2020届山东省潍坊市高三二模数学试题及答案

绝密★启用前2020届山东省潍坊市高三二模数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则A ∩(∁U B )＝（ ）A ．{1，4}B ．{1，4，5}C ．{4，5}D ．{6，7} 答案：C根据补集与交集的定义，计算即可．解：集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，B ＝{2，3，6，7}，所以∁U B ＝{1，4，5}，又A ＝{2，3，4，5}，所以A ∩(∁U B )＝{4，5}．故选：C ．点评：本题考查了集合的补集和交集运算，基础题．2．若复数1a i z i +=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是（ ） A ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣2 答案：B利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0求解a 的范围即可. 解： ∵()()()()11111122a i i a i a a z i i i i +++-+===+--+ 又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内， ∴102102a a -⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，得﹣1＜a ＜1． ∴实数a 的值可以是0．故选：B ．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3．甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是律师，乙是医生，丙是记者B．甲是医生，乙是记者，丙是律师C．甲是医生，乙是律师，丙是记者D．甲是记者，乙是医生，丙是律师答案：C由题意易得丙是记者，由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是律师，甲是医生.解：由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而排除B和D；由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从而乙是律师，甲是医生．故选：C.点评：本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、总结归纳能力，考查化归与转化思想，是基础题. 4．以抛物线E：x2＝4y的焦点为圆心，且与E的准线相切的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2＝4 B．x2+（y+1）2＝4C．（x+1）2+y2＝4 D．x2+（y﹣1）2＝4答案：D求出焦点坐标，得到圆的圆心坐标，然后求解圆的半径，即可求解圆的方程．解：抛物线E：x2＝4y的焦点为圆心，可得圆心坐标（0，1），圆与抛物线E的准线相切，所以圆的半径为：2，圆的方程为：x2+（y﹣1）2＝4．故选：D．点评：本题考查抛物线的简单性质，圆的方程的求法，属于基础题．5．设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e x﹣cosx，则不等式f（2x﹣1）+f（x﹣2）＞0的解集为()A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，13）C ．（13，+∞）D ．（1，+∞） 答案：D由函数的解析式求出其导数，分析可得f （x ）在[0，+∞）上为增函数，结合函数的奇偶性分析可得f （x ）在R 上为增函数，据此可得原不等式等价于2x ﹣1＞2﹣x ，解出x 的取值范围，即可得答案．解：由题知，当x ≥0时，f （x ）＝e x ﹣cosx ，此时有()f x '＝e x +sinx ＞0，则f （x ）在[0，+∞）上为增函数，又由f （x ）为奇函数，则f （x ）在区间（﹣∞，0]上也为增函数，故f （x ）在R 上为增函数.由f （2x ﹣1）+f （x ﹣2）＞0，可得f （2x ﹣1）＞﹣f （x ﹣2），而函数f （x ）为奇函数，可得到f （2x ﹣1）＞f （2﹣x ），又f （x ）在R 上为增函数，有2x ﹣1＞2﹣x ，解得x ＞1，即不等式的解集为（1，+∞）.故选：D点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于中档题．6．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为()A ．94B ．95C ．96D ．98 答案：B设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，m ∈[90，100]，由题可得n+（n+1）+（n+2）++（n+18）+m ＝19n+171+m ＝1520，解出n 的取值范围，根据年龄为整数可得n 的取值范围，再代入可得m 的值．解：根据题意可知，这20个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，m ∈[90,100]，则有n+（n+1）+（n+2）++（n+18）+m＝19n+171+m＝1520，则有19n+m＝1349，则m＝1349﹣19n，所以90≤1349﹣19n≤100，解得145 65661919n≤≤，因为年龄为整数，所以n＝66，则m＝1349﹣19×66＝95.故选：B【点晴】本题考查阅读理解能力，涉及等差数列的性质，属于中档题．7．在四面体ABCD中，△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，则四面体ABCD的体积为()A．224B．212C．26D．24答案：B易得出AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°，设球心为O，则OB＝OC＝OD2=，BO⊥AD，BO⊥OC，从而BO⊥平面ACD，由此能求出四面体ABCD的体积．解：在四面体ABCD中，△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形，四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，设球心为O，则O为AD的中点，∴AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°，OB＝OC＝OD22=，BO⊥AD，BO⊥OC，∴BO⊥平面ACD，∴四面体ABCD的体积为：V B﹣ACD 1112222332ACDS BO=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=．故选：B【点晴】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．8．已知O为坐标原点，双曲线C：()2222100x ya ba b-=＞，＞的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A（点A在第一象限），点B在双曲线C的渐近线上，且BF∥OA，若0AB OB⋅=，则双曲线C的离心率为（）A．23B．2C．3D．2答案：A设双曲线的半焦距为c，利用题设条件分别求出A、B的坐标，再利用0AB OB⋅=得到a与c的关系式，即可求出离心率．解：如图所示，设双曲线的半焦距为c，渐近线方程为：y＝±bxa，则点F（c，0），A（c，bca），设点B（x0，0bxa-），∵BF∥OA，∴OA BFk k=，即bxb aa x c-=-，解得：x02c=，所以(,)22c bcBa-∴322c bcABa-⎛⎫=-⎪⎝⎭，，22c bcOBa⎛⎫=-⎪⎝⎭，又∵0AB OB⋅=，∴2222344c b ca-+=0，即a2＝3b2．∵c2＝a2+b2，∴a2＝3（c2﹣a2），即3c2＝4a2，所以离心率e233ca==．故选：A．点评：本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了求双曲线的离心率，考查了平面向量的数量积的坐标运算，属于基础题．二、多选题9．我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤﹣比全球人均粮食产量高了约250斤．如图是中国国家统计局网站中2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在2010﹣2019年中（）A．我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B．2011年我国粮食年产量的年增长率最大C．2015年﹣2019年我国粮食年产量相对稳定D．2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰答案：BCD仔细观察2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，利用条形图中的数据直接求解．解：由中国国家统计局网站中2010﹣2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，知：对于A ，我国粮食年产量在2010年至2015年逐年递增，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨左右，2016年，2018年略低；而我国年末总人口均逐年递增，故A 错误；对于B ，由粮食产量条形图得2011年我国粮食年产量的年增长率最大，约为5%，故B 正确； 对于C ，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨以上，故C 正确；对于D ，2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为0.48吨/人，故D 正确．故选：BCD点评：本题主要考查条形图，考查学生的数据分析和运算求解能力，是基础题．10．若1a b <<-，0c >则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b a b ->-B ．11b aa b -<- C ．()0ln b a ->D ．c ca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案：BD 对于A ：构造函数1y x x=-，由函数在(,1)-∞-上的单调性进行比较； 对于B ：构造函数1y x x =+，由函数在(,1)-∞-上的单调性进行比较； 对于C ：由于a b <，则0b a ->，但不确定b a -与1的大小关系，无法判断大小；对于D ：易知1a b >，01b a<<，由指数函数的单调性进行判断即可. 解： 由函数1y x x=-在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b -<-，故选项A 错误； 由函数1y x x =+在(,1)-∞-上为增函数可知，当1a b <<-时，11a b a b +<+，即11b a a b -<-，故选项B 正确；由于a b <，则0b a ->，但不确定b a -与1的大小关系，故()ln b a -与0的大小关系不确定，故选项C 错误；由1a b <<-可知，1a b >，01b a <<,而0c >，则10c ca b b a ⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 正确． 故选：BD ．点评：本题考查实数的大小比较，考查函数思想的运用，属于基础题．11．在单位圆O ：x 2+y 2＝1上任取一点P （x ，y ），圆O 与x 轴正向的交点是A ，设将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角为θ，记x ，y 关于θ的表达式分别为x ＝f （θ），y ＝g （θ），则下列说法正确的是（ ）A ．x ＝f （θ）是偶函数，y ＝g （θ）是奇函数B ．x ＝f （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为增函数，y ＝g （θ）在22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，为减函数 C ．f （θ）+g （θ）≥1对于02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立D ．函数t ＝2f （θ）+g （2θ）的最大值为2 答案：ACA ，由题可知，()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，根据正弦函数和余弦函数的奇偶性，可判断选项A ；B ，根据正弦函数和余弦函数的单调性，可判断选项B ；C ，先利用辅助角公式可得()())4f g πθθθ+=+，再结合正弦函数的值域即可得解； D ，2cos sin2t θθ=+，[0θ∈，2]π，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 解： 解：由题可知，()cos x f θθ==，()sin y g θθ==，即A 正确；()cos x f θθ==在[,0)2π-上为增函数，在[0,]2π上为减函数；()sin y g θθ==在[,]22ππ-上为增函数，即B 错误；()()cos sin )4f g πθθθθθ+=++，[0,]2πθ∈，∴3[,]444πππθ+∈，)4πθ+∈，即C 正确； 函数2()(2)2cos sin 2t f g θθθθ=+=+，[0,2]θπ∈则22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，3cos θ=时，函数t 取得极大值，为31333222t =⨯+⨯⨯=， 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数t 的最大值为33，即D 错误．故选：AC ．点评：本题考查正弦函数、余弦函数的单调性和奇偶性，三角恒等变换，利用导数求函数的单调性与最值等，考查学生灵活运用知识的能力、推理论证能力和运算能力，属于中档题．12．如图，平面α∩平面β＝l ，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．下列判断正确的是（ ）A ．若AB //CD ，则MN //lB ．若M ，N 重合，则AC //lC ．若AB 与CD 相交，且AC //l ，则BD 可以与l 相交D ．若AB 与CD 是异面直线，则MN 不可能与平行答案：BD由若两两相交的平面有三条交线，交线要么相交于一点，要么互相平行判定A 、B 、C ；用反证法证明D ．解：解：若//AB CD ，则A 、B 、C 、D 四点共面γ，当<AB CD 时，平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ，则三条交线交于一点O ， 则l 与平面γ交于点O ，MN ∴与l 不平行，故A 错误；若M ，N 两点重合，则//AC BD ，A 、B 、C 、D 四点共面γ，平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ，由//AC BD ，得////AC BD l ，故B 正确；若AB 与CD 相交，确定平面γ，平面α、β、γ两两相交有三条交线，分别为AC 、BD 、l ， 由//AC l ，得////AC BD l ，故C 错误；当AB ，CD 是异面直线时，如图，连接BC ，取BC 中点G ，连接MG ，NG ．则//MG AC ，AC α⊂，MG α⊂/，则//MG α，假设//MN l ，l α⊂，MN α⊂/，//MN α∴，又MNMG M =，∴平面//MNG α，同理可得，平面//MNG β，则//αβ，与平面α平面lβ=矛盾． ∴假设错误，MN 不可能与l 平行，故D 正确．故选：BD ．点评：本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．三、填空题13．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，12102F F N ==，则物体的重力大小为_____．答案：20根据向量加法的平行四边形法则，即可作出12F F +，进而求出12F F +的值，从而得出物体重力的大小．解：如图，∵12||||102F F N ==，∴12102220F F N N +==， ∴物体的重力大小为20． 故答案为：20． 点评：本题考查了向量加法的平行四边形法则，等腰直角三角形直角边和斜边的关系，考查了计算能力，属于基础题．14．已知50245sin ππαα⎛⎫⎛⎫∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则tan α＝_____． 答案：3 由题可知(,)444πππα-∈-，所以cos()04πα->，利用同角三角函数的平方关系可求得其值，再采用拼凑角的方法，sin sin[()]44ππαα=-+，并结合正弦的两角和公式求出其值，再一次利用平方关系，求出cos α的值，最后利用商数关系即可得解． 解： 解：5sin()4πα-(0,)2πα∈，∴(,)444πππα-∈-，225cos()1()44sin ππαα-=--， ∴2235310sin sin[()])cos()]4444ππππαααα=-+=-+-==，(0,)2πα∈，∴210cos 1sin αα=-，∴sin tan 3cos ααα==． 故答案为：3． 点评：本题考查三角恒等变换的混合运算，观察角之间的联系，使用拼、凑角是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．15．植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数字作答）．答案：36先选四个位置上的重复树苗有13C 种方法，再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问题． 解：解：由题意对称相当于3种树苗种A ，B ，C ，D 四个位置，有且仅有一种树苗重复，有13C 种选法；在四个位置上种植有442212A A =种方法，则由乘法原理得131236C ⨯=种方法． 故答案为：36． 点评：本题考查排列组合，计数原理的应用，本题运用除序法，可以避免讨论，简化计算．属于中档题． 四、双空题16．已知函数()3212311lnx x f x x x x ≥⎧=⎨-+⎩，，＜则x ∈[﹣1，e]时，f （x ）的最小值为_____；设g （x ）＝[f （x ）]2﹣f （x ）+a 若函数g （x ）有6个零点，则实数a 的取值范围是_____． 答案：﹣4（0，14） 根据各段函数的单调性分别求出各段的最小值或者下确界，即可求出[1x ∈-，]e 时，()f x 的最小值；令()t f x =，根据题意再结合函数()f x 的图象，以及2y t t =-的图象即可求出实数a 的取值范围．解：解：当[1x ∈，]e 时，()f x lnx =，此时函数在区间上单调递增，故此时函数最小值为()110f ln ==，当[1x ∈-，1)时，32()231f x x x =-+，则2()660f x x x '=-=时，1x =（舍)或0， 且有()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,1)上单调递减， 因为()()123141f f -=--+=-<， 故函数()f x 在[1-，]e 上的最小值为4-； 令()t f x =，()0g x =即2t t a -=-， 作出函数()y f x =的图象，如图所示：直线y t =与函数()y f x =的图象最多只有三个交点，所以01t <<， 即说明方程2t t a -=-有两个(0,1)内的不等根，亦即函数2y t t =-在(0,1)内的图象与直线y a =-有两个交点，因为2211()24y t t t =-=--，根据2y t t =-的图象可知，104a -<<， 即实数a 的取值范围为104a <<．故答案为：4-；1(0,)4．点评：本题主要考查分段函数的最值求法，以及根据函数的零点个数求参数范围，考查学生的转化能力和数形结合能力，属于较难题． 五、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知233a A π==，，（1）若4B π=，求b ；（2）求△ABC 面积的最大值．答案：（1）；（2）（1）根据题意利用正弦定理可求b 的值；（2）由余弦定理和基本不等式可求bc 的最大值，进而可求△ABC 面积的最大值． 解： 解：（1）4B π=，3a A π==，∴由正弦定理sin sin a bA B=，可得2sin sin a B bA ===．（2）3a A π==，∴由余弦定理知222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+--=，212bc a ∴=，当且仅当bc =取“=”； ABC ∆∴面积的最大值为11sin 1222bc A =⨯= 点评：本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式与三角形面积的计算问题，属于基础题．18．已知数列{a n }为正项等比数列，a 1＝1，数列{b n }满足b 2＝3，a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+…+a n b n ＝3+（2n ﹣3）2n． （1）求a n ； （2）求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．答案：（1）a n ＝2n ﹣1，n ∈N ；（2）21nn + 本题第（1）题先将1n =代入题干表达式可得11b =，再将2n =代入题干表达式可得22a =，然后设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，则根据等比数列的定义可得21a q a =，即可计算出公比q 的值，即可得到数列{}n a 的通项公式n a ； 第（2）题由1122333(23)2nn n a b a b a b a b n +++⋯+=+-，类比可得1112233113(25)2n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-，再将两式相减，进一步转化计算，根据第（1）题的结果可计算出数列{}n b 的通项公式，注意要验证1n =时的情况．然后计算出数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，再根据通项公式的特点运用裂项相消法可计算出前n 项和n T ． 解：解：（1）由题意，当1n =时，1113(213)21a b =+⨯-⨯=，11a =，11b ∴=，当2n =时，211223(223)27a b a b +=+⨯-⨯=， 111a b =，23b =，2137a ∴+=，解得22a =，设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，则 21221a q a ===， 11122n n n a --∴==，*n N ∈．（2）依题意，当2n 时，由1122333(23)2n n n a b a b a b a b n +++⋯+=+-，可得1112233113(25)2n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-， 两式相减，可得：113(23)2[3(25)2](21)2n n n n n a b n n n --=+--+-=-， 由（1）知，12n na ，21(2)n b n n ∴=-，当1n =时，11b =也满足上式，21n b n ∴=-，*n N ∈． ∴111111()(21)(21)22121n n b b n n n n +==--+-+， 12231111n n n T b b b b b b +∴=++⋯+ 11111111(1)()()2323522121n n =-+-+⋯+--+ 111111(1)23352121n n =-+-+⋯+--+ 11(1)221n =-+21nn =+． 点评：本题主要考查等比数列的基本量的计算，以及数列求通项公式，运用裂项相消法计算前n 项和问题．考查了转化与化归思想，方程思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力．属于中档题． 19．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答． ①AB ⊥BC ，②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，③∠ABC 3π=． 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝AB ＝2，，PD 的中点为F ．（1）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF //平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；（2）若_______，求二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值．答案：（1）存在，G 是线段AB 的中点，证明见解析；（2）详见解析（1）设PC 的中点为H ，连结FH ，由题意得AGHF 为平行四边形，则AF ∥GH ，由此能证明在线段AB 上存在中点G ，使得AF ∥平面PCG ．（2）选择①AB ⊥BC ，推导出AB ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值．选择②FC 与平面ABCD 所成的角为6π，取BC 中点E ，连结AE ，取AD 的中点M ，连结FM ，CM ，则FM ∥PA ，且FM ＝1，FM ⊥平面ABCD ，FC 与平面ABCD 所成角为∠FCM ，6FCM π∠=，推导出AE ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值．选择③∠ABC 3π=，推导出PA ⊥BC ，取BC 中点E ，连结AE ，推导出AE ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值． 解：（1）在线段AB 上存在中点G ，使得AF ∥平面PCG ．证明如下：如图所示：设PC 的中点为H ，连结FH ，因为//FH CD ，12FH CD =，//AG CD ，12AG CD =，所以//,FH AG FH AG = 所以四边形AGHF 为平行四边形， 则AF ∥GH ，又GH ⊂平面PGC ，AF ⊄平面PGC ， ∴AF ∥平面PGC ． （2）选择①AB ⊥BC ： ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ， 由题意知AB ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵PA ＝AB ＝2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），F （0，1，1），P （0，0，2）， ∴AF =（0，1，1），CF =（﹣2，﹣1，1）， 设平面FAC 的一个法向量为μ=（x ，y ，z ），∴020AF y z CF x y z μμ⎧⋅=+=⎨⋅=--+=⎩， 取y ＝1，得μ=（﹣1，1，﹣1）， 平面ACD 的一个法向量为v =（0，0，1）， 设二面角F ﹣AC ﹣D 的平面角为θ， 则cos θ33v vμμ⋅==⋅， ∴二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值为33． 选择②FC 与平面ABCD 所成的角为6π： ∵PA ⊥平面ABCD ，取BC 中点E ，连结AE ，取AD 的中点M ，连结FM ，CM ， 则FM ∥PA ，且FM ＝1， ∴FM ⊥平面ABCD ，FC 与平面ABCD 所成角为∠FCM ，∴6FCM π∠=，在Rt △FCM 中，CM 3=，又CM ＝AE ，∴AE 2+BE 2＝AB 2，∴BC ⊥AE ， ∴AE ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵PA ＝AB ＝2，∴A （0，0，0），B 31，0），C 31，0），D （0，2，0），E 30，0），F （0，1，1），P （0，0，2），∴AF =（0，1，1），CF =（3，0，1）， 设平面EAC 的一个法向量为m =（x ，y ，z ），30m CFx z ⋅=-+=⎪⎩取x 3=，得m =（3，﹣3，3）， 平面ACD 的一个法向量为：n =（0，0，1）， 设二面角F ﹣AC ﹣D 的平面角为θ， 则cos θ217m n m n⋅==⋅． ∴二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值为217． 选择③∠ABC 3π=：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，取BC 中点E ，连结AE ，∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是正三角形， ∵E 是BC 的中点，∴BC ⊥AE ， ∴AE ，AD ，AP 彼此两两垂直，以AE 、AD 、AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，∵PA ＝AB ＝2，∴A （0，0，0），B 31，0），C 31，0），D （0，2，0），E 30，0），F （0，1，1），P （0，0，2），∴AF =（0，1，1），CF =（3，0，1）， 设平面EAC 的一个法向量为m =（x ，y ，z ），30m CF z ⋅=-+=⎪⎩取x 3=，得m =3，3）， 平面ACD 的法向量n =（0，0，1）， 设二面角F ﹣AC ﹣D 的平面角为θ， θ则cos θ217m nm n⋅==⋅． ∴二面角F ﹣AC ﹣D 的余弦值为7． 点评：本题主要考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等，还考查了运算求解能力、逻辑推理能力，属于中档题．20．已知函数f （x ）()1xe alnx g x x x=+=，，（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：a ＝1时，f （x ）+g （x ）﹣（12ex +）lnx ＞e ． 答案：（1）详见解析；（2）证明见解析（1）对()f x 求导后，再对a 分类讨论即可得出函数的单调性． （2）a ＝1时，将所证不等式转化为e x﹣ex+1elnx x ＞，令F （x ）＝e x﹣ex+1，G （x ）elnx x=，分别根据导数求出()F x 的最小值和()G x 的最大值即可证明不等式成立. 解： （1）f （x ）1x=+alnx ，（x ∈（0，+∞））． ()f x '2211a ax x x x-=-+=．当a ≤0时，()f x '＜0，函数f （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递减．a ＞0时，由()f x '0<，得10x a <<，由()f x '0>，得1x a> 所以函数()f x 在（0，1a ）上单调递减，在（1a，+∞）上单调递增． （2）证明：a ＝1时，要证f （x ）+g （x ）﹣（12ex+）lnx ＞e ．即要证：21x e ex x x+-lnx ﹣e ＞0⇔e x ﹣ex+1elnx x ＞．x ∈（0，+∞）． 令F （x ）＝e x﹣ex+1，F ′（x ）＝e x﹣e ，当x ∈（0，1）时，F ′（x ）＜0，此时函数F （x ）单调递减； 当x ∈（1，+∞）时，F ′（x ）＞0，此时函数F （x ）单调递增． 可得x ＝1时，函数F （x ）取得最小值，F （1）＝1． 令G （x ）elnxx =，G ′（x ）()21e lnx x -=， 当0x e <<时，()0G x '>，此时()G x 为增函数， 当x e >时。