圆锥曲线大题20道(含答案)

1•已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为（2, 0）,右顶点为”（J3,0） （1）求双曲线C 的方程;

（2）若直线I : y kx 、2与双曲线C 恒有两个不同的交点 A 和B ,且OA OB 2 （其

1

k 2 3.

3

中O 为原点） •求k 的取值范围•

解：（I ）

2

设双曲线方程为笃

a 1 (a 0,

b 0).

由已知得 a ∖3,c

2,再由 a 2 b 2

22,得b 2

1.

故双曲线 2

C 的方程为x

-

3

1.

(∏)将 2

y kx 2代入—

3

1 得(1 3k 2)χ

2 6.2kx 9 0.

由直线I 与双曲线交于不同的两点得

2

1 3k 0,

(6.2k)2

36(1 3k 2

)

36(1 k 2) 0.

即k 2

1

且k 2 1.① 3

设 A(X A ,y A ),B(X B ,y B ),则

X A X B

6 2k 1 3k 2"A X B

9 一 一

尹由O A OB 2得XAXB

y A y B 2,

而 X A X B

' 2)(kX B 2) (k

1) X A X B 2k(x A X B ) 2

2

(k I)

I

9 3k 2

2k 1

6 2k

2

2 3k ： 7 3k 3k

1

是 3k 2

7 疋 3k 2

1 2,即 3k

2 3k 2 1 0,解此不等式得

由①、②得

k 2

1.

故k 的取值范围为

(I

, T )

（刊

2

X

2..已知椭圆C :丐+

a

2

占=1 （a > b > 0）的左•右焦点为 F 1、F 2,离心率为e.直线

b

I : y = ex + a 与X 轴.y 轴分别交于点 A 、B , M 是直线I 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线

l 的对称点,

解得 1

设M 的坐标是(x 0,y 0),

(∏)解法一：因为PF 1⊥ I ,所以∠ PF 1F 2=90° +∠ BAF 1为钝角，要使△ PF 1F 2为等腰三角形，必有IPF IF IF 1F 2∣,

1

即 TPF I I c. 2

设点F 1到I 的距离为d ,

I e(_c) —1

设 AM =λ AB .

(I)证明：λ= 1 — e 2;

(∏)确定λ的值，使得△ PF 1F 2是等腰三角形•

［来Z ”，

(I)证法一：因为 A 、B 分别是直线 I : y ex a 与X 轴、y 轴的交点，所以

A 、

B 的坐标分别是

y a (,0),(0, a).由 X 2

e

2 a ex a, b 2

c,

b 2 这里 C ∙, a 2 b 2 .

C

所以点M 的坐标是(

b 2 c, a

由AM

即b 2 证法二: 因为 A 、B 分别是直线I : y ex

a

a 与X 轴、y 轴的交点，所以 A 、B 的坐标分别是(一，0),(0, a).

e

IUlIl 由AM

ULll AB 得 (X

-,y 0) e

(：,a),

所以

X o 1) y o

a.

因为点M 在椭圆上，所以

2 X

o 2

a

2

y 。 1 b 2 1,

a [( 即-e —

1)]2

(a)2 b 2 1,所以

(1 )2 2 e

2

TV 1∙

［来源学科网ZXXK ］

解得 2(1

)e 2 (1 )2 0, e 2

1

1 e 2.

I a ecI 、1 e 2

c,

a b

AB 得 ( C —,——)

e a

得仝e.

.1 e 2

1

,于是 3

2

时，△ PF 1F 2为等腰三角形. 3

［启思］

4.已知椭圆的中心为坐标原点 O ,焦点在X 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于 A 、B 两点，QA QB 与a (3,

1)共线.

(I)求椭圆的离心率；

(∏)设M 为椭圆上任意一点，且 QM QA QB ( , R),证明2

2

为定值.

解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学

知识解决问题及推理的能力.满分12分.

所以e 2

即当

解法二：因为 PF 1⊥∣ ,所以∠ PF 1F 2=90 + ∠ BAF 1为钝角，要使△ PF 1F 2为等腰三角形，必有IPF IF IF 1F 2∣, 设点P 的坐标是(x 0, y 0),

y 0 0

则

X0 C

y ° 0 2

X o

a.

X 。

解得

y 。

e 2 3 一2 C , e 1

2(1 e 2)a e 2 1

由 |PF 1|=|F 1F 2|得

e 3)c 1

c]2

[2(1 2

、

e )a ]2 2 ] e 1

4c 2,

两边同时除以 4a 2,化简得

2 2

(e 1) e 2 1

从而e 2

. 于是 1

3 1 e 2

即当

-时，△ 3

3.设 X, y R , i 、

a Xi (y ■3)j, b

PF 1F 2为等腰三角形

[来源:Z ,xx,]

j 为直角坐标平面内 y 轴正方向上的单位向量，若

Xi (y √3)j ,且 a

4.

(I)求点P(x, y)的轨迹C 的方程;

［来源学科#网］

(∏)若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足 AM MB , 其中M (0,

3 ),求线段AB 的长…”

］