第九讲 环和域讲解
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整数环Z、高斯整环Z[i]都不是域。 注：域一定是整环，但整环却不一定是域。
具有有限个元素的域，称为有限域。 定理2：（Zn，＋，·）是域的充要条件是n是素数。
环
零元、 单位元
有单位元环 无零因子环
交换环 非零元素可逆
整环 除环
域
问题：整环、除环和域的区别？分别举例。
二、子环、理想、商环
1.子环
<R，＋>是一个交换群，称为环R的加法群。 如果环R的乘法还满足交换律，则称R为交换环。
例1：全体整数所成集合Z对于通常数的加法与乘法构成一 个环<Z，＋，·>。 <Z，＋，·>是一个交换环。 <Z，＋，·>称为整数环。
有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘 法构成交换环。
把数集关于数的加法、乘法做成的环，称为数环。
Z，Q，R，C都是数环。
例2：设Z[i] {a bi | a，b Z，i 1}，
则Z[i]关于复数加法和乘法构成一个交换环， Z[i]称为 高斯整数环。
例3：设Mn(Z)={(aij)n×n | aijZ}为元素为整数的一切n阶方 阵所成集合，则Mn(Z)对矩阵加法是一个可换群，对矩阵乘 法是一个半群，且适合分配律，所以<Mn(Z)，＋，·>是一 个环。
3.环的分类 3-1．无零因子环
定义2：设R是一个环，a，bR，若a·b=0，且a≠0和 b≠0，则称a为R的一个左零因子，b为R的一个右零因子。 若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它为零因子。
例7：求模6的同余类环Z6的所有零因子和单位。 定义3：设环R不含左、右零因子，则称R为无零因子环。
第九讲 环和域
教师：李艳俊
本章内容
一、环的定义、特殊元素、分类 二、子环、理想、商环
一．环的定义、特殊元素、分类
1. 定义：设R是一个非空集合，在R中定义两种二元运算， 一种叫加法，记做＋，另一种叫乘法，记做·，且满足： （1）（R，＋）是一个可换群； （2）（R，·）是一个半群； （3）左、右分配律成立：对任何a，b，cR，有：a(b ＋c)=ab＋ac，(a＋b)c=ac＋bc； 则称代数结构<R，＋，·>是一个环。
法构成除环。 除整数环外，有理数环、实数环、复数环都是除环。
3-4.域
定义6 设 A, , 是整环，且 A 中至少含有两个元素， 若a A {0}都有 a1 A ，则称 A 是域。
有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘 法构成域，分别称为有理数域、实数域、复数域。
设环R是有单位元1的环，aR，如果存在bR，使ab=ba=1， 则称a是R的一个可逆元或单位，并称b为a的逆元。
如果a可逆，则a的逆元是唯一的；可逆元a的逆元记做a－1。
对于一个有单位元的环R，其所有可逆元组成的集合关于环 R的乘法构成群。这个群称为环R的单位群或可逆元群，记 做U(R)。
例5：求高斯整数环Z[i]的单位群。 解：因为Z[i]的单位为：1，－1，i，－i；
2.环内的特殊元素
环R的加法单位元常用0表示，称为环R的零元。 环R的元素a的加法逆元称为a的负元，记做－a。 R的零元及每个元素的负元都是唯一的。
如果环R中存在元素e，使对任意的aR，有ae=ea=a， 则称R是一个有单位元的环，并称e为R的单位元。 常把环R的单位元e记为1。 如果环R有单位元，则单位元是唯一的。
定义1：设（R，＋，·）是一个环，S是R的一个非空子集 ；如果S关于R的运算构成环，则称S为R的一个子环，R为S的 一个扩环。
对于任意一个环R，都有两个子环：{0}与R。这两个子环 称为R的平凡子环。
定理1：设（R，＋，·）是一个环，S是R的一个非空 子集；则S是R的子环的充要条件是： （1）对任意的a，bS，有a－bS； （2）对任意的a，bS，有abS。
所以，U(Z[i])={1，－1，i，－i}。
例6：设Zn {0，1，L ，n 1}是整数模n的同余类集合， 在Zn中定义加法和乘法分别为模n的加法和乘法：
a b a b，a b ab.
则(Zn，＋，·)是有单位元的交换环，称为整数模n的同 余类（或剩余类）环。 (Zn，＋，·)的单位群是Zn*。
一般地，如果A是任一数环，则Mn(A)对矩阵的加法和 乘法构成环，称为A上n阶方阵环。
例4：设Z[x]={a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn | aiZ，n≥0为整 数}，则Z[x]是系数为整数的一切x的多项式所组成的集 合，Z[x]关于多项式的加法与乘法做成一个环。
一般地，设A是一个数环，A[x]表示系数属于的一 切x的多项式所成集合，则A[x]关于多项式的加法与 乘法做成一个环。
{0}与R本身这两个理想称为R的平凡理想。
例2：在整数环Z中，任意mZ，则I={mn|nZ}是Z的理想。
a
R，
注：设R是一个环，S是R的一个子环； （1）若R有单位元，S可以没有单位元； （2）若S有单位元，R可以没有单位元； （3）若R与S都有单位元，它们的单位元可以不同。
2．理想
2-1. 理想
定义2：设R为环，I为R的非空子集，如果I满足： （1）对任意的r1，r2I，r1－r2I； （2）对任意的rI，sR，rs，srI； 则称I为环R的一个理想。
Gauss整数环Z[i]是复数域C的子环。
例1：在实数域R上的2阶全矩阵环
M
2
(R)
a c
b d
|
a，b，c，d
R中，
令S 1
a 0
b 0
|
a，b R，S2
a 0
则S ，S 12
是M
2
(R)的
子
环
。
00
|
R是无零因子环充要条件是：a，bR，ab=0a=0或b=0。
定理1：环中无左（右）零因子的充要条件是乘法 消去律成立，即：
a≠0，ab=acb=c；a≠0，ba=cab=c。
3-2.整环
定义4：一个有单位元，无零因子的交换环称为整环。 所有数环都是交换环，同时也是整环。
3-3.除环
定义5：有两个以上元素且非零元素均可逆的环，称之为除环。 例8：所有n阶可逆矩阵构成的集合，对矩阵的乘法和加
具有有限个元素的域，称为有限域。 定理2：（Zn，＋，·）是域的充要条件是n是素数。
环
零元、 单位元
有单位元环 无零因子环
交换环 非零元素可逆
整环 除环
域
问题：整环、除环和域的区别？分别举例。
二、子环、理想、商环
1.子环
<R，＋>是一个交换群，称为环R的加法群。 如果环R的乘法还满足交换律，则称R为交换环。
例1：全体整数所成集合Z对于通常数的加法与乘法构成一 个环<Z，＋，·>。 <Z，＋，·>是一个交换环。 <Z，＋，·>称为整数环。
有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘 法构成交换环。
把数集关于数的加法、乘法做成的环，称为数环。
Z，Q，R，C都是数环。
例2：设Z[i] {a bi | a，b Z，i 1}，
则Z[i]关于复数加法和乘法构成一个交换环， Z[i]称为 高斯整数环。
例3：设Mn(Z)={(aij)n×n | aijZ}为元素为整数的一切n阶方 阵所成集合，则Mn(Z)对矩阵加法是一个可换群，对矩阵乘 法是一个半群，且适合分配律，所以<Mn(Z)，＋，·>是一 个环。
3.环的分类 3-1．无零因子环
定义2：设R是一个环，a，bR，若a·b=0，且a≠0和 b≠0，则称a为R的一个左零因子，b为R的一个右零因子。 若一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称它为零因子。
例7：求模6的同余类环Z6的所有零因子和单位。 定义3：设环R不含左、右零因子，则称R为无零因子环。
第九讲 环和域
教师：李艳俊
本章内容
一、环的定义、特殊元素、分类 二、子环、理想、商环
一．环的定义、特殊元素、分类
1. 定义：设R是一个非空集合，在R中定义两种二元运算， 一种叫加法，记做＋，另一种叫乘法，记做·，且满足： （1）（R，＋）是一个可换群； （2）（R，·）是一个半群； （3）左、右分配律成立：对任何a，b，cR，有：a(b ＋c)=ab＋ac，(a＋b)c=ac＋bc； 则称代数结构<R，＋，·>是一个环。
法构成除环。 除整数环外，有理数环、实数环、复数环都是除环。
3-4.域
定义6 设 A, , 是整环，且 A 中至少含有两个元素， 若a A {0}都有 a1 A ，则称 A 是域。
有理数集Q、实数集R、复数集C对于通常数的加法与乘 法构成域，分别称为有理数域、实数域、复数域。
设环R是有单位元1的环，aR，如果存在bR，使ab=ba=1， 则称a是R的一个可逆元或单位，并称b为a的逆元。
如果a可逆，则a的逆元是唯一的；可逆元a的逆元记做a－1。
对于一个有单位元的环R，其所有可逆元组成的集合关于环 R的乘法构成群。这个群称为环R的单位群或可逆元群，记 做U(R)。
例5：求高斯整数环Z[i]的单位群。 解：因为Z[i]的单位为：1，－1，i，－i；
2.环内的特殊元素
环R的加法单位元常用0表示，称为环R的零元。 环R的元素a的加法逆元称为a的负元，记做－a。 R的零元及每个元素的负元都是唯一的。
如果环R中存在元素e，使对任意的aR，有ae=ea=a， 则称R是一个有单位元的环，并称e为R的单位元。 常把环R的单位元e记为1。 如果环R有单位元，则单位元是唯一的。
定义1：设（R，＋，·）是一个环，S是R的一个非空子集 ；如果S关于R的运算构成环，则称S为R的一个子环，R为S的 一个扩环。
对于任意一个环R，都有两个子环：{0}与R。这两个子环 称为R的平凡子环。
定理1：设（R，＋，·）是一个环，S是R的一个非空 子集；则S是R的子环的充要条件是： （1）对任意的a，bS，有a－bS； （2）对任意的a，bS，有abS。
所以，U(Z[i])={1，－1，i，－i}。
例6：设Zn {0，1，L ，n 1}是整数模n的同余类集合， 在Zn中定义加法和乘法分别为模n的加法和乘法：
a b a b，a b ab.
则(Zn，＋，·)是有单位元的交换环，称为整数模n的同 余类（或剩余类）环。 (Zn，＋，·)的单位群是Zn*。
一般地，如果A是任一数环，则Mn(A)对矩阵的加法和 乘法构成环，称为A上n阶方阵环。
例4：设Z[x]={a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn | aiZ，n≥0为整 数}，则Z[x]是系数为整数的一切x的多项式所组成的集 合，Z[x]关于多项式的加法与乘法做成一个环。
一般地，设A是一个数环，A[x]表示系数属于的一 切x的多项式所成集合，则A[x]关于多项式的加法与 乘法做成一个环。
{0}与R本身这两个理想称为R的平凡理想。
例2：在整数环Z中，任意mZ，则I={mn|nZ}是Z的理想。
a
R，
注：设R是一个环，S是R的一个子环； （1）若R有单位元，S可以没有单位元； （2）若S有单位元，R可以没有单位元； （3）若R与S都有单位元，它们的单位元可以不同。
2．理想
2-1. 理想
定义2：设R为环，I为R的非空子集，如果I满足： （1）对任意的r1，r2I，r1－r2I； （2）对任意的rI，sR，rs，srI； 则称I为环R的一个理想。
Gauss整数环Z[i]是复数域C的子环。
例1：在实数域R上的2阶全矩阵环
M
2
(R)
a c
b d
|
a，b，c，d
R中，
令S 1
a 0
b 0
|
a，b R，S2
a 0
则S ，S 12
是M
2
(R)的
子
环
。
00
|
R是无零因子环充要条件是：a，bR，ab=0a=0或b=0。
定理1：环中无左（右）零因子的充要条件是乘法 消去律成立，即：
a≠0，ab=acb=c；a≠0，ba=cab=c。
3-2.整环
定义4：一个有单位元，无零因子的交换环称为整环。 所有数环都是交换环，同时也是整环。
3-3.除环
定义5：有两个以上元素且非零元素均可逆的环，称之为除环。 例8：所有n阶可逆矩阵构成的集合，对矩阵的乘法和加