基于不确定性变量的分类和设计目标函数的形式
工业系统工程线性规划模型
资源分配问题
确定资源需求
通过线性规划模型，可以确定完成生 产任务所需的资源需求，如劳动力、 原材料、设备等。
优化资源分配
线性规划模型可以用于优化资源分配 ，包括确定各种资源的最佳组合和分 配方案，以满足生产需求并最小化资 源消耗。
考虑资源约束
资源分配过程中需要考虑各种资源约 束条件，如资源数量、可用时间等， 线性规划模型可以有效地处理这些约 束条件。
分析不同决策方案
通过构建多个线性规划模型，可以分 析不同的决策方案对系统性能的影响 ，从而为决策者提供参考。
预测未来趋势
基于历史数据和线性规划模型，可以 预测未来趋势，为决策者提供前瞻性 的建议。
制定合理决策方案
确定关键因素
通过线性规划模型，可以确定影响系统 性能的关键因素，从而有针对性地制定 决策方案。
1 2
确定目标变量
明确要优化的目标变量，如成本、利润、产量等 。
确定目标函数的数学形式
根据目标变量的性质和要求，选择适当的目标函 数形式，如最小化、最大化等。
3
确定目标函数的约束条件
明确目标函数的约束条件，如资源限制、时间限 制等。
确定决策变量
01
确定决策变量的类 型
根据问题实际情况，选择适当的 决策变量类型，如连续变量、离 散变量等。
生产计划制定
确定生产目标
通过线性规划模型，可以确定生 产计划的目标，如最大化产量、 最小化成本等。
优化生产流程
线性规划模型可以用于优化生产 流程，包括确定原材料采购、库 存管理、生产调度等方面的最佳 策略。
考虑约束条件
生产计划制定过程中需要考虑各 种约束条件，如设备能力、人员 数量、原材料供应等，线性规划 模型可以有效地处理这些约束条 件。
目标函数、决策变量和约束条件
目标函数、决策变量和约束条件目标函数、决策变量和约束条件的重新描述目标函数、决策变量和约束条件是数学规划问题中的核心概念。
在本文中，我们将重新描述这些概念，并探讨它们在数学规划中的重要性。
目标函数是数学规划问题中所要优化的目标。
它通常是一个表达式，其中包含决策变量，并使得目标函数达到最大或最小值。
目标函数的选择十分重要，因为它决定了我们希望在数学规划中实现的目标。
例如，在生产计划问题中，我们可能希望最小化生产成本或最大化利润。
在资源分配问题中，我们可能希望最大化资源利用率或最小化资源消耗量。
因此，目标函数的合理选择对于成功解决数学规划问题至关重要。
决策变量是我们试图优化的参数或变量。
它们是数学规划问题中的未知数，我们需要找到一组决策变量的取值来使得目标函数达到最优解。
决策变量可以是实数、整数或布尔变量，具体取决于实际问题的性质。
例如，在生产计划问题中，决策变量可能是每个产品的生产数量。
在资源分配问题中，决策变量可能是分配给每个项目的资源量。
通过选择合适的决策变量，我们可以优化目标函数并找到最佳解决方案。
约束条件是数学规划问题中需要满足的条件。
它们限制了决策变量的范围，确保解决方案在实际情况下是可行的。
约束条件可以是等式或不等式，取决于问题的性质。
例如，在生产计划问题中，约束条件可能包括每个产品的生产容量限制以及资源的可用性。
在资源分配问题中，约束条件可能包括资源不足的限制或项目之间的相互关系。
通过有效地管理约束条件，我们可以获得可行且可行解。
总结起来，目标函数、决策变量和约束条件是数学规划问题中重要的概念。
通过选择合适的目标函数并定义适当的决策变量和约束条件，我们可以找到最佳解决方案，并解决现实世界中的各种问题。
深入理解这些概念可以帮助我们更好地应用数学规划方法，并在决策过程中做出明智的选择。
对于目标函数、决策变量和约束条件的理解，我认为它们是数学规划问题中不可或缺的要素。
目标函数为我们提供了明确的优化目标，决策变量则是我们可以操作和优化的元素，约束条件则确保解决方案在实际情况下是可行的。
不确定性模型的研究及其应用分析
不确定性模型的研究及其应用分析第一章引言不确定性是现实生活中不可避免的一部分。
在决策制定的过程中，我们常面临不确定性的问题，这意味着我们不能百分之百确定决策的结果，这也是决策制定者所担心的。
在解决这一问题的过程中，不确定性模型被提出，它能够帮助决策制定者根据不确定性的程度做出决策。
本文旨在介绍不确定性模型的研究及其应用分析，重点分析了如何在实践中应用不确定性模型，并说明了它在风险管理、投资决策、生产计划等方面的应用。
第二章不确定性模型的概念和分类2.1 不确定性模型的概念不确定性模型是指用来描述不确定性信息的数学模型，主要用于处理决策中的风险因素。
这些模型依赖于统计学和概率论的理论来衡量和分析不确定性。
2.2 不确定性模型的分类不确定性模型通常被分为两类：确定性模型和随机模型。
确定性模型表示所有的输入都是确定确定的，即输入值不受不确定性的影响。
随机模型表示输入存在不确定性。
第三章不确定性模型在风险管理中的应用3.1 风险管理的定义和目的风险管理是指在决策制定过程中对不确定性因素的管理。
其目的是最小化可能的负面影响，同时尽量保证决策产生积极的影响。
3.2 统计决策分析在风险管理中的应用统计决策分析是不确定性模型的一个应用，它可以帮助决策制定者进行决策分析。
在风险管理中，决策制定者面对的最常见的问题是风险和不确定性问题，特别是在金融领域。
为了应对这些挑战，不确定性模型可用于风险评估和量化。
统计决策分析是一种工具，可用于处理有关不确定性的数据，并为决策制定者提供潜在的决策方案和风险管理策略。
第四章不确定性模型在投资决策中的应用4.1 投资决策的定义和目的投资决策是指在各种可能的投资中做出明智的选择，以实现所需的投资回报率。
其目的是提高投资组合的效益和风险调节。
4.2 不确定性模型在投资决策中的应用在投资决策中，风险和回报是不可避免的。
不确定性模型可以用于生成决策分析报告、评估投资的风险水平、预测未来的回报和确定所需的投资规模。
名词解释目标函数
目标函数及其应用一、目标函数的基本概念目标函数是机器学习中的一个基本概念，它用于衡量模型预测结果与真实结果之间的差距。
在监督学习中，目标函数通常表示为损失函数，它被用于计算模型预测结果与真实结果之间的误差。
目标函数有多种类型，其中最常见的类型是平方误差、均方误差和交叉熵损失函数。
平方误差损失函数通常用于回归问题，它表示预测结果与真实结果之间的平方误差。
均方误差损失函数用于分类问题，它表示预测结果与真实结果之间的均方误差。
交叉熵损失函数用于多分类问题，它表示预测结果与真实结果之间的交叉熵。
二、目标函数的常用类型及其应用目标函数的选择直接影响到模型的性能，因此通常是机器学习研究中的一个重要问题。
下面我们将介绍几种常用的目标函数及其应用。
1. 平方误差损失函数平方误差损失函数是机器学习中最常用的目标函数之一，它用于回归问题。
平方误差损失函数可以表示为:$L(theta) = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} (y_i - hat{y}_i)^2$ 其中，$y_i$表示真实结果，$hat{y}_i$表示预测结果，$n$表示样本数。
平方误差损失函数在回归问题中的应用非常广泛，它可以帮助模型拟合真实结果，从而提高模型的预测能力。
2. 均方误差损失函数均方误差损失函数用于分类问题，它表示为:$L(theta) = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} (y_i - hat{y}_i)^2$ 其中，$y_i$表示真实结果，$hat{y}_i$表示预测结果，$n$表示样本数。
均方误差损失函数可以帮助模型拟合真实结果，从而提高模型的分类能力。
3. 交叉熵损失函数交叉熵损失函数用于多分类问题，它表示为:$L(theta) = -frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} y_i log(hat{y}_i)$ 其中，$y_i$表示真实结果，$hat{y}_i$表示预测结果，$n$表示样本数。
几种模糊多属性决策方法及其应用
几种模糊多属性决策方法及其应用一、本文概述随着信息时代的快速发展，决策问题日益复杂，涉及的属性越来越多，决策信息的不确定性也越来越大。
在这种背景下，模糊多属性决策方法应运而生，成为解决复杂决策问题的重要工具。
本文旨在探讨几种典型的模糊多属性决策方法，包括模糊综合评价法、模糊层次分析法、模糊集结算子等，并分析它们在实际应用中的优势和局限性。
本文首先介绍了模糊多属性决策方法的基本概念和理论基础，为后续研究提供必要的支撑。
接着，详细阐述了三种常用的模糊多属性决策方法，包括它们的原理、步骤和应用范围。
在此基础上，通过案例分析，展示了这些方法在实际应用中的具体运用和取得的效果。
通过本文的研究，读者可以深入了解模糊多属性决策方法的原理和应用，掌握其在实际问题中的使用技巧，为解决复杂决策问题提供有力支持。
本文也为进一步研究和改进模糊多属性决策方法提供了参考和借鉴。
二、模糊多属性决策方法概述模糊多属性决策（Fuzzy Multiple Attribute Decision Making，FMADM）是一种处理不确定性、不精确性和模糊性的决策分析方法。
在实际问题中，由于信息的不完全、知识的局限性或环境的动态变化，决策者往往难以获取精确的属性信息和权重信息，这使得传统的多属性决策方法难以应用。
模糊多属性决策方法通过引入模糊集理论，能够更好地处理这种不确定性和模糊性，为决策者提供更合理、更可靠的决策支持。
模糊多属性决策方法的核心思想是将决策问题中的属性值和权重视为模糊数，利用模糊集理论中的运算法则进行决策分析。
根据不同的决策目标和背景，模糊多属性决策方法可以分为多种类型，如模糊综合评价、模糊多目标决策、模糊群决策等。
这些方法在各自的领域内都有着广泛的应用，如企业管理、项目管理、环境评估、城市规划等。
在模糊多属性决策方法中，常用的模糊数有三角模糊数、梯形模糊数、正态模糊数等。
这些模糊数可以根据实际问题的需要选择合适的类型，以更好地描述属性值的不确定性和模糊性。
数学模型中构建目标函数
数学模型中构建目标函数在数学建模中，目标函数的构建是至关重要的步骤。
目标函数是描述系统或问题目标的数学表达式，通常表示为决策变量的函数。
它的构建取决于问题的特定背景和目标，下面将详细介绍如何构建目标函数。
明确问题目标：首先，要明确问题的目标是什么。
例如，在优化生产过程中，可能的目标是最大化利润或最小化成本；在路线规划问题中，可能的目标是最短路径或最低时间。
确定决策变量：决策变量是问题中可以自由选择的参数，它们可以是连续的或离散的。
决策变量的选择取决于问题的性质和目标。
例如，在生产问题中，决策变量可能是生产量、原材料使用量等；在路线规划问题中，决策变量可能是路径、交通方式等。
建立目标函数的数学表达式：根据问题的目标和决策变量，建立目标函数的数学表达式。
这个表达式应该能够反映问题的实际需求和目标。
例如，如果目标是最大化利润，那么目标函数可能是总收入减去总成本；如果目标是最小化成本，那么目标函数可能是总成本。
考虑约束条件：在许多问题中，决策变量会受到一些限制或约束。
这些约束条件可以是资源限制、时间限制、物理限制等。
在构建目标函数时，需要将这些约束条件考虑在内，确保目标函数的可行性和有效性。
评估和选择最优解：一旦目标函数建立起来，就需要使用适当的优化方法来找到最优解。
这可以通过迭代、梯度下降、牛顿法等方法实现。
评估最优解的标准取决于问题的特定目标，例如最大化利润、最小化成本等。
构建目标函数是数学建模的核心步骤之一，它需要深入理解问题的背景和目标，并能够将实际问题转化为数学表达式。
通过合理地选择决策变量和考虑约束条件，可以建立一个有效的目标函数，为解决问题提供重要的指导。
第7章不确定性分析
第7章不确定性分析不确定性分析（Uncertainty Analysis）是指对系统模型或评估结果中的不确定性进行定量化和分析的过程。
在实际应用中，各种因素的不确定性往往会对模型的输出结果产生影响，如数据的质量、模型参数的估计误差、模型结构的简化等。
因此，进行不确定性分析可以帮助我们更全面地理解模型的输出结果，并对决策提供更准确的支持和可靠的结果。
不确定性分析通常包括以下几个步骤：2.确定不确定性的类型：不确定性分析一般分为参数不确定性和模型结构不确定性两种类型。
参数不确定性是指模型中的参数估计误差导致输出结果的不确定性，可以通过统计方法、贝叶斯方法等进行分析。
模型结构不确定性是指模型本身的简化或假设导致输出结果的不确定性，可以通过灵敏度分析、误差传播分析等进行分析。
3. 确定不确定性的量化方法：不确定性分析需要将不确定性转化为数值以进行分析。
对于参数不确定性，可以利用概率分布对参数进行建模，如正态分布、均匀分布等。
对于模型结构不确定性，可以使用灵敏度分析计算模型输出结果对模型结构的响应程度。
此外，还可以利用蒙特卡洛模拟、Bootstrap方法等进行不确定性分析。
4.进行不确定性分析：利用确定的不确定性量化方法，对模型进行不确定性分析。
一种常用的方法是蒙特卡洛模拟，通过对不同的不确定性输入值进行多次模拟，得到不同的输出结果，并对结果进行统计分析。
同时，还可以进行敏感性分析，评估各个输入参数对模型输出结果的贡献程度。
5.分析结果的解释和应用：对不确定性分析的结果进行解释和应用。
通常，不确定性分析会得到一系列输出结果的概率分布或区间估计，可以根据实际需要对结果进行解释和应用，如制定决策、评估风险、优化设计等。
不确定性分析在许多领域都有广泛的应用，包括环境评估、工程设计、经济分析等。
通过对不确定性的分析，可以提高决策的可靠性和准确性，降低决策风险，并为决策者提供更多有效的信息和更好的决策依据。
因此，不确定性分析在现代决策分析中具有重要的意义和价值。
目标函数
设计变量的函数
目录
01 函数定义
02 函数概念
目标函数f(x)就是用设计变量来表示的所追求的目标形式，所以目标函数就是设计变量的函数，是一个标量。 从工程意义讲，目标函数是系统的性能标准，比如，一个结构的最轻重量、最低造价、最合理形式；一件产品的 最短生产时间、最小能量消耗；一个实验的最佳配方等等，建立目标函数的过程就是寻找设计变量与目标的关系 的过程，目标函数和设计变量的关系可用曲线、曲面或超曲面表示。
函数定义
一个工程设计问题，常有许多可行的设计方案，最优化设计的任务是要找出其中最优的一个方案。评价最优 方案的标准应是在设计中能最好地反映该项设计所要追求的某些特定目标。通常，这些目标可以表示成设计变量 的数学函数，这种函数称为目标函数。
函数概念
等值线(等值面)
图1不同的设计点X代表不同的设计方案，不同的设计方案可以达到同样的目标值。在数学上，具有相同目标 函数值的点并非一个，而是很多，例如：二维设计中，目标函数是三维空间中的曲面，具有相同目标函数值的点 在二维空间上描绘出一簇簇曲线，如右图1所示，这种n维设计空间中具有相同目标函数值的设计点在n维空间中 构成的曲线(面)称为目标函数的等值线(面)。显而易见，等值线(面)是一簇簇超曲线(面)，在同一条超曲线(面)上 有很多设计点，代表了不同的设计方案，但它们却对应有相同的目标值.不同的等值线有不同的目标值。
梯度
梯度是目标函数f(X)对各个设计变量的偏导数所组成的向量，并以符号“▽f(X)"表示，即
从几何意义上讲，梯度向量在目标函数面的(n+1)维空间中垂直于目标函数面，在设计变量的n维空间中垂直 于目标函数的等值面。以二维为例，如下图2所示，当f(X) =ax1+bx2表示目标函数面是三维空间中的一个平面时， 其等值线是一簇簇平行线C1，C2……，梯度▽f(X(k))既垂直于目标函数面，又垂直于等值线。
基于不确定需求的多式联运物流网络设计
基于不确定需求的多式联运物流网络设计李淑霞;陈振;刘丽萍;吴一帆;孙思凡【摘要】随着全球贸易与电子商务的迅速发展,多式联运在运输业中的位置越来越重要,运输网络中的不确定需求为物流网络设计带来挑战.针对需求量存在的不确定性,设计了基于两阶段随机规划的中转点选址以及序贯决策的路径规划,进而实现经济高效多式联运网络的设计.通过与传统解决方法的对比研究,验证了本文所建模型的实用性及有效性,为多式联运网络的建立和科学运作提供了决策参考.【期刊名称】《东华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(044)004【总页数】6页(P550-554,577)【关键词】不确定需求;两阶段随机规划;多式联运;物流网络设计【作者】李淑霞;陈振;刘丽萍;吴一帆;孙思凡【作者单位】华东理工大学商学院,上海200237;华东理工大学商学院,上海200237;华东理工大学商学院,上海200237;华东理工大学商学院,上海200237;华东理工大学商学院,上海200237【正文语种】中文【中图分类】TB114随着全球贸易的快速发展，长距离的运输越来越重要，单一的运输模式已经无法满足这种急速扩张的运输需求。
因此，多式联运的有效建设和管理就具有重要的理论和现实意义。
多式联运不仅可以利用其规模效应取得经济优势，而且能够缓解交通拥挤而具有一定的环保优势。
美国是较早发展多式联运方式的国家，目前其多式联运总量已占总运输量的40%左右，在整个运输业中占据重要位置[1]。
2014年，欧盟委员会启动“马可·波罗”项目来促进道路运输向多式联运转变[2]。
到2030和2050年，多式联运预计将分别占据整个欧洲运输总量的30%和50%[3]。
2016年，我国交通运输部也审议并通过了《关于促进多式联运发展的若干意见》，借以推动交通提质增效，提升供给服务能力。
特别是在“一带一路”倡议下，我国将在2015—2019年间投资基础设施建设超过3万亿美元。
目标函数的标准形式
目标函数的标准形式目标函数是数学规划中的一个重要概念，它用于描述问题的各种限制条件下所要优化的目标。
目标函数的标准形式是指将目标函数表示为一系列线性等式和线性不等式的形式，便于数学建模和求解。
下面将详细介绍目标函数的标准形式。
目标函数的标准形式可以表示为：Maximize (or Minimize) Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn其中，Z表示目标函数，c1, c2, ..., cn为常数，x1, x2, ..., xn为决策变量。
标准形式的目标函数有以下几个特点：首先，目标函数是线性的。
这意味着目标函数中的决策变量只能以一次幂的形式出现，不能出现平方、立方等高次幂的项，也不能出现分数、指数、对数等非线性的函数形式。
其次，目标函数的系数是常数。
目标函数中的c1, c2, ..., cn都是已知的常数，而不是决策变量。
第三，目标函数可以是最大化或最小化的。
这取决于优化的目标是要最大化还是最小化目标函数。
如果是最大化目标函数，则使用Maximize关键词；如果是最小化目标函数，则使用Minimize关键词。
最后，目标函数需要根据具体问题的优化目标来确定。
在实际问题中，可以根据经济效益、成本最小化、资源利用率等不同目标来确定目标函数的具体形式。
目标函数的标准形式可以更好地描述问题的优化目标，并且便于数学建模和求解。
通过将目标函数表示为线性等式和线性不等式的形式，可以将问题转化为线性规划问题或整数线性规划问题，采用数学求解方法进行求解。
总之，目标函数的标准形式是将目标函数表示为线性等式和线性不等式的形式。
通过标准形式的描述，可以更好地理解问题的优化目标，并且便于采用数学建模和求解方法进行求解。
通过合理的目标函数的设定，可以得到满足问题要求的最优解。
自动控制原理不确定性知识点总结
自动控制原理不确定性知识点总结在自动控制原理中，不确定性是指系统的输入、输出或者模型参数等因素存在一定程度的不确定性或者随机性。
不确定性是自动控制中必须要考虑的一个重要因素，对于系统的稳定性、性能以及控制器的设计等都会产生一定的影响。
本文将对自动控制原理中的不确定性知识点进行总结。
一、不确定性的分类不确定性可以分为参数不确定性和结构不确定性两种类型。
1. 参数不确定性：指系统模型中的参数具有一定的不确定性，这可以是由于参数测量误差、系统随时间变化引起的参数漂移、参数估计误差等原因导致的。
参数不确定性会导致系统模型与实际系统存在差异，进而影响控制器的性能。
2. 结构不确定性：指系统的结构特性存在一定的不确定性。
例如，系统的动力学特性可能受到非线性、时变、时滞、饱和等因素的影响，导致系统的结构模型具有一定的不确定性。
结构不确定性会使得控制器的设计更加困难，需要采用鲁棒控制等方法来降低不确定性的影响。
二、不确定性分析方法针对不确定性的存在，我们可以采用以下方法进行不确定性的分析和控制器设计。
1. 确定性方法：确定性方法假设系统参数和模型结构是完全已知的，主要包括经典控制理论和现代控制理论。
经典控制理论中的PID控制器，以及现代控制理论中的根轨迹设计、频域设计等方法都是基于对系统模型完全已知的假设，不考虑不确定性因素。
2. 随机方法：随机方法是一种基于概率论和随机过程理论的控制方法。
它将不确定性问题转化为概率分布描述的问题，通过概率统计的方法来分析系统的稳定性和性能。
随机方法更适用于存在随机干扰的系统，如强化学习、最优控制等。
3. 鲁棒控制：鲁棒控制是一种考虑不确定性的控制方法。
它通过设计鲁棒控制器，使得系统在存在不确定性的情况下能够保持一定的稳定性和性能。
鲁棒控制方法可以有效降低模型不确定性和参数不确定性对系统性能的影响。
三、不确定性的影响和应对措施不确定性对自动控制系统会产生一定的影响，包括系统的稳定性、性能和鲁棒性等方面。
基于灵敏度分析的区间不确定性稳健设计
基于灵敏度分析的区间不确定性稳健设计XU Huanwei;LI Mufeng;WANG Xin;HU Cong;ZHANG Suichuan【摘要】针对机电产品优化设计中存在的大量不确定性因素,在灵敏度分析的基础上提出了区间不确定性稳健设计方法.首先探讨了灵敏度分析理论,借用Sobol'法筛选出对系统影响较大的因素并将不灵敏项进行固化;然后根据区间不确定性因素的特性,分析了不确定因素在某一区间变化时对系统整体的影响;最后给出了基于灵敏度分析的区间不确定性稳健设计优化模型.工程实例证明了该方法的有效性.【期刊名称】《中国机械工程》【年(卷),期】2019(030)013【总页数】7页(P1545-1551)【关键词】不确定性;灵敏度分析;Sobol'法;区间不确定性;稳健设计【作者】XU Huanwei;LI Mufeng;WANG Xin;HU Cong;ZHANG Suichuan【作者单位】【正文语种】中文【中图分类】TH1220 引言在工程实际中，复杂技术装备在设计和优化时，目标函数和约束条件通常都不是线性的。
更为困难的是，一些信息通常情况下是匮乏的、不确定和不精确的，如温度、应力、零件形状尺寸、操作方式和运行轨迹等的变化，以及建立数学模型时由于认知所限带来的误差等。
这些不定因素的存在往往导致复杂技术装备的性能对不确定因素更加敏感，性能波动几率大大增加，进而影响产品的质量。
另外，在设计和优化的过程中往往涉及多种因素，如果全部考虑，不仅会使问题复杂化，还会浪费大量资源。
由此，有必要筛选出对产品性能影响较大的因素着重考虑，同时适当忽略影响较小因素的不确定性。
稳健设计理论因具有抗干扰的属性，现已被广泛地应用在各领域中[1-3]。
稳健优化主要包括两大类：第一类是概率稳健优化，该类方法需知道输入参数的概率分布，概率稳健优化被应用到可靠性优化[4]、协同优化[5]、分析目标级联(ATC)策略中[6]，然而，这些稳健设计优化仅适用于有连续目标函数和约束函数的单目标优化问题，且往往是一种特定的情形，如文献[6-9]；第二类是以区间分析方法为主的非概率稳健优化[10-13]，因其只需获得输入参数的取值区间，而无需确切的分布，故区间分析有很强的适用性。
不确定系统中的多目标规划模型及其应用
案例四：企业生产计划制定问题
总结词
企业生产计划制定问题是一个涉及多个产 品、多个车间和多个时间段的多目标规划 问题，目标是最小化生产成本和最大化生 产效率。
详细描述
在企业生产中，如何合理安排生产计划， 以最小化生产成本并确保生产效率是一个 关键问题。多目标规划模型被广泛应用于 企业生产计划的制定中，通过对多个目标 进行权衡和优化，为企业提供更加全面和 准确的决策支持。
02 03
多目标规划的困难
多目标规划的困难在于多个目标之间可能存在冲突，因此需要在不同 目标之间进行权衡和折中。同时，多目标规划通常需要更多的信息和 决策支持来做出决策。
多目标规划的方法
多目标规划的方法包括分层序列法、目标逼近法、交互式方法、有效 前沿法等。
不确定系统中的多目标规划模型构建
01
不确定性和多目标规划的结合：不确定性和多目标规划的结合是解决复杂系统 优化问题的有效方法。通过将不确定性和多目标规划相结合，可以更好地处理 复杂系统的优化问题，提高决策的鲁棒性和适应性。
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THANKS
进一步深入研究不确定系统中 的多目标规划模型，探讨更广 泛的应用领域和实际问题。
将所建立的模型应用于其他领 域，如经济、能源、交通等， 以验证其普适性和有效性。
结合人工智能和机器学习等方 法，研究如何利用数据和算法 优化多目标规划模型，提高其 自适应性和鲁棒性。
针对复杂的多目标优化问题， 研究如何将多目标规划模型与 其他方法相结合，以获得更精 确、更有效的解决方案。
02
多目标规划在管理、工程、经济等领域有广泛的应用，但现有
研究往往忽略不确定性的影响。
不确定性对多目标规划模型的建立和应用有着重要影响，因此
目标函数 决策变量 约束条件
目标函数、决策变量和约束条件详解在优化问题中，目标函数、决策变量和约束条件是三个核心概念，它们都是对问题本质的抽象和描述。
本文将详细解释这三个概念，并通过具体例子来说明其定义、用途和工作方式。
目标函数（Objective function）目标函数是优化问题中的一个数学函数，用于衡量我们希望优化的目标的性能。
它是我们希望最大化或最小化的问题特定指标。
目标函数通常与决策变量有关，其定义方式可以是线性的、非线性的、连续的或离散的。
具体来说，目标函数用数学语言描述了问题的目标，它可以是一个最大化问题（maximization）或一个最小化问题（minimization）。
例如，对于一个最小化问题，我们可以将目标函数记为：Minimize: f(x)其中，f(x)是目标函数，x是决策变量。
目标函数可以是多元的，也就是说它可能涉及多个决策变量。
在这种情况下，目标函数可以写成：Minimize: f(x1, x2, ..., xn)目标函数的输出值被解释为问题的性能指标，通过最小化或最大化目标函数，我们可以找到问题的最优解。
决策变量（Decision variables）决策变量是在优化问题中由决策者（或算法）控制的变量。
它们是问题的解决方案的一部分，通过对这些变量的不同取值进行优化，我们可以找到问题的最优解。
决策变量通常在问题的上下文中具有特定的含义。
例如，在一个物流问题中，决策变量可以是货物的运输路径、运输方式或货物从一个地点到另一个地点的数量等。
为了描述决策变量，我们需要定义其取值范围。
取值范围可以是连续的或离散的，取决于问题的特性和要求。
例如，如果决策变量表示某个物体的长度，可以定义为一个连续变量。
而如果表示某台机器的运行状态，可以定义为一个离散变量。
决策变量通常用符号来表示，在目标函数和约束条件中被引用。
例如，如果我们要优化一个具有两个决策变量的问题，可以记作：Minimize: f(x1, x2)其中，x1和x2就是我们要求解的决策变量。
目标函数的几种类型
目标函数的几种类型目标函数是数学优化问题中的一个重要概念，目的是通过数学表达式来描述优化问题的目标。
目标函数主要分为以下几种类型：1. 线性目标函数线性目标函数是最简单也是最常见的一种目标函数形式，其数学表达式为：f(x) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn其中，x1, x2, ..., xn为决策变量，c1, c2, ..., cn为常数系数。
线性目标函数的优化问题称为线性规划问题，其特点是目标函数和约束条件均为线性。
线性规划问题在供应链管理、运输调度等领域有广泛的应用。
2. 非线性目标函数非线性目标函数是目标函数中存在非线性项的情况，其数学表达式为：f(x) = h(x) + Σ g(x)其中，h(x)为非线性项，g(x)为线性或非线性项。
非线性目标函数的优化问题被称为非线性规划问题。
非线性规划问题在经济学、管理学等领域中常用于描述复杂的现实问题。
3. 凸函数目标函数凸函数目标函数是指目标函数满足凸性质的函数形式。
凸性质是指函数的图像位于函数的上方，即图像上任意两点之间的连线均位于函数图像的上方。
凸函数在优化问题中具有较好的性质，可以保证全局最优解的存在和唯一性，是一类重要的目标函数类型。
4. 二次型目标函数二次型目标函数是一种特殊的非线性目标函数形式，其数学表达式为：f(x) = x^T Ax + b^T x + c其中，x是n维向量，A为一个n×n的矩阵，b和c为常向量。
二次型目标函数在数学建模和最优化问题中应用广泛，例如，在物流领域中可以用于描述最小化运输成本的问题。
5. 目标函数约束目标函数约束是指在目标函数中添加一些约束条件来限制决策变量的取值范围，使其满足一定的约束条件。
例如，可以在目标函数中添加等式约束、不等式约束、非线性约束等。
目标函数约束广泛应用于各个领域的最优化问题中，可以用于调整优化问题的解空间。
综上所述，目标函数具有不同的类型，包括线性目标函数、非线性目标函数、凸函数目标函数、二次型目标函数以及目标函数约束等。
模糊决策的三种方法
模糊决策的三种方法一、引言在实际应用中，我们常常遇到决策问题，而往往情况会变得比较复杂，以至于难以明确地定出一个最优的方案。
此时，我们可以采用模糊决策方法来解决问题。
模糊决策指的是一种将不确定性因素考虑进决策过程的方法，它可以克服传统决策方法中的某些不足之处。
本文将就模糊决策方法的三种基本应用（模糊综合评价、模糊决策树和模糊规划）进行介绍和探讨。
相信本文会对读者更好地掌握模糊决策方法有所帮助。
二、模糊综合评价模糊综合评价是模糊决策中最常用的方法之一，它是一种通过将几个指标综合起来，来评价某对象的方法。
在实际生活中，我们经常遇到需要选择一种方案或产品的情形。
如果我们将每种方案的各项指标都计算出来，再来比较它们，这会非常繁琐，更不用说万一还存在一些没有计算到的指标，那就更加困难了。
如果我们采用模糊综合评价方法，不仅可以将各项指标综合起来，同时还能够考虑到指标之间的相互影响，避免了单纯的加权平均的计算方法的不足之处。
模糊综合评价的主要步骤如下：1. 系统建模：将要评价的对象和各项指标构建成一个评价系统模型。
2. 确定评价指标：如果某些指标的量化方式不明确，我们可以通过专家调查等方法来得出其隶属函数，再利用模糊逻辑中的“隶属度”概念来描述各项指标的程度。
3. 评估各项指标的重要性：各项指标在不同情况下所占的重要性是不同的，需要根据实际情况进行量化处理。
4. 确定评价方法：根据所得到的各项指标的隶属函数，可以选择相应的模糊综合评价方法进行计算。
5. 得出评价结果：通过计算，得出各对象的评价结果，从而进行选择。
三、模糊决策树模糊决策树是一种将决策问题表示成树形结构的方法，它可以有效地处理一些复杂的决策问题。
模糊决策树的核心是将决策树中的各个节点及其分支上的条件都用模糊集合来刻画，这就能够更好地考虑到各种因素的不确定性和可能性。
模糊决策树的建立过程包括以下几个步骤：1. 明确决策目标：决策目标是建立模糊决策树的基础。
具有不确定性的机器学习算法研究与设计
具有不确定性的机器学习算法研究与设计机器学习算法是近年来人工智能领域中热门的研究方向之一。
在机器学习的研究与应用过程中，面临的一个重要挑战是数据中的不确定性。
不确定性是指在实际应用中，由于数据的收集、处理等环节存在的各种误差和不确定因素，导致机器学习算法无法准确预测或分类的情况。
因此，研究和设计具有不确定性的机器学习算法成为了当前的热门话题。
具有不确定性的机器学习算法研究与设计是为了解决现实应用中的实际问题而被提出的。
在现实应用中，数据往往是来自不同的来源和不同的质量，其中包含噪声、缺失值和错误等。
此外，数据的分布和特征也可能因为外部因素的变化而发生变化，导致模型的失效。
因此，如何处理数据中的不确定性成为了具有挑战性的问题。
一种常用的方法是使用概率模型来建模不确定性。
概率模型能够通过统计学方法对数据的不确定性进行建模，并通过概率推断来获得对未知数据的预测。
贝叶斯网络和隐马尔可夫模型等概率模型在这方面被广泛应用。
贝叶斯网络是一种图模型，它通过有向无环图来表示变量之间的依赖关系，并使用条件概率表来描述这些依赖关系。
隐马尔可夫模型是一种时序模型，它通过隐藏状态和可观察状态之间的转移概率和观测概率来描述数据的生成过程。
除了概率模型，还有一些其他的方法可以应对数据的不确定性。
例如，集成学习方法通过同时使用多个基模型，通过集合决策的方式来降低模型的不确定性。
Bagging和Boosting是常用的集成学习方法，它们分别通过对样本进行有放回的重采样和基于样本权重的重采样来构建多个基模型。
另外，核方法和非参数方法也可以用来处理数据的不确定性，通过在高维特征空间中找到最佳的超平面或者通过对样本的局部区域进行建模来提高模型的鲁棒性。
机器学习算法中还存在一种特殊情况的不确定性，即模型的输出不确定性。
例如，在分类问题中，模型可能在多个类别上输出相似的概率分布，这时难以确定最终的分类结果。
为了解决这个问题，可以使用置信度或概率阈值来进行决策，或者通过计算模型的不确定性估计来辅助决策。
多目标模糊优化方法
多目标模糊优化方法1.引言1.1 概述在多目标优化问题中，传统的单目标优化方法无法满足需求。
因此，多目标模糊优化方法应运而生。
多目标模糊优化方法可以有效地处理多个目标函数之间的冲突和矛盾，为决策者提供一系列的非劣解，使其能够根据自己的偏好和需求进行最佳选择。
针对多目标优化问题，传统的优化方法需要将多个目标函数融合成为一个单一的目标函数，从而进行求解。
然而，这种方法容易丢失目标函数之间的权衡关系，无法全面考虑多个目标之间的平衡与矛盾。
相比之下，多目标模糊优化方法能够维持多个目标函数的独立性，通过使用模糊理论对目标的模糊性进行建模和描述，从而更好地处理多目标优化问题。
模糊优化方法是一种在不确定和模糊环境下进行决策和优化的方法。
这种方法能够考虑到现实问题中各种不确定性的存在，如参数的模糊性、目标函数的不确定性等。
通过引入模糊集合和隶属度函数，模糊优化方法能够将问题的模糊性表示出来，并通过模糊推理和模糊优化算法进行求解。
在多目标模糊优化方法中，模糊集合用于表示目标函数的隶属度，并通过各目标函数之间的权重来表示其重要性。
通过对模糊集合的操作和模糊推理的过程，可以得到一系列模糊解，这些解对应于不同的权重组合。
然后，根据这些模糊解的隶属度进行排序，得到一组非劣解，供决策者选择。
多目标模糊优化方法在实际问题中具有广泛的应用价值。
它能够帮助决策者充分考虑多个目标的需求，并提供一系列潜在的解决方案供其选择。
此外，多目标模糊优化方法还能够处理问题中的不确定性和模糊性，使得决策更加准确和灵活。
本文将对多目标模糊优化方法进行详细的介绍和分析，并探讨其在实际问题中的优势和局限性。
最后，将展望未来相关研究的方向，以期进一步推动多目标模糊优化方法在实际应用中的发展和应用。
1.2文章结构1.2 文章结构本文按照以下结构组织和呈现多目标模糊优化方法的相关内容：第一部分为引言部分，旨在给读者提供对多目标模糊优化方法的概述和背景信息。
考虑灵敏度区域的多目标鲁棒性优化算法
考虑灵敏度区域的多目标鲁棒性优化算法杨爱民;李杰;刘卫星;张良进;闫龙格【摘要】随机变量导致工程问题具有不确定性。
设计者希望设计方案不仅能满足目标性能最优,而且希望目标性能受不确定性的影响在可接受范围之内。
对此,本文提出了考虑灵敏度区域的多目标鲁棒性优化方法(multi-objective robust optimization based on sensitivity region, SR–MORO)。
SR–MORO可以用来解决设计变量存在不确定性时目标鲁棒性优化设计问题。
该方法假定不确定性变量属于区间变量,并不需要知道随机变量的概率分布。
SR–MORO采用非梯度优化方法,所以,它可以解决目标函数和约束条件不连续的情况。
当参数变化幅度大,超过目标函数线性变化范围,该方法也同样适用。
最后,通过实例验证了本方法的适用性。
%Engineering design problems are usually uncertain because of the random variables. Designers want to design scheme to meet the goal of not only the best performance, but also want to target performance is affected by the uncertainty within the acceptable range. To solve this problem, we propose a multi-objective robust optimization method considering sensitivity region (multi-objective robust optimization based on sensitive region, SR–MORO). SR–MORO can be used to solve optimization design problem involving uncertainty design variables. This method assumes that the uncertainty variables belong to the interval variables, so it does not need to know the probability distribution of random variables. Non-gradient optimization method is used to solve the robust optimization problem, so that the approach is applicable for cases that have discontinuous objective and constraint functions with respect touncontrollable parameters. When the parameters changed much over the linear range of the objective function, the method is also applicable. Finally, the applicability is also verified by an example.【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2016(033)002【总页数】7页(P205-211)【关键词】灵敏度;多目标鲁棒性;鲁棒性指数;区间变量;最坏情况【作者】杨爱民;李杰;刘卫星;张良进;闫龙格【作者单位】华北理工大学数据科学及应用河北省重点实验室，河北唐山063009;华北理工大学冶金与能源学院教育部现代冶金技术重点实验室，河北唐山063009;华北理工大学继续教育学院，河北唐山063009;华北理工大学冶金与能源学院教育部现代冶金技术重点实验室，河北唐山063009;华北理工大学冶金与能源学院教育部现代冶金技术重点实验室，河北唐山063009【正文语种】中文【中图分类】V421.1工程设计问题，设计变量往往具有随机性.这些随机变量的存在能使得优化目标性能恶化，甚至使得优化方案变为不可行解.国内外学者相继提出了一些鲁棒性设计方法以期望寻找到对目标函数敏感性低的优化方案.这些方法主要分为两类：确定性鲁棒优化方法和随机性鲁棒优化方法.确定性鲁棒优化方法是通过参数的梯度信息获得鲁棒性优化设计结果［1-5］.如文献［3］根据响应对不确定性量的敏感程度使用基于Taylor展开的区间分析方法和配点型区间分析方法评估结构响应的上界和下界.文献［4］基于隐含不确定性传播的鲁棒协同优化中通过系统级中加入全局灵敏度附加项约束保证目标解的鲁棒性.这种方法要求目标函数和约束条件对随机参数可导，其中的一些方法还需要假设目标函数和约束条件在设计点附件对于随机变量是线性关系［5］.随机方法利用参数的概率分布信息（通常是方差和均值）解决鲁棒性设计问［6-11］.如文献［10］针对多目标非线性优化问题，考虑了设计变量的均值和方差对目标函数、约束函数的影响提出了一种可靠性鲁棒性优化设计方法.文献［11］推导求得AUV各参数均值和方差的可靠度灵敏度，选择灵敏度较小的参数作为确定性变量，并对AUV 全动舵进行可靠性优化设计.然而，随机变量的真实概率分布往往难以获得，假设得到的概率分布可能与实际相悖.为了克服上述一缺点，Gunawan等［12-14］利用非梯度参数灵敏度估计提出了一种确定性鲁棒多目标优化方法，该方法可以用来解决目标函数和约束条件对随机变量不可微的情形，同时不需要事先知道随机变量的概率分布.然而，如果目标函数和约束条件对于随机变量不连续，该方法通常不能获得很好的结果.基于以上分析，本文在Gunawan方法的基础上提出了一种基于灵敏度区域的多目标鲁棒性优化方法（multi-objective robust optimization based on sensitivity region，SR-MORO）.SR-MORO通过设计决策者定义不确定性变量的灵敏度区域，然后，随机变量向目标函数灵敏度区域映射获得可能性变动区域，通过可接受变动区域与可能性变动区域面积进行比较，判断设计方案的目标鲁棒性.该方法可以用来解决设计变量存在随机参数时目标函数不连续的鲁棒性优化问题.含有随机参数的多目标优化问题的数学描述为式（1）中：［f1（x，p0），f2（x，p0），···，fm（x，p0）］表示目标函数，x=［x1，x2，···，xN］表示确定性设计变量，p=［p1，p2，···，pG］表示随机参数.gj（x，p）表示约束条件.Gunawan方法［12-14］的思想是：设计点x0处目标可接受变动区域（acceptable objective variation region，AOVR）（图1（a）所示）反射到随机参数p的取值空间，形成参数敏感性区域（parameter sensitivity region，PSR）（图1（b）所示），PSR的大小代表着随机参数不确定性变化范围，若PSR完全包含x0处的参数变化区间，则x0具有目标鲁棒性.Gunawan采用最坏可能参数灵敏性区域（worst-case parameter sensitivity region，WCPSR）来代替PSR的计算.WCPSR是PSR内的超球空间，其半径是PSR内距离原点最近的点，如图1（b）所示.图1 （b）中，Rf是WCPSR的半径，RE是参数可接受变化区域的半径.容许区域（tolerance region）表明随机参数不确定性变化区域.Gunawan定义目标鲁棒性指数ηf=Rf/RE，如果ηf≥1，表明WCPSR包含随机参数p的可接受变化区域，既表示优化解具有目标鲁棒性.其优化问题如式（2）和（3）所示.式（2）中的Rf通过求解式（3）优化问题得到：式（3）中Δf0，m表示第m个目标的可接受变动区域AOVR的大小.式（3）表明最坏可能情况下PSR内距离原点最近的点与原点的距离.然而，Gunawan的方法并不能解决目标函数不连续时的多目标鲁棒性优化问题. 首先，Gunawan的方法鲁棒性优化标准要求PSR区域包含容许区域，要求AOVR边界上的点映射到PSR区域边界.例如，AOVR边界上的点可能映射到PSR 区域内部.图1展示了这一现象：B点可能映射到B1也可能映射到B2，正确的WCPSR的区域的半径应该是原点到B1的距离，而按照式（3）则认定WCPSR 的区域的半径为原点到B2的距离.因此，WCPSR的区域错误的变小.这样将会造成两个后果：解实际上满足鲁棒性要求但被认定为不满足，鲁棒性门槛值过于严格.这样优化结果劣于真实优化结果.另一方面，如果函数不连续，则PSR区域则可能不连续或者有空洞，如图2所示.如果O1为原点，则按照式（3）则认定WCPSR的区域的半径为原点到B2的距离，则设计点x0具有鲁棒性.如果原点在O2点，则按照式（3）则认定WCPSR的区域的半径为原点到B1的距离，则设计点x0也具有鲁棒性.实际上，这两种情况下设计点x0并不具有鲁棒性，因为容许区域完全在PSR区域之外.综上可得出，Gunawan的方法应用在不连续函数优化问题上，将可能存在上述两个缺点：优化解劣于真实化解或优化解不具有鲁棒性.非鲁棒性解可以通过对设计进行方案仿真排除，但优化解劣于真实化解的问题很难解决.因此，本文在Gunawan方法的基础上通过对随机参数可接受区间向目标函数灵敏性区间映射提出了一种新的目标函数鲁棒性评价指标.3.1 目标鲁棒性的评价（Evaluation of objective robust）文中的鲁棒性策略是通过将随机参数区间映射到目标函数区间，通过定义鲁棒性指数为映射区间的最坏可能性区域与容许区域的比值来描述鲁棒性程度.设计者可以设定设计鲁棒性门槛值，当门槛值为1时，表示设计点具有鲁棒性.若想提高目标性能，可以设置门槛值大于1，但此时并不能保证所有设计方案均满足鲁棒性要求. 在设计点x0处随机参数p的变化对目标函数的影响可以通过将Δp向Δf映射实现.这个区域称之为目标敏感性区域（objective sensitivity region，OSR）.式（4）定义了Δp向Δf映射关系.图3展示了两个随机参数向两个目标函数映射的示意.阴影部分面积表示目标敏感性区域OSR.应该注意到OSR可能不连续、不对称.如果AOVR包含目标敏感性区域OSR，则设计点具有鲁棒性；反之，则不具备.然而，确定包含关系和定量描述鲁棒性十分困难，为了克服这个困难，采用最坏情况下的目标敏感性区域OSR与AOVR的比值来描述目标函数鲁棒性指数.为了计算目标函数鲁棒性指数，需要知道AOVR，OSR的大小，及沿着OSR对参数变化敏感的目标函数方向.文中用矢量距离R来描述OSR中离原点最远的距离，如图3所示.然而，在AOVR区间计算R是困难的，因为不同目标函数单位不可比较.因此，需要按照式（5）对各目标归一化处理：在下文中为了描述方便，用Δfm表示目标函数归一化后的值.归一化后的AOVR是一个超立方空间.其内切圆半径R=1，是AOVR最坏估计.图4所示为2目标问题标准化的AOVR.文中对OSR的最坏可能估计半径为Rfnew，如图5所示.其中，在角标上加上New以示与Gunawan的定义区别.定义Rfnew为最坏敏度区域WCOSR的半径.多维情况下，WCOSR将是一个超球区域.由图5所示，定义目标函数鲁棒性指数：ηfnew=Rfnew/RI，因为RI=1，所以有ηfnew=Rfnew.当ηfnew≤1表明设计方案具有目标鲁棒性.考虑到目标函数fm（x0，p0）不可导，可接受区域必须完全覆盖目标函数可能区域，在优化时直接计算每个设计方案处的OSR，将会带来巨大的计算成本.为解决这个问题，通过优化方法来计算Rfnew，优化模型如式（6）所示，表达式中的参数均已归一化处理.上述优化问题中Δp是G维随机变量p的可能变化区间，Δfm随着Δp的变化而变化.在归一化后的Δfm空间，上述优化问题的解即是WCOSR的半径ηfnew.在3.2节中将介绍如何利用ηfnew求解式（1）获得鲁棒解.3.2 基于灵敏度区域的多目标鲁棒性优化求解（Solving of multi-objective robust optimization con-sidering sensitivity region）MORO问题的目标是希望求得目标最优的解的同时，优化解满足鲁棒性要求：即随机参数的变化使得目标值依旧在可接受目标函数值变动区域内.本文的方法是通过设定鲁棒性指数门槛值η0，f，使得优化解满足鲁棒性要求.这样，MORO问题描述为式（7）中，ηfnew通过优化求解式（6）得到.η0，f=1将保证设计具有鲁棒性.设置η0，f＜1时，可以考虑由于目标函数计算误差或容许区域计算误差，但这是以牺牲目标函数为代价.设置η0，f＞1，可以提高目标函数的性能，但可能优化解不在容许区域内.式（7）涉及到双层优化问题.外层优化问题是最小化fm（x，p），设计变量是x，内层优化问题是最大化Rfnew，设计变量为Δp.图6展示了这个优化过程.外部优化产生x0，x0满足约束条件gj（x，p）≤0，将x0传递到内部优化，寻找Rfnew，将Rfnew反传给外部优化问题以检验鲁棒性约束条件是否满足.考虑到OSR不连续可能造成内外部优化问题目标函数不可导，内部优化问题采用GA算法，外部多目标优化问题采用MOGA算法［15-16］，约束处理方法参考文献［17］.应该注意，本文的目的并不是同时优化（x，p），而是在外部优化问题给定的x0条件下，获取鲁棒性优良的解.考虑上述优化问题的计算效率.若假定外层优化问题的函数评价次数为N次，内层优化问题的函数评价次数为M，则总的优化问题函数评价次数为N乘以M次.4.1 数学算例（Mathematics example）数学问题的例子修改于文献［14］，如式（8）所示.原优化问题是一个两目标优化问题，含有30个设计变量，且目标函数f1相对于设计变量x1是连续函数.为了将文中方法与Gunawan的方法进行比较，我们改变目标函数f1使其相对于设计变量x1不连续.同时，为了简化分析，仅使用3个设计变量.假定设计者给定的随机变量可接受变动区域Δx =［Δx1，Δx2，Δx3］=［0.01，0.01，0.01］，目标函数的可接受变动区域Δf=［Δf0，1，Δf0，2］=［0.017，0.1］.门槛值η0=1.称直接求解式（8）的多目标优化问题为标准多目标优化解，同样，使用Gunawan的方法和文中提出的SR-MORO求解式（8）问题.算法采用MOGA和GA.优化结果如图7所示.由图7所示，对于存在不连续的目标函数情况，文中提出的SR-MORO方法较Gunawan的方法优势明显.SR-MORO所求得到的优化解逼近标准多目标优化的Pareto前沿，然而，Gunawan的方法因为f1取值过小远离标准多目标优化获得的Pareto前沿.这说明Gunawan的方法并不能很好的处理目标函数不连续的优化问题.为了详细比较文中方法和Gunawan的方法，我们在图8中将f1轴扩展.如果将Δf0，1由0.017降低至0.016，SR-MORO方法较Gunawan的方法优越性将更加明显，如图9所示.如果设置Δf=［Δf0，1，Δf0，2］=［0.014，0.12］，Gunawan的方法将无法获得鲁棒性解，而SR-MORO方法可以获得鲁棒性解，如图10所示.这个例子表明，当目标函数不连续时，Gunawan的方法应用有一定的限制性，Gunawan的方法获得的Pareto前沿与标准Pareto前沿差别较大，SR-MORO 获得了逼近标准Pareto前沿的多目标解集.当改变目标函数容许区域时，Gunawan的方法或者无法获得鲁棒性解，或者获得的Pareto前沿不真实.4.2 工程算例（Engineering example）通过两桁架工程优化问题［18］将文中提出的SRMORO方法和Gunawan的方法进行比较.两桁架工程优化问题如式（9）所示，更详细的问题描述可参阅文献［18］.由式（9）可以看出，该优化问题含有3个设计变量、两个目标函数、3个约束条件.其中，3个设计变量都属于随机变量.用Δx表示随机变量容许区域.设计变量的容许区域Δx=［Δx1，Δx2，Δx3］=［0.000125，0.000125，0.075］，目标函数的容许区域为Δf=［Δf0，1，Δf0，2］=［1，1］.我们称直接求解式（9）的多目标优化问题为标准多目标优化解，同样，本文使用Gunawan的方法和文中性能鲁棒性方法求解式（9）问题.算法采用MOGA和GA，优化结果如图11所示. 由图11可以看出，Gunawan的方法和SR-MORO方法所求的Pareto解集与标准方法获得的Pareto解集接近.比较Gunawan的方法和SR-MORO方法结果，如12所示，可以得出本文提出的SR-MORO方法解的结果优于Gunawan的方法.本文提出了一种新的基于灵敏度区域的多目标鲁棒性优化方法（SR-MORO）.SR-MORO具有如下特点：1）SR-MORO适用于随机变量概率分布未知的情况，只需知道随机变量变化的上下界.2）SR-MORO可以解决目标函数和约束条件不连续的优化问题.3）SR-MORO适用于随机变量变化幅度大，超过目标函数线性变化范围的不确定性优化问题.通过一个含有不连续目标函数的多目标优化测试算例和一个两桁架工程优化问题与Gunawan的方法进行比较，说明了本文方法的优越性.应该注意灵敏性区域可能不连续，甚至为任何形状（含有空洞等），直接计算灵敏性区域很困难.SRMORO通过最坏可能性情况估计灵敏性区域，将求解WCOSR 转换为求解一个优化问题.带来了两方面的问题：1）最坏情况下的灵敏度区域来估算实际灵敏度区域计算的结果偏于保守，可能把本来具有鲁棒性的解认为是非鲁棒性解排除在外.2）整个优化问题变成一个内外双层优化问题.求解这种优化双层结构将带来计算成本的增加.如何降低将鲁棒性解认定为非鲁棒性解排除在外的可能性及降低SR-MORO的计算成本将是下一步研究的问题.杨爱民（1978-），男，副教授，博士，硕士生导师，目前研究方向为优化算法的设计、分数阶控制，E-mail：*****************；李杰（1982-），男，高级实验师，博士，目前研究方向为冶金建模、冶金节能与资源综合利用，E-mail：*********************；刘卫星（1985-），男，讲师，硕士，目前研究方向为冶金建模、冶金节能与资源综合利用，E-mail：*****************；张良进（1990-），男，硕士研究生，目前研究方向为冶金固体废弃物的综合利用，E-mail：*********************；闫龙格（1989-），男，硕士研究生，目前研究方向为冶金节能与资源优化，E-mail：******************.【相关文献】［1］BU Xuhui，HOU Zhongsheng，JIN Shangtai.The robustness of mode-free adaptive control with disturb-ance suppression［J］.Control Theory&Applications，2011，28（3）：358-362.（卜旭辉，侯忠生，金尚泰.扰动抑制无模型自适应控制的鲁棒性分析［J］.控制理论与应用，2011，28（3）：358-362.）［2］ZHANGChijian，LIYang，CHENWanli，etal.Analysis ofrobustness of FCS structure based on quotient space theory［J］.Control Theory &Applications，2006，23（5）：833-837.（张持健，李旸，陈万里，等.商空间下模糊系统性能一致性（鲁棒性）分析［J］.控制理论与应用，2006，23（5）：833-837.）［3］QI Wuchao，QIU 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标准目标函数
标准目标函数目标函数是运筹学中的一个概念，用于描述问题的最优目标。
在数学中，目标函数是一个关于变量的函数，它定义了问题的目标和评价标准。
标准目标函数是一个具有一定形式的目标函数，常用于优化问题的求解和决策制定。
标准目标函数通常包括三个基本要素：决策变量、目标函数值和约束条件。
决策变量是指某个问题中可以自由选择的变量，目标函数值是决策变量的函数输出值，约束条件是问题中对决策变量的限制条件。
标准目标函数通常具有以下形式：min f(x)，表示要求解的问题是最小化目标函数 f(x) 。
其中，min 表示最小化，f(x) 是目标函数，x 是决策变量。
标准目标函数也可以是最大化问题。
标准目标函数一般具有以下的特点：1. 线性函数：标准目标函数通常是线性函数，即目标函数 f(x) 是决策变量 x 的线性组合。
2. 凸函数：标准目标函数通常是凸函数，即它的图像在定义域上的任意两点之间的弦都位于函数图像的下方。
3. 优化：标准目标函数的目标是优化问题，即寻找使目标函数取得最小值或最大值的决策变量值。
标准目标函数在实际问题中有着广泛的应用，例如在生产调度问题中，我们可以将产量、成本和资源利用率等指标转化为标准目标函数，通过求解该函数找到最优的生产调度方案；在投资组合问题中，我们可以将风险、收益和流动性等指标转化为标准目标函数，从而找到最佳的投资组合。
标准目标函数的求解通常利用数学优化方法，如线性规划、非线性规划和整数规划等。
通过构建目标函数和约束条件，确定优化问题的数学模型，并采用适当的算法求解最优解。
总之，标准目标函数是运筹学中描述和求解问题最优目标的数学表达方式。
它能够将实际问题中的多个指标综合成一个目标函数，通过优化算法找到最优的决策变量取值，从而实现在有限资源和约束条件下取得最优结果的目标。
标准目标函数的运用在实际问题中有着广泛的应用，并且为各种决策问题提供了科学的决策依据。
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AN OPTIMIZATION APPROACH FOR PROCESS ENGINEERING PROBLEMS UNDER UNCERTAINTY
1. Mathematical formulation
基于不确定性变量的分类和设计目标函数的形式，不确定性参数θ 可以分为决定性的不确定性参数 (deterministic) d θ，和随机性的不确定性参数 (stochastic) s θ ，设计问题表达如下：
上式中T 表示参数集合，)(s J θ 是概率分布函数。
在参数集合T 中，决定性的不确定性参数d θ 可以进一步表示成多周期或多情境的形式 (periods/scenarios), P p p ,...,1,=。
因此原问题转化为如下多周期问题：
上式中p w 表示周期p 的权重因子。
随机性的不确定性参数s θ 将出现在两级随机规划的表达当中。
因此原问题可以进一步转化为如下形式：
上式描述了一个两级的设计策略，当第一级的设计变量被确定后，第二级的设计目标就是确定一组最优的控制变量 p z ，相对应于每一种可能出现的不确定性参数情况 d θ 和s θ。
上式的数学结构可以用如下的块三角的图型表示，从中可以看出设计变量 d 和不确定性参数 s θ是出现在第一级的变量。
这种数学结构可以用特殊的分解算法来求解。
求解过程首先将设计变量 d 固定在 d ，解如下可行子问题：
θ离散为有限个积分以上可行子问题的求解结果将随机性的不确定性参数
s
θ，因此优化问题的数学结构转化为下图的形式：
点q
s
上图表明，原优化问题可以分解为多个子问题，然后单独求解，优化子问题的表达式如下：
求优化子问题的期望值，将结果设为原问题的下边界：
利用求解可行子问题和优化子问题得到的对偶信息，构造如下优化主问题，该问题的解当作原问题的上边界，同时可以更新设计变量d的值。
经过以上方式的循环迭代，上下边界最终收敛到一个值，该值即为原优化问题的解。