一阶常系数线性微分方程组
一阶微分方程
一阶微分方程1. 简介微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了函数与它的导数之间的关系。
一阶微分方程是指只包含一阶导数的方程。
在物理、工程、经济等领域中，许多问题都可以通过一阶微分方程来建模和解决。
本文将介绍一阶微分方程的基本概念、求解方法以及一些应用。
2. 基本概念在介绍一阶微分方程之前，我们需要先了解一些基本概念。
2.1 导数导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，它的导数可以表示为：f'(x) = lim_{h->0} (f(x+h) - f(x))/h其中，h表示一个无限小的增量。
导数可以理解为函数在某一点的斜率，它的值越大，表示函数在该点的变化越快。
2.2 一阶微分方程一阶微分方程是指只包含一阶导数的方程。
通常形式为：dy/dx = f(x, y)1其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知的函数。
这个方程描述了未知函数y的导数与x和y之间的关系。
3. 求解方法解一阶微分方程的方法有很多种，这里介绍两种常见的方法：分离变量法和常系数线性微分方程的求解。
3.1 分离变量法分离变量法是一种常用的求解一阶微分方程的方法。
它的基本思想是将方程中的变量分离开来，分别对x和y进行积分。
具体步骤如下：1.将一阶微分方程写成dy/dx=f(x, y)的形式；2.将方程两边关于x和y进行分离；3.对两边同时进行积分，得到一个含有常数C的通解；4.如果给定了一个初始条件y(x0) = y0，则可以通过代入初始条件来确定常数C，得到一个特解。
3.2 常系数线性微分方程的求解常系数线性微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
它的求解方法基于特解与齐次方程解的叠加原理。
1.首先求解对应的齐次方程dy/dx + P(x)y = 0，得到一个通解；2.再寻找一个特解，使得它满足原方程dy/dx + P(x)y = Q(x)；23.最终的通解等于齐次方程的通解与特解之和。
常系数线性微分方程组解法
dy (1) dx = 3 y 2 z , 例1 解微分方程组 dz = 2 y z . ( 2) dx 解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得 式得
1 dz y = + z ( 3) 2 dx dy 1 d 2 z dz = 2 + , 两边求导得， 两边求导得， dx 2 dx dx
原方程组的通解为
1 y = ( 2C1 + C 2 + 2C 2 x )e x 2 , z = ( C + C x )e x 1 2
d 用 D 表示对自变量 x求导的运算 , dx
例如， 例如， y
(n)
+ a1 y ( n 1 ) + L + a n 1 y ′ + a n y = f ( x )
类似解代数方程组消去一个未知数,消去 类似解代数方程组消去一个未知数 消去 x
(1) ( 2) × D :
x D3 y = et , ( D 4 + D 2 + 1) y = De t .
4 2 t
(３) ３ (４) ４ (５) ５
( 2) ( 3) × D :
即
( D + D + 1) y = e
二、常系数线性微分方程组的解法
步骤: 步骤: １． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． 微分方程． ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 解此高阶微分方程, 函数. 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数． 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
代入(1)式并化简 把(3), (4)代入 式并化简 得 代入 式并化简,
常系数线性微分方程组
基解矩阵
d x Ax (33) dt
定理8 矩阵 (t) exp At
是常系数线性方程组(33)的基解矩阵（即基本解组),
且Φ(0)=E。方程组(33)的任一解可表为(expAt)c。
证 显然， Φ(0)=exp0=E ，且
'(t) exp At ' A A2t A3t2 Ak1tk
• 而由绝对收敛的乘法定理又有
exp
A exp B
i0
Ai i!
j0
Aj j!
k
k0 l0
Al l!
Bkl (k l)!
• 比较上两式，即得 exp(A+B)=expA·expB
3 第五章线性方程组§5.2
矩阵指数性质(3)(4)
矩阵指数性质(2)
(2) 矩阵A、B可交换，即AB=BA时有
exp(A+B)=expA·expB； 证 利用绝对收敛级数的重排定理证明。
• 由二项定理及AB=BA有
exp(A B) (A B)k k0 k !
k 0
l
k 0
l
Al Bk !(k
l l)!
5
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u
u1 u2
5
3
2
6
34
0
必得须解满足u 线性1i代数此方即程为组对应(1特E 征A)值u λ155=i 3+55i5i的uu12 特 征55ui向u115量5iuu。22 0
一阶微分方程的类型
一阶微分方程的类型
一阶微分方程是指只涉及未知函数的一阶导数的方程。
在求解一阶微分方程时，首先需要判断其类型，以确定采用何种方法进行求解。
一阶微分方程的类型通常可分为以下几类：
1.可分离变量型：形式为dy/dx=f(x)g(y)，即可把dy和dx分开，然后将方程两边的积分得到解。
2.齐次型：形式为dy/dx=f(y/x)，即可通过令y=vx来进行变量替换，将原方程化为可分离变量型，然后求解。
3.线性型：形式为dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)均为已知函数，即可通过求解一阶常系数线性齐次微分方程的通解，并使用常数变易法求得非齐次线性微分方程的通解。
4.恰当型：形式为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，即可通过判断M(x,y)和N(x,y)的偏导数是否相等，若相等，则该方程为恰当型，可通过
直接求解得到通解。
5.准线性型：形式为dy/dx+p(x)y=q(x)y^n，其中n为常数，即可通过变量替换y=z^(1-n)，将原方程转化为线性型，然后求解即可。
以上是一阶微分方程的常见类型，不同类型需要采用不同的方法进行求解。
掌握这些常见类型可以帮助我们更加高效地解决实际问题。
- 1 -。
常系数线性微分方程组的解法
A k ck ,
t c,
k!
k!
而数项级数
A k ck
k 1 k !
收敛 .
常系数线性方程组
2 矩阵指数的性质
(1) 若AB BA,则eAB eAeB. (2) 对任何矩阵A, (exp A)1存在,且
(exp A)1=exp(-A). (3) 若T是非奇异的,则
exp(T-1AT ) T-1(exp A)T.
,
0.
常系数线性方程组
例4
试求矩阵A=
2 1
1 4
特征值和特征向量.
解 特征方程为
det(
E
A)
1
2
1
4
2
6
9
0
因此 3为两重特征根, 为求其对应的特征向量
考虑方程组
1
(E A)c 1
1 1
c1 c2
例3
试求矩阵A=
3 5
5 3
特征值和特征向量.
解 A的特征值就是特征方程
det( E
A)
5
3
5
3
2
6
34
0
的根, 1 3 5i, 2 3 5i.
常系数线性方程组
对特征根1 3 5i的特征向量u (u1,u2 )T 满足
§4.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t), dt
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t)在
常微分方程4.4常系数齐线性方程组
目录
• 常系数齐线性方程组的定义 • 常系数齐线性方程组的解法 • 常系数齐线性方程组的应用 • 常系数齐线性方程组的扩展
01
常系数齐线性方程组的 定义
定义与特性
定义
常系数齐线性方程组是由n个一阶常微分方程组成的方程组，形如$y' = f(x) = a_{1}y + a_{2}y' + ldots + a_{n}y^{(n-1)}$，其中$a_{1}, a_{2}, ldots, a_{n} FOR WATCHING
感谢您的观看
02
常系数齐线性方程组的 解法
特征值与特征向量
特征值
对于常系数齐线性方程组，其特征值是方程组的解，对应于特征值的线性无关的解称为特征向量。
特征向量的求解
通过将特征值代入方程组，可以得到特征向量。
方程组的解法
代数解法
通过对方程组进行代数运算，求解出方 程组的解。
VS
微分方程解法
通过对方程组进行微分运算，求解出方程 组的解。
04
常系数齐线性方程组的 扩展
高阶线性方程组
01
高阶线性方程组是指微分方程中未知数的导数次数 高于一次的方程组。
02
高阶线性方程组在物理、工程和经济学等领域有广 泛应用。
03
解决高阶线性方程组的方法包括分离变量法、幂级 数法等。
非线性方程组
01 非线性方程组是指微分方程中包含未知数及其导 数的非线性项的方程组。
解的稳定性与不稳定性
要点一
稳定性
当方程组的解在时间变化过程中保持稳定时，称为稳定。
要点二
不稳定性
当方程组的解在时间变化过程中发生振荡或发散时，称为 不稳定。
常系数线性微分方程组解法
① ②
（6-37）
将式（6-37）和式（6-38）代入式①得
（6-38）
解得
y=C1cos t+C2sin t.
第七节、常系数线性微分方程组解法
第七节、常系数线性微分方程组解法
【例2】
解 微分方程组
解记D=d/dt，则方程组可写成
接下来消去x，得 （2D2+4D+2）y=－1，（6-39）
常系数线性微 分方程组解法
第七节、常系数线性微分方程组解法
前面讨论的微分方程所含的未知函数及方程的 个数都只有一个，但在实际问题中，会遇到有几个 微分方程联立起来共同确定几个具有同一变量的函 数的情形.这些联立的微分方程称为微分方程组.如果 微分方程组中的每一个方程都是常系数线性微分方 程，则称这种微分方程组为常系数线性微分方程组.
=A的特解，
将其代入方程（6-39），得A=－1/2.
因此，方程（6-39）的通解为
y=C1+C2te－t－1/2. 2x－2Dy=t，
第七节、常数线性微分方程组解法
即 因此，原方程组的通解为 其中C1,C2为任意常数.
谢谢聆听
第七节、常系数线性微分方程组解法
本节只讨论常系数线性微分方程组，所用 到的求解方法是：利用代数的方法消去微分方 程组中的一些未知函数及其各阶导数，将所给 方程组的求解问题转化为含有一个未知函数的 高阶常系数线性微分方程的求解问题.下面通过 实例来说明.
第七节、常系数线性微分方程组解法
【例1】
解 微分方程组
方程（6-39）对应的齐次方程的特征方程为 2r2+4r+2=0，
第七节、常系数线性微分方程组解法
一阶与二阶常系数线性微分方程及其解法
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*例2-2 求一阶非线性微分方程
的通解。 解
dy
y2
dx xy x2
dy
y2
dx xy x2 ,
( xy x2 )dy y2dx ;
xydy y2dx x2dy ,
可见，
x2 xdy ydx dy ;
y
xdy ydx dy
x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
; y
d( y ) d(ln | y |) ; x
在极理想的情况下，原方程有可能被 重组成因变量与自变量全都各居一侧的形式，
人们常称其为已分离变量的形式。 这种方程的解几乎显而易见：
若 f ( x)dx g( y)dy,
则 d
x
f (t)dt d
y
g(t )dt ,
0
0
通解即
x
f (t)dt
y
g(t )dt C .
0
0
解微分方程的过程，本质上是
x2 d( ) dy ;
y x2 d( y) 0 . y
故原方程的通解为
x2 yC
即
y
x2 y2 Cy .
非线性方程的通解（包括特解）
往往用隐函数的形式书写比较简洁。
有些非线性方程偶尔可经变元代换化 成线性方程再求解（有兴趣者可参阅教材 P236之例4与例5），但转换过程琐碎，明 显不如凑微分法来得直接和明快。
(1) y 1 y 0 x
*(2) y 2 y 0
dy 2 ydx 0 , dy yd(2x) 0 ,
解 (1)
y 1 y 0 x
xy y 0 ,
xdy ydx 0 ,
d( xy) 0 ;
故原方程的通解为 xy C 或者
一阶线性微分方程组解析
第4章 一阶线性微分方程组一 内容提要1． 基本概念一阶微分方程组：形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(2121222111n n n nn y y y x f dxdy y y y x f dxdy y y y x f dx dy （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。
若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式),,2,1))((,),(),(,()(21n i x y x y x y x f dxx dy n i i ==成立，则)(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n nn C C C x y C C C x y C C C x y ϕϕϕ 称为(3.1)通解。
如果通解满方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=Φ=Φ=Φ0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n nn n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x则称这个方程组为（3.1）的通积分。
满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。
令n 维向量函数Y )(x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),,,,( ),,,,(),,,,(21212211n nn n y y y x f y y y x f y y y x f⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=dx dy dx dy dx dy dx x dY n )(21，⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x n x x x x dx x f dx x f dx x f x F 0000)( )()()(21 则（3.1）可记成向量形式),,(Y x F dxdY= (3.2) 初始条件可记为Y (0x )=0Y ,其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=no y y y Y 20100 则初值问题为:⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(Y x Y Y x F dxdY(3.3) 一阶线性微分方程组:形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=)()()()( )()()()()()()()(21211222221212112121111x f x a y x a y x a dxdy x f x a y x a y x a dx dy x f x a y x a y x a dx dy n nn n n n n n (3.4)的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组.令A (x )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(a )(a )(a )(nn n11n 11x x x x a 及F ()x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x f x f x f n 则(3.4)的向量形式:)()(x F Y x A dx dY+= (3.5) F (0)≡x 时 Y x A dxdY)(= (3.6) 称为一阶线性齐次方程组,(3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。
常见的常微分方程的一般解法
常见的常微分方程的一般解法总结了常见常微分方程的通解。
如无意外，本文将不包括解的推导过程。
常微分方程，我们一般可以将其归纳为如下n类：1.可分离变量的微分方程（一阶）2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶），包含伯努利3.二阶常系数微分方程（二阶）4.高阶常系数微分方程（n阶），包含欧拉1.可分离变量的微分方程（一阶）这类微分方程可以变形成如下形式：f ( x ) d x =g ( y ) d y f(x)dx=g(y)dy f(x)dx=g(y)dy函数可以通过同时整合两边来解决。
难点主要在于不定积分，不定积分是最简单的微分方程。
p.s. 某些方程看似不可分离变量，但是经过换元之后，其实还是可分离变量的，不要被这种方程迷惑。
2.一阶齐次（非齐次）线性微分方程（一阶）形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)的方程叫做一阶线性微分方程，若 Q ( x ) Q(x) Q(x)为0，则方程齐次，否则称为非齐次。
解法：直接套公式：y ( x ) = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ e ∫ P ( x ) d x Q ( x ) d x + C ) y(x)=e^{-\int{P(x)}dx}(\int{e^{\int{P(x)dx}}Q(x)}dx+C)y(x)=e−∫P(x)dx(∫e∫P(x)dxQ(x)dx+C)多套几遍熟练就好。
伯努利方程形如d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n , n ∈R , n ≠ 1\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n},n\in\mathbb{R},n\ne1dxdy+P(x)y=Q(x)yn,n∈R,n=1的方程称为伯努利方程，这种方程可以通过以下步骤化为一阶线性微分方程：y − n d y d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x) y−ndxdy+P(x)y1−n=Q(x)1 1 − n ⋅ d y 1 − n d x + P ( x ) y 1 − n = Q ( x ) \frac{1}{1-n}·\frac{dy^{1-n}}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)1−n1⋅dxdy1−n+P(x)y1−n=Q(x)令 y 1 − n = u y^{1-n}=u y1−n=u，方程两边同时乘以 1 − n 1-n 1−n，得到d u d x + ( 1 − n ) P ( x ) u = ( 1 − n ) Q ( x )\frac{du}{dx}+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x) dxdu+(1−n)P(x)u=(1−n)Q(x)即 d u d x + P ′ ( x ) u = Q ′ ( x )\frac{du}{dx}+P'(x)u=Q'(x) dxdu+P′(x)u=Q′(x)这是一个可以公式化的一阶线性微分方程。
微分方程的特解形式大全
微分方程的特解形式大全微分方程是数学中一类重要的方程，其解决了许多实际问题。
对于一个微分方程，一般情况下存在通解和特解两种解。
通解是该微分方程的所有解的集合，而特解是满足特定条件或给定初值条件的解。
下面将介绍一些常见微分方程的特解形式。
1. 一阶线性常微分方程:一阶线性常微分方程的一般形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)。
其特解形式可以通过常数变易法得到。
假设通解为y = c(x)y_1(x)，其中c(x)为未知函数，y_1(x)为已知解。
将这个形式代入方程中可以得到c(x)的微分方程，通过求解这个微分方程可以得到特解。
2. 二阶常系数齐次线性微分方程:二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为d^2y/dx^2 + a(dy/dx) + by = 0。
其特解形式可以通过假设y = e^(rx)的形式，然后代入方程得到关于r的代数方程。
通过求解代数方程可以获得特解的形式。
3. 二阶非齐次线性微分方程:二阶非齐次线性微分方程的一般形式为d^2y/dx^2 + a(dy/dx) + by = f(x)。
其中f(x)为已知函数。
特解的形式可以通过常数变易法或待定系数法得到。
常数变易法假设特解为y = u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)为未知函数。
待定系数法假设特解为已知函数的线性组合，通过代入方程得到待定系数。
4. 高阶常系数齐次线性微分方程:高阶常系数齐次线性微分方程的形式为d^n y/dx^n + a_1 d^(n-1) y/dx^(n-1) + ... + a_n y = 0。
其特解形式可以通过假设y = e^(rx)的形式，然后代入方程得到关于r的代数方程。
通过求解代数方程可以获得特解的形式。
5. 高阶非齐次线性微分方程:高阶非齐次线性微分方程的形式为d^n y/dx^n + a_1 d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_n y = f(x)。
其中f(x)为已知函数。
常系数线性微分方程组的解法举例
给定一个n阶常系数线性微分方程组，其一般形式为y' = Ay，其中y是一个n维向量，A是一个n×n的常数 矩阵。
线性微分方程组的分类
按照矩阵A的特征值分类
根据矩阵A的特征值，可以将线性微分方 程组分为稳定、不稳定和临界稳定三种 类型。
VS
按照解的形态分类
根据解的形态，可以将线性微分方程组分 为周期解、极限环解和全局解等类型。
总结解法技巧与注意事项
• 分离变量法：将多变量问题转化 为单变量问题，通过分别求解每 个变量的微分方程来找到整个系 统的解。
总结解法技巧与注意事项
初始条件
在求解微分方程时，必须明确初始条件，以便确定解 的唯一性。
稳定性
对于某些微分方程，解可能随着时间的推移而发散或 振荡，因此需要考虑解的稳定性。
常系数线性微分方程组的 解法举例
• 引言 • 常系数线性微分方程组的定义与性质 • 举例说明常系数线性微分方程组的解
法 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
微分方程组及其重要性
微分方程组是描述物理现象、工程问 题、经济模型等动态系统的重要工具。
通过解微分方程组，我们可以了解系 统的变化规律、预测未来的状态，并 优化系统的性能。
04
实际应用举例
物理问题中的应用
电路分析
在电路分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述电流、电压和电阻之间的关系。通过解方程组，可以确定电 路中的电流和电压。
振动分析
在振动分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述物体的振动行为。通过解方程组，可以预测物体的振动模式 和频率。
经济问题中的应用
供需关系
要点二
详细描述
初始条件是微分方程组中描述系统在初始时刻状态的约束 条件。它们对微分方程组的解具有重要影响，决定了解的 初始状态和行为。在求解微分方程组时，必须考虑初始条 件的影响，以确保得到的解是符合实际情况的。不同的初 始条件可能导致完全不同的解，因此在求解微分方程组时 ，需要仔细选择和确定初始条件。
一阶常系数微分方程求解
一阶常系数微分方程求解标题：一阶常系数微分方程的求解方法简介：本文将介绍一阶常系数微分方程的求解方法，旨在帮助读者理解并掌握这一重要的数学概念。
正文：一阶常系数微分方程是微积分学中的基础内容之一，其求解方法相对简单而直观。
在本篇文章中，我们将详细介绍如何解决一阶常系数微分方程。
首先，我们需要了解什么是一阶常系数微分方程。
一阶常系数微分方程可以写成以下形式：dy/dx+ay=b，其中a和b为常数。
求解这个方程意味着要找到函数y(x)，使得等式成立。
解一阶常系数微分方程的一种常见方法是使用分离变量的技巧。
我们将方程重写为dy/(ay-b)=dx，并进行变量的分离。
接下来，我们对等式两边同时进行积分，得到∫dy/(ay-b)=∫dx。
对于左边的积分，我们可以使用换元法来简化计算。
我们令u= ay-b，于是du=ady。
将这个变换代入积分，得到∫(1/a)du/u=∫dx。
对右边进行积分后，得到ln|u|=ax+C，其中C是常数。
将u代回到方程中，得到ln|ay-b|=ax+C。
我们可以通过对等式两边同时取指数，得到|ay-b|=e^(ax+C)。
再次简化等式，得到|ay-b|=Ce^ax，其中C=e^C。
现在，我们可以解y(x)了。
我们分别讨论ay-b的正负情况。
当ay-b为正数时，我们有ay-b=Ce^ax，可以直接解出y(x)。
例如，如果a=2，b=3，C=4，我们得到y(x)=(4e^2x+ 3)/2。
当ay-b为负数时，我们有b-ay=Ce^ax，同样可以直接解出y(x)。
例如，如果a=2，b=3，C=4，我们得到y(x)=(3-4e^2x)/2。
至此，我们已经成功解出了一阶常系数微分方程。
通过使用分离变量和积分的方法，我们可以找到方程的解析解，并得到y(x)的表达式。
总结起来，一阶常系数微分方程的求解方法相对简单，需要使用分离变量和积分的技巧。
通过这些步骤，我们可以找到方程的解析解，进而求得y(x)的表达式。
微分方程求特解的公式
微分方程求特解的公式微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于自然科学、工程技术和经济学等领域。
求解微分方程的特解是解决实际问题的关键步骤之一。
本文将介绍微分方程求特解的公式。
一、一阶线性常微分方程的特解公式对于一阶线性常微分方程形如：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数，则可以得到特解公式为：y = e^(-∫P(x)dx) * [∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx + C]，其中C为任意常数。
二、二阶常系数齐次线性微分方程的特解公式对于二阶常系数齐次线性微分方程形如：ay'' + by' + cy = 0，其中a、b、c是已知常数，则可以得到特解公式为：1. 当方程的特征方程有两个不相等的实根r1和r2时，特解公式为：y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)，其中C1和C2为任意常数。
2. 当方程的特征方程有两个相等的实根r1=r2=r时，特解公式为：y = C1e^(rx) + C2xe^(rx)，其中C1和C2为任意常数。
3. 当方程的特征方程有两个共轭复根α±βi时，特解公式为：y = e^(αx)(C1cos(βx) + C2sin(βx))，其中C1和C2为任意常数。
三、二阶非齐次线性微分方程的特解公式对于二阶非齐次线性微分方程形如：ay'' + by' + cy = f(x)，其中a、b、c是已知常数，f(x)是已知函数，则可以得到特解公式为：1. 根据待定系数法，特解形式可以根据f(x)的类型选择。
* 当f(x)是常数时，特解形式为y = k，其中k是常数。
* 当f(x)为多项式时，特解形式为y = P(x)，其中P(x)是与f(x)次数相同的多项式。
* 当f(x)为三角函数时，特解形式为y = A sin(mx) + B cos(mx)，其中A和B 是待定常数，m是f(x)的角频率。
一阶线性微分方程的解法
一阶线性微分方程的解法在数学中，一阶线性微分方程是指形如$y'+p(x)y=q(x)$的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知的函数，$y$是未知函数。
这种微分方程的解法方法非常多样，这篇文章将会介绍三种较为常见的解法方法。
方法一：分离变量法分离变量法是解一阶微分方程最基础的方法，它的核心思想是将微分方程中的未知函数和自变量分别放到方程两侧，并将所有包含未知函数的项移到一侧，包含自变量的项移到另一侧，然后对方程两侧进行积分即可得到解。
例如，对于微分方程$y'+p(x)y=q(x)$，我们可以将其改写为$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$，然后将$y$和$q(x)$的项分别移到方程两侧，得到$\frac{dy}{dx}=q(x)-p(x)y$。
然后对两侧同时积分，得到$$y=\frac{1}{p(x)}\left[c+\int p(x)q(x)dx\right]$$ 其中$c$是积分常数。
需要注意的是，上式中$p(x)$不能为零，否则分母为零无法得到有意义的解。
此外，在$y$的通解中，$c$是任意常数，可以通过初始条件来确定。
方法二：常数变易法常数变易法是一种适用于非齐次线性微分方程的解法方法。
它的思想是假设未知函数$y$可以表示为其对应的齐次方程的通解$y_c$和一个特解$y_p$的和，即$y=y_c+y_p$，然后通过对$y_p$的猜测来求解$y_p$，并将其代入原方程。
对于一阶非齐次线性微分方程$y'+p(x)y=q(x)$，对应的齐次方程是$y'+p(x)y=0$，它的通解为$y_c=ce^{-\int p(x)dx}$。
我们假设特解的形式为$y_p=u(x)e^{-\int p(x)dx}$，其中$u(x)$是待求函数。
将$y_p$带入原方程，得到$$u'(x)=q(x)e^{\int p(x)dx}$$ 我们可以通过对$u'(x)$进行积分来求出$u(x)$，从而求出特解$y_p$，最终方程的通解即为$y_c+y_p$。
一阶线形微分方程组
第三章 一阶线形微分方程组3.1 一阶微分方程组将下列方程式（组）化成一阶方程组： （1）..x +f(x).x +g(x)=0.解：⎪⎩⎪⎨⎧--==)()(,x g y x f dt dy y dt dx 或者⎪⎩⎪⎨⎧-=-=).(),(x g dtdy x F y dt dx其中F(x)=⎰xds s f 0)(.注 由本题可以看出，把一个高阶方程化为一阶方程组的方法不是唯一的.(2)m ).(22t f kx dt dxc td x d =++解⎪⎩⎪⎨⎧+--==).(1,t f m x m k y m c dtdy y dt dx（3）.0)()()(321=+'+''+''y x a y x a y x a y解 记y y =σ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧---===.0312*******)()()(,,yx a y x a y x a dx dy y dx dy y dxdy (4)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=.,,332313323222122231211112y c y b y a dxy d y c y b y a dx y d y c y b y a dx y d 解⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++==++==++==,,,,,,332313333322212222312111111y c y b y a dxdz z dx dy y c y b y a dx dz z dxdy y c y b y a dx dz z dx dy3.2一阶线形微分方程组的一般概念求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,)()(,)()(y t p x t q dtdyy t q x t p dt dx其中p(t),q(t)在[a,b]上连续。
解⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)2......()()()1......()()(y t p x t q dtdyy t q x t p dt dx由（1）+（2），（1）—（2）得⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+.))()(()(,))()(()(dt t q t p dty x d dt t q t p dty x d即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--+=++.))()(()(,)))()(()(dt t q t p y x y x d dt t q t p yx y x d解得⎩⎨⎧=-=+-+.,)()(2)()(1t q t p t q t p e c y x e c y x 理解为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-+-+.[21],[21)()(2)()(1)()(2)()(1t q t p t q t p t q t p t q t p e c e c y e c e c x3.3一阶线形微分方程组的一般理论1.设n n ⨯矩阵函数)(,)(21t A t A 在（a ，b ）上连续，试证明，若方程组x t A dtdX)(2=有相同的基本解组，则).()(21t A t A = 证 ：设X （t ）为基本解距阵，因为基本解距阵是可逆的，故有： ()()()t A dtt dX t X11=- ，()()()t A dtt dX t X 21=- 于是()()t A t A 21≡ 2. 求解下列方程组：（1） ⎪⎩⎪⎨⎧==.,21y dtdyx dt dxλλ解 整理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.,21dt ydydt xdxλλ 易得⎩⎨⎧==t t e C y e C x 21121λλ ()2 ()⎪⎩⎪⎨⎧=--=112dt d r r dtdr θ解 原方程为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-112dt d dt r r drθ即()()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧+==-+=+-=--++⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-22122211,2ln 21ln 1ln ,221111C t e C r r C t C t r r r dt d dt dr r r r tθθθ即则所以⎪⎩⎪⎨⎧+=-=.21222C t C e e r ttθ（3）⎪⎩⎪⎨⎧+==y x dtdyx dt dxλλ解由第一个方程易得()().,,,2112111⎩⎨⎧+==+=+==ttt t t eC t C y e C x e C t C y y e C dtdye C x λλλλλλ所以方程组的解为由常数变易法有代入第二个方程得3.试证线性非齐次方程组（3.7）满足初始条件()()的零解的唯一性。
§4.5 一阶常系数线性微分方程组解法举例
2x
+ 2(c1e
x
+ c2e
2x
) c3e
2x
= ( 4c2 c3 )e 2 x + c1e x .
dx dt = y + z dy 的通解。 例 3．求微分方程组 = z + x 的通解 。 ． dt dz = x + y dt
d ( x y) 由第一个方程和第二个方程得： 解 ： 由第一个方程和第二个方程得 ： = ( x y ) ， dt
则称方程组（ ） 齐次的， 若 gi ( x )= 0 ( i =1, 2, L, n) ，则称方程组（1）为齐次的， 否则称为非齐次的 非齐次的。 否则称为非齐次的。
则称方程组（ ） 若 aij ( x ) ( i , j =1, 2, L n)为常数 ，则称方程组（1）为 一阶常系数线性微分方程组。 一阶常系数线性微分方程组。
x y = C1e ，
同理得 x z = C 2 e t ，
dx = 2 x (C 1 + C 2 ) e t , 由上面两式得 dt
t
解得 x = e 2 t [ ∫ (C 1 + C 2 ) e t e 2 t dt + C 3 ]
1 = e [ (C1 + C 2 )e 3t + C 3 ], 3
2t
即 x = C 3e
y = C 3e
2t
2t
1 + (C 2 2 C 1 )e t ， 3
1 + (C 1 + C 2 ) e t ， 3
1 + (C 1 2 C 2 )e t 。 3
z = C 3e
2t
作
业
习 题 七 （P249） P249）
二元一阶常系数线性微分方程组的新解法
二元一阶常系数线性微分方程组的新解法赵临龙【摘要】By employing the eigenvector K=(k1,k2) which satisfies the equations KT(A-λE)=0 of the characteristic equations |A-λE |=0,the bivariate first order linear differential equations with constant coefficients can be transformed into the bivariate linear algebraic equationsk1x1+k2x2=C1eλt+eλt∫(k1 f1+k2 f2)e-λtdt . Then combining the theories of the linear algebraic equations and the first order linear differential equations,the solutions of the original differential equations are given.%对于二元一阶常系数线性微分方程组:x′=Ax+f(t),引入特征根方程|A-λE|=0的特征行向量K=(k1,k2)(其中K满足:KT(A-λE)=0)概念,将二元一阶常系数线性微分方程组,化为二元一次代数线性方程:k1x1+k2x2=C1eλt+eλt∫(k1 f1+k2 f2)e-λtdt,并结合代数线性方程和一阶线性微分方程的理论,给出原微分方程组的解.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2017(035)005【总页数】5页(P673-677)【关键词】常系数线性微分方程组;代数线性方程组;特征根【作者】赵临龙【作者单位】安康学院数学与统计学院,陕西安康 725000【正文语种】中文【中图分类】O175.14对于二元一阶线性微分方程组：一般都是用基解矩阵或拉普拉斯变换等方法给出解，但这些方法都比较繁琐［1-15］.文献［16-17］讨论了二元一阶线性齐次微分方程组的特殊形式的解法，文献［18］对于二元一阶线性齐次微分方程组的解法进行研究，给出相应结论.本文将对二元一阶线性非齐次微分方程组的解法进行讨论.对于常系数线性方程组（1），设是不全为零的常数，使得因此，依然将方程称为方程（1）的特征方程，而将满足（3）的k1,k2称为各特征根λ所对应的特征行向量.引理1若特征方程有2重特征根λ，则引理2若特征方程有2重特征根λ，则对于有1.1 矩阵A的特征根均是单根定理1如果常系数线性齐次方程组（1）的特征方程有2个互异的特征根λ1,λ2，而对应的两组线性无关的特征行向量为则（1）化为代数线性方程组其中：C1,C2为常数.证明设方程组（1）的系数矩阵A的2个互异的特征根为λ1,λ2，由（8）得到线性无关的特征行向量为k1,k2，则方程（1）化为（5）.1.2 矩阵A的特征根是2重根定理2如果常系数线性齐次方程组（1）的特征方程是2重特征根λ，而对应的线性无关的特征行向量为满足（3），则（1）化为代数线性方程组其中：i=1,2，j=2,1；C1,C2为常数.证明若方程组（1）的特征方程特征根为λ，对应的线性无关的特征行向量满足则有代数线性方程若方程组（1）的特征方程是2重特征根λ，得到方程对于特征根λ，对应的线性无关的特征行向量由引理1，可取：现不妨取考虑新方程组其中：x0为常数，特征根为λ.根据引理2结论则由（7）和（9）得到结论（6）.同理，对于k2≠0，可得到即结论（6）依然成立.例1［19］解方程组解由特征方程得特征根为对于所对应的特征行向量满足求得有代数方程：对于所对应的特征数满足求得K1=(1,-i)，有代数方程：若设于是，可求得解.例2［20］解方程组解由特征方程得特征根为对于所对应的特征行向量满足【相关文献】［1］丁崇文.常微分方程习题与解答［M］.厦门：厦门大学出版社，1998.［2］丁崇文.常微分方程习题与解答［M］.2版.厦门：厦门大学出版社，2005.［3］王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程［M］.3版.北京：高等教育出版社，2006.［4］窦霁虹.常微分方程导教·导学·导考［M］.2版.西安：西北工业大学出版社，2007.［5］朱思铭.常微分方程学习辅导与习题解答［M］.北京：高等教育出版社，2009.［6］丁同仁.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2010.［7］韩茂安.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2011.［8］杜正东，徐冰，何志蓉.常微分方程学习指导［M］.北京：科学出版社，2011.［9］袁荣.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2012.［10］蔡燧林.常微分方程［M］.3版.杭州：浙江大学出版社，2013.［11］马德高.常微分方程辅导及习题精解［M］.3版.延吉：延边大学出版社，2013.［12］郭玉翠.常微分方程习题解答与学习指导［M］.北京：清华大学出版社，2013.［13］李必文，赵临龙，张明波.常微分方程［M］.武汉：华中师范大学出版社，2014.［14］张伟年，杜正东，徐冰.常微分方程［M］.2版.北京：高等教育出版社，2014.［15］张祥.常微分方程［M］.北京：科学出版社，2015.［16］赵临龙.二元一阶常系数线性微分方程组初等解法的讨论［J］.河南科学，2013，31（12）：1685-1690.［17］赵临龙.一阶常系数线性微分方程组“对称型”的初等解法再讨论［J］.重庆三峡学院学报，2013（3）：8-11，32.［18］赵临龙.常系数线性方程组的一种新解法［J］.数学的实践与认识，2014（14）：302-308. ［19］赵临龙.常微分方程研究新论［M］.西安：西安地图出版社，2000.［20］孙清华.常微分方程内容、方法、技巧［M］.武汉：华中科技大学出版社.2006.。
常系数线性微分方程组的解法
即(p(t)二泌为(5.33)解o (肛-A)c = 0,有非零解
例3试求矩阵入= 特征值和特征向量.
-5 3
解掘特征值就是特征方程
与—3 ~5 一
det(4E — A) =
— X2 — 62 + 34 = 0
常系数线性方程组
筒壬一页帛啊下一页「'惭返回'
证明：由上面讨论知，每一个向量函数
都是(5①.3⑺3)/=的'v[e解j气=,,因le,2外此,・2矩，・阵…・，,n/"J* ]
是(5.33由)的于解*,矩V阵2,,v〃线性无关， de所t 0以(0 = det(e%i, e^v2，…,e^vn)。0 故①⑴是(5.33)的基解矩阵
⑴
(2) ^AB^BA^\eA+B =eAeB.
对任何矩阵A,(expA)T存在,且
(expA)"1=exp (-A).
(3) 若『是非奇异的，则 exp (T-1AT) = T-1(expA)T.
3常系数齐线性微分方程组的基解矩阵
(1)定理9矩阵
(0)二E.
0(0 = exp At 是(5.33)的基解矩阵，且①
程
类似第四章4.2.2,寻求
尤=Ax, (5.33)
形 口 (p(f) — e%c,c。0, (5.43)
的解，其中常数人和向量c是待定的
将(5.43)代入(5.33)得 人 = Ae^c,
因泌、0,上式变为 (2E - A)c = 0, (5.44)
方程(5.44)有非零解的充要条件是
det(2E -A) = 0,