高中数学课件-空间图形的公理(二)

P l且P l
l
作用：判断两个平面是否相交的依据.
P
画两个相交平面如何画?
画法：
α
β
a
按照给出的要求,完成下面两个相交平面的作图,图中的线段 AB,分别是两个平面的交线.
α
α
A β
A
B
β
（1）
B
（2）
a
b
c 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行.
a // b, b // c a // c (平行的传递性)
//
（5）空间平面与平面的位置关系有__种: // BC
空间图形的基本关系与公理(2)
一、四个公理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
条直线上所有的点都在这个平面内． Bl
A
不加证明的 大家都认为 正确的结论.
Al,Bl, A,B l
作用：判断直线是否在平面内的依据.
公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 .
则sin∠EMH＝ 23，于是∠EMH＝60°， 则∠EMF＝2∠EMH＝120°. 所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线 AD、BC所成的角为60°.
方法归纳
求异面直线所成角的步骤 一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角； 二证：证明作出的角就是要求的角； 三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊 三角形求解．
EFGH是___菱_形_____.
A
A
A
E
H
E
H
E
H
B
D
B
D
B
D
G F
F
G
G F
C
C
C
例2.如图, 将无盖正方体纸盒展开, 直线AB, CD在原 正方体中的位置关系是( D ).
A. 平行 B. 相交且垂直 C. 异面直线 D. 相交成60o
C
C
A D
B
A
B( D )
类型三 异面直线所成的角 [例3] 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分 别是AB、CD的中点，若EF＝ 3 ，求异面直线AD、BC所成角的大 小．
作用：判定空间两直线平行的依据.
思考交流2
如图(1), 在平面内如果两个角的两条边分别对应平行, 那么 这两个角是什么关系?
A
A
B
O B
OC
（1）
（2）
E
如图(2), 在空间, 如果两个角的两条边分别对应平行, 那么这
两个角是什么关系?
二、等角定理 空间中, 如果两个角的两条边分别对应平行, 那
么这两个角相等或互补.
【解析】
如图，取BD的中点M，连接EM，FM. 因为E、F分别是AB、CD的中点， 所以EM綊 12 AD，FM綊 12 BC，则∠EMF或其补角就是异面直线 AD、BC所成的角． 因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，
在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，
在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝12EF＝ 23，
空间图形的公理
复习回顾
空间中点、线、面之间的位置关系:
Pa
（1）空间点与直线的位置关系有__种: P a
P
（2）空间点与平面的位置关系有__种: P
平行直线. 共面直线
（3）空间两直线的位置关系有__种: 相交直线.
异面直线.
a
（4）空间直线与平面的位置关系有__种: c A
a //
3.经过两条平行直线,可以确定一个平面吗?
a
a
b
A
b
a
结论:
（1）A a 有且只有一个平面, 使 A , a .
（2）a b P 有且只有一个平面,使a , b . （3）a // b 有且只有一个平面,使 a , b .
作用：确定平面的依据.
D A
C B
D
C
A
B
公理3 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点， 且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
作用：判定空间两角相等的依据.
三、例题与练习
例1.已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD上的中
点,F、G分别是边CB、CD上的点,且 CF CG 2 , 求证：四边形
CB CD 3
EFGH有一组对边平行但不相等. 四个顶点
A
证明：如图,连接BD、EH、FG, 不在同一 E
H
平面内的
EH是△ABD的中位线
EH
EH
1 2
B四D边形B.// BD EH来自//FFG
D
在△BCD中,
CF CB
CG CD
2 3
FG // BD
FG
2 3
BD
EH 1 BD
FG EH
G
C
2
四边形EFGH的一组对边平行但不相等.
变式练习：
（1）已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD上的 中点,F、G分别是边CB、CD上的中点, 则四边形EFGH是_平_行__四__边_形__.
（2）已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD上的
点,且
AE AB
AH AD
2, 3
F、G分别是边CB、CD上的点,且CF CB
CG CD
2, 3
则四边形EFGH__平_行__四_边__形__.
（3）已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、AD上的
中点,F、G分别是边CB、CD上的中点, 且对角线AC=BD,则四边形
四、课堂小结
1.四个公理的内容及作用:
Al,Bl, A,B l
A、B、C三点不共线 有且只有一个平面 ,
使得 A, B,C .
P l且P l
a // b,b // c a // c
2.等角定理的内容及作用. 空间中, 如果两个角的两条边分别对应平行, 那么这两个角 相等或互补.
B
A C
A、B、C三点不共线 有且只有一个平面 ,
使得 A, B,C .
作用：确定平面的依据. 平面 也可记作“平面ABC”或“ ABC”
注意！ “有且只有一个”中的“有”是说图形存在, “只有一个”
是说图形 “唯一”.
∠
思考交流1
1.经过一条直线和这条直线外的一点, 可以确定一个平面吗?
2.经过两条相交直线, 可以确定一个平面吗?