第九讲 环和域讲解
代数,半群,群,环,域的定义
代数,半群,群,环,域的定义代数是一门研究数学结构和运算规则的学科。
它研究的对象可以是数字、符号、函数、向量等，通过定义运算规则和结构特征，来研究其性质和相互关系。
在代数中，有一些基本的数学结构，包括半群、群、环和域。
半群是代数中最基本的结构之一。
它由一个集合和一个二元运算组成，这个二元运算满足结合律。
换句话说，对于半群中的任意三个元素a、b和c，(a·b)·c = a·(b·c)。
例如，自然数集合N（包括0）和加法运算构成了一个半群。
因为对于任意三个自然数a、b和c，(a+b)+c = a+(b+c)。
群是半群的扩展，它在满足结合律的基础上，还满足单位元和逆元的存在。
单位元是群中的一个特殊元素，对于群中的任意元素a，有a·e = e·a = a，其中e 是单位元。
逆元是指对于群中的任意元素a，存在一个元素b，使得a·b = b·a = e。
例如，整数集合Z（包括0）和加法运算构成了一个群。
因为对于任意整数a，存在一个整数-b，使得a+(-b) = (-b)+a = 0。
环是一个更加复杂的数学结构，它由一个集合和两个二元运算组成，分别是加法和乘法。
环中的加法满足结合律、交换律和存在零元素的特点。
乘法满足结合律和分配律。
例如，整数集合Z（包括0）和加法、乘法运算构成了一个环。
域是环的进一步扩展，它在满足环的基础上，还满足乘法的逆元存在。
换句话说，对于域中的任意非零元素a，存在一个元素b，使得a·b = b·a = 1。
例如，有理数集合Q（包括0）和加法、乘法运算构成了一个域。
以上是对代数、半群、群、环和域的简要定义。
这些数学结构在代数中扮演着重要的角色，它们的性质和相互关系被广泛应用于数学和其他领域的研究中。
环与域
(∑ai )bj = ∑aibj
i =1 i =1
n
n
由环中乘法对加法的分配律，等式显然成立。 当n＝2时，由环中乘法对加法的分配律，等式显然成立。 ＝ 假设 (∑ai )bj = ∑aibj ，则有
(∑ai )bj
i =1
n
n
i =1 n+1
= (∑ai + an+1)bj
i=1
i =1 n
= (∑ai )bj + an+1bj
4
环的实例
(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法 (1)整数集、有理数集、 整数集 整数环Z 有理数Q 实数环R 和乘法构成环，分别称为整数环 和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数Q，实数环R 复数环C 和复数环C。 (2)n(n≥2)阶实矩阵的集合M (R)关于矩阵的加法和乘法 (2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法 阶实矩阵的集合 构成环，称为n阶实矩阵环。 构成环，称为n阶实矩阵环。 (3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成 (3)集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成 集合的幂集P(B) 环。 (4)设 {0,1,...,n－ 分别表示模n (4)设Zn＝{0,1,...,n－1}, ⊕和⊗分别表示模n的加法和 乘法， 构成环,称为模 的整数环。 乘法，则<Zn, ⊕, ⊗>构成环,称为模n的整数环。
于是
(∑ai )(∑bj ) = ∑ai (∑bj ) = ∑∑aibj
i=1 j =1 i=1 1 j= n m n m
n
m
i=1 j =1
10
例12.2
在环中计算( 例12.2 在环中计算(a+b)3，(a-b)2 ) - ) 解答 (a+b)3 + ) )(a+ )( )(a+ ) ＝ (a+b)( +b)( +b) + )( ＝ (a2+ba+ab+b2)(a+b) + + )( + ) ＝ a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3 + + + + (a-b)2 - ) )(a- ) ＝ (a-b)( -b) - )( ＝ a2-ba-ab+b2 - +
环与域的定义与基本性质
环与域的定义与基本性质环与域是抽象代数学中重要的概念，它们在数学和其它领域有着广泛的应用。
本文将介绍环与域的定义、基本性质以及它们在代数学中的应用。
一、环的定义与基本性质环是一个集合R，配上两个二元运算“加法”和“乘法”，满足以下条件：1. 加法的封闭性：对于任意的a、b∈R，a+b∈R；2. 加法的结合律：对于任意的a、b、c∈R，(a+b)+c=a+(b+c)；3. 加法的交换律：对于任意的a、b∈R，a+b=b+a；4. 零元素的存在：存在一个元素0∈R，对于任意的a∈R，a+0=a；5. 加法逆元素的存在：对于任意的a∈R，存在一个元素-b∈R，使得a+(-b)=0；6. 乘法的封闭性：对于任意的a、b∈R，a×b∈R；7. 乘法的结合律：对于任意的a、b、c∈R，(a×b)×c=a×(b×c)；8. 乘法对加法的分配律：对于任意的a、b、c∈R，a×(b+c)=a×b+a×c；9. 乘法对加法的分配律：对于任意的a、b、c∈R，(a+b)×c=a×c+b×c。
基于上述定义和性质，我们可以得出以下结论：1. 零元素唯一性：零元素0是唯一的；2. 加法逆元素的唯一性：对于任意的a∈R，它的加法逆元素-b是唯一的；3. 乘法单位元素的存在唯一性：存在一个元素1∈R，使得对于任意的a∈R，a×1=a；4. 乘法单位元素的唯一性：乘法单位元素1是唯一的；5. 乘法的交换律：对于任意的a、b∈R，a×b=b×a。
二、域的定义与基本性质域是一个集合F，配上两个二元运算“加法”和“乘法”，满足以下条件：1. F构成一个交换环；2. F中非零元素构成一个乘法群。
基于上述定义和性质，我们可以得出以下结论：1. 零元素的唯一性：零元素0是唯一的；2. 加法逆元素的唯一性：对于任意的a∈F，它的加法逆元素-b是唯一的；3. 乘法单位元素的存在唯一性：存在一个元素1∈F，使得对于任意的a∈F，a×1=a；4. 乘法单位元素的唯一性：乘法单位元素1是唯一的；5. 消去律：对于任意的a、b、c∈F，如果a×b=a×c且a≠0，则b=c。
近世代数-环与域题解讲解
近世代数第四章-环与域题解讲解第四章环与域§ 1环的定义一、主要内容1.环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环.2.环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：a tiG S ——>■戊 f 占€ S *3 循环坏的定义和性质.■■；加群是循环群的环称为循环环•其性債在本节内的主要有s1）循环环必为交怏环；，2）循坏环的子环也是循坏环；3〉循环环的子加群必为子环；. '4）pq是互异素数）阶环必为循环环*二、释疑解难1 •设R是一个关于代数运算十，•作成的环•应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的.所以有时把这个环记为（R,十，•）（或者就直接说“ R 对十，•作成一个环”）•但不能记为R,-,十）•因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同•我们知道，环的代数运算符号只是一种记号.如果集合只有二代数运算记为:,®，又R对：作成一个交换群，对®满足结合律且①对: 满足左、右分配律，即by） =（◎㊉仍叮门㊉门* （⑴力㊉匸=@0小{底^芒扎则就左能说尿对叫，㊉静作成一个氐或记为侦宀㊉X 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序.2 •设R对二代数运算十，•作成一个环•那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为（R, 十）；又R 对“ • ”作成一个半群，这个乍群记为（R，- ）•再用左、右分配律把二者联系起来就得环（R，十.•）.现在啊，引：K中的这个半辟（氏，* ［是占lit有可能作血一小將呢？回甞是百定的"降非I ^1 = H禺若tJ^A—刖空#?中任蕊元隶日兴O懸右< .D -0=^=0,这说.明Q 不是^尺* • 7杓单悅元.W.B. <1在C R,・）中坦逑有逆元* 因此- ）Hftfe作血半PT而不能作庇曲.遊--比"如覲去艸Oi^PA R的全睹耶呼元索对乘怯是否作成群呃？这是可能的.例如任何敢據就舅于这轴繪磁.芳播，R旳全休卄*元血荷不fife作就靜的*如傾數环和整觀歼★等等-& 由于在环K中倉；a *0 = （）P =<D »寂-- '芒显7?的左电右rXX边）单位兀=!=>芒启半那〔杞* •［的屋g r双边〉单便元.儿丹阶诟环环的稠竽元和其有単悅元酌承件-设R^<a>—{ 0 > cz » Su . < n—1〉£1、戈一个n阶餡环环，且/ —臭业収T 三例阐弱艮有学位元的鋼件和I其稱警兀的情况-以下三例均假W 尺=<« ）. H阶馅环环，B- a2—山2. WWE.0>1 1 R 有单位元 Mn 保1.证发、则有整救材心茨 矗 lt+ HU = 1 - 于屋对R 中仟意元巌如冇（伍心）（珂“ ）—（sztjfc »U = 5< 1 ——NTT JtL — Sti ・ 由于斥足可换环，故叫是尺的单■也元* 反之+设尺有樂位尤-=炖’则w = a 、 «(r<? * =s C/>r>Hti — U (tk — 1 ><!/ = 0 T 于是算I M —丄”设th 一 1 =呵丫则tk + «<—7 >—1 > 放"山)・1“ 例2 田是R 的科等元=> k 泌产一札 证 设S 显环尺的科尊元，耻 {£«>' = t 2Au = co > CA ；F — f)a=0,01由于a^R 灼加醉的H 砂応索.枚比I 和一" 反之■设^\kt^ — “则因科皿一0.故(点卢一i 、0=a 冃.ta — jfer 14 — e £*ku —^^ = <iu)\却皿是*的幕等元. 例3 环R 有2冲一"屛个幕零元・Jl 中少【小为扣的不同*因 数的个栽•声 n 为压与打 的盘大公闵ffcdm 》的不同素因数的 个數. 证 设”=时拧…金冇 是啊旋标准分解式・由上例知・R 中壽 等充的个数就足冋余式 kI 1 — J — 0 (nv^l rr) ( 1 ) 的解的个數・疝这牛同余式的济的个数等于m个同余式■ b 匕工* — j=0 < mod <i^1 ,2 »**- t JM) < 2)的解的个敷的来税.但易知，对一令固定2,当帆I 矗时ft(2)R 冇册小半a 杠fll-[bT(X 故脅證致 获仪|总剔=1..于是 p.^Vt 戸？丨此匸一】* 悄\讥屋巳一、、一2 —工 战卞是方磊住> 的一个非零粧*又0晁然为其一解哀而冃方程(仍没冇别昶擀.即此时方程O 只有阿亍解.干堆同余式门)有2旳l申w个解,即R有旷梢计名柿牛慕奪元.三、习题4. 1解答1・1H 虽據覇知乘怯。
群、环、域的基本概念与性质
群的同态与同构
群的同态
设$(G,cdot)$和$(H,*)$是两个群，如果存在一个映射$varphi:Gto H$，使得对于任意两 个元素$a,bin G$，都有$varphi(a*b)=varphi(a)cdotvarphi(b)$，则称$varphi$为从 $(G,cdot)$到$(H,*)$的一个同态映射。
群的同构
如果同态映射$varphi:Gto H$既是单射又是满射，则称$varphi$为从$(G,cdot)$到 $(H,*)$的一个同构映射，此时称群$(G,cdot)$和$(H,*)$是同构的。
同态核
设$varphi:Gto H$是一个同态映射，称集合${ain G|varphi(a)=e_H}$为$varphi$的核， 记作$kervarphi$。其中$e_H$是群$(H,*)$的单位元。同态核是群$(G,cdot)$的一个正规 子群。
感谢观看
域在代数几何中的应用
代数曲线与曲面
域上的多项式环与代数曲线、曲面密切相关， 是代数几何的基本研究对象。
有限域上的代数几何
有限域上的代数几何在密码学、编码理论等领 域有广泛应用。
域扩张与Galois理论
域的扩张与Galois理论是代数几何中的重要工具，可用于研究代数方程的可解 性等问题。
THANKS
子环、理想与商环
子环
设$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子集，若$S$对$+$和$*$也构 成环，则称$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子环。
理想
设$I$是环$R$的子集，若$I$对加法构成阿贝尔群，且对 于任意$rin R$和任意$iin I$，有$r*iin I$和$i*rin I$，则 称$I$是环$R$的理想。
群、环、域
群、环、域原创 2014年06月03日 10:49:59最近在学习Jerasure，对其中涉及到的一些算法中涉及到的数学概念梳理如下。
群简而言之，群的概念可以理解为：一个集合以及定义在这个集合上的二元运算，满足群的四条公理，封闭性、结合性、单位元、反元素。
具体理解为：封闭性：在集合上作任意二元运算，不会诞生新的运算，这个集合已经经过充分的完美拓扑。
结合性：组合一个二元操作链，之间没有先后运算的区别，这种操作是平坦的（区别交换律）。
单位元：具有单位的属性，单位元和任何一个元素操作等于那个元素本身。
反元素：集合中任何一个元素，存在一个称为反元素的元素与那个元素进行操作后，最后的结果为单位元。
可交换群简而言之，可交换群就是在满足群的”四公理“的基础上在加上一个可交换的属性，可把满足可交换的操作满足对称性。
环简而言之，环是细化的群，一个环中涉及两个二元运算，分别是(R,+)与(R, ·)，前者是个可交换群，后者是一个半群。
半群可理解为仅仅满足封闭性以及结合律的群，则忽略了单位元与反元素的限制。
似乎可以想象，如果一个群为以单元为中点的对称分布，则半群为群的单位元劈开的两瓣之一，所以称之为半群。
域域的概念较为复杂，环的概念仅仅定义了两个运算，唯一的条件是，乘法关于加法满足可分配律。
而进入到域的概念，则对这两个二元操作，强加了更多的限制。
上面第一种定义很有趣，进入了除环的概念。
在除环的基础上，额外加了一个可交换的限制条件。
伽罗瓦域从域过度到伽罗瓦域较为简单，仅仅额外的加了一个限制：有限个元素。
从群到环，再到域，是一个条件逐渐收敛的过程，条件的收敛，也带来对更小数学集合上更丰富的特性。
细化到伽罗瓦域，这些更丰富的特性，为后来EC码的诞生奠定了数学基础，具有工程上的可实现性。
离散数学PPT教学环与域
2.有限群<G,*>中的任何元素a的阶可整除|G|
证:若aG的阶是r,则{e,a a2, a3 , …,ar-1}是G的子群
3.质数阶的群,一定是循环群
证:设<G,*>为质数阶群
aG,ae
由推论2知:
下一页
a的阶数可整除|G|,但是|G|为质数,所以a的阶数等于群的 阶数, {a,a2,,ar}=G
例2.1)<I,+,>是整环
2)<N4,+4,4>不是整环
下一页
域
二.域
1.域的定义
若代数系统<F,+,>具有 1)|F|>1，
2)<F,+>,<F-{0},>均是阿贝尔群，3)乘法对加法可 分配，则称它是域
2.域的举例
1)I为整数集，<I,+,>不是域，
2)<Q,+,>是一个域,其中Q为有理数集合
证:e e a b c
e eabc
e eabc
e eabc
a abce
a aecb
b ceab
b bcea
c ceab
c cbae
生成元为a
下一页
由拉格朗日定理知：a，b，c的阶只能为2
下一页
四.同态与同余关系
同1.同态余关与系 同余关系
定义:<A,>是一个代数系统,R是A上的等价关系,若<a,b>R, <c,d>R<ac , bd>R，称R是A上的同余关系，此同余关系将A 划分的等价类称为同余类
代数结构中的环与域-教案
教案代数结构中的环与域-教案1引言1.1环与域的定义及历史1.1.1环的定义：环是一种代数结构，包含一组元素和两种运算，加法和乘法。
1.1.2域的定义：域是一种特殊的环，其元素除了加法和乘法外，还满足乘法逆元的性质。
1.1.3环与域的历史：环和域的概念起源于19世纪，经过多位数学家的研究和发展，逐渐形成了现代的环与域理论。
1.1.4环与域在现代数学中的应用：环与域在代数学、代数几何、数论等领域有着广泛的应用。
2知识点讲解2.1环的基本性质2.1.1环的封闭性：环中的元素进行加法和乘法运算后，结果仍然属于环。
2.1.2环的交换性：环中的乘法运算通常不满足交换律，即ab ≠ba。
2.1.3环的单位元：环中存在单位元e，使得对于环中的任意元素a，有ea=ae=a。
2.1.4环的零元：环中存在零元0，使得对于环中的任意元素a，有a+0=a。
3教学内容3.1域的特殊性质3.1.1域的乘法逆元：域中的非零元素都存在乘法逆元，即对于域中的任意非零元素a，存在元素b使得ab=ba=e。
3.1.2域的消去律：域中的元素满足消去律，即如果ab=ac且a ≠0，则b=c。
3.1.3域的特征：域的特征是指其加法单位元的阶，通常为素数或0。
3.1.4域的基本例子：实数域、复数域和有理数域是最常见的域的例子。
4教学目标4.1理解环与域的定义和基本性质4.1.1学生能够准确描述环和域的定义。
4.1.2学生能够解释环和域的基本性质，如封闭性、交换性和单位元。
4.1.3学生能够通过示例说明环和域在现代数学中的应用。
4.1.4学生能够区分环和域，并理解域的特殊性质。
5教学难点与重点5.1环与域的性质和区别5.1.1难点：理解环的乘法运算不满足交换律。
5.1.2重点：掌握域的特殊性质，如乘法逆元和消去律。
5.1.3难点：区分环和域，并理解它们之间的关系。
5.1.4重点：通过示例和练习，加深对环与域性质的理解。
6教具与学具准备6.1教具准备6.1.1介绍环与域的幻灯片或黑板。
高等代数域、环、群的定义与简单性质
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
域的定义
定义 设 F 是至少包含两个元的集合，在 F 中有一个代数运算，称作加 法；这就是说，对 F 中任意两个元 a, b，有 F 中唯一一个元 c 与之 对应，称为 a 与 b 的和，并记作 c = a + b. 在 F 中还有另一个代数 运算叫做乘法，即对 F 中任意两个元 a, b，在 F 中都有唯一的一个 元 d 与之对应，称为 a 与 b 的积，并记为 d = ab. 如果 F 的这两 个运算还满足
. .. . . ..
域的定义
定义 设 F 是至少包含两个元的集合，在 F 中有一个代数运算，称作加 法；这就是说，对 F 中任意两个元 a, b，有 F 中唯一一个元 c 与之 对应，称为 a 与 b 的和，并记作 c = a + b. 在 F 中还有另一个代数 运算叫做乘法，即对 F 中任意两个元 a, b，在 F 中都有唯一的一个 元 d 与之对应，称为 a 与 b 的积，并记为 d = ab. 如果 F 的这两 个运算还满足
I 加法交换律 a + b = b + a，∀a, b ∈ R. II 加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c)，∀a, b, c ∈ R.
这时称 R 为一个环.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
群,环,域
n gcd( n, k)
定义1.设a是群G的一个元素。于是a的所有幂的集合 an，n=0，±1，±2，… 做成G的一个子群，记 为﹤a﹥。此群称为由a生成的子群。
Department of Mathematics
20
定义2. 如果群G可以由它的某元循素环a群生必成是，即Ab有el群: a∈G使G=<a>，则G叫做一个循环群，或巡回 群。上面定理中的<a>称为由a生成的循环子群。
(2) 满足条件(1),(2),(3)的集合G称为带幺半群.
(3) 若群（G，）的运算 适合交换律， 则称（G，）为Abel群或交换群.
(4) 若G是有限集，称(G，)为有限群，｜G｜
称为群的阶数，若G是无限集，称(G， ) 为无限群
Department of Mathematics
15
3. 群的性质
整数集、实数集上的、求相反数是一元运算， 非零实数集上的求倒数是一元运算，矩阵集合上的 矩阵的转置是一元运算，幂集上的求补是一元运 算，命题集合上的否定是一元运算。
Department of Mathematics
7
例1. 设有函数 f : N 2 N ,对于任意 (n1, n2 ) N 2
在x y x y 2 中2是单位元。
Department of Mathematics
11
（2）逆元
设 是非空集合A上的二元运算， e 是 的单
位元，对于A中的某一元素x，如果存在 x1 A，
满足： x1 x x x1 e
则称 x1是x的逆元，称x是可逆的。
的阶是无限的。
2，周期的质:
设群G中元素a的阶为n，则： (1) e，a, a2，a3，…，an-1为n个不同元素
环与域(自学)
8.4 群的扩展——环与域环、域：群扩展后得到的具有两个运算的代数系统。
环定义定义8.13设<R,+,·>是代数系统，+和·是二元运算. 如果满足以下条件:(1) <R,+>构成交换群(2) <R,·>构成半群(3) ·运算关于+运算适合分配律则称<R,+,·>是一个环.通常称+运算为环中的加法，·运算为环中的乘法.环中加法单位元记作0，乘法单位元（如果存在）记作1. 对任何元素x，称x 的加法逆元为负元，记作-x.若x 存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作x-1.环的实例例14(1) 整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R和复数环C.(2) n(n≥2)阶实矩阵的集合M n(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为n 阶实矩阵环.(3) 集合的幂集P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环.(4) 设Z n＝{0,1, ... , n－1}，⊕和⊗分别表示模n的加法和乘法，则<Z n,⊕,⊗>构成环，称为模n的整数环.环的运算性质定理8.15设<R ,+,·>是环，则(1) ∀a ∈R ，a 0 = 0a = 0(2) ∀a ,b ∈R ，(-a )b = a (-b ) = -ab(3) ∀a ,b ,c ∈R ，a (b -c ) = ab -ac ，(b -c )a = ba -ca(4) ∀a 1,a 2,...,a n ,b 1,b 2,...,b m ∈R (n ,m ≥2)b a b a j n i mj i m j j n i i ∑∑∑∑=====1111)()(特殊的环定义8.14设<R,+,·>是环(1) 若环中乘法·适合交换律，则称R是交换环(2) 若环中乘法·存在单位元，则称R是含幺环(3) 若∀a,b∈R，ab=0 ⇒a=0∨b=0，则称R是无零因子环(4) 若R既是交换环、含幺环、无零因子环，则称R是整环(5) 设R是整环，且R中至少含有两个元素. 若∀a∈R*，其中R*=R-{0}，都有a－1∈R，则称R是域.例16(1) 整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换环,含幺环,无零因子环和整环. 除了整数环以外都是域.(2) 令2Z={2z | z∈Z}，则<2Z,+,·>构成交换环和无零因子环. 但不是含幺环和整环.(3) 设n∈Z, n≥2, 则n阶实矩阵的集合M n(R)关于矩阵加法和乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环.(4) <Z6,⊕,⊗>构成环，它是交换环, 含幺环, 但不是无零因子环和整环.2⊗3=3⊗2=0，2和3是零因子.注意：对于一般的n, Z n是整环当且仅当n是素数.小结在群的基础上进行扩展而具有两个运算后，得到一些新的代数系统。
高等代数：数环与数域
复数域是最大的数域, 它是任何数域的一个扩域.
数环的性质证明
证明：1)数环必包含0; 2)如果一个数环包含有不等于
0的数, 则它必含有无穷个数.
证：1)设S为任意数环,
由数环非空知, 至少有某数a∈S,
又由数环的概念有a-a=0∈S.
2)由1)有a+a=2a∈S, a+2a=3a∈S, …, a+(n-1)a=na∈S,
(2)数域的含义中包含除法, 数环则不包含;
(3)数域必包含1, 数环则不一定.
联系：数域一定是数环, 但数环不一定是数域.
如{0}与Z都是数环, 但都不是数域.
用定义证明
一个数集是数域
证明：数集Q( )={a+b , a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+b ≠0.
任取α,β∈Q( ), 令α=a+b , β=c+d , (a,b,c,d∈Q)
从而a+b=a-(-b)∈K,
又当b≠0时, b/b=1∈K, 1/b∈K,
从而ab=a/(1/b)∈K, ∴K是一个数域.
用充要条件证明
一个数集是数域
证明：数集Q(i)={a+bi, a,b∈Q}是一个数域.
证：当ab≠0时, a+bi≠0.
任取α,β∈Q(i), 令α=a+bi, β=c+di, (a,b,c,d∈Q)
2)问：K1∪K2也是数域吗？为什么？
1)证：∵Q⊆K1∩K2, ∴K1∩K2包含非零的数,
任取a, b∈K1∩K2, 则a, b∈K1, 且a, b∈K2,
∴a-b∈K1, 且a-b∈K2, ∴a-b∈K1∩K2;
整环和域
0。一般的，如果R不是零环，则R的n(n2)阶矩阵环Mn(R)有 零因子。
1
3.7.3 例 在环<P(A), △, , , A>中，任给B P(A)，如果BA且B，则B就是零因子，因 为B B = 。 3.7.4 例 如果R是至少有两个元素的环，则单位元1不是零因子。 3.7.5 定义 消去律 R是环。称R有消去律，如果R满足： (1) 任给a, b, cR，如果a0且ab = ac，则b = c。 (2) 任给a, b, cR，任给a0且ba = ca，则b = c。 R有没有零因子和R有没有消去律有密切关系。 3.7.6 定理 R是环，则R没有零因子当且仅当R有消去律。 证 设R有零因子，证明R没有消去律。 取R的左零因子a，则a0且存在b0，使得ab = 0，所以ab = 0 = a0，但b0，因此R没有消去律。 设R没有零因子，证明R有消去律。 (1) 任给a, b, cR，如果a0且ab = ac，则a(bc) = 0，由R没有零因子得bc = 0，所以b = c。 (2) 任给a, b, cR，如果a0且ba = ca，则(bc)a = 0，由R没有零因子得bc = 0，所以b = c。■ 无零因子的交换环是一种很重要的环。 3.7.7 定义 整环 R是至少有两个元素的交换环，如果R没有零因子，则称R 是整环。 由定理3.2.6可知，对于至少有两个元素的交换环来说，R是 整环当且仅当R有消去律。 3.7.8 例 Z, Q, R, C都是整环。Z / n是整环当且仅当n是素数。
设是R到S的同构，则R的商域是F = {(a)(b)1 | a, bR}。 3.7.26 定理 整环R的任何两个商域都同构。 证 设F和F都是R的商域，则F = {(a)(b)1 | a, bR}且F = {(a)(b)1 | a, bR}。 如果(a)(b)1 = (c)(d)1，则 (ad) = (a)(d) = (b)(c) = (bc)， 所以ad = bc，因此 (a)(d) = (ad) = (bc) = (b)(c)， 从而(a)(b)1 = (c)(d)1。这样就可以定义F到F的映射如下： ：FF ((a)(b)1) = (a)(b)1 则是F到F的同构映射。■ 习题3.7 3.7.1 R是一个环，a0。证明：如果存在b0，使得 8
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
具有有限个元素的域，称为有限域。 定理2：（Zn，＋，·）是域的充要条件是n是素数。
环
零元、 单位元
有单位元环 无零因子环
交换环 非零元素可逆
整环 除环
域
问题：整环、除环和域的区别？分别举例。
二、子环、理想、商环
1.子环
<R，＋>是一个交换群，称为环R的加法群。 如果环R的乘法还满足交换律，则称R为交换环。
例1：全体整数所成集合Z对于通常数的加法与乘法构成一 个环<Z，＋，·>。 <Z，＋，·>是一个交换环。 <Z，＋，·>称为整数环。
有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘 法构成交换环。
把数集关于数的加法、乘法做成的环，称为数环。
Z，Q，R，C都是数环。
例2：设Z[i] {a bi | a，b Z，i 1}，
则Z[i]关于复数加法和乘法构成一个交换环， Z[i]称为 高斯整数环。
例3：设Mn(Z)={(aij)n×n | aijZ}为元素为整数的一切n阶方 阵所成集合，则Mn(Z)对矩阵加法是一个可换群，对矩阵乘 法是一个半群，且适合分配律，所以<Mn(Z)，＋，·>是一 个环。
3.环的分类 3-1．无零因子环
定义2：设R是一个环，a，bR，若a·b=0，且a≠0和 b≠0，则称a为R的一个左零因子，b为R的一个右零因子。 若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它为零因子。
例7：求模6的同余类环Z6的所有零因子和单位。 定义3：设环R不含左、右零因子，则称R为无零因子环。
第九讲 环和域
教师：李艳俊
本章内容
一、环的定义、特殊元素、分类 二、子环、理想、商环
一．环的定义、特殊元素、分类
1. 定义：设R是一个非空集合，在R中定义两种二元运算， 一种叫加法，记做＋，另一种叫乘法，记做·，且满足： （1）（R，＋）是一个可换群； （2）（R，·）是一个半群； （3）左、右分配律成立：对任何a，b，cR，有：a(b ＋c)=ab＋ac，(a＋b)c=ac＋bc； 则称代数结构<R，＋，·>是一个环。
法构成除环。 除整数环外，有理数环、实数环、复数环都是除环。
3-4.域
定义6 设 A, , 是整环，且 A 中至少含有两个元素， 若a A {0}都有 a1 A ，则称 A 是域。
有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘 法构成域，分别称为有理数域、实数域、复数域。
设环R是有单位元1的环，aR，如果存在bR，使ab=ba=1， 则称a是R的一个可逆元或单位，并称b为a的逆元。
如果a可逆，则a的逆元是唯一的；可逆元a的逆元记做a－1。
对于一个有单位元的环R，其所有可逆元组成的集合关于环 R的乘法构成群。这个群称为环R的单位群或可逆元群，记 做U(R)。
例5：求高斯整数环Z[i]的单位群。 解：因为Z[i]的单位为：1，－1，i，－i；
2.环内的特殊元素
环R的加法单位元常用0表示，称为环R的零元。 环R的元素a的加法逆元称为a的负元，记做－a。 R的零元及每个元素的负元都是唯一的。
如果环R中存在元素e，使对任意的aR，有ae=ea=a， 则称R是一个有单位元的环，并称e为R的单位元。 常把环R的单位元e记为1。 如果环R有单位元，则单位元是唯一的。
定义1：设（R，＋，·）是一个环，S是R的一个非空子集 ；如果S关于R的运算构成环，则称S为R的一个子环，R为S的 一个扩环。
对于任意一个环R，都有两个子环：{0}与R。这两个子环 称为R的平凡子环。
定理1：设（R，＋，·）是一个环，S是R的一个非空 子集；则S是R的子环的充要条件是： （1）对任意的a，bS，有a－bS； （2）对任意的a，bS，有abS。
所以，U(Z[i])={1，－1，i，－i}。
例6：设Zn {0，1，L ，n 1}是整数模n的同余类集合， 在Zn中定义加法和乘法分别为模n的加法和乘法：
a b a b，a b ab.
则(Zn，＋，·)是有单位元的交换环，称为整数模n的同 余类（或剩余类）环。 (Zn，＋，·)的单位群是Zn*。
一般地，如果A是任一数环，则Mn(A)对矩阵的加法和 乘法构成环，称为A上n阶方阵环。
例4：设Z[x]={a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn | aiZ，n≥0为整 数}，则Z[x]是系数为整数的一切x的多项式所组成的集 合，Z[x]关于多项式的加法与乘法做成一个环。
一般地，设A是一个数环，A[x]表示系数属于的一 切x的多项式所成集合，则A[x]关于多项式的加法与 乘法做成一个环。
{0}与R本身这两个理想称为R的平凡理想。
例2：在整数环Z中，任意mZ，则I={mn|nZ}是Z的理想。
a
R，
注：设R是一个环，S是R的一个子环； （1）若R有单位元，S可以没有单位元； （2）若S有单位元，R可以没有单位元； （3）若R与S都有单位元，它们的单位元可以不同。
2．理想
2-1. 理想
定义2：设R为环，I为R的非空子集，如果I满足： （1）对任意的r1，r2I，r1－r2I； （2）对任意的rI，sR，rs，srI； 则称I为环R的一个理想。
Gauss整数环Z[i]是复数域C的子环。
例1：在实数域R上的2阶全矩阵环
M
2
(R)
a c
b d
|
a，b，c，d
R中，
令S 1
a 0
b 0
|
a，b R，S2
a 0
则S ，S 12
是M
2
(R)的
子
环
。
00
|
R是无零因子环充要条件是：a，bR，ab=0a=0或b=0。
定理1：环中无左（右）零因子的充要条件是乘法 消去律成立，即：
a≠0，ab=acb=c；a≠0，ba=cab=c。
3-2.整环
定义4：一个有单位元，无零因子的交换环称为整环。 所有数环都是交换环，同时也是整环。
3-3.除环
定义5：有两个以上元素且非零元素均可逆的环，称之为除环。 例8：所有n阶可逆矩阵构成的集合，对矩阵的乘法和加