADE 沿DE翻折得到^ A DE连接BA ,则BA'的最小值是2.在矩形ABCD43, AD= 12, E是AB边上的点，AE= 5,点P在AD边上，将△ AEP沿EP折叠，使得点A3.如图，在边长为4的正方形ABCD43, E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将^ EBF沿EF所在直线折叠得到△ EB' F,连接B' D.则当B' D取得最小值时，tan / BEF的值为边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折4DBE使点B落在点F处，连接AF,则线段AF的长取最小值时，BF的长为.C D BD例3题解图落在点A'的位置，如图，当4. （2017 •河南模拟）如图，在Rt^ABC中，/ACB= 90° , AC= 4, BC= 6,点D是边BC的中点，点E是2*—2.参考答案类型一 针对训练1.嫄+1或2/—2 【解析】（1）当点E 在边AD 上时，过点E 作EF±CD 于F,如解图①，设 CF= x,D ,BC第1题解图①・・•/ABC= 30° , .•./ BCD= 150° . .「△BCD 是等边三角形，DCD =90° .由折叠可知，/ ECD=/D' CE= 45° , 1•• EF= CF= x,在直角三角形 DEF 中，Z D= 30° , . . DE= 2x, • . DF= 73x , • . CD= CF+DF= x +镉x=2,解得 x = ^x —1, DE= 2x= 2^3-2.(2)当E 在DA 的延长线上时，如解图②.第1题解图②过点B 作BF,DA 于点F,根据折叠可知，/ ED C= Z D= 30° ,又二,三角形 BD C 是等边三角形，，D' E 垂直平分 BC, 「AD// BC.，D' E± AD 「/ ABC= 30° / BAF= 30° ,又「AB=2, •. AF= 73.令 D' E 与1BC 的交点为 G,则易知EF= BG= 2BC= 1,，AE= 73-1,DE= \（3+1 ,综上所述，DE 的长度为1或2.1或乎【解析】在Rt^ABC中，•一/ C= 90°, AB= 5, AC= 4,BC=3.沿直线EF将/B折叠，使点o 7B恰好落在BC上的D处，当△ ADE恰好为直角三角形时，根据折叠的性质:则AAED^△ ACIB~~A-，解得x =方-,故所求BC AC 3 4 71八.2+2 或1.第3题解图4. 4>/3或2m-23 【解析】①如解图①，当A D= A' C时，/A' DG= /A' CD= 30° ,/ AA'D=60° .y. Z CAD= 30° ,, —，.，——，，AD・ ./ADA =90 ，在Rt^ADA 中,AA =———' ' cos 304 8-上二3'32，一一,一 1,由折叠可得AP=-图①ABE= DE,设BE= x,贝U DE= x,AE= 5-x,①当/ADE= 90° 时，贝U DE// BG DE AE x 5-xCB AB' 3- 15 一，一，解得x = y；②当/AED= 90时,3. 2^ + ；或1【解析】①如解图①，当/ B' MC= 90° , B'与 1 一A重合，M是BC的中点，，BM= 2BC=1十2；②如解图②，当/ MB C= 90 , ,・•/A= 90 , AB= AC,.•・/C= 45° ,CMB是等腰直角三角形，，CM=小MB .二•沿M廊在的直线折叠/ B,使点B的对应点为B' , BM= B' M • - CM= 2BM..BC=2+1, .-.CMF BM=娘BM^ BM= W+1,，BM= 1,综上所述，若^ MB C为直角三角形，则 (1)BM的长为-图②如解图②所示：/ ED 由90°时.由翻折的性质可知: AC= AC , / C= /AC D= 90° ../O /AC图② 第4题解图②如解图②，当 CD= CA =4时, 连接 BD 交 AC 于 O,则 Rt^CO 计,CO= CDX cos 30° =4X 当=2会,• .AC= 4 3, ..AA' = AC — A' C= ,一 一 1 . ..... 4 .4y 3 —4,由折叠可得 AF^］AA' =2淄—2;故答案为 不「或2、「—2. 3 3 ___ 5 . ^或4【解析】如解图①所本, 点 E 与点C'重合时.在 Rt^ABC 中，BC=+――AC =4.由翻折的性质可知；A 已AC= 3、DC= DE 则 EB= 2.设 DC= ED= x,贝U BD= 4-x.在 Rt^DBE 中，D=+B E"= D B\ 即x 2+ 22=(4 — x)2.解得 x=2. . .DE=]. 图①第5题解图 = /CDC =90° ,「•四边形 ACDC 为矩形.又< AC= AC , ••・四边形 ACDC 为正方形.CD= AC= 3. .,.DB= BC- DC= 4- 3=1.「DE// AC 「.△BD 曰△BCA.，理=里 即 史=1.解得 DE='.点 D 在 CB 上 ' AC CB 4' 34 4 运动，/ DBC <90° ,故/ DBC 不可能为直角.故答案为: 3-3 2或I 6.斐士4或m ［解析］ 3 分两种情况：①如解图①，当/ CD 璃90° , ACDM 是直角三角形，・••在 RtAABC 中，/ B= 90° , / A=60 1 ..一 _ . 一, AC= 2m+4,，/C= 30 , AB= ]AC=，3+2,由折叠可得，/ MDN=ZA = 60° , . BDN= 30° , B* -DN^ -AN, ，B* -AB= 2 2' 3V 3+2 2V3 4 , ―,，AN= 2BN=Y-+Z ，•. / DNB= 3 3 3 …一 2^3+4 。
河南省中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练
专题三几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关(2018·河南)如图.∠MAN＝90°.点C在边AM上.AC＝4.点B为边AN上一动点.连接BC.△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.点D.E分别为AC.BC的中点.连接DE并延长交A′B所在直线于点F.连接A′E.当△A′EF为直角三角形时.AB的长为________．【分析】当△A′EF为直角三角形时.存在两种情况：①∠A′EF＝90°.②∠A′FE＝90°进行讨论．【自主解答】当△A′EF为直角三角形时.存在两种情况：①当∠A′EF＝90°时.如解图①.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.∴A′C＝AC＝4.∠ACB＝∠A′CB.∵点D.E分别为AC.BC的中点.∴D、E是△ABC的中位线.∴DE∥AB.∴∠CDE＝∠MAN＝90°.∴∠CDE＝∠A′EF.∴AC∥A′E.∴∠ACB＝∠A′EC.∴∠A′CB＝∠A′EC.∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB中.∵E是斜边BC的中点.∴BC＝2A′E＝8.由勾股定理.得AB2＝BC2－AC2.∴AB＝82－42＝43；②当∠A′FE＝90°时.如解图②.∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.∴∠ABC＝∠CBA′＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形.∴AB＝AC＝4；综上所述.AB的长为43或4.图①图②1．如图.四边形ABCD是菱形.AB＝2.∠ABC＝30°.点E是射线DA上一动点.把△CDE沿CE折叠.其中点D 的对应点为D′.连接D′B. 若使△D′BC为等边三角形.则DE＝________________.2．如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AB＝5.AC＝4.E、F分别为AB、AC上的点.沿直线EF将∠B折叠.使点B恰好落在AC上的D处．当△ADE恰好为直角三角形时.BE的长为______．3．(2017·河南)如图.在Rt△ABC中.∠A＝90°.AB＝AC.BC＝2＋1.点M.N分别是边BC.AB上的动点.沿MN所在的直线折叠∠B.使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C为直角三角形.则BM的长为__________．4．(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4.∠DAB＝60°.点M、N分别在边AD、AB上.且MN⊥AC.垂足为P.把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形.则AP的长为____________．5．(2017·三门峡一模)如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AB＝5.AC＝3.点D是BC上一动点.连接AD.将△ACD沿AD折叠.点C落在点C′.连接C′D交AB于点E.连接BC′.当△BC′D是直角三角形时.DE的长为______．6．(2018·盘锦)如图.已知Rt△ABC中.∠B＝90°.∠A＝60°.AC＝23＋4.点M、N分别在线段AC、AB 上．将△ANM沿直线MN折叠.使点A的对应点D恰好落在线段BC上.当△DCM为直角三角形时.折痕MN的长为__________．7．(2018·乌鲁木齐)如图.在Rt△ABC中.∠C＝90°.BC＝2 3.AC＝2.点D是BC的中点.点E是边AB上一动点.沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置.B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形.则AE的长为________．8．(2017·洛阳一模)在菱形ABCD 中.AB ＝5.AC ＝8.点P 是对角线AC 上的一个动点.过点P 作EF 垂直AC 交AD 于点E.交AB 于点F.将△AEF 折叠.使点A 落在点A′处.当△A′CD 为等腰三角形时.AP 的长为______．9．(2018·濮阳一模)如图.在Rt△ABC 中.∠C＝90°.AC ＝3.BC ＝4.点D.E 为AC.BC 上两个动点．若将∠C 沿DE 折叠.点C 的对应点C′恰好落在AB 上.且△ADC′恰好为直角三角形.则此时CD 的长为__________．类型二 点的位置不确定(2016·河南)如图.已知AD∥BC .AB⊥BC .AB ＝3.点E 为射线BC 上一个动点.连接AE.将△ABE 沿AE折叠.点B 落在点B′处.过点B′作AD 的垂线.分别交AD.BC 于点M.N.当点B′为线段MN 的三等分点时.BE 的长为________．【分析】 根据勾股定理.可得EB′.根据相似三角形的性质.可得EN 的长.根据勾股定理.可得答案．【自主解答】 由翻折的性质.得AB ＝AB′.BE ＝B′E.①当MB′＝2.B′N＝1时.设EN ＝x.得B′E＝x 2＋1.由△B′EN～△AB′M .EN B′M ＝B′E AB′.即x 2＝x 2＋13.x 2＝45.BE ＝B′E＝45＋1＝355； ②当MB′＝1.B′N＝2时.设EN ＝x.得B′E＝x 2＋22.△B′EN∽△AB′M .EN B′M ＝B′E AB′.即x 1＝x 2＋43.解得x 2＝12.BE ＝B′E＝12＋4＝322.故答案为：322或355.1．如图.正方形ABCD 的边长为9.将正方形折叠.使D 点落在BC 边上的点E 处.折痕为GH.若点E 是BC 的三等分点.则线段CH 的长是_______．2．(2018·林州一模)在矩形ABCD中.AB＝4.BC＝9.点E是AD边上一动点.将边AB沿BE折叠.点A的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3.则AE的长为__________．3．(2015·河南)如图.矩形ABCD中.AD＝5.AB＝7.点E为DC上一个动点.把△ADE沿AE折叠.当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时.DE的长为______．4．(2017·商丘模拟)如图.在矩形ABCD中.AD＝5.AB＝8.点E为射线DC上一个动点.把△ADE沿直线AE 折叠.当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时.则DE的长为__________．5．如图.在矩形ABCD中.BC＝6.CD＝8.点P是AB上(不含端点A.B)任意一点.把△PBC沿PC折叠.当点B 的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时.BP＝________．6．(2018·河南模拟)如图.△ABC中.AB＝ 5.AC＝5.tan A＝2.D是BC中点.点P是AC上一个动点.将△BPD 沿PD折叠.折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半.则AP的长为____________．7．在矩形ABCD中.AB＝6.BC＝12.点E在边BC上.且BE＝2CE.将矩形沿过点E的直线折叠.点C.D的对应点分别为C′.D′.折痕与边AD交于点 F.当点 B.C′.D′恰好在同一直线上时.AF的长为__________________．类型三根据图形折叠探究最值问题如图.在矩形纸片ABCD中.AB＝2.AD＝3.点E是AB的中点.点F是AD边上的一个动点.将△AEF沿EF所在直线翻折.得到△A′EF.则A′C的长的最小值是________．【分析】以点E为圆心.AE长度为半径作圆.连接CE.当点A′在线段CE上时.A′C的长取最小值.根据折叠的性质可知A′E＝1.在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度.用CE－A′E即可求出结论．例3题解图【自主解答】以点E为圆心.AE长度为半径作圆.连接CE.当点A′在线段CE上时.A′C的长取最小值.如解图所示．根据折叠可知：A′E＝AE＝12AB＝1.在Rt△BCE中.BE＝12AB＝1.BC＝3.∠B＝90°.∴CE＝BE2＋BC2＝10.∴A′C的最小值＝CE－A′E＝10－1.故答案为10－1.1．(2019·原创)如图.在边长为10的等边三角形△ABC中.D是AB边上的动点.E是AC边的中点.将△ADE 沿DE翻折得到△A′DE.连接BA′.则BA′的最小值是__________．2．在矩形ABCD中.AD＝12.E是AB边上的点.AE＝5.点P在AD边上.将△AEP沿EP折叠.使得点A落在点A′的位置.如图.当A′与点D的距离最短时.△A′PD的面积为________．3．如图.在边长为4的正方形ABCD中.E为AB边的中点.F是BC边上的动点.将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F.连接B′D.则当B′D取得最小值时.tan∠BEF的值为__________．4．(2017·河南模拟)如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝4.BC＝6.点D是边BC的中点.点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合).沿DE翻折△DBE使点B落在点F处.连接AF.则线段AF的长取最小值时.BF 的长为_________．参考答案类型一针对训练1.3＋1或23－2 【解析】(1)当点E在边AD上时.过点E作EF⊥CD于F.如解图①.设CF＝x.第1题解图①∵∠ABC＝30°.∴∠BCD＝150°.∵△BCD′是等边三角形.∴∠DCD′＝90°.由折叠可知.∠ECD＝∠D′CE＝45°.∵EF＝CF＝x.在直角三角形DEF中.∠D＝30°.∴DE＝2x.∴DF＝3x.∴CD＝CF＋DF＝x＋3x＝2.解得x＝3x－1.∴DE＝2x＝23－2.(2)当E在DA的延长线上时.如解图②.第1题解图②过点B作BF⊥DA于点F.根据折叠可知.∠ED′C＝∠D＝30°.又∵三角形BD′C是等边三角形.∴D′E垂直平分BC.∵AD∥BC.∴D′E⊥AD.∵∠ABC＝30°∴∠BAF＝30°.又∵AB＝2.∴AF＝ 3.令D′E与BC的交点为G.则易知EF ＝BG ＝12BC ＝1.∴AE＝3－1.∴DE＝3＋1.综上所述.DE 的长度为3＋1或23－2. 2.158或157【解析】在Rt△ABC 中.∵∠C＝90°.AB ＝5.AC ＝4.∴BC＝3.沿直线EF 将∠B 折叠.使点B 恰好落在BC 上的D 处.当△ADE 恰好为直角三角形时.根据折叠的性质：BE ＝DE.设BE ＝x.则DE ＝x.AE ＝5－x.①当∠ADE＝90°时.则DE∥BC .∴DE CB ＝AE AB .∴x 3＝5－x 5.解得x ＝158；②当∠AED＝90°时.则△AED∽△ACB .∴DE BC＝AE AC .∴x 3＝5－x 4.解得x ＝157.故所求BE 的长度为：158或157. 3.122＋12或1 【解析】①如解图①.当∠B′MC＝90°.B′与A 重合.M 是BC 的中点.∴BM＝12BC ＝122＋12；②如解图②.当∠MB′C＝90°.∵∠A＝90°.AB ＝AC.∴∠C＝45°.∴△CMB′是等腰直角三角形.∴CM＝2MB′.∵沿MN 所在的直线折叠∠B.使点B 的对应点为B′.∴BM＝B′M .∴CM＝2BM.∵BC＝2＋1.∴CM ＋BM ＝2BM ＋BM ＝2＋1.∴BM＝1.综上所述.若△MB′C 为直角三角形.则BM 的长为122＋12或1.图①图②第3题解图 4.433或23－2 【解析】①如解图①.当A′D＝A′C 时.∠A′DC＝∠A′CD＝30°.∴∠AA′D＝60°.又∵∠CAD＝30°.∴∠ADA′＝90°.在Rt△ADA′中.AA′＝AD cos 30°＝432＝833.由折叠可得AP ＝12AA′＝433；图①图②第4题解图②如解图②.当CD ＝CA′＝4时.连接BD 交AC 于O.则Rt△COD 中.CO ＝CD×cos 30°＝4×32＝2 3.∴AC ＝4 3.∴AA′＝AC －A′C＝43－4.由折叠可得AP ＝12AA′＝23－2；故答案为433或23－2. 5 .32或34【解析】如解图①所示.点E 与点C′重合时．在Rt△ABC 中.BC ＝AB 2－AC 2＝4.由翻折的性质可知；AE ＝AC ＝3、DC ＝DE.则EB ＝2.设DC ＝ED ＝x.则BD ＝4－x.在Rt△DBE 中.DE 2＋BE 2＝DB 2.即x 2＋22＝(4－x)2.解得x ＝32.∴DE＝32.图①图②第5题解图如解图②所示：∠EDB＝90°时．由翻折的性质可知：AC ＝AC′.∠C＝∠AC′D＝90°.∵∠C＝∠AC′D ＝∠CDC′＝90°.∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC＝AC′.∴四边形ACDC′为正方形．∴CD＝AC ＝3.∴DB＝BC －DC ＝4－3＝1.∵DE∥AC .∴△BDE∽△BCA.∴DE AC ＝DB CB ＝14.即ED 3＝14.解得DE ＝34.点D 在CB 上运动.∠DBC′＜90°.故∠DBC′不可能为直角．故答案为：32或34. 6.23＋43或 6 【解析】分两种情况：①如解图①.当∠CDM＝90°.△CDM 是直角三角形.∵在Rt△ABC 中.∠B＝90°.∠A＝60°.AC ＝23＋4.∴∠C＝30°.AB ＝12AC ＝3＋2.由折叠可得.∠MDN＝∠A＝60°.∴∠BDN＝30°.∴BN＝12DN ＝12AN.∴BN＝13AB ＝3＋23.∴AN＝2BN ＝233＋43.∵∠DNB＝60°.∴∠ANM ＝∠DNM＝60°.∴∠ANM＝60°.∴AN＝MN ＝23＋43.②如解图②.当∠CMD＝90°时.△CDM 是直角三角形.由题可得∠CDM＝60°.∠A＝∠MDN＝60°.∴∠BDN＝60°.∠BND＝30°.∴BD＝12DN ＝12AN.BN ＝3BD.又∵AB＝3＋2.∴AN＝2.BN ＝ 3.过N 作NH⊥AM 于H.则∠ANH＝30°.∴AH＝12AN ＝1.HN ＝ 3.由折叠可得∠AMN＝∠DMN＝45°.∴△MNH 是等腰直角三角形.∴HM＝HN ＝ 3.∴MN＝ 6.故答案为23＋43或 6.图①图②第6题解图7．3或145 【解析】∴∠C＝90°.BC ＝2 3.AC ＝2.∴tan B＝AC BC ＝223＝33.∴∠B＝30°.∴AB＝2AC ＝4.∵点D 是BC 的中点.沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′D′E 的位置.B′D 交AB 于点F.∴DB＝DC ＝ 3.EB′＝EB.∠DB′E＝∠B＝30°.设AE ＝x.则BE ＝4－x.EB′＝4－x.当∠AFB′＝90°时.在Rt△BDF 中.cos B ＝BF BD .∴BF＝3cos 30°＝32.∴EF＝32－(4－x)＝x －52.在Rt△B′EF 中.∵∠EB′F＝30°.∴EB′＝2EF. 则4－x ＝2(x －52).解得x ＝3.此时AE 为3；第7题解图当∠FB′A＝90°时.作EH⊥AB′于H.连接AD.如解图.∵DC＝DB′.AD ＝AD.∴Rt△ADB′≌Rt△ADC .∴AB′＝AC ＝2.∵∠AB′E＝∠AB′F＋∠EB′F＝90°＋30°＝120°.∴∠EB′H＝60°.在Rt△EHB′中.B′H＝12B ′E ＝12(4－x).EH ＝3B′H＝32(4－x).在Rt△AEH 中.∵EH 2＋AH 2＝AE 2.∴34(4－x)2＋[12(4－x)＋2]2＝x 2.解得x ＝145.此时AE 为145.综上所述.AE 的长为3或145. 8.32或3916【解析】∵四边形ABCD 是菱形.∴AB＝BC ＝CD ＝AD ＝5.∠DAC＝∠BAC.∵EF⊥AA′.∴∠EPA＝∠FPA′＝90°.∴∠EAP＋∠AEP＝90°.∠FAP＋∠AFP＝90°.∴∠AEP＝∠AFP .∴AE＝AF.∵△A′EF 是由△AEF 翻折.∴AE＝EA′.AF ＝FA′.∴AE＝EA′＝A′F＝FA.∴四边形AEA′F 是菱形.∴AP＝PA′.①当CD＝CA′时.∵AA′＝AC －CA′＝3.∴AP ＝12AA′＝32.②当A′C ＝A′D 时.∵∠A′CD ＝∠A′DC ＝∠DAC .∴△A′CD∽△DAC.∴A′C AD ＝DC AC .∴A′C＝258.∴AA′＝8－258＝398.∴AP＝12AA′＝3916.故答案为32或3916. 9.127或43【解析】①如解图①.当∠ADC′＝90°时.∠ADC′＝∠C .第9题解图①∴DC′∥CB .∴△ADC′∽△ACB.又∵AC＝3.BC ＝4.∴AD DC′＝34.设CD ＝C′D＝x.则AD ＝3－x.∴3－x x ＝34.解得x ＝127.经检验：x ＝127是所列方程的解.∴CD＝127；②如解图②.当∠DC′A＝90°时.∠DCB＝90°.第9题解图②由折叠可得.∠C ＝∠DC′E ＝90°.∴C′B 与CE 重合.由∠C ＝∠AC′D ＝90°.∠A ＝∠A .可得△ADC′∽△ABC .在Rt △ABC 中.AB ＝5.∴AD C′D ＝AB CB ＝54.设CD ＝C′D＝x.则AD ＝3－x.∴3－x x ＝54.解得x ＝43.∴CD＝43.综上所述.CD 的长为127或43. 类型二针对训练1．4或52 【解析】设CH ＝x.则DH ＝EH ＝9－x.当BE∶EC＝2∶1时.BC ＝9.∴CE＝13BC ＝3.在Rt△ECH 中.EH 2＝EC 2＋CH 2.即(9－x)2＝32＋x 2.解得x ＝4.即CH ＝4.当BE∶EC＝1∶2时.CE ＝23BC ＝6.在Rt△ECH 中.EH 2＝EC 2＋CH 2.即(9－x)2＝62＋x 2.解得：x ＝52.即CH ＝52.故CH 的长为4或52. 2.477或4155【解析】如解图.过点A′作A′M⊥AD 于M 交BC 于N.则四边形ABNM 是矩形.∴AB＝MN ＝4.∵若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3.∴A′M＝1.A′N＝3或A′M＝3.A′N＝1.①当A′M＝1.A′N ＝3时.在Rt△BA′N 中.BN ＝42－32＝7.∴AM ＝BN ＝7.由△A′EM～△BA′N .∴EM A′N ＝A′M BN .∴EM 3＝17.∴EM＝377.∴AE＝477；②当A′M＝3.A′N＝1时.同理可得AE ＝4155.,第2题解图)第3题解图3.52或53【解析】如解图.连接BD′.过D′作MN⊥AB .交AB 于点M.CD 于点N.作D′P⊥BC 交BC 于点P.∵点D 的对应点D′落在∠ABC 的平分线上.∴MD′＝PD′.设MD′＝x.则PD′＝BM ＝x.∴AM＝AB －BM ＝7－x.又由折叠图形可得AD ＝AD′＝5.∴x 2＋(7－x)2＝25.解得x ＝3或4.即MD′＝3或4.在Rt△END′中.设ED′＝a.①当MD′＝3时.AM ＝7－3＝4.D′N＝5－3＝2.EN ＝4－a.∴a 2＝22＋(4－a)2.解得a ＝52.即DE ＝52；②当MD′＝4时.AM ＝7－4＝3.D′N＝5－4＝1.EN ＝3－a.∴a 2＝12＋(3－a)2.解得a ＝53.即DE ＝53.综上所述.DE 的长为52或53. 4.52或10 【解析】分两种情况：①如解图①.当点F 在矩形内部时.∵点F 在AB 的垂直平分线MN 上.∴AN ＝4.∵AF＝AD ＝5.由勾股定理得FN ＝3.∴FM＝2.设DE 为x.则EM ＝4－x.FE ＝x.在△EMF 中.由勾股定理.得x 2＝(4－x)2＋22.∴x＝52.即DE 的长为52；图①图②第4题解图②如解图②.当点F 在矩形外部时.同①的方法可得FN ＝3.∴FM＝8.设DE 为y.则EM ＝y －4.FE ＝y.在△EMF 中.由勾股定理.得y 2＝(y －4)2＋82.∴y＝10.即DE 的长为10.综上所述.点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时.DE 的长为52或10. 5．3或92【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上.如解图①.∵在矩形ABCD 中.AB ＝8.BC ＝6∴∠ABC＝90°.AC ＝BD.∴AC＝BD ＝62＋82＝10.根据折叠的性质.得PC⊥BB′.∴∠PBD＝∠BCP .∴△BCP∽△ABD .∴BP AD ＝BC AB.即BP 6＝68.解得BP ＝92；②点A 落在矩形对角线AC 上.如解图②.根据折叠的性质.得BP ＝B′P .∠B＝∠PB′C ＝90°.∴∠AB′A＝90°.∴△APB′∽△ACB .∴B′P BC ＝AP AC .即BP 6＝8－BP 10.解得BP ＝3.故答案为：3或92.图①图②第5题解图6．2或5－ 5 【解析】分两种情况：①当点B′在AC 的下方时.如解图①.∵D 是BC 中点.∴S △BPD ＝S △PDC .∵S △PDF ＝12S △BPD .∴S △PDF ＝12S △PDC .∴F 是PC 的中点.∴DF 是△BPC 的中位线.∴DF∥BP .∴∠BPD＝∠PDF .由折叠得：∠BPD＝∠B′PD .∴∠B′PD＝∠PDF .∴PB′＝B′D .即PB ＝BD.过B 作BE⊥AC 于E.在Rt△ABE中.tan A ＝BE AE＝2.∵AB＝ 5.∴AE＝1.BE ＝2.∴EC＝5－1＝4.由勾股定理.得BC ＝BE 2＋EC 2＝22＋42＝2 5.∵D 为BC 的中点.∴BD＝ 5.∴PB＝BD ＝ 5.在Rt△BPE 中.PE ＝1.∴AP＝AE ＋PE ＝1＋1＝2；图①图②第6题解图②当点B′在AC 的上方时.如解图②.连接B′C .同理得：F 是DC 的中点.F 是PB′的中点.∴DF＝FC.PF ＝FB′.∴四边形DPCB′是平行四边形.∴PC＝B′D＝BD＝ 5.∴AP＝5－ 5.综上所述.AP的长为2或5－5.7．8＋23或8－2 3 【解析】由折叠的性质得.∠EC′D′＝∠C＝90°.C′E＝CE.∵点B、C′、D′在同一直线上.∴∠BC′E＝90°.∵BC＝12.BE＝2CE.∴BE＝8.C′E＝CE＝4.在Rt△BC′E中.BE C′E＝2.∴∠C′BE＝30°.①当点C′在BC的上方时.如解图①.过E作EG⊥AD于G.延长EC′交AD于H.则四边形ABEG是矩形.∴EG＝AB＝6.AG＝BE＝8.∵∠C′BE＝30°.∠BC′E＝90°.∴∠BEC′＝60°.由折叠的性质得.∠C′EF＝∠CEF＝60°.∵AD∥BC.∴∠HFE＝∠CEF＝60°.∴△EFH是等边三角形.∴在Rt△EFG 中.EG＝6.∴GF＝23.∴AF＝8＋23；②当点C′在BC的下方时.如解图②.过F作FG⊥AD于G.D′F交BE于H.同①可得.四边形ABGF是矩形.△EFH是等边三角形.∴AF＝BG.FG＝AB＝6.∠FEH＝60°.在Rt△EFG 中.GE＝23.∵BE＝8.∴BG＝8－2 3.∴AF＝8－2 3.图①图②第7题解图类型三针对训练1．53－5 【解析】如解图.连接BE.第1题解图∵AB＝BC＝AC＝10.∴∠C＝60°.∵AB＝BC.E是AC的中点.∴BE⊥AC.∴BE＝BC2－EC2＝102－52＝53.∵AC＝10.E是AC边的中点.∴AE＝5.由翻折的性质可知A′E＝AE＝5.∵BA′＋A′E≥BE.∴当点B、A′、E在一条直线上时.BA′有最小值.最小值＝BE－A′E＝53－5.2.403【解析】连接DE.DE＝52＋122＝13.∵将△AEP沿FP折叠.使得点A落在点A′的位置.∴EA′＝EA＝5.∵A′D≥DE－EA′第2题解图(当且仅当A′点在DE 上时.取等号).∴当A′与点D 的距离最短时.A′点在DE 上.∴DA′＝13－5＝8.设PA′＝x.则PA ＝x.PD ＝12－x.在Rt△DPA′中.x 2＋82＝(12－x)2.解得x ＝103.∴△A′PD 的面积＝12×8×103＝403. 3.1＋52【解析】在Rt△ADE 中.DE ＝22＋42＝2 5.当B′在ED 上时.B′D 最小.在ED 上截取EB′＝EB ＝2.连接B′F .FD.则B′D＝ED －EB′＝25－2.设BF ＝x.则B′F＝x.CF ＝4－x.在Rt△B′FD 和Rt△FCD 中.利用勾股定理.可得DB′2＋B′F 2＝DF 2＝CF 2＋DC 2.即(25－2)2＋x 2＝(4－x)2＋42.解得x ＝5＋1.∴Rt△BEF 中.tan∠BEF＝BF BE ＝1＋52.第3题解图4.1255【解析】由题意得：DF ＝DB.第4题解图∴点F 在以D 为圆心.BD 为半径的圆上.作⊙D; 连接AD 交⊙D 于点F.此时AF 值最小.∵点D 是边BC 的中点.∴CD＝BD ＝3；而AC ＝4.由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2.∴AD＝5.而FD ＝3.∴FA＝5－3＝2.即线段AF长的最小值是2.连接BF.过F 作FH⊥BC 于H.∵∠ACB＝90°.∴FH∥AC .∴△DFH∽△DAC .∴DF AD ＝DH CD ＝HF AC.即35＝DH 3＝HF 4.∴HF＝125.DH ＝95.∴BH＝245.∴BF＝BH 2＋HF 2＝1255.。
几何图形的折叠与动点问题
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16．(2021河南模拟)如图，在正方形ABCD中，点M，N分别为边 CD，AB上的两个动点，且CM＝AN，连接MN，过点D作DP⊥MN于点 P，连接CP，若AB＝4，则CP的最小值为___1_0_－____2_．
专题四 几何图形的折叠与动点问题
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考情分析 2021年考查两次折叠双结论，2014～2019年考查一次折 叠双结论，常以三角形、四边形为背景，对折叠后的直角三角形的直角 顶点、等腰三角形的底和腰、点的位置等进行分类讨论．
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类型 特殊图形的边或角不确定 例1 (2021河南模拟)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝
4．(2021中牟县二模)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点P是线段 DC上的一个动点，将△ADP沿直线AP翻折，得到△AEP，点H是BC上
一点，且BH＝3，连接AH，HE，当DP的长为__8_或__41_10___时，△AHE是 直角三角形．
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5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝1，点E，F分别是AB和CD的 中点，H为BC上的一点，现将△ABH沿AH折叠，使点B落在直线EF 上，对应点为点G．当△ADG为等腰三角形时，AD＝__1_或___3_或___33___．
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训练 6．(2021平顶山模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∠B＝30°，点P是斜边AB上一动点，连接CP，将△ACP沿CP折叠，点 A的对应点是A′，当点A′落在边BC的垂直平分线上时，∠ACP的度数 为__3_0_°__或__6_0_°____．
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变式 7．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°， BC ＝ 1 ， 点 P 为 AB 边 上 一 点 ( 不 与 A ， B 重 合 ) ， 点 M 为 AC 的 中 点 ， 将 △PCM沿PM翻折，得到△PC′M，连接AC′，当以点A，M，P，C′ 为顶点的四边形为平行四边形时，BP的长为___12_或__2_－___2_3__．
专题03 动点、折叠问题-中考数学试题研究(河南专版)
2018河南中考15题．（3分）如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B 所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为4或4．【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的长；②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC=2A'E=8，由勾股定理得：AB2=BC2﹣AC2，∴AB==4；2017河南中考15题．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为+或1．【分析】①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=MB′，列方程即可得到结论．【解答】解：①如图1，当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，∴BM=BC=+；②如图2，当∠MB′C=90°，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM=MB′，∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，∴BM=B′M，∴CM=BM，∵BC=+1，∴CM+BM=BM+BM=+1，∴BM=1，综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为+或1，故答案为：+或1．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．2016河南中考15题．（3分）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为或．【分析】根据勾股定理，可得EB′，根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理，可得答案．【解答】解：如图，由翻折的性质，得AB=AB′，BE=B′E．①当MB′=2，B′N=1时，设EN=x，得B′E=．△B′EN∽△AB′M，=，即=，x2=，BE=B′E==．②当MB′=1，B′N=2时，设EN=x，得B′E=，△B′EN∽△AB′M，=，即=，解得x2=，BE=B′E==，故答案为：或．【点评】本题考查了翻折的性质，利用翻折的性质得出AB=AB′，BE=B′E是解题关键，又利用了相似三角形的性质，要分类讨论，以防遗漏．2015河南中考15题．（3分）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为16或4．【分析】根据翻折的性质，可得B′E的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．【点评】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定．2014河南中考15题．（3分）如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为或．【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P①当MD′=3时，AM=7﹣3=4，D′N=5﹣3=2，EN=4﹣a，∴a2=22+（4﹣a）2，解得a=，即DE=，②当MD′=4时，AM=7﹣4=3，D′N=5﹣4=1，EN=3﹣a，∴a2=12+（3﹣a）2，解得a=，即DE=．故答案为：或．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．2013河南中考15题．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为或3．【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．【解答】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5﹣3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=，∴BE=；【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．2012河南中考15题．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．点D是BC边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC 上的点F处．当△AEF为直角三角形时，BD的长为1或2．【分析】首先由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，即可求得AC的长、∠AEF与∠BAC的度数，然后分别从从∠AFE=90°与∠EAF=90°去分析求解，又由折叠的性质与三角函数的知识，即可求得CF 的长，继而求得答案．【解答】解：根据题意得：∠EFB=∠B=30°，DF=BD，EF=EB，∵DE⊥BC，∴∠FED=90°﹣∠EFD=60°，∠BEF=2∠FED=120°，∴∠AEF=180°﹣∠BEF=60°，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，∴AC=BC•tan∠B=3×=，∠BAC=60°，如图①若∠AFE=90°，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠EFD+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，∴∠FAC=∠EFD=30°，∴CF=AC•tan∠FAC=×=1，∴BD=DF==1；如图②若∠EAF=90°，则∠FAC=90°﹣∠BAC=30°，∴CF=AC•tan∠FAC=×=1，∴BD=DF==2，∴△AEF为直角三角形时，BD的长为：1或2．【点评】此题考查了直角三角形的性质、折叠的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．。
河南中考折叠专题复习
垂直平分线上，如果AB＝5，AD＝8，tanB＝
4 3
，那么
BP的长为____．
特殊图形的边或角不确定
例2、(2019·安阳二模)如图，在△ABC中，∠C＝ 90°，AB＝5，BC＝4.点D是边AC的中点，点E在边 AB上，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当 线段AE的长为____时，A′E∥BC.
专题四 几何图形的折叠与动 点问题
点位置的不确定
例1、如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝8，AD＝6， 点E，F分别是边AB，CD上的动点，将该四边形沿折痕EF 翻折，使点A落在边BC的三等分点处，则AE的长为____．
1．(2019·新乡一模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，点D，E分别是BC，AB上一个动点，连接DE. 将点B沿直线DE折叠，点B的对应点为F，若AC＝3， BC＝4，当点F落在AC的三等分点上时，BD的长为 ____．
4.(2019·河南模拟)如图，在等边△ABC中，AB＝ 2＋2，点D在边AB上，且AD＝2，点E是BC边上一动 点将∠B沿DE折叠，当点B的对应点B′落在△ABC的边 上时，BE的长为____．
5．(2019·河南模拟)如图，点P在平行四边形ABCD的边
BC上，将△ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，∠A ＝30°，点D是AB中点，点P是边AC上一动点，△DAP 与△DFP关于DP所在直线对称，DF与AC相交于点E(点 E不与点C重合).若△ADE为等腰三角形，则DE的长为 ____．
4．(2019·河南模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝4， BC＝5，E，F分别是线段CD和线段BA延长线上的动点， 沿直线EF折叠使点D的对应点D′落在BC上，连接AD′， DD′，当△ADD′是以DD′为腰的等腰三角形时，DE的△ABC中，∠ACB＝90°， ∠A＝30°，BC＝1，CD是△ABC的中线，E是AC上 一动点，将△AED沿ED折叠，点A落在点F处，EF与 线 段 CD 交 于 点 G ， 若 △CEG 是 直 角 三 角 形 ， 则 CE ＝ ____．
2019河南省2019年中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练
专题三 几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关(2018·河南)如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为________．【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①∠A′EF＝90°，②∠A′FE＝90°进行讨论．【自主解答】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A′EF＝90°时，如解图①，∵△A′BC 与△ABC关于BC所在直线对称，∴A′C＝AC＝4，∠ACB＝∠A′CB.∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A′EF，∴AC∥A′E，∴∠ACB＝∠A′EC，∴∠A′CB＝∠A′EC，∴A′C＝A′E＝4.在Rt△82－42A′CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A′E＝8，由勾股定理，得AB2＝BC2－AC2，∴AB＝＝4 3；②当∠A′FE＝90°时，如解图②，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°，∵△A′BC与△ABC 关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA′＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，3AB的长为4或4.图①图②1．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为D′，连接D′B.若使△D′BC为等边三角形，则DE＝________________.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，E、F分别为AB、AC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处．当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为______．23．(2017·河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C为直角三角形，则BM的长为__________．4．(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4，∠DAB＝60°，点M、N分别在边AD、AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形，则AP的长为____________．5．(2017·三门峡一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连接C′D交AB于点E，连接BC′.当△BC′D是直角三角形时，DE的长为______．36．(2018·盘锦)如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2＋4，点M、N分别在线段AC、AB上．将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__________．37．(2018·乌鲁木齐)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE 的长为________．8．(2017·洛阳一模)在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，点P 是对角线AC 上的一个动点，过点P 作EF 垂直AC 交AD 于点E ，交AB 于点F ，将△AEF 折叠，使点A 落在点A′处，当△A′CD 为等腰三角形时，AP 的长为______．9．(2018·濮阳一模)如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D ，E 为AC ，BC 上两个动点．若将∠C 沿DE 折叠，点C 的对应点C′恰好落在AB 上，且△ADC′恰好为直角三角形，则此时CD 的长为__________．类型二 点的位置不确定(2016·河南)如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB ＝3，点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将△ABE沿AE 折叠，点B 落在点B′处，过点B′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点M ，N.当点B′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为________．【分析】 根据勾股定理，可得EB′，根据相似三角形的性质，可得EN 的长，根据勾股定理，可得答案．【自主解答】 由翻折的性质，得AB ＝AB′，BE ＝B′E.①当MB′＝2，B′N＝1时，设EN ＝x ，得B′E＝.由△B′EN～△AB′M，＝，即＝，x 2＝，BE ＝B′E＝＝；x2＋1EN B ′M B ′E AB ′x 2x2＋134545＋1355②当MB′＝1，B′N＝2时，设EN ＝x ，得B′E＝，△B′EN∽△AB′M，＝，即＝x2＋22EN B ′M B ′E AB ′x1，解得x 2＝，BE ＝B′E＝＝，故答案为：或.x2＋431212＋43223223551．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使D 点落在BC 边上的点E 处，折痕为GH.若点E 是BC 的三等分点，则线段CH 的长是_______．2．(2018·林州一模)在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，点E是AD边上一动点，将边AB沿BE折叠，点A的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则AE的长为__________．3．(2015·河南)如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D 的对应点D′落在∠ABC的平分线上时，DE的长为______．4．(2017·商丘模拟)如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为__________．5．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝8，点P是AB上(不含端点A，B)任意一点，把△PBC沿PC折叠，当点B的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时，BP＝________．56．(2018·河南模拟)如图，△ABC中，AB＝，AC＝5，tan A＝2，D是BC中点，点P是AC上一个动点，将△BPD沿PD折叠，折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半，则AP的长为____________．7．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D 的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为__________________．类型三根据图形折叠探究最值问题如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF 所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C 的长的最小值是________．【分析】 以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE.当点A′在线段CE 上时，A′C 的长取最小值，根据折叠的性质可知A′E＝1，在Rt△BCE 中利用勾股定理可求出CE 的长度，用CE －A′E 即可求出结论．例3题解图【自主解答】 以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE ，当点A′在线段CE 上时，A′C 的长取最小值，如解图所示．根据折叠可知：A′E＝AE ＝AB ＝1.在Rt△BCE 中，BE ＝AB ＝1，BC ＝3，∠B＝90°，∴CE＝1212＝，∴A′C 的最小值＝CE －A′E＝－1.故答案为－1.BE2＋BC21010101．(2019·原创)如图，在边长为10的等边三角形△ABC 中，D 是AB 边上的动点，E 是AC 边的中点，将△ADE 沿DE 翻折得到△A′DE，连接BA′，则BA′的最小值是__________．2．在矩形ABCD 中，AD ＝12，E 是AB 边上的点，AE ＝5，点P 在AD 边上，将△AEP 沿EP 折叠，使得点A 落在点A′的位置，如图，当A′与点D 的距离最短时，△A′PD 的面积为________．3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，F 是BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D.则当B′D 取得最小值时，tan∠BEF 的值为__________．4．(2017·河南模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为_________．参考答案类型一针对训练331.＋1或2－2 【解析】(1)当点E在边AD上时，过点E作EF⊥CD于F，如解图①，设CF＝x，第1题解图①∵∠ABC＝30°，∴∠BCD＝150°.∵△BCD′是等边三角形，∴∠DCD′＝90°.由折叠可知，∠ECD＝∠D′CE＝45°，∵EF＝CF＝x，在直角三角形DEF中，∠D＝30°，3333∴DE＝2x，∴DF＝x，∴CD＝CF＋DF＝x＋x＝2，解得x＝x－1，∴DE＝2x＝2－2.(2)当E在DA的延长线上时，如解图②.第1题解图②过点B作BF⊥DA于点F，根据折叠可知，∠ED′C＝∠D＝30°，又∵三角形BD′C是等边三角形，∴D′E3垂直平分BC，∵AD∥BC.∴D′E⊥AD，∵∠ABC＝30°∴∠BAF＝30°，又∵AB＝2，∴AF＝.令D′E与BC的交点为G ，则易知EF ＝BG ＝BC ＝1，∴AE＝－1，∴DE＝＋1，综上所述，DE 的长度为＋1或212333－2.32.或 【解析】在Rt△ABC 中，∵∠C＝90°，AB ＝5，AC ＝4，∴BC＝3.沿直线EF 将∠B 折叠，使点B 158157恰好落在BC 上的D 处，当△ADE 恰好为直角三角形时，根据折叠的性质：BE ＝DE ，设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝5－x ，①当∠ADE＝90°时，则DE∥BC，∴＝，∴＝，解得x ＝；②当∠AED＝90°DE CB AE AB x 35－x 5158时，则△AED∽△ACB，∴＝，∴＝，解得x ＝，故所求BE 的长度为：或.DE BC AE AC x 35－x 41571581573.＋或1 【解析】①如解图①，当∠B′MC＝90°，B′与A 重合，M 是BC 的中点，12212∴BM＝BC ＝＋；②如解图②，当∠MB′C＝90°，∵∠A＝90°，AB ＝AC ，∴∠C＝45°，∴△CMB′是1212212等腰直角三角形，∴CM＝MB′.∵沿MN 所在的直线折叠∠B，使点B 的对应点为2B′，∴BM＝B′M，∴CM＝BM.∵BC＝＋1，∴CM＋BM ＝BM ＋BM ＝＋1，∴BM＝1，综上所述，若2222△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为＋或1.12212图①图②第3题解图4.或2－2 【解析】①如解图①，当A′D＝A′C 时，∠A′DC＝∠A′CD＝30°，∴∠AA′D＝60°.4333又∵∠CAD＝30°，∴∠ADA′＝90°，在Rt△ADA′中，AA′＝＝＝，由折叠可得AD cos 30°432833AP ＝AA′＝；12433图①图②第4题解图②如解图②，当CD ＝CA′＝4时，连接BD 交AC 于O ，则Rt△COD 中，CO ＝CD×cos30°＝4×＝2，∴AC＝4，∴AA′＝AC －A′C＝4－4，由折叠可得AP ＝AA′＝2－2；故答案为32333123或2－2.43335 .或 【解析】如解图①所示，点E 与点C′重合时．在Rt△ABC 中，BC ＝＝4.由翻折的性3234AB2－AC2质可知；AE ＝AC ＝3、DC ＝DE ，则EB ＝2.设DC ＝ED ＝x ，则BD ＝4－x.在Rt△DBE 中，DE 2＋BE 2＝DB 2，即x 2＋22＝(4－x)2.解得x ＝.∴DE＝.3232图①图②第5题解图如解图②所示：∠EDB＝90°时．由翻折的性质可知：AC ＝AC′，∠C＝∠AC′D＝90°.∵∠C＝∠AC′D＝∠CDC′＝90°，∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC＝AC′，∴四边形ACDC′为正方形．∴CD＝AC ＝3.∴DB＝BC －DC ＝4－3＝1.∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA.∴＝＝，即＝.解得DE AC DB CB 14ED 314DE ＝.点D 在CB 上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．故答案为：或.3432346.或 【解析】分两种情况：①如解图①，当∠CDM＝90°，△CDM 是直角三角形，∵在Rt△ABC23＋436中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC ＝2＋4，∴∠C＝30°，AB ＝AC ＝＋2，由折叠可得，3123∠MDN＝∠A＝60°，∴∠BDN＝30°，∴BN＝DN ＝AN ，∴BN＝AB ＝，∴AN＝2BN ＝＋，∵∠DNB＝60°，∴∠ANM＝∠DNM＝60°，1212133＋2323343∴∠ANM＝60°，∴AN＝MN ＝.②如解图②，当∠CMD＝90°时，△CDM 是直角三角形，由题可得23＋43∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，∴BD＝DN ＝AN ，BN ＝BD ，又∵AB＝12123＋2，∴AN＝2，BN ＝，过N 作NH⊥AM 于H ，则∠ANH＝30°，∴AH＝AN ＝1，HN ＝，由折叠可得33123∠AMN＝∠DMN＝45°，∴△MNH 是等腰直角三角形，∴HM＝HN ＝，∴MN＝，故答案为或.3623＋436图①图②第6题解图7．3或 【解析】∴∠C＝90°，BC ＝2，AC ＝2，∴tan B ＝＝＝，∴∠B＝30°，1453AC BC 22333∴AB＝2AC ＝4.∵点D 是BC 的中点，沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′D′E 的位置，B′D 交AB 于点F ，∴DB＝DC ＝，EB′＝EB ，∠DB′E＝∠B＝30°.设AE ＝x ，则BE ＝4－x ，EB′＝4－x ，当3∠AFB′＝90°时，在Rt△BDF 中，cos B ＝，∴BF＝cos 30°＝，∴EF＝－(4－x)＝x －.在Rt△BF BD 3323252B′EF 中，∵∠EB′F＝30°，∴EB′＝2EF ，则4－x ＝2(x －)，解得x ＝3，此时AE 为3；52第7题解图当∠FB′A＝90°时，作EH⊥AB′于H ，连接AD ，如解图，∵DC＝DB′，AD ＝AD ，∴Rt△ADB′≌Rt△ADC ，∴AB′＝AC ＝2.∵∠AB′E＝∠AB′F＋∠EB′F＝90°＋30°＝120°，∴∠EB′H＝60°.在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝(4－x)，EH ＝B′H＝(4－x)，在Rt△AEH 中，∵EH 2＋AH 2＝AE 2，∴(4－x)1212332342＋[(4－x)＋2]2＝x 2，解得x ＝，此时AE 为.综上所述，AE 的长为3或.121451451458.或 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，323916∴AB＝BC ＝CD ＝AD ＝5，∠DAC＝∠BAC.∵EF⊥AA′，∴∠EPA＝∠FPA′＝90°，∴∠EAP＋∠AEP＝90°，∠FAP＋∠AFP＝90°，∴∠AEP＝∠AFP，∴AE＝AF.∵△A′EF 是由△AEF 翻折，∴AE＝EA′，AF ＝FA′，∴AE＝EA′＝A′F＝FA ，∴四边形AEA′F 是菱形，∴AP＝PA′.①当CD ＝CA′时，∵AA′＝AC －CA′＝3，∴AP＝AA′＝.②当A′C＝A′D 时，∵∠A′CD＝∠A′DC＝∠DAC，∴△1232A′CD∽△DAC，∴＝，∴A′C＝，∴AA′＝8－＝，∴AP＝AA′＝，故答案为或.A ′C AD DC AC 2582583981239163239169.或 【解析】①如解图①，当∠ADC′＝90°时，∠ADC′＝∠C，12743第9题解图①∴DC′∥CB，∴△ADC′∽△ACB.又∵AC＝3，BC ＝4，∴＝，设CD ＝C′D＝x ，则AD ＝3－x ，∴＝AD DC ′343－x x ，解得x ＝，经检验：x ＝是所列方程的解，∴CD＝；②如解图②，当∠DC′A＝90°时，34127127127∠DCB＝90°，第9题解图②由折叠可得，∠C＝∠DC′E＝90°，∴C′B 与CE 重合，由∠C＝∠AC′D＝90°，∠A＝∠A，可得△ADC′∽△ABC，在Rt△ABC 中，AB ＝5，∴＝＝，设CD ＝C′D＝x ，则AD ＝3－x ，∴＝，解得AD C ′D AB CB 543－x x 54x ＝，∴CD＝.综上所述，CD 的长为或.434312743类型二针对训练1．4或 【解析】设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝9－x ，当BE∶EC＝2∶1时，BC ＝9，∴CE＝BC ＝3.在Rt△ECH5213中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x)2＝32＋x 2，解得x ＝4，即CH ＝4.当BE∶EC＝1∶2时，CE ＝BC ＝6.在Rt△23ECH 中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x)2＝62＋x 2，解得：x ＝，即CH ＝.故CH 的长为4或.5252522.或 【解析】如解图，过点A′作A′M⊥AD 于M 交BC 于N ，则四边形ABNM 是矩形，4774155∴AB＝MN ＝4.∵若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，∴A′M＝1，A′N＝3或A′M＝3，A′N＝1.①当A′M＝1，A′N＝3时，在Rt△BA′N 中，BN ＝＝，∴AM＝BN ＝.由42－3277△A′EM～△BA′N，∴＝，∴＝，∴EM＝，∴AE＝；②当A′M＝3，A′N＝1时，同EM A ′N A ′M BN EM317377477理可得AE ＝.4155,第2题解图) 第3题解图3.或 【解析】如解图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D′P⊥BC 交BC 于点5253P.∵点D 的对应点D′落在∠ABC 的平分线上，∴MD′＝PD′.设MD′＝x ，则PD′＝BM ＝x ，∴AM＝AB －BM ＝7－x ，又由折叠图形可得AD ＝AD′＝5，∴x 2＋(7－x)2＝25，解得x ＝3或4，即MD′＝3或4.在Rt△END′中，设ED′＝a ，①当MD′＝3时，AM ＝7－3＝4，D′N＝5－3＝2，EN ＝4－a ，∴a 2＝22＋(4－a)2，解得a ＝，即DE ＝；②当MD′＝4时，5252AM ＝7－4＝3，D′N＝5－4＝1，EN ＝3－a ，∴a 2＝12＋(3－a)2，解得a ＝，即DE ＝.综上所述，DE 的长为5353或.52534.或10 【解析】分两种情况：①如解图①，当点F 在矩形内部时，∵点F 在AB 的垂直平分线MN 上，52∴AN＝4.∵AF＝AD ＝5，由勾股定理得FN ＝3，∴FM＝2.设DE 为x ，则EM ＝4－x ，FE ＝x ，在△EMF 中，由勾股定理，得x 2＝(4－x)2＋22，∴x＝，即DE 的长为；5252图①图②第4题解图②如解图②，当点F 在矩形外部时，同①的方法可得FN ＝3，∴FM＝8，设DE 为y ，则EM ＝y －4，FE ＝y ，在△EMF 中，由勾股定理，得y 2＝(y －4)2＋82，∴y＝10，即DE 的长为10.综上所述，点F 刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE 的长为或10.525．3或 【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上，如解图①，∵在矩形ABCD 中，92AB ＝8，BC ＝6∴∠ABC＝90°，AC ＝BD ，∴AC＝BD ＝＝10.根据折叠的性质，得62＋82PC⊥BB′，∴∠PBD＝∠BCP，∴△BCP∽△ABD，∴＝，即＝，解得BP ＝；②点A 落在矩形对角线BP AD BC AB BP 66892AC 上，如解图②，根据折叠的性质，得BP ＝B′P，∠B＝∠PB′C＝90°，∴∠AB′A＝90°，∴△APB′∽△ACB，∴＝，即＝，解得BP ＝3，故答案为：3或.B ′P BC AP AC BP 68－BP 1092图①图②第5题解图6．2或5－ 【解析】分两种情况：①当点B′在AC 的下方时，如解图①，∵D 是BC 中点，∴S △5BPD ＝S △PDC ，∵S △PDF ＝S △BPD ，∴S △PDF ＝S △PDC .∴F 是PC 的中点，∴DF 是△BPC 的中位线，1212∴DF∥BP，∴∠BPD＝∠PDF，由折叠得：∠BPD＝∠B′PD，∴∠B′PD＝∠PDF，∴PB′＝B′D，即PB ＝BD ，过B 作BE⊥AC 于E ，在Rt△ABE 中，tanA ＝＝2，∵AB＝，∴AE＝1，BE ＝2，∴EC＝5－1＝4，由勾股定理，得BC ＝＝＝2BEAE 5BE2＋EC222＋42，∵D 为BC 的中点，∴BD＝，∴PB＝BD ＝，在Rt△BPE 中，PE ＝1，∴AP＝AE ＋PE ＝1＋1＝2；555图①图②第6题解图②当点B′在AC 的上方时，如解图②，连接B′C，同理得：F 是DC 的中点，F 是PB′的中点，∴DF＝FC ，PF ＝FB′，∴四边形DPCB′是平行四边形，∴PC＝B′D＝BD ＝，∴AP＝5－，综上所述，55AP 的长为2或5－.57．8＋2或8－2 【解析】由折叠的性质得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE.∵点B 、C′、D′33在同一直线上，∴∠BC′E＝90°，∵BC＝12，BE ＝2CE ，∴BE＝8，C′E＝CE ＝4，在Rt△BC′E 中，＝2，∴∠C′BE＝30°.①当点C′在BC 的上方时，如解图①，过E 作EG⊥AD 于G ，延长EC′交AD 于BEC ′E H ，则四边形ABEG 是矩形，∴EG＝AB ＝6，AG ＝BE ＝8，∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，∴∠BEC′＝60°，由折叠的性质得，∠C′EF＝∠CEF＝60°.∵AD∥BC，∴∠HFE＝∠CEF＝60°，∴△EFH 是等边三角形，∴在Rt△EFG 中，EG ＝6，∴GF＝2，∴AF＝8＋2；②当点C′在BC 的下方时，如解33图②，过F 作FG⊥AD 于G ，D′F 交BE 于H ，同①可得，四边形ABGF 是矩形，△EFH 是等边三角形，∴AF＝BG ，FG ＝AB ＝6，∠FEH＝60°，在Rt△EFG 中，GE ＝2.∵BE＝8，∴BG＝8－2，∴AF＝8－2.333图①图②第7题解图类型三针对训练1．5－5 【解析】如解图，连接BE.3第1题解图∵AB＝BC ＝AC ＝10，∴∠C＝60°.∵AB＝BC ，E 是AC 的中点，∴BE⊥AC.∴BE＝＝＝5BC2－EC2102－52.∵AC＝10，E 是AC 边的中点，∴AE＝5.由翻折的性质可知A′E＝AE ＝5.∵BA′＋A′E≥BE，∴当点3B 、A′、E 在一条直线上时，BA′有最小值，最小值＝BE －A′E＝5－5.32. 【解析】连接DE ，DE ＝＝13，∵将△AEP 沿FP 折叠，使得点A 落在点A′的位置，40352＋122∴EA′＝EA ＝5，∵A′D≥DE－EA′第2题解图(当且仅当A′点在DE 上时，取等号)，∴当A′与点D 的距离最短时，A′点在DE 上，∴DA′＝13－5＝8，设PA′＝x ，则PA ＝x ，PD ＝12－x ，在Rt△DPA′中，x 2＋82＝(12－x)2，解得x ＝，∴△A′PD 的面积＝103×8×＝.121034033. 【解析】在Rt△ADE 中，DE ＝＝2，当B′在ED 上时，B′D 最小，在ED 上截取1＋5222＋425EB′＝EB ＝2，连接B′F，FD ，则B′D＝ED －EB′＝2－2，设BF ＝x ，则B′F＝x ，CF ＝4－x ，在Rt△5B′FD 和Rt△FCD 中，利用勾股定理，可得DB′2＋B′F 2＝DF 2＝CF 2＋DC 2，即(2－2)2＋x 2＝(4－x)52＋42，解得x ＝＋1，∴Rt△BEF 中，tan∠BEF＝＝.5BF BE 1＋52 第3题解图4. 【解析】由题意得：DF ＝DB ，1255第4题解图∴点F 在以D 为圆心，BD 为半径的圆上，作⊙D; 连接AD 交⊙D 于点F ，此时AF 值最小，∵点D 是边BC 的中点，∴CD＝BD ＝3；而AC ＝4，由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2，∴AD＝5，而FD ＝3，∴FA＝5－3＝2，即线段AF 长的最小值是2，连接BF ，过F 作FH⊥BC 于H ，∵∠ACB＝90°，∴FH∥AC，∴△DFH∽△DAC ，∴＝＝，即＝＝，∴HF＝，DH ＝，∴BH＝，∴BF＝＝.DF AD DH CD HF AC 35DH 3HF 412595245BH2＋HF21255。
专题02 简单几何图形的折叠和动点问题-快速提分之谈中考数学重难题型(河南版)(解析版)
简单几何图形的折叠及动点问题的相关计算是近五年河南中招考试的重点及必考点，均在填空题的第15题进行考查，分值为3分，难度较大.一般以矩形、直角三角形、正方形为背景求线段的长度，折叠部分通常为特殊的三角形.预测在2019年的中考中，仍然会以三角形或四边形为背景，考查特殊三角形的线段长、点在特殊位置时的线段长.探究一：点的位置不确定点的位置不确定的问题通常考查线段长度的计算，由于折叠中的点的位置不确定，解决此类问题一般运用三角形全等、直角三角形、相似三角形等知识及方程思想求解，一般涉及多种情况要分类讨论．注意掌握折叠的性质：（1）折叠前后位置的图形全等，对应边、角相等；（2）折痕两边的图形关于折痕对称；（3）折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分.△沿AE折叠，【例1】如图，已知AD∥BC,AB⊥BC，AB=3.点E为射线BC上一个动点，连接AE，将ABE点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′为线段MN的三等分点时，BE 的长为__________ .【答案】或【解析】根据题意可得四边形ABNM是矩形，所以AB=MN=3，AM=BN，根据折叠的性质可得AB=AB′,BE=B′E，点B′为线段MN的三等分点时，分两种情况：△中，由勾股定理求得AM=，①当MB′=1，B′N=2时，在Rt AMB设BE= B′E=x，在Rt ENB△中，由勾股定理可得，解得x=；【例2】如图，在矩形ABCD中，，，点E为射线DC上一个动点，把ADE△沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为______．【答案】52或10【解析】分两种情况：如图1，当点F在矩形内部时，点F在AB的垂直平分线MN上，，，∴由勾股定理得，，设DE的长为y，则，，在EMF △中，由勾股定理得：，52， 即DE 的长为52．如图2，当点F 在矩形外部时，同的方法可得，，设DE 的长为z ，则，，在EMF △中，由勾股定理得：，，即DE 的长为10，综上所述，点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，DE 的长为52或10. 探究二：特殊图形的边或角不确定特殊图形的边或角不确定的问题一般考查折叠中直角三角形、等腰三角形等特殊图形的判定，由于边或角不确定，所以画出所有符合题意的图形是关键点，从可能满足直角的顶点或腰入手，找出隐含的折叠前后的图形中线段、角的位置关系和数量关系进行求解，注意多种情况分类讨论．【例3】如图，在Rt ACB △中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，点N 是线段BC 上的一个动点，将CAN △沿AN 折叠，使点C 落在点C ′处，当NC B △是直角三角形时，CN 的长为_______________．【答案】83 【解析】①当NC'B ∠=90°时，C ′落在AB 边上，则AC ′=AC =8，∴BC ′=2， 由ACB NC'B △∽△，得AC C'N CB C'B=，即8=62C'N，∴83CN C'N ==.综上所述，当NC B '△是直角三角形时，CN 的长为83【例4】如图，在三角形ABC 中，∠A =90°，AB =AC =2，将ABC △折叠，使点B 落在边AC 上的点D （不与点A 重合）处，折痕为PQ ，当重叠部分PQD △为等腰三角形时，AD 的长为_____．【答案】2或2-【解析】若PQD △为等腰三角形，则存在以下三种情况：（1）当PD =DQ 时，由折叠的性质可知，PD =PB ，DQ =BQ ， ∴PD =PB =BQ =DQ ， ∴四边形BQDP 是菱形， ∴PD ∥BC ，BP ∥DQ ， ∵∠A =90°，AB =AC ， ∴△ABC 是等腰直角三角形，∴△APD 和CDQ △都是等腰直角三角形， 设AD =x ，则AP =x ，PD =PB =2-x ，在Rt APD △中，由勾股定理可得：()2222x x x +=-，解得：122,2x x ==-（不合题意，舍去），∴此时AD =2-； （2）当DQ =PQ 时，由折叠的性质可知：BQ =DQ =PQ ，又∵在ABC △中，∠B =45°，∴∠BPQ =∠B =45°， ∴∠PQB =90°，∴PQ ⊥BC ，∵将点B 沿PQ 折叠后点B 落在AC 上，∴点B 与点C 重合， ∴x =AD =AC =2； （3）当PD =PQ 时，由折叠的性质知PQ =PD =BP ， ∴∠BQP =∠B =45°，∴∠QPB =90°，∵将点B 沿PQ 折叠后点B 落在AC 上，∴点B 与点A 重合， ∵点B 与点A 重合不符合题意，∴此种情况不成立，舍去，综上所述，AD 的长为2-或2.1．如图，矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处．当CEB '△为直角三角形时，BE 的长为________.【答案】3或6【解析】当CEB '△为直角三角形时，有两种情况： ①当点B ′落在矩形内部时，如图1所示． 连结AC ，由勾股定理得AC =10， 根据折叠的性质得∠AB ′E =∠B =90°，而当CEB '△为直角三角形时，只能得到∠EB ′C =90°，所以点A 、B ′、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B ′处， 则EB =EB ′，AB =AB ′=6， 可计算出CB ′=4， 设BE =x ，则EB ′=x ，CE =8-x ，在Rt CEB '△中，运用勾股定理得2224(8)x x +=-，解得x =3． ②当点B ′落在AD 边上时，如图2所示． 此时四边形ABEB ′为正方形，则BE =AB =6．2．在等腰ABC △中，AB =AC =8，BC =6，将ABC △的一角沿着MN 折叠，点B '落在AC 上，若ABC △与'B MC △相似，则BM 的长度为________.【答案】3或247【解析】∵ABC △沿MN 折叠，B 和B ′重合，∴BM =B ′M ， 设BM =x ，则CM =6﹣x ， 当B MC ABC '△∽△时，B M CMAB BC='， ∵AB =8，BC =6， ∴686x x-=， 解得：x =247，即BM =247； 当MB C ABC '△∽△时，B M MCAB AC='， ∵AB =8，BC =6， ∴688x x-=， 解得：x =3， 故BM =3或247． 3．如图，在矩形AOBC 中，O 为坐标原点，OA 、OB 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（0，3），∠ABO =30°，将ABC △沿AB 所在直线对折后，点C 落在点D 处，则点D 的坐标为________.【答案】(32如图，过点D 作DM ⊥x 轴于点M ， ∵∠CAB=∠BAD=30°，∴∠DAM =30°，∴DM =12AD∴AM =3×cos30°=92， ∴MO =92-3=32，∴点D 的坐标为（32．4．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ＝，点P 是对角线AC 上的一个动点，过点P 作EF ⊥AC 交CD 于点E ，交AB 于点F ，将AEF △沿EF 折叠，点A 落在G 处，当CGB △为等腰三角形时，AP 的长为________.【答案】1 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =，∠DAC =∠BAC =12A ∠=30°，AC =3， ∵EF ⊥AG ，∴∠EP A =∠FP A =90°， ∴∠EAP +∠AEP =90°， ∠F AP +∠AFP =90°， ∴∠AEP =∠AFP ， ∴AE =AF ，∵△GEF 是由△AEF 翻折的，∴AE =EG ，AF =FG ， ∴AE =EG =GF =F A ， ∴四边形AEGF 是菱形， ∴AP =PG . ①当CB =CG 时， ∵AG =AC -CG =3-，∴AP =12AG ．②当GC =GB 时，∵∠GCB =∠GBC =∠BAC ， ∴△GCB ∽△BAC ，∴GC BCAB AC=, ∴GC =1，∴AG =3-1=2， ∴AP =AG =1．。
2019中考数学压轴题--折叠问题
折叠问题专题1. （2017•安顺）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（）A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9cm．2. （2017•无锡）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A. 2B.C.D.3.) （2017•乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4 且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A. 1B.C. 2D.4. （2015•鄂州）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF=（）A. B. C. D.5.) （2015•自贡）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）A. 2﹣2B. 6C. 2﹣2D. 46 （2015•绵阳）如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF=（）A. B. C. D.7. （2017•重庆）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是________．8. （2017•河南）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC= +1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为________．9.) （2017•苏州）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接、，若，，，则________（结果保留根号）．10. （2017•海南）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是________．11. （2016•齐齐哈尔）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为________．12 在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为________（用含a 的式子表示）．13. （2016•河南）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为________．14) （2015•河南）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC 上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为________ ．15 （2015•泰州）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为________17. （2015•滨州）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为________ .18.（2017•兰州）如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E 处，BE交AD于点F．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB=6，AD=8，求FG的长．19. (（2017·金华）(本题10分) 如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D 落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF,HG折叠,折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形.类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形.（1）将□ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S矩形AEFG:S□ABCD=________（2）ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD 的长.（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC,AD<BC,AB⊥BC，AB=8,CD=10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形.请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD,BC的长.。
2019河南中考数学题型专项训练 存在性问题——折叠作图+图形的存在性1
存在性问题——折叠作图+图形的存在性11. 已知：Rt △ABC 中，∠A =30°，BC =6，M 是AB 中点，D 是线段AC 上任意一点（D 不与A ，C 重合），沿直线MD 把∠A 翻折，使点A 落在A ′处，当△A ′BC 为等腰三角形时，AD 的长是__________．A′A BCD M2. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，点E 是边BC 上一动点，把△DCE 沿DE 折叠得△DFE ，射线DF 交直线CB 于点P ，当△AFD 为等腰三角形时，DP 的长为____________．P FE DCB A3. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，BC =4，E 为边AB 的中点，点D 是BC 边上的动点，把△ACD 沿AD 翻折，点C 落在C ′处，若△AC ′E 是直角三角形，则CD 的长是______________．C'ED C B A4. 如图，正方形ABCD 的边长为8，E 为BC 上一定点，BE =6，F 为AB 上一动点，把△BEF 沿EF 折叠，点B 落在点B ′处，当△AFB ′恰好为直角三角形时，B ′D 的长为___________．B'FE D CB A5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =5，AC =3，点D 是BC 上一动点，连接AD ，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点E 处，连接DE 交AB 于点F ，当△DEB 是直角三角形时，DF 的长为____________．DACE B F6. 如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =2，∠B =30°，点D 是AB 的中点，点E 是边BC 上一动点，沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B ′DE 的位置，B ′D 交BC 于点F ．若△CB ′F 为直角三角形，则CB ′的长为__________．AB CD E FB′。
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几何图形的折叠与动点问题1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝9，点E 在BC 上，CE ＝4，点F 是AD 上的一个动点，若把△BEF 沿EF 折叠，点B 落在点B ′处，当点B ′恰好落在矩形ABCD 的一边上，则AF 的长为________．第1题图3或 113 【解析】如解图①，当点B ′落在边AD 上时，则易证四边形BEB ′F 为菱形，∴BF ＝BE ＝9－4＝5，由勾股定理易求AF ＝3；如解图②，当点B ′落在边CD 上时，BE ＝B ′E ＝9－4＝5.由勾股定理易求B ′C ＝3，∴B ′D ＝4－3＝1.设AF ＝x ，则FD ＝9－x .根据折叠的性质得BF ＝B ′F ，∴x 2＋42＝(9－x )2＋12，解得x ＝113，∴AF ＝3或 113.第1题解图2.如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，点P 是边BC 上的动点，现将纸片折叠，使点A 与点P 重合，折痕与矩形边的交点分别为E 、F ，要使折痕始终与边AB 、AD 有交点，则BP 的取值范围是________．第2题图6－25≤BP≤4【解析】①如解图①，当F、D重合时，BP的值最小，根据折叠的性质可知：AF＝PF＝6，在Rt△PFC中，PF＝6，FC＝4，则PC＝25，∴BP min＝6－25；②如解图②，当E、B重合时，BP的值最大，根据折叠的性质即可得到AB＝BP＝4，即BP的最大值为4；故BP的取值范围是6－25≤BP≤4.第2题解图3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，E，F分别是线段AD、BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为__________．第3题图4或4－22【解析】当C落在BE的延长线上时，对应点为P1，如解图①，连接FP1，AP1，过P1点作P1H⊥FC，垂足为点H，交AD于点N，设FH＝x，∵∠P1BH＝45°，∴P1H＝BH＝x＋2，由折叠性质可得P1F＝FC＝6－2＝4，在Rt△P1HF中，x2＋(x＋2)2＝42，解得x＝7－1或x＝－7－1(舍去)，∴P1H＝2＋7－1＝7＋1，P1N＝7＋1－2＝7－1，在Rt△P1NA 中，AP1＝AN2＋P1N2＝（7＋1）2＋（7－1）2＝4；当点C落在F A 的延长线上时，对应点为P2，如解图②，易知P2F＝CF＝4，AF＝22＋22＝22，∴AP2＝P2F－AF＝4－2 2 .第3题解图4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AB与CD不平行，AB＝CD＝5，BC＝12，点E是BC上的动点，将∠B沿着AE折叠，使点B落在直线AD上的点B′处，DB′＝1，直线BB′与直线DC交于点H，则DH＝________．第4题图5 11或513【解析】如解图①所示，∵AD∥BC，∴△HB′D∽△HBC，∴HDHC＝DB′CB，∵AB＝CD＝5，BC＝12，DB′＝1，∴HD5＋HD＝112，解得：HD＝511；如解图②所示，∵AD∥BC，∴△HB′D∽△HBC，∴HDHC＝DB′BC，∵AB＝CD＝5，BC＝12，DB′＝1，∴HD5－HD＝112，解得：DH＝513.故DH的长度为511或513.5.如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝8，点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B ′处，过点B ′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点M ，N .当点B ′分线段MN 为3∶5的两部分时，EN 的长为________．第5题图 35511或53913【解析】由翻折的性质，得AB ＝AB ′，BE ＝B ′E .①当MB ′＝3，B ′N ＝5时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋25.由题意得△B ′EN ∽△AB ′M ，∴EN B ′M ＝B ′E AB ′，即x 3＝x 2＋258，解得x 2＝4511，∴EN ＝x ＝35511；②当MB ′＝5，B ′N ＝3时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋9，由题意得△B ′EN ∽△AB ′M ，∴EN B ′M ＝B ′E AB ′，即x 5＝x 2＋98，解得x 2＝7513，∴EN ＝x ＝53913，故EN 的长为35511或53913.6.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点P 是对角线BD 上一动点，将纸片折叠，使点C 与点P 重合，折痕为EF ，折痕EF 的两端分别在BC 、DC 边上(含端点)，当△PDF 为直角三角形时，FC 的长为________．第6题图247或 83 【解析】在矩形ABCD 中，AB ＝CD ＝6，BC ＝AD ＝8，在Rt △BCD 中，由勾股定理得BD ＝10.由折叠得PE ＝EC ，PF ＝CF ，∠EPF ＝∠FCE ＝90°.∵∠PDF ＜90°，∴△PDF 为直角三角形有以下两种情况：(Ⅰ)如解图1，当∠PFD ＝90°时，∵∠FCE ＝∠FPE ＝∠PFC ＝90°，∴四边形PECF 是矩形．∵PF ＝FC ，∴四边形PECF 是正方形，∴PF ∥BC ，∴△DPF ∽△DBC ，∴PF BC ＝DF DC .设FC ＝PF ＝x ，则DF ＝6－x ，∴x 8＝6－x 6，解得：x＝247，即FC ＝247；(Ⅱ)如解图2，当∠DPF ＝90°时，∵∠FPE ＝∠FCB ＝90°，∴此时点E 与点B 重合，∴BP ＝BC ＝8，∴PD ＝10－8＝2.∵∠PDF公用，∠DPF ＝∠DCB ＝90°，∴△DPF ∽△DCB ，∴PF BC ＝PD DC ，即：PF 8＝26，解得：PF ＝ 83，∴FC ＝83.综上所述，FC 的长为247或83.7.如图，正方形的边长为4，E 是BC 的中点，点P 是射线AD 上一动点，过P 作PF ⊥AE 于F .若以P 、F 、E 为顶点的三角形与△ABE 相似，则P A ＝________．第7题图2或5 【解析】分两种情况：如解图①，当△EFP ∽△ABE 时，则有∠PEF ＝∠EAB ，∴PE ∥AB ，∴四边形ABEP 为矩形，∴P A ＝EB ＝2；如解图②，当△PFE ∽△ABE 时，则有∠PEF ＝∠AEB ，又∵∠P AF ＝∠AEB ，∴∠PEF ＝∠P AF ，∴PE ＝P A ，∵PF ⊥AE ，∴点F 为AE 的中点，∵AE ＝42＋22＝25，PE AE ＝EF EB ，即PE 25＝52，得PE ＝5，∴P A ＝5，∴当P A ＝2或P A ＝5时，以P 、F 、E 为顶点的三角形与△ABE 相似．第7题解图8.如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，E 是AD 中点，点P 在射线BD 上运动，若△BEP 为等腰三角形，则线段BP 的长度等于____________．2或53或655 【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∴∠BAD ＝90°，AE ＝DE ＝1，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴BE ＝2AB ＝ 2.若△BEP 为等腰三角形，则分三种情况：①当BP ＝BE 时，显然BP ＝2；②当PB ＝PE 时，如解图①，连接AP .∵PB ＝PE ，AB ＝AE ，∴AP 垂直平分BE ，∵△ABE 是等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠EAP ＝45°，作PM ⊥AB 于点M ，设PM ＝x ，∵S △ABD ＝S △ABP ＋S △APD ，∴12×1×2＝12×1×x ＋12×2×x ，解得x ＝23，∴PM ＝23，∴BP ＝PM sin ∠ABD ＝2325＝53；③当EB ＝EP 时，如解图②，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，过点E 作EG ⊥BD 于点G ，在Rt △ABF 中，AF ＝AB ·sin ∠ABF ＝1×25＝255，∵AE ＝ED ，EG ∥AF ，∴EG ＝12AF ＝55，在Rt △BEG 中，∵BE ＝2，EG ＝55，∴BG ＝BE 2－EG 2＝355，∵EB ＝EP ，EG ⊥BP ，∴BP ＝2BG ＝655.综上所述，线段BP 的长度等于2或53或655.第8题解图① 第8题解图②9.如图，在▱ABCD 中，∠B ＝30°，AB＝AC ，O 是两条对角线的交点，过点O 作AC 的垂线分别交边AD 、BC 于点E 、F ；点M 是边AB 的一个三等分点．则△AOE 与△BMF 的面积比为__________．第9题图3∶4或3∶8 【解析】如解图，连接AF 、MF ，∵AB ＝AC ，∠B ＝30°，∴∠ACB ＝∠B ＝30°， ∵点O 是对角线的交点，EF ⊥AC ，∴AF ＝FC ，∴∠ACB ＝∠F AC ＝30°，∴∠F AB ＝90°，∴BF ＝2AF ＝2FC ，∵点M 为AB 的三等分点，如解图①，当BM ＝13AB 时，设S △BMF ＝a ，则S △AMF ＝2a ，S △ABF ＝3a ，∴S △AFC ＝3a 2，∴S △AOE ＝3a 4，∴S △AOE ∶S △BMF ＝3a 4∶a ＝3∶4.则△AOE 与△BMF 的面积比为3∶4；如解图②，当BM ＝23AB 时，S △AOE ∶S△BMF ＝3a 4∶2a ＝3∶8.综上所述：△AOE 与△BMF 的面积比为3∶4或3∶8.第9题解图① 第9题解图②10.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，E 为斜边AB 的中点，点P 是射线BC 上的一个动点，连接AP 、PE ，将△AEP 沿着边PE 折叠，折叠后得到△EP A ′，若△EP A ′与△ABC 的另一个交点为F ，当EF ＝14AB 时，则BP 的长为________．第10题图 2或23 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，E 为斜边AB 的中点，∴AB ＝4，AE ＝12AB ＝2，BC ＝2 3.①若P A ′与AB 交于点F ，连接A ′B ，如解图①，由折叠可得S △A ′EP ＝S △AEP ，A ′E ＝AE ＝2，∵点E 是AB 的中点，∴S △BEP ＝S △AEP ＝12S △ABP .∵EF ＝14AB ，∴S △EFP ＝12S △BEP ＝12S △AEP ＝12S △A ′EP ，∴EF ＝12BE ＝BF ，PF ＝12A ′P ＝A ′F .∴四边形A ′EPB 是平行四边形，∴BP ＝A ′E ＝2；②若EA ′与BC 交于点F ，连接AA ′，交EP 于H ，如解图②.同理可得FP ＝12BP ＝BF ，EF ＝12×2＝1.∵BE ＝AE ，∴EF ＝12EA ′＝12AP ＝1，∴AP ＝2＝AC ，∴点P 与点C 重合，∴BP ＝BC ＝2 3.故BP 的长为2或2 3.第10题解图① 第10题解图②。