高等数学等价无穷小替换
等价无穷小替换_极限的计算
无穷小 极限的简单计算一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0l i m =-∞→x x e ， +∞=+∞→xx e lim ，所以xe 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大，则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x x f x A f x A x α®=?+其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),x x f x A ®=令()(),x f x A α=-则有0lim ()0,x x x α®=).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α=+其中()x α是当0x x ®时的无穷小，则lim ()lim(())x x xx f x A x α =+ )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α»给出了函数在附近的近似表达式误差为 3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如：01)1(lim =-∞→n nn ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinx x x x x x®当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α¹(1)lim0,,();o ββαβαα==如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα=特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim(0,0),.kC C k k ββαα=?如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-xe ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa -～ln a x *用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim=αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有 例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim20xx x -→求； （2）1cos 1lim20--→x e x x 解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x ®== 8（2）原极限=2lim 220xx x -→=21- 例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx ®=.161=【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
高等数学等价无穷小替换公式
高等数学等价无穷小替换公式
高等数学中，等价无穷小是指两个无穷小在某一极限下的比值趋近于1。
等价无穷小替换公式是指在极限运算中，可以用一个等价无穷小代替另一个等价无穷小，而不改变极限的值。
以下是一些常见的高等数学等价无穷小替换公式：
1. 当x趋近于0时，sin(x)和x等价。
即：sin(x) ~ x。
2. 当x趋近于0时，tan(x)和x等价。
即：tan(x) ~ x。
3. 当x趋近于0时，1-cos(x)和x等价。
即：1-cos(x) ~ x。
4. 当x趋近于0时，e^x-1和x等价。
即：e^x-1 ~ x。
5. 当x趋近于0时，ln(1+x)和x等价。
即：ln(1+x) ~ x。
6. 当x趋近于0时，arcsin(x)和x等价。
即：arcsin(x) ~ x。
7. 当x趋近于0时，arctan(x)和x等价。
即：arctan(x) ~ x。
8. 当x趋近于0时，(1+x)^a-1和ax等价。
即：(1+x)^a-1 ~ ax。
9. 当x趋近于0时，(1+x)^n-1和nx等价。
即：(1+x)^n-1 ~ nx。
以上就是高等数学中常用的等价无穷小替换公式，掌握这些公式对于解题和理解极限概念都非常有帮助。
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高等数学等价无穷小替换_极限的计算
讲义无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15 分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1. 定义前面我们研究了n r 数列x n的极限、X—；（X r •: :、X-:-'）函数f x 的极限、X—x0（X-x0、X—乞一）函数f （x）的极限这七种趋近方式。
下面我们用x > *表示上述七种的某一种趋近方式，即* x_ x— x 、-： x- x0 x- X Q x- x0_;定义：当在给定的x > *下，f(x)以零为极限，则称f(x)是x > *下的无穷小，即xm f(x)=o。
例如,V I X m o sinx = o,二函数sinx是当XT 0时的无穷小.lim - = 0^函数-是当x—• 时的无穷小.x—x x■■■ lim。
^ =0, 数列｛-^―^｝是当n—；二时的无穷小.—n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义：当在给定的X—. *下，f x无限增大，则称f x是X—. *下的无穷大，即lim* f(x)=°°。
显然，n T血时，n、n2、n3、…都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如lim e x = 0，lim e x：X x :.所以e x当x >时为无穷小，当x、时为无穷大。
常用等价无穷小等价替换
常用等价无穷小等价替换在数学分析和高等数学中，等价无穷小的等价替换是一个非常重要的概念和工具，它能够帮助我们在求解极限问题时大大简化计算过程。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的等价无穷小等价替换。
首先，我们要明白什么是等价无穷小。
当两个无穷小量在某个变化过程中的比值的极限为 1 时，我们就称这两个无穷小是等价的。
比如说，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。
这是因为当x 趋近于 0 时，sin x ／ x 的极限为 1 。
那么，为什么等价无穷小的等价替换如此有用呢？这是因为在计算极限时，如果我们能够将复杂的无穷小量替换为与之等价的简单无穷小量，往往可以使计算变得简单明了。
下面列举一些常见的等价无穷小替换：当 x 趋近于 0 时：1、 tan x ～ x （正切函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）2、 arcsin x ～ x （反正弦函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）3、 arctan x ～ x （反正切函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）4、 1 cos x ～ x²/2 （余弦函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）5、 ln(1 ＋ x) ～ x （自然对数函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）6、 e^x 1 ～ x （指数函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）需要注意的是，在使用等价无穷小进行替换时，一定要满足一定的条件。
一般来说，我们只能在乘除法中使用等价无穷小的替换，而在加减法中使用等价无穷小替换时要格外小心，因为可能会导致错误的结果。
举个例子，计算极限lim(x→0) （tan x sin x) ／ x³。
如果直接将 tan x 替换为 x ，将 sin x 替换为 x ，就会得到错误的结果 0 。
实际上，通过一些三角函数的变换和化简，我们可以得到正确的结果 1/2 。
再比如，计算极限lim(x→0) （1 cos x) ／ x²。
高等数学等价无穷小的几个常用公式
高等数学等价无穷小的几个常用公式在高等数学的学习中，等价无穷小是一个非常重要的概念，它在求极限等问题中有着广泛的应用。
等价无穷小的本质是在某个极限过程中，两个函数的比值趋近于 1。
下面我们来介绍几个常用的等价无穷小公式。
当$x ＼to 0$时，有以下几个常见的等价无穷小：1、＄＼sin x ＼sim x$这意味着当$x$趋近于 0 时，＄＼sin x$和$x$的比值趋近于 1。
我们可以通过泰勒展开来理解这个等价关系。
＄＼sin x$的泰勒展开式为$x ＼frac{x^3}｛3!｝＋＼frac{x^5}｛5!｝＼cdots$，当$x$很小时，高次项可以忽略不计，所以$＼sin x$近似等于$x$。
2、＄＼tan x ＼sim x$同理，＄＼tan x$在$x ＼to 0$时，也与$x$等价。
因为$＼tan x ＝＼frac{＼sin x}｛＼cos x}＄，而$＼cos x ＼to 1$（当$x ＼to 0$），所以$＼tan x$与$＼sin x$在$x ＼to 0$时具有相似的性质。
3、＄＼ln(1 ＋ x) ＼sim x$对于对数函数$＼ln(1 ＋ x)＄，当$x ＼to 0$时，它与$x$等价。
我们可以通过对$＼ln(1 ＋ x)＄进行泰勒展开来证明这一点。
4、＄e^x 1 ＼sim x$指数函数$e^x$在$x ＼to 0$时，＄e^x 1$与$x$等价。
因为$e^x$的泰勒展开式为$1 ＋ x ＋＼frac{x^2}｛2!｝＋＼frac{x^3}｛3!｝＋＼cdots$，所以$e^x 1$在$x$很小时近似等于$x$。
5、＄1 ＼cos x ＼sim ＼frac{1}｛2}x^2$当$x ＼to 0$时，＄1 ＼cos x$与$＼frac{1}｛2}x^2$等价。
同样可以通过$＼cos x$的泰勒展开式来理解。
这些等价无穷小公式在求极限时非常有用，能够大大简化计算。
例如，计算$＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x}＄，由于$＼sin x ＼sim x$（当$x ＼to 0$），所以该极限的值为 1。
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
创作时间：二零二一年六月三十日讲义之巴公井开创作无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷年夜的概念；2、掌握无穷小的性质与比力会用等价无穷小求极限；3、分歧类型的未定式的分歧解法.【教学内容】1、无穷小与无穷年夜；2、无穷小的比力；3、几个经常使用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法.【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比力用等价无穷小求极限.难点是未定式的极限的求法.【教学设计】首先介绍无穷小和无穷年夜的概念和性质（30分钟）, 在理解无穷小与无穷年夜的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）.最后归纳总结求极限的经常使用方法和技巧（25分钟）, 课堂练习（15分钟）.【授课内容】一、无穷小与无穷年夜前面我们研究.界说：,＊下的无穷小,例如【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数, 任何非零常量都不是无穷小.界说：,＊下的无穷年夜,显然都是无穷年夜量,【注意】不能把无穷年夜与很年夜的数混淆；无穷年夜是极限不存在的情形之一.无穷小与无穷年夜是相对的, 在分歧的极限形式下, 同一个函数可能是无穷小也可能是无穷年夜, 如, 时为无穷年夜.2．无穷小与无穷年夜的关系：在自变量的同一变动过程中,,, , 为无穷年夜.小结：无穷年夜量、无穷小量的概念是反映变量的变动趋势, 因此任何常量都不是无穷年夜量, 任何非零常量都不是无穷小, 谈及无穷年夜量、无穷小量之时, 首先应给出自变量的变动趋势.:定理lim (x xxf 自变量在同一变（或x 的无穷小.证：（需要性）设lim (xf 令则有lim (x α（充沛性）(),x α小, 则 【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比力0,,x x时x1sin不存在极限分歧, 反映了趋向于零的“快慢”水平分歧.1．界说:设,αβ是自变量在同一变动过程中的两个无穷小, 例例2．经常使用等价无穷小（1（2（3（4（5（6（7（8（9用等价无穷小可给出函数的近似表达式:3．等价无穷小替换例3 （1（2解: （1）故原极限0(2)lim12xxx（2）原极限例错解正解2lim(2)xxx【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换, 只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换.5 tanlim求2215()()2lim3()xx o x x o xx o x xlim=三、极限的简单计算1. 代入法：,若, 即为其极限,在, 我们也能知道属于哪种未定式, 便于我们选择分歧的方法.例如, , 我们可以用以下的方法来求解.2. 分解因式, 消去零因子法例如3. 分子（分母）有理化法例如又如4. 化无穷年夜为无穷小法例如2221773lim lim142422x xx x xx xx x, 实际上就是分子分母同这个无穷年夜量.由此不难得出又如12111lim2==+++∞→xxx, （分子分母同除.再如.5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限 例如（无穷小量乘以有界量）. 又如由无穷小与无穷年夜的关系,再如, 等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5. 6. 利用两个重要极限求极限（例题拜会§—例5） 7. 分段函数、复合函数求极限例如解左右极限存在且相等【启发与讨论】 110,sin yx x 时是无界变量吗？是无穷大吗？2210+=k x ππ取)(,0x y k >充分大时当,δ<πk x y sin 2)(=但结论：无穷年夜是一种特殊的无界变量,可是无界变量未必是无穷年夜.思考题2：论？试举例说明.解：不能保证.例思考题3：任何两个无穷小量都可以比力吗？解：,.【课堂练习】求下列函数的极限（1解：原极限（2【分析】, 拆项.解：原极限（3；【分析】“抓年夜头法”,解：原极限55522lim x x （4 【分析】分子有理化解：原极限（5【分析, 是不定型, 四则运算法则无法应用, 需先通分, 后计算.解（6【分析】, 是不定型, 四则运算法则失效, 使用分母有理化消零因子.解：原极限（7解.【内容小结】一、无穷小（年夜）的概念无穷小与无穷年夜是相对过程而言的.1、主要内容:两个界说;四个定理;三个推论.2、几点注意:(1) 无穷小（年夜）是变量,不能与很小（年夜）的数混淆, 零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷年夜.二、无穷小的比力:, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但其实不是所有的无穷小都可进行比力.高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.2.等价无穷小的替换:求极限的又一种方法, 注意适用条件.三、极限求法（分歧类型的未定式的分歧解法）;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.。
高等数学等价无穷小替换
无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大;2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15 分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1. 定义前面我们研究了n 数列X n的极限、x （x 、x ）函数f x 的极限、x x0（ x x0、x x0 ）函数f （x）的极限这七种趋近方式。
下面我们用x 文表示上述七种的某一种趋近方式，即n x x x x x o x x o x x o定义：当在给定的x 文下，f（x）以零为极限，则称f（x）是x 大下的无穷小，艮P lim f x 0。
x *例如，lim sinx 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小.x 01 1 一，_____ ___ ___[im - 0, 函数一是当x 时的无为小.lim（ 1）0, 数列｛（ °｝是当n 时的无穷小. n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
宏左，即lim f x 。
显然，n 时，n、n2、n3、都是无穷大量，x 大【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大,如lim e x0 , x lim e x x所以e x当x时为无穷小，当x时为无穷大2. 无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果f x为无穷大，则—为无穷小；反之，如果f x为无穷小，且f x 0,则—为无穷大。
高等数学等价替换公式
根据arcsinx的泰勒公式，可以轻松得到为同阶不等价无穷小。
x→0，时x→sinx ; x→arcsinx ; x→tanx ;x→arctanx; x→ln(1+x); x→(e^x-1); [(1+x)^n-1]→nx;(1-cosx)→x*x/2;a^x-1→xlna, ln(1+x)→x;麦克劳林公式也是，那个符号不好写，你课本上或者习题里有.例1 limx →0tanx-sinxx3 给你举几个利用无穷小的例子例1 limx→0tanx-sinxx3 解：原式=limx →0sinx(1-cosx)x3cosx=limx→0x·12x2x3(∵sinx～x,1-cosx～x22)=12 此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。
∵tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。
例 2 limx→0e2x-31+xx+sinx2 解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53 例3 limx→0(1x2-cot2x) 解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x =limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4 =limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵sinx～x) =limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2 =limx→012x2·(1+cosx)x2=1 解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x =limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4 =limx→02x(tanx-x)x44 (∵tanx～x) =limx→02(tanx-x)x3 =limx→02(sec2x-1)3x2 =23limx→0tan2xx2=23 (∵tanx～x) 例4［3］limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用罗比塔法则）=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分离非零极限乘积因子）=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零极限）=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用罗比塔法则）=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx) =limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。
高等数学等价无穷小替换_极限的计算
讲义无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大;2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15 分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1. 定义前面我们研究了n 数列x n的极限、x （x 、x ）函数f x 的极限、x x°（x x0、x x0 ）函数f （x）的极限这七种趋近方式。
下面我们用夫表示上述七种的某一种趋近方式，即n x x xX X Q XX Q XX O定义：当在给定的x 文下，f (x)以零为极限，则称f(x)是x 大下的无虹，即如fx°。
lim 1 0, 函数1是当x 时的无穷小【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。
定义：当在给定的X 大下，f x 无限增大，则称f x 是x 大下的五 空左，即lim f x。
显然，n 时，n 、n 2、n 3、都是无穷大量，x 大【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷 小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是 无穷大,如xxJim e 0, Jim e ,所以e x 当x 时为无穷小，当x 时为无穷大。
2. 无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果f x 为无穷大，则产为无穷小；反之，如果f x 为无穷小，且f x 0,则产为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是 无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应 给出自变量的变化趋势。
大学高等数学等价无穷小
这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。
其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。
1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。
如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。
关键要记住道理lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。
2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。
f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。
当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。
比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。
但是如果碰到ln(1+x)-x，那么ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。
此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。
碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。
也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。
x-lnx等价无穷小替换公式
x-lnx等价无穷小替换公式摘要：1.等价无穷小替换公式的概念与意义2.等价无穷小替换公式的应用步骤3.等价无穷小替换公式在极限计算中的作用4.举例说明等价无穷小替换公式的运用5.总结与展望正文：一、等价无穷小替换公式的概念与意义在高等数学中，等价无穷小替换公式是一种求极限的方法，它将复杂函数的极限问题转化为简单函数的极限问题。
所谓等价无穷小，指的是当自变量趋于某个值时，两个函数的比值趋于1。
在这种情况下，我们可以说这两个函数是等价无穷小的。
等价无穷小替换公式就是利用这种等价关系，将原函数中的部分替换为与之等价的函数，从而简化极限问题的求解。
二、等价无穷小替换公式的应用步骤1.分析原函数，找出可能的等价无穷小项。
2.验证等价无穷小关系，即验证两个函数的比值趋于1。
3.用等价无穷小替换原函数中的部分，得到一个新的函数。
4.求解新函数的极限，得到原函数的极限。
三、等价无穷小替换公式在极限计算中的作用等价无穷小替换公式在极限计算中的作用主要体现在以下几点：1.简化极限问题：通过将复杂函数替换为简单函数，降低了求解难度。
2.提高计算效率：利用等价无穷小替换公式，可以避免复杂的数学推导和计算。
3.拓宽求解范围：对于一些直接求解困难的极限问题，通过等价无穷小替换公式，可以转化为更容易求解的问题。
四、举例说明等价无穷小替换公式的运用例如，求极限：当x趋于0时，sinx/x的极限为1。
解析：1.分析原函数，找出可能的等价无穷小项：sinx和x。
2.验证等价无穷小关系：当x趋于0时，sinx/x的极限为1，满足等价关系。
3.用等价无穷小替换原函数中的部分：将sinx替换为x，得到新函数x/x。
4.求解新函数的极限：当x趋于0时，x/x的极限为1。
因此，原函数sinx/x的极限也为1。
五、总结与展望等价无穷小替换公式是高等数学中求解极限的一种重要方法。
通过寻找合适的等价无穷小项，将原函数简化，从而降低求解难度。
在实际应用中，掌握好等价无穷小替换公式，能够帮助我们更快地解决各种极限问题。
高等数学等价无穷小替换
无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
高等数学 第二章 极限与连续 2.7 利用等价无穷小量代换求极限
高等数学—第二章
极限与连续
基础课教学部 数学教研室
第七节 利用等价无穷小量代换求极限
0,
是 的高阶无穷小
lim ,
是 的低阶无穷小
C(0), 是 的同阶无穷小
1,
是 的等价无穷小
lim kC0,
是 的 k 阶无穷小
常用等价无穷小： 当x0时 ,
故 31 xsinx 1 1xsinx (x 0)
3
a r c t a n x 2 x 2 (x 0)
所以，原式
1 xsin x
lim 3
x x0
2
1 sinx lim
x0 3 x
1. 3
例4 求 litm ax nsixn . x 0 si32 n x
错解： 当 x 0 时 ,tx a ~ x ,s n x ~ i x . n 原式 lx i0m (x2 x)x3 0.
2
1
例2 求 lim(1x2)31. x0 coxs1
解：当 x 0时 ,
(1x2)1 31~1
1
原 式 lim3
x
2
2
x 0
1 2
x2
3
例3 求
3 1xsinx1 lim
x0 arctanx2
解：因当
x0时， 3 1x 1～
1 3
x
arctanx～x,
例如， lia m rx c s1 i s l n iix n s m 1 i 0 n
x 0
xx 0 x
例1 求 lim ta2n 2x.
x 01coxs
解：当 x 0 时 ,1 cx ~ o 1 x 2 , s t2 a x ~ 2 x n .
高等数学-无穷小的比较
x x0 1
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
例1 求 lim tan2 2x .
x0 1 cos x
则
lim
lim 1 .
x x0
x x0 1
解 当x 0时, 1 cos x ~ 1 x2 , 2
原式
lim x0
(2 x )2 1 x2
8.
2
tan 2x ~ 2x.
另例 ：
第六节
第一章
无穷小的比较
一、无穷小的比较 二、等价无穷小替换
一、无穷小量的比较
定义 设 与 是同一过程中的无穷小量，即
lim 0，lim 0.
xx0
xx0
❖ 如果lim 0，则 是比 较高阶无穷小；
xx0 记作 ( ).
lim o( ) ? x x0
❖ 如果lim ，则 是比 较低阶无穷小. xx0
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 0 (2 x)3 16
② 等价替换不能离开 “定理所允许的框架”
例3 lim(1 3 tan2 x)cot x .
x0
四、等价无穷小替换
定理3 (等价无穷小替换定理)
若
~ 1,
~
1
且 lim x x0
1 1
存在 ,
则 lim lim 1 .
x x0
x x0 1
证： lim
lim (
1 1 )
x x0
x x0 1 1
lim lim 1 lim 1 lim 1 .
高等数学等价替换公式
无穷小 极限的简单计算一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n nn 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x xf x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),xx f x A 令()(),x f x A α则有0lim ()0,xx x α).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α其中()x α是当0xx 时的无穷小，则lim ()lim(())xx xx f x A x α )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α给出了函数在附近的近似表达式误差为3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(lim =-∞→n n n ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinxx x x x x当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α(1)lim0,,();o ββαβαα如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim (0,0),.k C C k k ββαα如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x e ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa ～ln a x用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim =αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim 20xx x -→求； （2）1cos 1lim 20--→x e x x解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x = 8 （2）原极限=2lim220x x x -→=21-例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求 错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx .161= 【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
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无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；4、求极限的方法。
【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。
下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。
例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n nn 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x xf x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),xx f x A 令()(),x f x A α则有0lim ()0,xx x α).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α其中()x α是当0xx 时的无穷小，则lim ()lim(())xx xx f x A x α )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α给出了函数在附近的近似表达式误差为3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如n n 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但nn 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(lim =-∞→n nn ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sin xx x x x x当时都是无穷小，观察各极限：xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α(1)lim0,,();o ββαβαα如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim (0,0),.k C C k k ββαα如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x xx x →30)tan (lim 4x x x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x e ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa ～ln a x用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim =αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim 20xxx -→求； （2）1cos 1lim 20--→x e x x 解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x = 8 （2）原极限=2lim220x x x -→=21-例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim(2)x x x .161= 【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
例5 .3sin 1cos 5tan lim0xx x x +-→求 解: ),(5tan x o x x += ),(33sin x o x x +=).(21cos 122x o x x +=-原式2215()()2lim3()xxo x x o x x o x xx o x x o x x x o x )(3)(21)(5lim20++++=→.35= 三、极限的简单计算1. 代入法：直接将0x x →的0x 代入所求极限的函数中去，若()0x f 存在，即为其极限，例如924231232lim3451=++++-→x x x x x x ；若()0x f 不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。
例如，39lim 23--→x x x 就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。
2. 分解因式，消去零因子法例如，()63lim 39lim323=+=--→→x x x x x 。
3. 分子（分母）有理化法 例如，()()()()()()355125125123535lim51235lim222222++++-+++++-+=-+-+→→x x x x xxx x x x424lim 22--=→x x x()()()2222lim2--+=→x x x x 2= 又如，()011lim1lim22=++=-++∞→+∞→xx x x x x4. 化无穷大为无穷小法例如，2222173373lim lim142422x xx x x x xx x x ，实际上就是分子分母同时除以2x 这个无穷大量。
由此不难得出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→mn m n m n ba b x b x b a x a x a n n n m m m x ，，，0lim 00110110又如，12111lim21lim=++=+++∞→+∞→xxx x x x ，（分子分母同除x ）。
再如，1153152lim 5352lim -=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-∞→∞→n nn n n n n n ，（分子分母同除n 5）。
5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如，()0131arctan lim 2=+++∞→x x x x x ，（无穷小量乘以有界量）。
又如，.3214lim 21-+-→x x x x 求 解：)32(lim 21-+→x x x ,0=商的法则不能用)14(lim 1-→x x 又,03≠=1432lim21--+∴→x x x x .03== 由无穷小与无穷大的关系,得.3214lim21∞=-+-→x x x x再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）7. 分段函数、复合函数求极限例如，).(lim ,0,10,1)(02x f x x x x x f x →⎩⎨⎧≥+<-=求设解: 两个单侧极限为是函数的分段点,0=x)1(lim )(lim 0x x f x x -=--→→,1=)1(lim )(lim 20+=++→→x x f x x ,1=左右极限存在且相等, .1)(lim 0=→x f x 故【启发与讨论】 思考题1：110,sin xyx x当时是无界变量吗？是无穷大吗？解：),3,2,1,0(221)1(0 =+=k k x ππ取,22)(0ππ+=k x y .)(,0M x y k >充分大时当无界， ),3,2,1,0(21)2(0 ==k k x π取,,δ<k x k 充分大时当 ππk k x y k 2sin 2)(=但 .0M <=不是无穷大．结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若0)(>x f ，且A x f x =+∞→)(lim ，问：能否保证有0>A 的结论？试举例说明.解：不能保证. 例xx f 1)(=,0>∀x 01)(>=xx f =+∞→)(lim x f x.01lim ==+∞→A xx 思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能．例如当+∞→x 时,1)(x x f =x xx g sin )(=都是无穷小量但=+∞→)()(lim x f x g x x x sin lim +∞→不存在且不为无穷大，故当+∞→x 时)(x f 和)(x g 不能比较.【课堂练习】求下列函数的极限（1）xxe x x cos lim 0-→；解：原极限=1cos 1lim 1lim cos lim000=-+-=-→→→xxx e x x e x x x x x（2）求)1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→ 【分析】 “0”型，拆项。