2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明

一、近几年高考试卷部分立几试题

1、（全国8）正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是（）

A、90°

B、60°

C、45°

D、30°

[评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。

2、（全国18）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF 上移动，若CM=NB=a(0

（1）求MN的长；

（2）当a为何值时，MN的长最小；

（3）当MN长最小时，求面MNA与面

MNB所成的二面角的大小。

[评注]考查线面关系，二面角函数最值等基础知识，考查空间想

象力和推理能力。

3、(

全国19)如图，四棱锥P－ABCD

C

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。

（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，

求这个四棱锥的体积；

（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面

PCD所成的二面角恒大于90°。

[评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。

4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。

(1)(2)

（二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

[评注]主要考查空间想象能力，动手操作能力，探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力。

5、(年上海14)已知直线l、m、平面α、β，且l⊥α，m β，给出下列四个命题。

（1）α∥β，则l⊥m （2）若l⊥m，则α∥β

（3）若α⊥β，则l∥m （4）若l∥m，则α⊥β

[评注]主要考查线面关系的判断。

6、(上海4)若正四棱锥的底面边长为23cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是________.

[评注]主要考查正棱锥中有关量的计算，以及二面角的求法。7、（03全国15）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面积的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A－BCD的一个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则________”.

[评注]主要考查三棱锥基本知识，考查运用联想、类比、猜想的手法进行探索的能力。

8、（03年江苏7）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）

A 、33a

B 、43a

C 、63a

D 、12

3a [评注]考查多面体积的计算方法。

9、（年江苏12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A 、3π

B 、4π

C 、33π

D 、6π

[评注]考查几何组合体知识以及多面体与球的计算问题。

10、对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD ；②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD ；③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ；④AB ⊥CD, BD ⊥AC ，则BC ⊥AD ；其中真命题的序号是_______________.

[评注]考查多面体中线线关系的判断。

11、（年江苏19）如图，在直三棱

柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直

角三角形，∠ACB=90°，侧棱

AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B

的中点，点E 在平面ABD 上的射影

是△ABD 重心G 。 （1）求A 1B 与平面ABD 所成的角大小；

B1A1

（2）求点A 1到平面AED 的距离。

12、（年上海14）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）

A 、α、β都垂直于平面γ

B 、α内存在不共线的三点到β的距离相等

C 、l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β

D 、l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α， l ∥β，m ∥β

[评注]主要考查线面、面面位置关系等基本知识，考查分析判断能力。

13、（年上海5）在正四棱锥P －ABCD 中，若侧面与底面所成的二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于____________.

[评注]主要考查异面直线所成角的度数的求法，正四棱锥的性质等基本知识，考查运算能力。

14、（年上海18）如图，已知平

行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AB=4，AD=2，若B 1D

⊥BC ，直线B 1D 与 C'

A'

平面ABCD 的所成的角等于30°，

求平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积。

[评注]主要考查平行六面体等基本知识。

15、（04年全国理16）已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能的是

①两条平行直线

②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点

在上面结论中，正确结论的编号是_____________(写出所有正确结论的编号)

[评注]主要考查线面关系的判断。

16、(04全国理20)如图，已知四棱锥P －

ABCD ，PB ⊥

AD ，

侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面

ABCD 为菱形，

侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为

120°.

（1）求点P 到平面ABCD 的距离；

（2）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.

[评注]主要考查线面关系，点面距离及二面角的求法，以及空间

C

P