第一章-极限与连续-习题课

函数的定义

反函数隐函数反函数与直接函数之间关系

基本初等函数

复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性

单调性

有界性

周期性双曲函数与

反双曲函数

1、函数的定义

．

记作的函数，是对应，则称则总有确定的数值和它按照一定法，变量集．如果对于每个数是一个给定的数是两个变量，和设定义　)(x f y x y y D x D y x =∈叫做因变量．

叫做自变量，，叫做这个函数的定义域数集y x D .

}),({称为函数的值域函数值全体组成的数集

D x x f y y W ∈==

函数的分类

函数初

等

函

数

非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代

数

函

数

超越函数

有

理

函

数

无理函数

有理整函数(多项式函数)

有理分函数(分式函数)

(1) 单值性与多值性:

若对于每一个D x ∈,仅有一个值)(x f y =与之对应,则称)(x f 为单值函数,否则就是多值函数.x

y o x e y =x y o

1)1(2

2=+-y x 2、函数的性质

(2) 函数的奇偶性:奇函数

有

对于关于原点对称设,,D x D ∈∀;)()

()(为偶函数称x f x f x f =-;)()

()(为奇函数称x f x f x f -=-y

x o

x y o x

y =3x y =

(3) 函数的单调性:

设函数f(x)的定义域为D ，区间I D

，如果对于区间I 上任意两点及，当时，恒有：

(1) ,则称函数在区间I 上是单调增加的；或(2) , 则称函数在区间I 上是单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。⊂1x 2x 21x x <)()()()(2121x f x f x f x f ><)(x f )(x f x

y

o 2x y =;

0时为减函数当≤x ;

0时为增函数当≥x

.

.)(,)(,,0,否则称无界上有界在则称函数成立有若X x f M x f X x M D X ≤∈∀>∃⊂(4) 函数的有界性:

;

),0()0,(上无界及在+∞-∞.

),1[]1,(上有界及在+∞--∞x

y

o x y 1=11-

设函数f(x) 的定义域为D ，如果存在一个不为零的数l,使得对于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为f(x) 的周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.D x ∈D l x ∈±)((5) 函数的周期性:

o y

x 11]

[x x y -=1=T

3、基本初等函数

1）幂函数)(是常数μ=μ

x y 2）指数函数)1,0(≠>=a a a

y x 3）对数函数)1,0(log ≠>=a a x

y a 4）三角函数;

cos x y =;sin x y =5）反三角函数;

arccos x y =;arcsin x y =;cot x y =;

tan x y =;arctan x y ==y cot arc x

4、复合函数

设函数)(u f y =的定义域f D ,而函数)(x u ϕ=的值域为ϕZ ,若∅≠⋂ϕZ D f ,则称函数)]([x f y ϕ=为x 的复合函数.

5、初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.

左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的

充要条件

判定极限

存在的准则无穷小的比较极限的性质

数列极限

函数极限a x n n =∞→lim A x f x x =→)(lim 0A x f x =∞→)(lim 等价无穷小及其性质唯一性无穷小0)(lim =x f 两者的关系

无穷大∞=)(lim x f

定义 如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数N ,使得对于N n >时的一切n x ,不等式ε<-a x n 都成立,那末就称常数

a 是数列n x 的极限,或者称数列n x 收敛于

a ,记为 ,lim a x n n =∞→或).

(∞→→n a x n .

,,0,0εε<->>∃>∀a x N n N n 恒有时使1、极限的定义定义

""N -ε

定义2 如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,使得对于适合不等式δ<-<00x x 的一切x ,对应的函数值)(x f 都满足不等式 ε<-A x f )(,

那末常数A 就叫函数)(x f 当0x x →时的极限,记作)

()()(lim 00x x A x f A x f x x →→=→当或定义""δ-ε.

)(,

0,0,00ε<-δ<-<>δ∃>ε∀A x f x x 恒有时使当

左极限.

)(,

,0,000ε<-<<δ->δ∃>ε∀A x f x x x 恒有时使当右极限.

)(,

,0,000ε<-δ+<<>δ∃>ε∀A x f x x x 恒有时使当.

)0()(lim 0)(000A x f A x f x x x x =-=-→-→或记作.)0()(lim 0)

(000A x f A x f x x x x =+=+→+→或记作.)0()0()(lim :000

A x f x f A x f x x =+=-⇔=→定理