排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法

排列组合算法总结(基于C++实现)
全排列n!
1.1 递归法
设一组数p = {r1, r2, r3, … ,rn}, 全排列为perm(p)，pn = p –{rn}。

则perm(p) = r1perm(p1), r2perm(p2), r3perm(p3), … , rnperm(pn)。

当n = 1时perm(p} = r1。

如：求{1, 2, 3, 4, 5}的全排列
1、首先看最后两个数4, 5。

它们的全排列为4 5和5 4, 即以4开头的5的全排列和以5开头的4的全排列。

由于一个数的全排列就是其本身，从而得到以上结果。

2、再看后三个数3, 4, 5。

它们的全排列为3 4 5、3 5 4、 4 3 5、4 5
3、 5 3
4、 5 4 3 六组数。

即以3开头的和4,5的全排列的组合、以4开头的和3,5的全排列的组合和以5开头的和3,4的全排列的组合.
#include iostream
using namespace std;
void Perm(int start, int end, int a[]) {
--得到全排列的一种情况，输出结果
if (start == end) {
for (int i = 0; i end; i++)
cout a[i] ' ';
cout endl;
for (int i = start; i end; i++) {
swap(a[start], a[i]); --交换
Perm(start + 1, end, a); --分解为子问题a[start+1.,end-1]的全排列
swap(a[i], a[start]); --回溯
int main() {
int i, n, a[10];
while (cin n, n) {
for (i = 0; i n; i++)
a[i] = i + 1;
Perm(0, n, a);
return 0;
C(n,k)，n个数中任取k个数
2.1 递归法
实际上就是在n个数中，标记k个数，然后输出这k个数的过程。

使用一个visited数组来记录相应下标的数是否被选中。

#include iostream
using namespace std;
void dfs(int pos, int cnt, int n, int k, int a[],bool visited[]) {
--已标记了k个数，输出结果
if (cnt == k) {
for (int i = 0; i n; i++)
if (visited[i]) cout a[i] ' ';
cout endl;
--处理到最后一个数，直接返回
if (pos == n) return;
--如果a[pos]没有被选中
if (!visited[pos]) {
--选中a[pos]
visited[pos] = true;
--处理在子串a[pos+1, n-1]中取出k-1个数的子问题 dfs(pos + 1, cnt + 1, n, k, a,visited);
visited[pos] = false;
--处理在子串a[pos+1, n-1]中取出k个数的问题
dfs(pos + 1, cnt, n, k, a, visited);
int main() {
int i, n, k;
while (cin n k, n || k)
int *a = new int[n];
bool *visited = new bool[n];
for (i = 0; i n; i++)
a[i] = i + 1;
visited[i] = false;
dfs(0, 0, n, k, a, visited);
delete[] a;
delete[] visited;
getchar();
return 0;
2.2 ‘01’转换法
本程序的思路是开一个数组，其下标表示1到n个数，数组元素的值为1表示其代表的数被选中，为0则没选中。

首先初始化，将数组前n个元素置1，表示第一个组合为前n个数。

然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为“01”组合，同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。

当第一个“1”移动到数组的n-m的位置，即n个“1”全部移动到最右端时，就得到了最后一个组合。

例如求5中选3的组合：
1 1 1 0 0 --1,2,3
1 1 0 1 0 --1,2,4
1 0 1 1 0 --1,3,4
0 1 1 1 0 --2,3,4
1 1 0 0 1 --1,2,5
1 0 1 0 1 --1,3,5
0 1 1 0 1 --2,3,5
1 0 0 1 1 --1,4,5
0 1 0 1 1 --2,4,5
0 0 1 1 1 --3,4,5
#include iostream
using namespace std;
--输出结果
void printRes(int* a, bool* index, int n) for (int i=0;in;i++)
if (index[i])
cout a[i] " ";
cout endl;
--检查最后k个位置是否已全变成0
bool hasDone(bool* index, int n, int k) for (int i=n-1;i=n-k;i--)
if (!index[i])
return false;
return true;
void Comb(int* a, int n, int k)
bool *index = new bool[n]();
--选中前k个位置
for (int i = 0; i k; i++)
index[i] = true;
printRes(a, index, n);
while (!hasDone(index, n, k))
--从左到右扫描数组
for (int i = 0; i n - 1; i++)
--找到第一个“10”组合将其变成"01"组合 if (index[i] !index[i + 1])
index[i] = false;
index[i + 1] = true;
--将"01"组合左边的1移到最左边
int count = 0;
for (int j = 0; j i; j++)
if (index[j])
index[j] = false;
index[count++] = true;
printRes(a, index, n);
delete[] index;
int main()
while (cinnk)
int *a = new int[n]();
for (int i = 0; i n; i++)
a[i] = i+1;
Comb(a, n, k);
delete[] a;
return 0;
Permutation(data, 0, 4, nCount);
比如，如果数组num初始化为2,3,1，那么输出就变为了：{2 3 1} {3
1 2} {3
2 1}
⒊分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。

首先从各大IT公司的题中总结出排列组合的对象都是整形数组或字符数组，排列问题可以按输入数据分为两大类：输入数据有重复和无重复，又可以按输出数据分为两大类：输出数据有重复和无重复；而排列问题也偶尔会考非递归。

第二类stirling数：S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m).
for(int j=1; j=maxn; j++)
if(temp (1j)) --对应位上为1，则输出对应的字符
value[i]=i+1;--此处是赋初值,以1,2,3,4,5为例，当然任何数字都可以
组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。

用符号 C(n,m) 表示：
区别：分类计数原理是加法原理，不同的类加起来就是我要得到的总数；分步计数原理是乘法原理，是同一事件分成若干步骤，每个步骤的方法数相乘才是总数。