无穷限反常积分的审敛法
反常积分判敛法
1 3 3 ( ) 1 3 ( 1 1) 1 3 1 ( 1 ) 3 . 8 2 2 8 2 2 8 2 2 2 32
20
6.2
反常积分判敛法
（2）
1
xe
x2 2 x
dx
( x ) e t t x 1 dt
∴ I2
1
e t t x 1dt 收敛。
故反常积分 0 e t t x 1dt ，当 x 0 时收敛；当 x 0 时发散。
16
6.2
反常积分判敛法
三、Γ函数
1. 函数的定义
函数 ( x )
0
et t x 1 dt ， x (0,) 称为 Gamma 函数。
0
1
t x 1
dt ， I 2
1
e t t x 1dt ，
先讨论 I1 的敛散性。
①当 x 1 时， I1 是常义积分，收敛的；
15
6.2
反常积分判敛法
1 x t x 1 t t 0) e t lim e 1， ∵ lim( t 0 t 0
②当 0 x 1 时，有 q 1 x 1, l 1,
∴ I1 e t t x 1 dt 收敛。
0
1 0
1
③ x 0 时，有 q 1 x 1 l 1,∴ I1 e t t x 1 dt 发散。
再讨论 I 2 的敛散性。 x 1 t ∵ lim t 2 e t t x 1 lim t 0 ，( p 2 1, l 0) t t e
b a
b
g( x )dx 收敛时， f ( x )dx 也收敛；
同济高等数学第六版-D5_5反常积分审敛法
满足
limxpf(x)l
x
则有: 1) 当 p1,0l 时af(x)dx收敛 ;
2) 当 p1,0l 时af(x)dx发散 .
证: 1) 当p1时, 根据极限定义, 对取定的 0,当 x 充
分大时, 必有 xpf(x)l, 即
0
f
(x)
M xp
2) 当 q1,0l 时,abf(x)dx发散 .
例5. 判别反常积分 13ldnxx的敛散性 .
解: 此处 x1为瑕,利点 用洛必达法则得
lim(x1) 1 lim 1 1
x1
lnx
x 1
1 x
根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .
定理4 目录 上页 下页 返回 结束
(M l)
可见 af(x)dx收敛 ;
目录 上页 下页 返回 结束
2) 当p1时,可取 0,使 l0,(l 时用任意
数 N代l替 ),必有
xpf(x)l
即
f
(x)
l
xp
N x
(Nl)
可见 af(x)dx发散 .
注意: xl im xpf(x)xl im f(1x) 此极限的大小刻画了
1 3 x4
1
4
x3
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .
思考题:
讨论反常积分
13
1 dx x3 1
的收敛性
.
提示: 当 x≥1 时, 利用
1 1 1 3x31 3(x1)3 x1
可知原积分发散 .
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定理4. (极限审敛法1) 若 f( x ) C [ a , ) ,且 f( x ) 0 ,
无穷限反常积分敛散性及审敛法则(教案)教程文件
无穷限反常积分敛散性及审敛法则一、教学目标分析在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。
让学生反常积分在一些实际问题中的应运。
二、学情/ 学习者特征分析学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。
但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。
由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。
三、学习内容分析1. 本节的作用和地位通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。
例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。
2．本节主要内容1. 无穷限反常积分的定义与计算方法2. 无穷限反常积分的性质3. 无穷限反常积分的比较审敛法则4. 条件收敛与绝对收敛3.重点难点分析教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则；教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。
4.课时要求：2 课时四、教学理念学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。
五、教学策略在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。
U2 5a f(x)dx a f(x)dxU2uif (x)dx六.教学环境网络环境下的多媒体教室与课堂互动。
七、教学过程一、无穷限反常积分的定义定义1设函数/定义在无穷区间存在极限［a,)上，且在任何有限区间［a,u］上可积.如果则称此极限J为函数ff (x)dx ,并称af (x)dx 发散.类似地，可定义f在(limuua f(x)dxJ在［a,)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作uf(x)dx收敛.如果极限Jim a f(x)dx J不存在，亦称,b ］上的无穷积分: b bf (x)dx lim f (x)dx.u u)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：af (x)dx f (x)dxaf (x)dx,其中a为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.注: f (x)dx收敛的几何意义是：若f在［a,］上为非负连续函数，则介于曲线f (x)，直线x a以及x轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J .dx 例1讨论无穷积分1) 一., 2)0 1 x , 3) 2xe x dx.的收敛性.例2讨论下列无穷积分的收敛性：1) 1dx了，2)2dx ; x(lnx)p'、无穷积分的性质由定义知道，无穷积分f(x)dx收敛与否，取决于积分上限函数F(u)au 时是否存在极限•因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则. ua f (x)dx 在定理11.1无穷积分一f (x)dx收敛的充要条件是：任给>0,存在G> a ,只要U i,U2 G，便有此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质.k 1 f 1(x) k 2f 2(x)dx 也收敛，定理11.2 (比较法则)设定义在［a,)上的两个函数f 和g 都在任何有限区间［a,u ］性质1 若afMxjdx 与 f 2(x)dx 都收敛，k ! , k 2为任意常数，则k 1f 1(x) k 2 f 2 (x) dx k 1h(x)dx k 2f 2(x)dx .a必收敛, 质2若f 在任何有限区间［a,u )上可积，且有af (x) dx 收敛，则f(x)dx 亦并有f(x)dxf (x) dx •证：af (x) dx 由收敛, 根据柯西准则(必要性)，任给 0 ,存在u 2 5 G 时，总有不等式，又有再由柯西准则 又因U2uif (x) dxU 2uif(x)dx(充分性)，证得uf (x)dxaU 2 f (x)d^U2U lf (x)dx 收敛f (x)dx ，令 uU lf (x) dx .利用定积分的绝对值取极限，立刻得到不等式f (x)dx 收敛时，称a f (x)dx 为绝对收敛.性质3指出：绝对收敛的无穷积分,它自身也一定收敛.但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛.性质3若f 在任何有限区间［a,u ］上可积，a b ，则af (x)dx 与 © f (x)dx 同敛 b态(即同时收敛或同时发散)，且有f (x)dx = f (x)dx +aabf (x)dx ,性质2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出 f (x)dx 收敛的另一充要条件：任给 >0，存在G 0，当u >G 时，总有f(x)dx事实上，这可由uf (x)dx f (x)dxauf (x)dx 结合无穷积分的收敛定义而得.三、比较判别法u首先给出无穷积分的绝对收敛判别法. 由于af (x) dx 关于上限u 是单调递增的，因此a判别法:f (x) dx 收敛的充要条件是f(x) dx 存在上界•根据这一分析，便立即导出下述比较f(x) g(x),x [a,),(i)当 p 1,0 时， f (x)dx 收敛;a推论3若f 和g 都在任何［a,u )上可积，g(x) 0,且limxg(x)(i) 当0 c 时，由 g(x)dx 收敛可推知 f (x) dx 也收敛；aa(ii)当0 c 时，由g(x)dx 发散可推知 f(x)dx 也发散.aa四、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法.u定理11.3 (狄利克雷判别法)若F(u) f(x)dx 在［a,)上有界，g(x)在［a,)a无穷积分f (x) g( x) dx 收敛.a上当x 时单调趋于0，则无穷积分f(x)g(x)dx 收敛.a定理 11.4 (阿贝尔(Abel)判别法)若a)上单调有界，则上可积，且满足则当a g (x)dx 收敛时a f (x) dx 必收敛(或当 解：由于f (x)dx 发散时，a g(x)dx 必发散).sin x 1 x 21 1 x 2,x ［0,］，而舟2为收敛，故o 晋dx为绝对收敛. dx密作为比较对象Paxa当选用1g(x)dx 时，比较判别法有如下两个推论 (称为柯西判别法).(i)当 f(x) 1 r p ,x [a, x p )，且 p1时， af (x)dx 收敛；(ii)当f(x)1p,x [a, x)且p 1时，af (x)dx 发散.推论 2设定义于［a,),在任何有限区间[a,.u ]上可积，且 lim x p f (x)有：.则(ii)当 P 1,0时,a f (x)dx 发散.C,则有f (x)dx 收敛，g(x)在[a,ax 的收敛性.例3讨论o推论 ］(a 0)，且在任何有限区间［a,u ］上可积，则有:1设f 定义于［a.用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法.例5讨论1弓知与1罟dx(p0)的收敛性.解：这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论.下面分两种情形来讨论:xs^4dx 1 1s "t 2dt ，它也是条件收敛的.从例6中三个无穷积分的收敛性可以时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛.八、学习评价本节成功向学生讲解了两种定积分的推广即反常积分，尤其对无穷反常积 分进行介绍，并对其敛散性及审敛性附带介绍。
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五节* 反常积分的审敛法 函数
二、无界函数的反常积分的审敛法
第五节* 反常积分的审敛法 函数
由上节
当
例6 证明知反，常反积常分积分b
q
1
时发散b .
a(
x
dx a)q
a
,
(
x
dx a)
q
当 0< q <1 时收敛
当 0< q <1证时明收敛当，当q =q1时1 ，时发散. 于是有下面两个
b
f (x)dx 发散.
a
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理7(极限审敛法2) 设函数 f (x) 在区间(a , b] 上
连续，且 f (x) 0，x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 0 < q < 1，使得 lim (x a)q f (x) xa
连续，且 f (x) 0 , x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 M > 0 及 q < 1，使得
f
(x)
(x
M a)q
(a x b) ,
则反常积分 b f (x)dx 收敛；
a
(2) 如果存在常数 N > 0 ，使得 f (x)
N
(a x b) ,
xa
则反常积分
aa
gg
((
xx))ddxx
收收敛敛，，则则
aa
gg
((
xx))ddxx
发发散散，，则则
证明
设 0< t < +，由 0 g (x) f (x) 及
g ( x)dx
a
收敛，得
t
t
反常积分的审敛法
例１ 判别反常积分 ∫ 1
+∞
dx
3
x4 + 1
的收敛性 .
解 ∵当 x ∈ [1,+∞ ) 时 ,
0<
1
3
<
+∞ 1
1
3
x +1
3
4
4 = , p = > 1, 4 3 x4 / 3 x
1
收敛.
∴ 反常积分 ∫
dx x4 + 1
（比较审敛法１）
定理 4 ( 极限审敛法１) 设函数 f ( x ) 在区间 [a ,+∞ ) (a > 0) 上连续，且 f ( x ) ≥ 0. 如果存在常数 p > 1，使得 lim x p f ( x ) 存在，
判别反常积分
∫
3
1
dx 的收敛性 . ln x
1 ∵ lim = + ∞ ∴ x = 1是瑕点 x →1+ lnx
1 x −1 lim ( x − 1) = lim + x →1 x →1+ ln x ln x
0 ( )型 0
= lim +
x →1
= 1 > 0, 3 dx ∴ 反常积分 ∫ 发散 . (极限审敛法2) 1 ln x
１．递推公式 Γ( s + 1) = sΓ( s ) ( s > 0).
证明 Γ( s + 1) =
+∞ −x s 0
∫
+∞
0
e x
+∞ 0 +∞
−x
( s + 1 ) −1
dx
−x
= ∫ e x dx = ∫ = [ x ( −e )]
无界函数反常积分的审敛法
的反常积分中来 .
利用
b
a (
x
1 a)
q
dx
收敛 , 发散 ,
q 1 q 1
有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法.
定理6. (比较审敛法 2)
瑕点 , 使对一切充分接近 a 的 x ( x > a) .
q 1,
有
f
(
x)
(
x
M a)q
有 f (x) N xa
定理3
定理7. (极限审敛法2)
x
收敛
,
称为绝对收敛
.
例7. 判别反常积分
的收敛性 .
解:
此处 x 0 为瑕点, 因 lim
x
1 4
ln
x
0
,故对充分小
1
x0
的 x, 有 x4 ln x 1, 从而
1
ln x x
x4 ln x
1
x4
1
1
x4
据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .
解: 此处 x 1为瑕点, 由于
1
(x 1)2
1
(1 x2 )(1 k 2x2 )
lim
1
1
x1 (1 x)(1 k 2x2 ) 2(1 k 2 )
根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 .
定理4
类似定理5, 有下列结论:
若反常积分
b
a
f
(x) d x
(a为瑕点)收敛 , 则反常积分
b
a
f
( x) d
lim (x a)q f (x) l
x
则有: 1) 当
2) 当
例5.
判别反常积分
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则
a
f ( x)dx 收 敛 ；
x
如 果limxf ( x) d 0 (或 limxf ( x) ), 则
x
af ( x)dx 发Fra bibliotek散 ．
证明
dx 的收敛性 . 例２ 判别反常积分 2 1 x1 x 1 2 解 lim x 1 , p21 2 x x1 x
F (x )在 [a , )上是单调增加的 .
F (x ) 在 [ a , ) 上有上界
lim F (x ) 存在 （极限的存在准则）
x x
即 lim 存在 f(t)dt
x a
收敛 f(x)dx
a
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f(x ) dx 发散 a 1 特别地，取 g( x ) p ，即得下面的 x
网络课件 教学设计 多媒 比较审敛法. 程序设计体课件 PPT文档
定理 3 (比较审敛法１ ) 设函数 f ( x) 在区间 [a, ) (a 0) 上连续，且 f ( x) 0. 如果存在常数 M 0 及 p 1 ，使得
arctan x 例４ 判 别 反 常积 dx 分 的收 . 敛性 1 x arctan x x lim arctan x 解 lim 0 x x x 2
定理 2 ( 比较审敛原 ) 理 设函数 f (x)、 g(x) 在 区 间 [a, )上 连 续 、 非 , 负
如果 f (x) g(x),(a x ),并 且 a g(x)dx收 敛 ， 则a f (x)dx也 收 敛 ； 如 f( 果 x) g(x),(a x ), 并且 则 f (x)dx也 发 散 . a g(x)dx发 散 ， a
反常积分极限审敛法
反常积分极限审敛法反常积分极限审敛法（IntegralLimitComparisonTest）是一种常用的数学分析方法，可以用来判断一个无穷级数的收敛性质以及它的收敛情况如何。
它是一种非常重要的定理，有助于我们解决无穷级数的问题。
反常积分极限审敛法（Integral Limit Comparison Test）是一种在数学分析中有着重要应用的定理，它可以根据一般情况下的某个无穷级数的收敛性质，对比另一个无穷级数，从而实现对两个无穷级数的收敛性质的比较。
其基本原理是，如果一个无穷级数的某项分母大于另一无穷级数的某项分母，且比值的反常积分不等于零，则该级数收敛。
反常积分极限审敛法的具体步骤是使用经典反常积分技术，先将待证明的无穷级数和另一个已知收敛的无穷级数，比如收敛正项级数，列出来，然后将它们做出比较，比较的结果若为恒等式，则证明无穷级数收敛；若为大于等于式，则证明无穷级数收敛；若为小于等于式，则证明无穷级数可能收敛，但不一定收敛；最后，通过对比反常积分的值，可以得出有关无穷级数收敛性质的最终结论。
反常积分极限审敛法具有很多优势，其中最主要的优势就是可以用来判断一个无穷级数的收敛性质及其如何收敛，只要满足其在无穷级数上的充要条件，就可以得出有关的结论。
另外，由于反常积分的某一项收敛性质被推广到一般情况，因此可以比较一般情况下的无穷级数的收敛性质，而不是只比较其特殊情况下的收敛情况。
最后，通过反常积分极限审敛法，可以有效解决无穷级数的问题，从而提高研究的效率。
综上所述，反常积分极限审敛法是一种非常重要的定理，在数学分析中有着十分重要的应用，它可以用来判断一个无穷级数的收敛性质以及它的收敛情况如何，并可以有效的解决无穷级数的问题，提高研究的效率。
然而，同时也要根据实际情况，审慎选择反常积分极限审敛法，以期获得比较准确的研究结果。
无穷限反常积分敛散性及审敛法则(教案)
无穷限反常积分敛散性及审敛法则一、教学目标分析在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。
让学生反常积分在一些实际问题中的应运。
二、学情/学习者特征分析学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。
但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。
由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。
三、学习内容分析1.本节的作用和地位通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。
例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。
2．本节主要内容1. 无穷限反常积分的定义与计算方法2. 无穷限反常积分的性质3. 无穷限反常积分的比较审敛法则4. 条件收敛与绝对收敛 3.重点难点分析教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则； 教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。
4.课时要求：2课时四、教学理念学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。
五、教学策略在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。
六.教学环境网络环境下的多媒体教室与课堂互动。
七、教学过程一、无穷限反常积分的定义定义1 设函数／定义在无穷区间[+∞,a )上，且在任何有限区间[u a ,]上可积．如果存在极限 则称此极限J 为函数f 在[+∞,a )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作dx x f J a⎰+∞=)(，并称dxx f a ⎰+∞)(收敛．如果极限J dx x f uau =⎰+∞→)(lim不存在，亦称dx x f a ⎰+∞)(发散．类似地，可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分：.)(lim )(dx x f dx x f buu b⎰⎰-∞→∞-=对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：,)()()(dx x f dx x f dx x f a a ⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞+=其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的．注： dx x f a⎰+∞)(收敛的几何意义是：若f 在],[+∞a 上为非负连续函数，则介于曲线)(x f y =，直线ax =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J ．例1 讨论无穷积分.1)102⎰+∞+x dx ，.1)22⎰∞+∞-+xdx ，.)302⎰+∞-dx xe x 的收敛性． 例2 讨论下列无穷积分的收敛性：⎰+∞1)1p xdx， ;)(ln )22⎰+∞p x x dx 二、无穷积分的性质由定义知道，无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛与否，取决于积分上限函数=)(u F ⎰uadx x f )(在+∞→u 时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则． 定理11.1 无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件是：任给ε>0，存在G ≥a ，只要G u u >21,，便有ε<=-⎰⎰⎰2121)()()(u u u au adx x f dx x f dx x f ．此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质．性质1 若dx x f a)(1⎰+∞与dx x f a)(2⎰+∞都收敛，1k ,2k 为任意常数，则[]dx x f k x f k a⎰+∞+)()(2211也收敛，且[]dx x f k dx x f k dx x f k x f k aaa )()()()(22112211⎰⎰⎰+∞+∞+∞+=+．性 质 2 若f 在任何有限区间[u a ,)上可积，且有⎰+∞adx x f )(收敛，则⎰+∞adx x f )(亦必收敛，并有⎰⎰+∞+∞≤aadx x f dx x f )()(．证：⎰+∞adx x f )( 由收敛，根据柯西准则(必要性)，任给0>ε，存在G ≥a ，当G u u >>12时，总有⎰⎰≤2121)()(u u u u dx x f dx x f . 利用定积分的绝对值不等式，又有⎰21)(u u dx x f ≤ε<⎰21)(u u dx x f .再由柯西准则(充分性)，证得⎰+∞adx x f )(收敛又因⎰uadx x f )(≤⎰uadx x f )(，令+∞→u 取极限，立刻得到不等式.当⎰+∞adx x f )(收敛时，称⎰+∞adx x f )(为绝对收敛．性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛．但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛．性质3 若f 在任何有限区间[u a ,]上可积，b a <，则⎰+∞adx x f )(与⎰+∞bdx x f )(同敛态(即同时收敛或同时发散)，且有⎰+∞adx x f )(=⎰b adx x f )(+⎰+∞bdx x f )(,性质2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出⎰+∞adx x f )(收敛的另一充要条件：任给ε>0，存在0≥G ，当u >G 时，总有.)(ε<⎰+∞adx x f ．事实上，这可由⎰⎰⎰+∞+∞+=uaudx x f dx x f dx x f )()()(结合无穷积分的收敛定义而得．三、比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法．由于⎰uadx x f )(关于上限u 是单调递增的，因此⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件是⎰uadx x f )(存在上界．根据这一分析，便立即导出下述比较判别法：定理11.2 (比较法则) 设定义在[+∞,a )上的两个函数f 和g 都在任何有限区间[u a ,]上可积，且满足 则当⎰+∞adx x g )(收敛时dx x f a⎰+∞)(必收敛(或当dx x f a⎰+∞)(发散时，⎰+∞adx x g )(必发散)．例3 讨论dx x x⎰+∞+021sin 的收敛性． 解：由于],0[,111sin 22+∞∈+≤+x x x x ，而2102π=+⎰+∞x dx 为收敛，故dx xx ⎰+∞+021sin 为绝对收敛． 当选用⎰+∞1p xdx作为比较对象⎰+∞a dx x g )(时，比较判别法有如下两个推论(称为柯西判别法)． 推论1 设f 定义于[+∞,a ] (0>a )，且在任何有限区间[u a ,]上可积，则有：(i)当 ),[,1)(+∞∈≤a x xx f p ,且1>p 时, dx x f a ⎰+∞)(收敛; (ii)当),[,1)(+∞∈≥a x xx f p 且1≥p 时, dx x f a ⎰+∞)(发散.推论2 设定义于[+∞,a )，在任何有限区间[u a ,.]上可积，且λ=+∞→)(lim x f xpx ．则有：(i)当 +∞<≤>λ0,1p 时, dx x f a⎰+∞)(收敛; (ii)当 +∞≤<≤λ0,1p 时,dx x f a⎰+∞)(发散.推论3 若f 和g 都在任何[u a ,)上可积，0)(>x g ，且,)()(lim c x g x f x =+∞→则有(i)当+∞<≤c 0时，由⎰+∞adx x g )(收敛可推知dx x f a ⎰+∞)(也收敛； (ii)当+∞≤<c 0时，由⎰+∞adx x g )(发散可推知dx x f a⎰+∞)(也发散.四、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法． 定理11.3 (狄利克雷判别法) 若⎰=uadx x f u F )()(在[+∞,a )上有界，)(x g 在[+∞,a )上当+∞→x 时单调趋于0，则无穷积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛．定理11.4 (阿贝尔(Abel)判别法) 若⎰+∞adx x f )(收敛，)(x g 在[+∞,a )上单调有界，则无穷积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛．用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法． 例5 讨论dx x xp ⎰+∞1sin 与)0(cos 1>⎰+∞p dx xx p 的收敛性． 解：这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论．下面分两种情形来讨论： (i)当p >1时dx x xp ⎰+∞1sin 绝对收敛．这是因为),,[,1sin +∞∈≤a x x x x p p 而⎰+∞1p xdx 当p >1时收敛，故由比较法则推知dx x xp⎰∞+1sin 收敛. (ii)当10≤<p 时dx x x p ⎰+∞1sin 条件收敛．这是因为对任意u ≥1，有2co s 1co s si n 1≤-=⎰u x d x u ，而p x 1当0>p 时单调趋于)(0+∞→x ，故由狄利克雷判别法推知dx x xp ⎰+∞1sin 工当0>p 时总是收敛的． 另一方面，由于),1[,22cos 21sin sin 2+∞∈-=≥x x x x x x x x p ，其中dt ttdx x x ⎰⎰+∞+∞=21cos 2122cos 是收敛的，而⎰+∞12xdx是发散的，因此当10≤<p 时该无穷积分不是绝对收敛的．所以它是条件收敛的． 例6 证明下列无穷积分都是条件收敛的．,sin 12⎰+∞dx x ,cos 12⎰+∞dx xdx x x ⎰+∞14sin证：前两个无穷积分经换元2x t =得到,2sin sin 112dt tt dx x ⎰⎰+∞+∞=.2cos cos 112dt tt dx x ⎰⎰+∞+∞=由例5知它们是条件收敛的．对于第三个无穷积分，经换元2x t =而得⎰⎰+∞+∞=1214sin 21sin dt t dx x x ，它也是条件收敛的．从例6中三个无穷积分的收敛性可以看到，当+∞→x 时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．八、学习评价本节成功向学生讲解了两种定积分的推广即反常积分，尤其对无穷反常积分进行介绍，并对其敛散性及审敛性附带介绍。
反常积分判敛的方法
反常积分判敛的方法在数学中，积分是一种非常重要的概念，而对于一些特殊的积分，我们需要进行判敛来确定其是否收敛。
其中，反常积分是指积分区间为无穷或者在某些点上函数值无界的情况。
本文将介绍反常积分判敛的方法，帮助读者更好地理解和处理这类积分。
一、无穷积分的判敛方法对于无穷积分，我们需要分情况讨论其判敛性。
一般来说，无穷积分可以分为无穷限积分和无穷间断积分两种情况。
1. 无穷限积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$的无穷限积分，我们可以通过比较判别法来判断其是否收敛。
比较判别法的基本思想是将被积函数与一个已知的易于处理的函数进行比较，从而确定其收敛性。
若存在一个函数$g(x)$，使得在积分区间$[a, +\infty)$上，$0\leq f(x) \leq g(x)$成立，且$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$收敛，则原积分$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$也收敛；若$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$发散，则原积分$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$也发散。
2. 无穷间断积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{b}f(x)dx$的无穷间断积分，其中积分区间存在间断点，我们需要分别讨论左右极限的情况。
若在间断点$a$处，$\lim_{x \to a^+}f(x)$和$\lim_{x \to a^-}f(x)$中至少有一个是无穷大或无穷小量，则该积分为无穷间断积分。
此时，我们可以将积分区间分为$[a, c]$和$[c, b]$两部分，分别讨论其判敛性。
二、无界函数积分的判敛方法对于在积分区间内函数值无界的情况，我们需要特殊处理来判断其收敛性。
1. 无界上下函数的判敛方法若被积函数$f(x)$在积分区间$[a, b]$上无界，即存在$M>0$，使得对任意$x \in [a, b]$，$|f(x)| > M$，则该积分为无界函数积分。
无穷限反常积分收敛判别法
无穷限反常积分收敛判别法本文探讨了一种可用于鉴别无穷限反常积分收敛性的方法——无穷限反常积分收敛判别法。
通过例子，展示了这一方法的运用，并简单分析了该方法的特点。
无穷限反常积分是对无穷级数和反常积分的理论总结，它可以用于对反常积分收敛性的研究。
无穷限反常积分收敛判别法是一种可以有效鉴别无穷限反常积分收敛性的方法。
一般，它将反常积分表示为： $$int_a^b f(x)dx=sum_{n=1}^{infty}int_a^bF_n(x)dx$$ 其中$F_n(x)$为反常函数序列，有$F_nightarrow f(x)$当$nightarrow infty$。
下面介绍一个具体的例子：考虑反常积分$$I=int_0^1frac{1-x}{(1+x)ln x}dx$$可以将它分为两个部分：$$I=int_0^1frac{1-x}{(1+x)lnx}dx=int_0^1frac{1}{1+x}dx+int_0^1frac{-x}{(1+x)ln x}dx$$ 利用无穷限反常积分收敛判别法，可以证明$I$为有界积分，具体的，可以将积分分解为：$$I=int_0^1frac{1}{1+x}dx+int_0^1frac{-x}{(1+x)lnx}dx=int_0^1frac{1}{1+x}dx-int_0^1frac{x}{(1+x)^2ln x}dx$$ 由$F_n=frac{x^n}{(1+x)^{n+1}ln x}$可以得到：$$I=sum_{n=1}^{infty}int_0^1frac{x^n}{(1+x)^{n+1}ln x}dx-int_0^1frac{x}{(1+x)^2ln x}dx$$可以得到：$$I=sum_{n=1}^{infty}int_0^1frac{x^n}{(1+x)^{n+1}ln x}dx-frac{1}{2}$$由于右端部分可以给出明确的数值，因此$I$为有界积分。
从上面的例子中可以看出，无穷限反常积分收敛判别法是一种有效的鉴别无穷限反常积分收敛性的方法。
反常积分极限审敛法
反常积分极限审敛法
反常积分极限审敛法（infinitesimalnormalintegrals,INI）是一种用于数学计算的极限处理方法，可以用来计算无穷级数的极限、积分、微积分以及积分变换的表达式。
它可以改善数学计算的速度，减少计算的时间和空间。
INI是一种基于几何学极限理论的数值计算方法，可以对数值系统中无穷级数求极限，并可以进行无穷级数的积分求值。
反常积分极限审敛法主要是使用紧凑方案实现多维反常积分、无限级数求极限以及积分变换等操作，以及针对椭圆和抛物面等复杂曲面的积分求值。
INI的基本原理是，在坐标空间中定义一组均匀的虚拟小网格，以虚拟小网格边界为界，绘制出一组分割的小网格，其中的每个小网格都由一组函数值组成，这些函数值的计算可以采用积分的方法完成。
然后通过积分极限的方法，求出无穷级数的极限，从而求出积分变换表达式。
在有限维空间中，INI可以极大程度地提高计算效率，可以以较低的计算时间实现较高精度的极限求解和控制。
此外，INI的优势在于在多维空间中也可以实现较快的计算，而不需要耗费大量的计算时间，也不受精度的限制。
INI在实际应用中有着广泛的用途，可以用于特征提取、状态估计、机器学习、信号处理等领域。
同时，对于微分方程常见的解析方法，INI也能提供一种数值计算方法，具有较高的解析精度和准确性。
最后，INI也可以用于包括智能控制、智能工业、智能建筑等场景。
总之，反常积分极限审敛法是一种用于计算无穷级数的极限、积分和微积分等表达式的极限处理方法，它可以提高计算效率，减少计算的时间和空间，并有广泛的应用。
反常积分极限审敛法的应用可以提高计算精度和准确性，为实现各种智能技术提供一种高效的数值计算方法。
§9.3反常积分判敛法
1 1 dx （q 1
的 q 积分 ）收敛，
xx
0x
2
sin 1
sin 1
∴
1 0
x x
dx
，从而
1 0
x dx 收敛。 x
例 5．判别反常积分 ett x1 dt 的敛散性。 0
3.3 函数
1. 函数的定义
函数(x) ett x1 dt ，x(0,) 称为伽马函数。 0
2． 函数的递推公式 ： (x1) x(x)(x 0)
例2．判别下列反常积分的敛散性：
（1） x arctan xdx
1 3 x 4 1
（2） ex2dx 0
解：∵ lim x 2 ex2 lim x 2 0 ，( p 2, l 0.)
x
x e x2
∴ ex2 dx 收敛， 1
e
x2
dx
称为概率积分，利用重积分的知识可得
0
ex2 dx 。
0
3.2 被积函数有无穷型间断点的反常积分的判敛法
定理 4（比较判别法）
设 f (x),g(x)C[a, b) ， x b 为无穷型间断点，
且 x[a,b) 时，0 f (x) g(x) ，
则敛时，
b a
f
(x)dx
也收敛；
b
b
（2）当 a f (x)dx 发散时，a g(x)dx 也发散。
0
2
注意比较法和极限法只有在被积函数非负的条件下才能用；
若f (x) 0,可考虑 f (x) 0;对 变号的函数,有下列结论 :
定理
设f (x) C[a,) , 若反常积分 f (x) dx收敛,
a
则 f (x)dx也收敛.(绝对收敛的反常积分必收敛).
§6.2反常积分判敛法1
1 x 1 x2
1 1 ， p 2, l 1, 1 1 x2
3
（2） x 2 dx
1 1 x 2 3
解：∵ lim x x 2 lim x2 x ， p 1, l ,
x 1 x 2 x 1 x 2
3
∴ x 2 dx 发散。
1 1 x 2
（3） x arctan xdx
0 (1 x 2 )(1k 2 x 2 )
解：x1 是瑕点。
1
∵ lim (1 x) 2
1
x1
(1 x2 )(1k 2 x2 )
lim
1
1 , (q 1, l
x1 (1 x)(1k 2x2 ) 2(1k 2 )
2
1) 2(1k 2 )
∴ 1
dx
收敛。
0 (1 x2 )(1k 2 x2 )
（2）
定理 4（比较判别法）
设 f (x),g(x)C[a, b) ， x b 为无穷型间断点，
且 x[a,b) 时，0 f (x) g(x) ，
则（1）当
b
ag
(x)dx
收敛时，
b a
f
(x)dx
也收敛；
b
b
（2）当 a f (x)dx 发散时，a g(x)dx 也发散。
定理 5（极限判别法）
设 f (x)C[a, b) ， f (x) 0 ，x b 为无穷型间断点，
0
当 x 为正整数n 时，有
(n1)n(n)n(n1)(n1) n(n1)(n2)21(1)n!(1)
而(1) etdt 1 ，故 (n1) n !。 0
3． 函数的定义域的扩充
当 1 x 0 ，即x1 0 时，(x1) 有定义， 从而定义(x) (x1) ，1 x 0 ，
5.5 反常积分的审敛法
3 2
根据极限审敛法 , 该积分发散 .
5.5 反常积分的审敛法
函数
二、无界函数反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分 . 由定义 例如
1 令 x a , 则有 t b f ( x) d x lim
a
f ( x) d x a f ( x) d x lim 0 a
函数
这表明左端的积分可用 函数来计算. 例如,
5.5 反常积分的审敛法 四、内容小结
函数
1. 两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法 .
2. 若在同一积分式中出现两类反常积分, 可通过 分项使每一项只含一种类型的反常积分, 只有 各项都收敛时, 才可保证给定的积分收敛 . 3. 函数的定义及性质 .
根据极限审敛法, 椭圆积分收敛 .
5.5 反常积分的审敛法
函数
三、 函数
1. 定义5.4 函数
( s )
s 1 x x e 0
d x ( s 0)
下面证明这个特殊函数在 s 0 内收敛 .令
I1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1) 讨论 I1 . 当s 1时, I1 是定积分 ; 1 1 1 s 1 x 当0 s 1时, x e 1 s x 1 s x e x 而1 s 1, 根据比较审敛法知 I1 收敛 .
函数
的敛散性 .
解
由比较审敛法可知原积分收敛 .
5.5 反常积分的审敛法 例2 判别反常积分
函数
1
1
dx x 1 x2
2
的敛散性 .
解
lim x
x
2
x 1 x
5.5 反常积分的审敛法 Γ函数
0
e− d = 1.
0
Γ( + 1) = Γ() = ( − 1)Γ( − 1)
= ⋯ = ! Γ(1) = !.
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
定积分
第五章
(2) 当 → 0+ 时, Γ() → +∞.
证
Γ( + 1)
∵ Γ() =
, Γ(1) = 1
且可证明Γ()在 > 0连续,
+∞
+1
0≤()≤ , 于是 න d收敛;
（2）当 ≤1时, 可取 > 0, 使 − = > 0, ( = +∞时, ∀ > 0)
当充分大时, 由①式或②式都可得
+∞
() > , 于是 න d发散.
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
+∞
因 e− sin ≤e− , 而 න
+∞
න
e− d 收敛, 根据比较审敛原理知
0
e− sin d 收敛, 故由定理5知所给积分收敛(绝对收敛) .
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五章
定积分
二、无界函数的反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如
不失一般性, 设 ∈ [, +∞)时, 0≤ ≤g ().
+∞
(1)若 න
g ()d收敛, 则对 > 有
න ()d ≤ න g ()d ≤ න
反常积分-的审敛法
第11章 反常积分§11. 1 反常积分的概念一 基本内容一、无穷限反常积分定义 1 设函数()f x 在[, )a +∞上有定义，且在任意区间[, ]a u 上可积，如果lim()d uau f x x→+∞⎰存在，则称此极限为()f x 在[, )a +∞上的反常积分，亦称为()f x 在[,)a +∞上的无穷限反常积分，简称无穷限积分，记作 ()d af x x+∞⎰．ie ()d lim()d uaau f x x f x x+∞→+∞=⎰⎰:，此时并称 ()d af x x+∞⎰收敛．如果极限不存在，则称 ()d af x x+∞⎰发散．同理可定义 ()d lim()d bbuu f x x f x x-∞→-∞=⎰⎰， ()d ()d ()d a af x x f x x f x x+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，几何解释如图．()d af x x+∞⎰收敛是指图中阴影区域的 面积存在．二、瑕积分定义 2 设函数()f x 在(, ]a b 上有定义，且在点a 的任一右邻域内无界，而在[, ](, ]u b a b ⊂上有界可积，如果 lim ()d buu a f x x+→⎰存在，则称此极限为无界函数()f x 在上(, ]a b 的反常积分，记作 ()d baf x x⎰，ie ()d lim ()d bbauu af x x f x x+→=⎰⎰:，并称 ()d baf x x⎰收敛，否则称其发散．其中a 称为瑕点．无界函数的反常积分亦称为瑕积分．同理可得b 为瑕点时，()d lim ()d buaau bf x x f x x-→=⎰⎰．当()f x 的瑕点(, )c a b ∈，则定义()d ()d ()d bcbaacf x x f x x f x x=+⎰⎰⎰lim ()d lim ()d u bauu cu cf x x f x x -+→→=+⎰⎰．若, a b 都是()f x 的瑕点，则定义()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+⎰⎰⎰lim ()d lim ()d c uucu au bf x x f x x+-→→=+⎰⎰．二 习题解答１ 讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值 (1)2d x xe x+∞-⎰；解：由于2201d (1)2ux u xe x e --=--⎰，21limd 2ux u xe x -→+∞=⎰．所以该反常积分收敛，且收敛于12．(2)2d x xe x+∞--∞⎰；解：由于22 01d (1)2x u uxe x e -=--⎰21limd 2x ux xe x -→-∞=-⎰而2220d d d 0x x x xe x xe x xe x +∞+∞----∞-∞=+=⎰⎰⎰所以该反常积分收敛，且收敛于0．(3)0x +∞⎰；解：由于21ux ⎛⎫= ⎝⎰，lim 212u →+∞⎛⎫= ⎝．所以该反常积分收敛，且收敛于2．(4) 2 11d (1)x x x +∞+⎰；解：由于22 111111d d (1)1uu x x x x xx x ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭⎰⎰ 11111ln 1ln ln 2ux u x x u u ++⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭．2 11limd 1ln 2(1)uu x x x →+∞=-+⎰．所以该反常积分收敛，且收敛于1ln 2-．(5) 2 1d 445x x x +∞-∞++⎰；解：由于 22 0 0111d d(21)4452(21)1u u x x x x x =+++++⎰⎰011arctan(21)arctan(21)228|u x u π=+=+-2 01lim d 445488uu x x x πππ→+∞=-=++⎰，0 022 111d d(21)4452(21)1u u x x x x x =+++++⎰⎰ 011arctan(21)arctan(21)282|u x u π=+=-+02 1lim d 44584u u x x x ππ→-∞=+++⎰所以该反常积分收敛，且收敛于2π．(6)1sin d x e x x+∞-⎰；解：由于 11sin d [1(sin cos )]2ux ue x x e u u --=-+⎰，11lim sin d 2ux u e x x -→+∞=⎰．所以该反常积分收敛，且收敛于12．(7) sin d x e x x+∞-∞⎰；解：由于 01sin d [1(sin cos )]2uxu e x x e u u =-+⎰，1limsin d ux u e x x →+∞=∞⎰．所以该反常积分发散． (8)1x +∞⎰．解：由于 1ln(u x u =+⎰，1lim u u x →+∞=+∞⎰．所以该反常积分发散．2 讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值(1) 1d ()b p a x x a -⎰； 解：由于x a =为瑕点，而11 ()1()11d 11()ln()ln()1p p b p u b a u a p x p px a b a u a p --⎧---≠⎪=--⎨-⎪---=⎩⎰，1 ()11lim d 1()1pb p u u a b a p x p x a p +-→⎧-<⎪=-⎨-⎪∞≥⎩⎰，所以1p <时，该瑕积分收敛，且值为1()1pb a p ---； 所以1p ≥时，该瑕积分发散．(2) 1201d 1x x -⎰；解：由于1x =为瑕点，而u2011d [ln(1)ln(1)]12x u u x =+---⎰，u2011lim d 1u x x -→=∞-⎰．所以该瑕积分发散．(3)2x⎰；解：由于1x =为瑕点，而2(1uux x ==⎰⎰，1lim 2uu x -→=⎰．同理21lim 2uu x +→=⎰，所以该瑕积分收敛，且值为4．(4)1x ⎰；解：由于1x =为瑕点，而1u x =⎰，1lim 1uu x -→=⎰所以该瑕积分收敛，且值为1． (5)1ln d x x⎰；解：由于0x =为瑕点，而1ln d 1ln ux x u u u=-+-⎰，1lim ln d 1uu x x +→=-⎰．所以该瑕积分收敛，且值为1-． (6)x ⎰；解：令2sin x t =，则cos dx t t t=⎰⎰2220 02sin d(1cos2)d2t t t tπππ==-=⎰⎰，所以该瑕积分收敛，且值为2π．(7)1x⎰；解：令2sinx t=，则12x tπ=⎰⎰22d tππ==⎰．所以该瑕积分收敛，且值为π．(8)11d(ln)pxx x⎰．解：由于0x=，1为瑕点，又11(ln)111d(ln)ln ln1ppx C ppxx xx C p-⎧+≠⎪-=⎨⎪+=⎩⎰，而1p=时，1limlnlnxx-→=∞，1p<时，11lim(ln)1pxxp+-→=∞-1p>时，111lim(ln)1pxxp--→=∞-所以p R∀∈，瑕积分11d(ln)pxx x⎰发散．3 举例说明：瑕积分()dbaf x x⎰收敛时，2()dbaf x x⎰不一定收敛．解：例如x⎰收敛于2π，但1d1xxx-⎰发散．4 举例说明：积分()daf x x+∞⎰收敛，且()f x在[,)a+∞上连续时，不一定有lim()0xf x→+∞=．解：例如+41sin dx x x∞⎰．因令x=+ +41 11sin d4x x x t∞∞=⎰⎰．所以 +4 1sin d x x x∞⎰收敛，且4()sin f x x x =在[,)a +∞上连续，但lim ()x f x →+∞不存在．5 证明：若 ()d af x x+∞⎰收敛，且lim ()x f x A→+∞=存在，则0A =． 证：假设0A ≠，不妨设0A >，因lim ()x f x A→+∞=，所以0M ∃>，()2Ax M f x ∍>⇒>“”．于是()d ()2uMAf x x u M >-⎰，从而lim()d uMu f x x →+∞=∞⎰．此与 ()d af x x+∞⎰收敛矛盾，故0A =．6 证明：若()f x 在[,)a +∞上可导，且 ()d af x x+∞⎰与()d af x x+∞'⎰都收敛，则lim ()0x f x →+∞=．证：因为()d ()()u af x x f u f a '=-⎰，所以由()d af x x+∞'⎰都收敛知lim ()x f x →+∞存在，故由上一题知lim ()0x f x →+∞=．§11. 2 无穷限积分的性质与收敛判别一 基本内容一、无穷限积分的性质 由无穷限积分的定义知()d af x x+∞⎰收敛lim()d uau f x x→+∞⇔⎰存在；由极限的柯西收敛准则知lim()d uau f x x→+∞⎰存在0,,G a ε⇔∀>∃≥2112 ,()d u u u u G f x x ε∍>⇒<⎰“”．定理1()d af x x+∞⎰收敛0,,G a ε⇔∀>∃≥2112 ,()d u u u u G f x x ε∍>⇒<⎰“”．性质1 若 1 ()d ,af x x +∞⎰ 2 ()d af x x+∞⎰都收敛，则12,k k ∀，[] 1111()()d ak f x k f x x +∞+⎰也收敛，且[] 11111122 ()()d ()d ()d aaak f x k f x x k f x x k f x x+∞+∞+∞+=+⎰⎰⎰．性质2 若,()u a f x ∀>在[, ]a u 上可积，则b a ∀>， ()d af x x+∞⎰与 ()d bf x x+∞⎰同收同发，且()d ()d ()d b aabf x x f x x f x x+∞+∞=+⎰⎰⎰．性质3 若,()u a f x ∀>在[, ]a u 上可积，则()d af x x+∞⎰收敛()d af x x+∞⇒⎰收敛，且()d ()d aaf x x f x x+∞+∞≤⎰⎰．定义1 如果 ()d af x x+∞⎰收敛，则 ()d af x x+∞⎰称绝对收敛．二、比较判别法比较判别法仅应用于绝对收敛的判别． 由于()()d uaF u f x x=⎰单调上升，所以，()d af x x+∞⎰收敛()()d ua F u f x x⇔=⎰有上界．定理2 若,(),()u a f x g x ∀>在[, ]a u 上可积，且,()()x a f x g x ∀>≤，则 ()d ag x x+∞⎰收敛()d af x x+∞⇒⎰收敛；而 ()d af x x+∞⎰发散()d ag x x+∞⇒⎰发散．推论 (比较判别法的极限形式)若,(),()u a f x g x ∀>在[, ]a u 上可积，, ()0x a g x ∀>>，且()lim()x f x cg x →+∞=， 则(1) 0c <<+∞ ()d af x x+∞⇒⎰与 ()d ag x x+∞⎰同收同发； (2) 0c =时， ()d ag x x+∞⎰收敛()d af x x+∞⇒⎰收敛； (3) c =+∞时， ()d ag x x+∞⎰发散()d af x x+∞⇒⎰发散．当选用 11d p x x +∞⎰为比较“尺子”时，则得下面的柯西判别法．定理3 (柯西判别法) 若0,()u a f x ∀>>在[, ]a u 上可积，则 1(1) ()p f x x ≤，且1p >时， ()d a f x x+∞⎰收敛；1(2) ()p f x x ≥，且1p ≤时， ()d a f x x+∞⎰发散．定理'3(柯西判别法的极限形式) 若0,()u a f x ∀>>在[, ]a u 上可积，且lim ()p x x f x λ→+∞=，则(1) 0λ≤<+∞，且1p >时， ()d af x x +∞⎰收敛； (2) 0λ<≤+∞，且1p ≤时， ()d af x x+∞⎰发散．三、狄立克雷判别法与阿贝尔判别法 此法是对一般无穷限积分的敛散性判别． 定理4 (狄立克雷判别法) 若,()()d uau a F u f x x∀>=⎰有界，()g x 在[,)a +∞上单调，且lim ()0x g x →+∞=，则()()a f x g x dx +∞⎰收敛．定理 5 (阿贝尔判别法) 若()d af x x+∞⎰收敛，()g x 在[,)a +∞上单调有界，则()()d af xg x x+∞⎰收敛．二 习题解答1 设()f x 与()g x 是定义在[,)a +∞上的函数，u a ∀>，()f x 与()g x 在[,]a u 上可积，证明：若2 ()d a f x x+∞⎰与 2 ()d ag x x+∞⎰都收敛，则 ()()d af xg x x+∞⎰与 2 [()()]d af xg x x+∞+⎰亦收敛．证：(1) 因为t R ∀∈，()2()()0tf x g x -≥，从而()2()()d 0a tf x g x x +∞+≥⎰， 即222()d 2()()d ()d 0aaatf x x t f xg x x g x x +∞+∞+∞-+≥⎰⎰⎰．故由判别式为负得()2222()()d 4()d ()d 0aaaf xg x x f x x g x x +∞+∞+∞-≤⎰⎰⎰．即()222()()d ()d ()d aaaf xg x xf x xg x x+∞+∞+∞≤⎰⎰⎰．而 2()d af x x+∞⎰，2()d ag x x+∞⎰收敛，所以 ()()d a f x g x x+∞⎰收敛．又2 [()()]d af xg x x+∞+⎰2()d af x x +∞=⎰2()()d af xg x x +∞+⎰2()d ag x x+∞+⎰，所以2 [()()]d af xg x x+∞+⎰收敛．证：(2) 因为 2 ()d a f x x+∞⎰与 2 ()d ag x x+∞⎰都收敛，所以22 ()()d 2af xg x x+∞+⎰收敛．而 22()()()()2f x g x f x g x +≤，故 ()()d a f x g x x+∞⎰绝对收敛，亦收敛．又2 [()()]d af xg x x+∞+⎰22 ()d 2()()d ()d aaaf x x f xg x x g x x+∞+∞+∞=++⎰⎰⎰．所以由四则运算知 2 [()()]d af xg x x+∞+⎰收敛．2 设()f x 、()g x 、()h x 是定义在[,)a +∞上的三个连续函数，且()()()f x g x h x ≤≤，证明(1) 若 ()d a f x x +∞⎰， ()d a h x x +∞⎰都收敛，则 ()d a g x x+∞⎰也收敛； 证：因为()()()f x g x h x ≤≤，所以u a ∀>，()d uaf x x ⎰()d u ag x x ≤⎰ ()d uah x x≤⎰．而()d af x x+∞⎰， ()d ah x x+∞⎰都收敛，所以 lim()d uau f x x →+∞⎰， lim ()d ua u h x x →+∞⎰都存在，从而 lim()d uau g x x→+∞⎰存在，故 ()d ag x x+∞⎰收敛．(2) 若 ()d af x x +∞⎰ ()d ah x x A+∞==⎰，则 ()d a g x x A+∞=⎰．证：因为 ()d a f x x +∞⎰ ()d ah x x A +∞==⎰所以lim()d uau f x x A→+∞=⎰， lim()d uau h x x A→+∞=⎰，于是由夹逼性定理得 lim()d uau g x x A→+∞=⎰，故 ()d a g x x A+∞=⎰．3 讨论下列无穷限积分的收敛性：(1) 0x +∞⎰；解：因为43lim 1x x →+∞=，而x+∞⎰收敛，故x+∞⎰收敛．(2)1d 1x xx e +∞-⎰；解：因为2lim 01x x x x e →+∞⋅=-，而 2 11d x x +∞⎰收敛，故 1d 1xxx e +∞-⎰收敛．(3)x +∞⎰；解：因为lim 1x =，而1x+∞⎰发散，故x+∞⎰发散．(4) 3 1arctan d 1x xx x +∞+⎰；解：因为23arctan lim 12x x x x x π→+∞⋅=+，而 2 01d x x +∞⎰收敛， 故 3 1arctan d 1x xx x +∞+⎰收敛．(5) 1ln(1)d n x x x +∞+⎰； 解：当1n ≤时， 1ln(1)d n x x x +∞+⎰发散，当1n >时， 1ln(1)d n x x x +∞+⎰收敛．(6)d (,0)1mn x x m n x +∞>+⎰．解：因为lim 11m n mn x x x x -→+∞⋅=+，所以当1n m -≤时，0d 1mn xx x +∞+⎰发散，当1n m ->时，0d 1mnx x x +∞+⎰收敛．4 讨论下列无穷限积分绝对收敛还是条件收敛： (1)1x ⎰；解：因为12lim 1x x →+∞=，而1x+∞⎰发散，所以1x ⎰发散．又1()2cos14F u x ==-≤⎰，()g x 在x →+∞时单调下降以零为极限，所以由狄氏判别法知1x x +∞⎰收敛．综上可知 1x ⎰条件收敛．(2) 2 0sgn(sin )d 1x x x +∞+⎰； 解：因为22sgn(sin )111x x x ≤++，而 201d 1x x +∞+⎰收敛，所以 2 0sgn(sin )d 1x x x +∞+⎰绝对收敛．(3)x⎰；解：因为0()cos d sin 1u F u x x u ==≤⎰，而()100g x x =+在x →+∞时单调下降以零为极限，所以由狄氏判别法知x⎰收敛．=+，而d 100x x +∞+⎰发散，0d 100xxx +∞+⎰收敛，所以x⎰发散，综上可知0x⎰条件收敛．(4)ln(ln )sin d ln ex x x x +∞⎰．解：因为()sin d cos cos 2u eF u x x e u ==-≤⎰,ln(ln )()ln x g x x =在x →+∞时单调下降以零为极限，所以由狄氏判别法知ln(ln)sin dlnexx xx+∞⎰收敛．又2ln(ln)ln(ln)ln(ln)ln(ln)sin sin cos2ln ln2ln2lnx x x xx x x x x x x≥=-，而ln(ln)dlnexxx+∞⎰发散，ln(ln)cos2dlnexx xx+∞⎰收敛，所以ln(ln)sin dlnexx xx+∞⎰条件收敛．5 举例说明，()daf x x+∞⎰收敛时，2()daf x x+∞⎰不一定收敛；()daf x x+∞⎰绝对收敛时，2()daf x x+∞⎰也不一定收敛．证：例如()f x1()df x x+∞⎰收敛，但221 1()df x x x+∞+∞=⎰⎰发散．又如345345333100,221,()1,11 01,(1)xn x n n x n nnf xn x n n x n nnx n nn n ⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫+-∈-⎪ ⎪⎝⎭⎪=⎨⎡⎤⎪-++∈+⎢⎥⎪⎣⎦⎪⎛⎫⎪∈-+-⎪⎪-⎝⎭⎩，如图．则23331111()d231236f x x nnπ+∞=⋅+⋅++⋅+=-⎰，所以 1()d f x x+∞⎰收敛且为绝对收敛．但21()df x x+∞⎰发散．6 证明：()daf x x+∞⎰若绝对收敛，且lim()0xf x→+∞=，则2()daf x x+∞⎰必定收敛．证：因为lim()0xf x→+∞=，所以110,,()1M a x M f x ε∀>∃>∍>⇒≤“”，于是1x M >时，2 ()()f x f x ≤， 又()d af x x+∞⎰收敛，就上述ε，2M a ∃>，21122,()d u u u u M f x x ε∍>⇒<⎰“”取12max{,}M M M =，则12,u u M >时，22112()d ()d u u u u f x x f x x ε≤<⎰⎰，故 2 ()d af x x+∞⎰收敛．7 证明：若()f x 是[,)a +∞上的单调函数，且 ()d a f x x +∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=． 证：不妨设()f x ，则[,),()0x a f x ∀∈+∞≥．实因假设00[,),()0x a f x ∃∈+∞<，则0x x >时，0()()f x f x ≤， 从而 000 ()d ()()ux f x x f x u x ≥-⎰，即 0lim()d ux u f x x →+∞=∞⎰，此与 ()d af x x+∞⎰收敛矛盾．又由 ()d af x x+∞⎰收敛得 0,M a ε∀>∃>，22()d 2xx x M f t t ε∍>⇒<⎰“”． 而221()d ()d ()02x xxx f t t f x t xf x ≥=≥⎰⎰，所以2x M >时，0()xf x ε≤<，于是0()f x ε≤<， 故lim ()0x f x →+∞=．8 证明：若()f x 在[,)a +∞上一致连续，且 ()d a f x x+∞⎰收敛，则lim ()0x f x →+∞=．证：假设lim ()0x f x →+∞≠，则00ε∃>，M a ∀>，0x M ∃>，00()f x ε∍≥“”．因为()f x 在[,)a +∞上一致连续，所以0δ∃>，000()()22x x f x f x εδδ∍<-<⇒-<“”． 从而00()()()()2f x f x f x f x ε≥--≥于是M a ∀>，0,x x M ∃>，00()d 24xx f x x x x εεδ∍≥->⎰“”．此与 ()d af x x+∞⎰收敛矛盾，故lim ()0x f x →+∞=．9 利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法． 证：因为 ()d af x x+∞⎰收敛，所以0M ∃>，u a ∀>，()()d uaF u f x x M=≤⎰，即()F u 在[,)a +∞上有界．又()g x 单调有界，所以极限存在．设lim ()x g x A→+∞=，则()lim ()0x g x A →+∞-=，从而由狄氏差别法知() ()()d af xg x A x+∞-⎰收敛．而() ()()d ()()d ()d a aaf xg x x f x g x A x A f x x+∞+∞+∞=--⎰⎰⎰故 ()()d af xg x x+∞⎰收敛．§11. 3 瑕积分的性质与收敛判别一 基本内容一、瑕积分的性质设a 为瑕点，由瑕积分的定义知()d baf x x⎰收敛存在lim ()d buu af x x+→⇔⎰，由极限的柯西收敛准则知lim ()d buu af x x+→⎰存在0,0,εδ⇔∀>∃>2112 ,(,)()u u u u a a f x dx δε∍∈+⇒<⎰“”．定理1()d baf x x⎰收敛0,0εδ⇔∀>∃>，2112 ,(,)()d u u u u a a f x x δε∍∈+⇒<⎰“”．性质 1 设 a 为瑕点，若1 ()d baf x x⎰、2 ()d baf x x⎰都收敛，则12,k k ∀，[] 1122()()d bak f x kf x x+⎰也收敛，且[] 11221122 ()()d ()d ()d bbbaaak f x k f x x k f x x k f x x+=+⎰⎰⎰．性质2 设a 为瑕点，则(,)c a b ∀∈， ()d baf x x⎰与 ()d caf x x⎰同收同发，且收敛时，()d ()d ()d bcb aacf x x f x x f x x=+⎰⎰⎰．性质3 设 a 为瑕点，若,()u a f x ∀>在[, ]u b 上可积，则()d baf x x⎰收敛()d baf x x⇒⎰收敛，且()d ()d bbaaf x x f x x≤⎰⎰．定义1 如果收敛 ()d ba f x x⎰，则称 ()d ba f x x⎰绝对收敛． 二、比较判别法比较判别法仅应用于绝对收敛的判别．定理2 设a 为瑕点，若,(),()u a f x g x ∀>在[, ]u b 上可积，且,()()x a f x g x ∀>≤， 则 ()d ba g x x⎰收敛()d baf x x⇒⎰收敛，而()d baf x x⎰发散⇒()d bag x x⎰发散．推论(比较判别法的极限形式) 若,(),()u a f x g x ∀>在[, ]u b 上可积，, ()0x a g x ∀>>，且()lim ()x a f x c g x +→=，则(1) 0c <<+∞时， ()d ba f x x⎰与 ()d bag x x ⎰同收同发； (2) 0c =时， ()d bag x x⎰收敛()d b af x x⇒⎰收敛；(3) c =+∞时， ()d bag x x⎰发散 ()d ba f x x⇒⎰发散．定理3 (柯西判别法) 若0,()u a f x ∀>>在[, ]u b 上可积，则(1)1()()pf x x a ≤-且01p <<时， ()d b a f x x ⎰收敛； (2)1()()pf x x a ≥-且1p ≥时， ()d ba f x x ⎰发散． 定理 3 (柯西判别法的极限形式) 若0,()u a f x ∀>>在[, ]ub 上可积，且lim()|()|p x a x a f x λ+→-=，则(1) 0λ≤<+∞且01p <<时， ()d ba f x x⎰收敛；(2) 0λ<≤+∞且1p ≥时， ()d ba f x x⎰发散．二 习题解答1 讨论瑕积分的收敛性(1) 22 01d (1)x x -⎰；解：瑕点为1x =．改写积分为 2 1 2222 0 0 1111d d d (1)(1)(1)x x xx x x =+---⎰⎰⎰．因为 12 01d (1)x x -⎰发散，所以 22 01d (1)xx -⎰发散．(2) 32sin d xxx π⎰； 解：瑕点为0x =．因为2lim 1x x →=，而xπ⎰收敛，所以32sin d x xxπ⎰收敛．(3)1x⎰；解：瑕点为0,1x =．因为H 1111lim(1)lim 11x x x x x --→→→-==，而 1 01d 1x x -⎰发散，所以 1x ⎰发散．(4) 10ln d 1xx x -⎰；解：瑕点为1x =．而112H211112ln ln (1)lim(1)lim lim 012(1)x x x xx x x x xx ---→→→--⋅===--，又1x⎰收敛，所以 10ln d 1xx x -⎰收敛．(5) 130arctan d 1xx x -⎰； 解：瑕点为1x =．而3211arctan arctan lim(1)lim 1112x x x x x x x x π--→→-⋅==-++， 又 1 01d 1x x -⎰发散，所以 130arctan d 1xx x -⎰发散．(6)2 01cos d m xx x π-⎰；解：瑕点为0x =．而21cos 1lim 2m m x x x x +-→-⋅=，所以当21m -<，即3m <时21cos d m xx x π-⎰收敛；所以当21m -≥，即3m ≥时2 01cos d mxx x π-⎰发散．(7)1011sin d x x x α⎰； 解：瑕点为0x =．而111sin x x x αα≤， 所以当01α<<时， 1 011sin d x x x α⎰绝对收敛；又2α≥时，1111sin xx x αα-≤，而 1101d x x α-⎰发散，所以此时 1011sin d x x x α⎰发散； 当12α≤<时，1 011sin d x x x α⎰条件收敛． (8) 0ln d x e x x+∞-⎰．解：积分表为11ln d ln d ln d xxx e x x e x x e x x+∞+∞---=+⎰⎰⎰．就 1 0ln d x e x x-⎰，瑕点为0x =，而120lim ln 0xx x e x +-→⋅=，所以 1ln d x e x x-⎰收敛；就 1ln d x e x x+∞-⎰，因20lim ln 0xx x e x +-→⋅=，所以 1ln d x e x x+∞-⎰收敛．综上可知 0ln d x e x x+∞-⎰收敛．2 计算下列瑕积分的值 (1) 1(ln )d n x x⎰；解：设1 0(ln )d n n I x x=⎰，则1111 0lim(ln )lim (ln )d |n n n n eee e I x x n x x nI ++--→→=-=-⎰，而10 0d 1I x ==⎰，所以 1 0(ln )d (1)!n n x x n =-⎰．(2)1nx ⎰．解：令2sin x t =，则d 2sin cos d x t t t =，于是1212 02sin d nn n I x t t π+==⎰⎰ 22 02sin d(cos )n t t π=-⎰22122202sin cos 22sin cos d |nn t t n t t tππ-=-+⋅⎰212122 04sin d 4sin d n n n t t n t tππ-+=-⎰⎰12()n n n I I -=-，于是 1221n n n I I n -=+，而0I =2 02sin d 2t t π==⎰，所以212(2)!!2(!)2(21)!!(21)!n n n n I n n +=⋅=++．3 证明瑕积分2 0ln(sin )d J x xπ=⎰收敛，且ln 22J π=-，(提示：利用22 0ln(sin )d ln(cos )d x x x xππ=⎰⎰，并将它们相加)．证：瑕点为0x =，而3H 20001sin lim ln(sin )lim lim 2cos x x x x x x x+++→→→=-⋅3201sin lim 02cos x x x x +→=-=，所以2 0ln(sin )d J x xπ=⎰收敛．令2x t π=-知22 0 0ln(sin )d ln(cos )d x x x x ππ=⎰⎰，于是22 0 02ln(sin )d ln(cos )d J x x x xππ=+⎰⎰22 0 0sin 2ln(sin cos )d lnd 2xx x x x ππ==⎰⎰2 0ln sin 2d ln 22x x ππ=-⎰．而令2x t =得201ln sin 2d ln sin d 2x x t t ππ=⎰⎰ 2 0 211ln sin d ln sin d 22t t t t πππ=+⎰⎰ 22 0 011ln sin d ln cos d 22t t t t J ππ=+=⎰⎰．所以ln 22J π=-．4 利用上题结果，证明(1)2ln(sin )d ln 22ππθθθ=-⎰；证：令t θπ=-，则ln(sin )d ()ln(sin )d t t tππθθθπ=-⎰⎰，于是ln(sin )d ln(sin )d 2πππθθθθθ=⎰⎰220ln(sin )d ln 22πππθθ==-⎰．(2) 0sin d 2ln 21cos πθθθπθ=-⎰．证：() 0 0sin d d ln(1cos )1cos ππθθθθθθ=--⎰⎰ln 2ln(1cos )d ππθθ=--⎰2 0 0ln 2ln 2d ln sin d 2ππθπθθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰⎰ 02lnsin d 2πθθ=-⎰2 04lnsin d t tπ=-⎰2ln2π=． 所以 0sin d 2ln 21cos πθθθπθ=-⎰．总练习题111 证明下列等式(1) 110 1d d ,011p px x x x p x x --+∞=>++⎰⎰；证：令1x t =，则21d d x t t =-，于是1111 1112 0 00111d lim d lim d 1111p p p e e e e x x x x t x x t t t ++---→→⎛⎫==⋅⋅-⎪++⎝⎭+⎰⎰⎰1 1 10lim d d 11p p ee t t t t t t +--+∞→==++⎰⎰， 所以110 1d d ,011p px x x x p x x --+∞=>++⎰⎰．(2) 10 0d d ,0111p px x x x p x x --+∞+∞=<<++⎰⎰．证：因为01p <<，所以0x =为瑕点．令1x t =，则21d d x t t =-，于是1 0 12 00111d d d 1111p pp x t x t tx t t t t --+∞+∞-+∞=-⋅⋅=+++⎰⎰⎰所以 10 0d d 11p px x x x x x --+∞+∞=++⎰⎰．2 证明下列不等式(1)12π<<⎰； 证：1x =为瑕点．而12111lim(1)lim 2x x x --→→-==，所以1⎰收敛．又设sin x t =，则d cos d x t t =，于是12 0π=⎰⎰而1≤≤， 所以12π<<⎰． (2)201111d 122x e x e e +∞-⎛⎫-<<+ ⎪⎝⎭⎰． 证：因为22lim 0x x x e -→∞=，所以2d xe x+∞-⎰收敛．而2222110 1d d d d x x x xe x e x e x e x+∞+∞----=+>⎰⎰⎰⎰22 11201d d()2x x xe x e x --≥=--⎰⎰1122e =-．222211d d d 1d x x x xe x e x e x xe x+∞+∞+∞----=+<+⎰⎰⎰⎰()22111d 2x e x +∞-=--⎰112e =+． 故结论成立．3 计算下列反常积分的值． (1) 0cos d (0)ax e bx x a +∞->⎰；解：01cos d d(sin )axaxebx x e bx b +∞+∞--=⎰⎰1sin sin d ax axa e bx e bx x bb +∞+∞--=+⎰2d(cos )ax a e bx b +∞-=-⎰2 22cos cos d ax ax a a e bx e bx xb b +∞+∞--=--⎰222 0cos d ax a a e bx xb b+∞-=-⎰所以22 0cos d ax ae bx x a b +∞-=+⎰为所求．(2) 0sin d (0)ax e bx x a +∞->⎰；解：方法同上可得22 0sin d ax be bx x a b +∞-=+⎰．(3) 2 0ln d 1xx x +∞+⎰；解： 1 222 0 0 1ln ln ln d d d 111x x xx x x xx x +∞+∞=++++⎰⎰⎰，就 2 1ln d 1x x x +∞+⎰作变换1x t =，则21d d x t t =-，于是20 12222 1 1 0ln ln 1ln d d d 111x t t t x t t x t t t +∞⎛⎫=-⋅-=- ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰ 所以 20ln d 01xx x +∞=+⎰． (4)2ln(tan )d πθθ⎰．解：设tan x θ=，则21d d 1x x θ=+，于是2ln(tan )d πθθ⎰2 0ln d 01xx x +∞==+⎰．4 讨论反常积分sin d (0)bxx b x λ+∞≠⎰,λ取何值时绝对收敛，λ取何值时条件收敛．解： 1 0 0 1sin sin sin d d d bx bx bxx x x x x x λλλ+∞+∞=+⎰⎰⎰，就 1 0sin d bxx x λ⎰，当0λ>时，0x =为瑕点．当01λ<<时，sin 1bx x x λλ≤，而 1 01d x x λ⎰收敛， 所以当01λ<<时， 1 0sin d bxx xλ⎰绝对收敛．当12λ≤<时，因为10sin sin lim lim 0x x bx bxx b x x λλ-→→==>，而111d xx λ-⎰收敛，所以当12λ≤<时，10sin d bxx x λ⎰绝对收敛．当2λ≥时，因为10sin sin lim lim 0x x bx bxx b x x λλ-→→==>，而111d xx λ-⎰发散，所以当2λ≥时，10sin d bxx x λ⎰发散．就 1sin d bx x x λ+∞⎰，当0λ≤时， 1sin d bxx x λ+∞⎰发散．当01λ<≤时， 1()sin d uF u bx x=⎰在[1,)+∞上有界，1()g x x λ=单调以零为极限，由狄氏判别法知1sin d bxx x λ+∞⎰收敛．而 22sin sin 1cos bx bx bx x x x x λλλλ≥=-， 所以 1sin d bx x x λ+∞⎰发散，故 1sin d bxx x λ+∞⎰条件收敛． 当1λ>时，因为sin 1bx xx λλ≤， 而 1 01d x x λ⎰收敛，所以当1λ>时，1 0sin d bxx x λ⎰绝对收敛．综上可知，当0λ≤时，或2λ≥时， + 0sin d bxx xλ∞⎰发散；当01λ<≤时， + 0sin d bxx x λ∞⎰条件收敛；当12λ<<时， + 0sin d bxx x λ∞⎰绝对收敛．5 证明：设f 在[0,)+∞上连续，0a b <<． (1) 若lim ()x f x k→+∞=，则()()d ((0))ln f ax f bx bx f k x a +∞-=-⎰；证：令ax t =，则 ()()d d A aA a f ax f t x t x t δδ=⎰⎰，令bx t =，则 ()()d d A bA b f bx f t x t x t δδ=⎰⎰，于是 0()()()()d d d aA bA a b f ax f bx f t f t x t t x t t δδ+∞-=-⎰⎰⎰ ()()()()d d d d b bA aA bA a b bA b f t f t f t f t t t t t t t t t δδδδ=++-⎰⎰⎰⎰()()d d b bA a aA f t f t t t t t δδ=-⎰⎰ ()()d d b b a a f y f Ay y y y y ε=-⎰⎰1[()()]d b a f f A yyδξη=-⎰(积分中值定理,,(,)a b ξη∈)[()()]lnbf f A a δξη=-．令0,A δ+→→+∞得 0()()d ((0))lnf ax f bx bx f k x a +∞-=-⎰．(2) 若 ()d a f x x x +∞⎰收敛，则 0()()d (0)ln f ax f bx bx f x a +∞-=⎰．证：由(1)得()()d f ax f bx x x +∞-⎰()()d d b bA a aA f t f t t tt t δδ=-⎰⎰．因()d af x x x +∞⎰收敛，所以由柯西收敛准则得0,M a ε∀>∃>，2112(),d u u f x u u M x x ε∍>⇒<⎰“”．即 ()lim d 0bA aA A f t t t →∞=⎰． 故 0()()d (0)ln f ax f bx bx f x a +∞-=⎰．6 证明下述命题(1) 设0a >，()f x 为[,)a +∞上的非负连续函数．若 ()d axf x x+∞⎰收敛，则 ()d af x x+∞⎰也收敛．证：因为 ()d axf x x+∞⎰收敛，所以所以由柯西收敛准则得0,M a ε∀>∃>，2112,()d u u u u M xf x x a ε∍>⇒<⎰“”．而1()d ()d aa f x x xf x x a +∞+∞<⎰⎰，于是亦有21()d u u f x x ε<⎰．故 ()d af x x+∞⎰收敛．(2) 设0a >，()f x 为[,)a +∞上的连续可微函数，且当x →+∞时，()f x 递减地趋于0，则 ()d af x x+∞⎰收敛的充要条件为 ()d axf x x+∞'⎰收敛．证：()⇒设 ()d af x x+∞⎰收敛，因()d ()()d |aaaf x x xf x xf x x+∞+∞+∞'=-⎰⎰而lim ()0x xf x →+∞=(本章第二节第8题) 所以 ()d axf x x+∞'⎰收敛．()⇐设 ()d a xf x x +∞'⎰收敛，则0ε∀>，M a ∃>，()d AxA x M tf t t ε'∍>>⇒<⎰“”．因为()f x 递减地趋于0，所以()0f x '≤， 于是由积分中值定理得()d ()d [()()]AAxxtf t t f t t f A f x ξξ''==-⎰⎰，从而 0[()()][()()]x f A f x f A f x ξε≤-≤-<．又lim ()0A f A →+∞=，所以lim ()0x xf x →+∞=．从而()d ()()d |aaaxf x x xf x f x x+∞+∞+∞'=-⎰⎰()()d aaf a f x x+∞=-⎰，故 ()d af x x+∞⎰收敛．反常积分无限区间上的积分或的积分，这两类积分叫作,又名反常积分.1.无限区间上的积分一般地，我们有下列定义定义6.2设函数在区间上连续，如果极限（）存在，就称上极限值为在上的广义积分.记作即（ 6.24 ）这时我们说广义积分存在或收敛；如果不存在，就说不存在、发散或不收敛.类似地，可以定义在及上的广义积分.（ 6.25 ）其中（ 6.26 ）对于广义积分，其收敛的充要条件是：与都收敛.广义积分收敛时，具有积分的那些性质与积分方法，如换元法、分部积分法以及等，但有时代数和运算要注意，不要随便拆开.在用广义的牛顿—莱布尼兹公式时，无穷远点应取极限.为方便起见，引入记号，这样，若为的一个原函数，则（其中）注意：这里与是独立变化的，不能合并成 .2.无界函数的积分先给出瑕点或奇点的概念，若（或）时，，则点（或点）称为无界函数的瑕点或奇点. 的无穷间断点就是的瑕点.定义6.3设函数在上连续，左端点为的瑕点，如果存在，就称此极限值为无界函数在上的广义积分.记作（ 6.27 ）这时我们说广义积分存在或收敛.如果不存在，就说广义积分不存在、不收敛或发散.注：表明从大于0的方向趋于0，已经隐含了 .类似地，设函数在上连续，右端点为的瑕点，如果存在，就称此极限值为无界函数在上的广义积分.记作（ 6.28 ）这时我们说广义积分存在或收敛.如果不存在，就说广义积分不存在、不收敛或发散.还有，设函数在上连续，左端点、右端点均为的瑕点，如果及均存在，其中为内的一个确定点，且与两者之间是独立变化的，就称存在或收敛，记作如果及中至少有一个不存在，则称不存在、不收敛或发散.对于区间端点、均为的瑕点的广义积分有存在和均存在. 和都存在.其中为内的一个确定点，且与两者之间是独立变化的，另外，设函数在上除一个内部点外连续，且内部点为的瑕点，如果和均存在，也即和都存在，其中与两者之间是独立变化的，就称存在或收敛，记作（ 6.29 ）如果及中至少有一个不存在，则称不存在、不收敛或发散.对于内部点为的瑕点的广义积分有存在和均存在.和都存在.广义积分收敛时，具有常义积分的那些性质与积分方法，如换元法、分部积分法以及广义牛顿—莱布尼兹公式等，但有时代数和运算要注意，不要随便拆开，参见例5与例6.在用广义的牛顿—莱布尼兹公式时，无界点处原函数应取极限.为方便起见，引入记号左端点为瑕点时，记，这时广义的牛顿—莱布尼兹公式为右端点为瑕点时，记，这时广义的牛顿—莱布尼兹公式为左端点、右端点均为瑕点时，广义的牛顿—莱布尼兹公式为（为内的一个确定点）（）( 这里的值有时不必马上算出，可对抵掉. )仅内部点为瑕点时，广义的牛顿—莱布尼兹公式为注意：由于有限区间上的无界函数的广义积分常常会与常义积分混淆，因此求积分时，首先应判断积分区间上有无瑕点.有瑕点的，是广义积分；无瑕点的，是常义积分.若是广义积分，还要保证积分区间仅有一端是瑕点，中间没有瑕点.若不然，要将积分区间分段，使每一段区间仅有一端是瑕点，中间没有瑕点.。
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1
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
x 例3. 判别反常积分 d x 的敛散性 . 2 1 1 x 3 2 2 1 x x 解: lim lim x 2 1 2 2 x 1 x x 1 x
3 2
根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
例 3．判别下列反常积分的敛散性： 1 比较判别法 （1） sin 2 dx 1 x 1 1 1 解：∵ 0 sin 2 2 ， dx 收敛 ， 而 1 x2 x x 1 ∴ sin 2 dx 收敛 。 1 x
a
2) 若存在常数 N 0 , p 1, 使对充分大的 x 有 N f ( x) p x 则 f ( x) d x 发散 .
a
例1. 判别反常积分
x4 1 1 sin 2 x 解: 3 4 14 03 4 x x 1 x3 由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 1 思考题: 讨论反常积分 d x 的敛散性 . 3 3 1 x 1 提示: 当 x≥1 时, 利用 1 1 1 3 3 x 1 3 ( x 1) 3 x 1
a
当 p 1时, 可取 0 , 使 l 0 , (l 时用任意正
数 N 代替 l ) , 必有
x p f ( x) l
即
l N f ( x) p x x
a
(N l )
可见
f ( x) d x 发散 .
x
定理1. 设 f ( x) C [a , ) , 且 f ( x) 0 , 若函数
F ( x) f (t ) d t
a
x
在[a , ) 上有上界 , 则反常积分
根据极限收敛准则知
x
a
f ( x) d x 收敛 .
单调有界准则
证: f ( x) 0 , F ( x) 在[a , ) 上单调递增有上界 ,
可知原积分发散 .
1
sin x
3
2
d x 的敛散性 .
定理4. (极限审敛法1) 若 f ( x) C [a ,) , 且 f ( x) 0 , p lim x f ( x) l 满足
x
则有: 1) 当 p 1, 0 l 时 2) 当 p 1, 0 l 时
lim F ( x) lim
a
f (t ) d t x a
x
存在 , 即反常积分
f ( x) d x 收敛 .
定理2 . (比较审敛原理)
设 f ( x) C [a , ) , 且对充
分大的 x 有 0 f ( x) g ( x) , 则
a
A 故常取 g ( x) p ( A 0) 作比较函数 , x 得下列比较审敛法.
定理3. (比较审敛法 1)
设非负函数 f ( x) C [a , )
(a 0) .
1) 若存在常数 M 0 , p 1, 使对充分大的 x 有 M f ( x) p x 则 f ( x) d x 收敛 ;
t a
t
g ( x ) dx
故 f ( x) dx 是 t 的单调递增有上界函数 , 因此
f ( x ) dx a t a lim
极限存在 , 即反常积分
若
a
f ( x) dx 收敛 .
t
a
f ( x) dx 发散 , 因为 t a 时有 0 f ( x ) dx g ( x ) dx
a a t
a
令 t , 可见反常积分
g ( x) d x 必发散 .
思考: 比较判别法需要一个参照的函数来进行比较， 那我们有没有这么一个函数，能适用于大多数函数 的敛散性的判断呢？
下例我们在上节课已经对它的收敛性有过证明 说明: 已知 a
收敛 , p 1 1 dx p x 发散 , p 1
g ( x) dx 收敛 f ( x) dx 发散
a
f ( x) dx 收敛 g ( x) dx 发散
a
若
a
a
t
证: 不失一般性 , 设 x [a , )时, 0 f ( x) g ( x)
g ( x) dx 收敛 , 则对 t a 有
a f ( x) dx a g ( x) dx a
a a
b
f ( x ) dx b a
b
f ( x) dx 收敛 ; 如果上述极限不存在,
f ( x) dx 发散 .
b
f ( x) C ( , b], 则定义
f ( x ) dx f ( x) dx alim a
一、无穷限反常积分的审敛法
dx （2） 0 1 x sin x
1 1 dx 解：∵ 0 ， 而 ln( 1 x ) ， 0 1 x 0 1 x sinx 1 x
注意:
lim x f ( x) lim
p
f ( x)
1 xp
x
此极限的大小刻画了
x 时 f ( x) 趋于 0 的快慢程度 .
例2. 判别反常积分 解:
1
dx x 1 x
2
的敛散性 .
lim x
x
2
1 x 1 x
2
lim
1
1 x2
x
1
第一节 反常积分
无穷限反常积分的审敛法
定义1. 设 f ( x) C [a , ) , 取 b a , 若 b lim f ( x) dx
b a
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
a
这时称反常积分 就称反常积分 类似地 , 若
f ( x) dx lim
a
f ( x) d x 收敛 ;
a
f ( x) d x 发散 .
当x充
证: 当 p 1时, 根据极限定义 , 对取定的
p x f ( x) l , 即 分大时, 必有 M 0 f ( x) p ( M l ) x 可见 f ( x) d x 收敛 ;