对称性和布拉维格子的分类
bravais晶格的概念
bravais晶格的概念晶体是由重复排列的原子、离子或分子构成的，而Bravais晶格则是描述晶体中原子、离子或分子排列方式的基本数学概念。
Bravais晶格的研究对于理解晶体结构和性质具有重要意义。
1. 汉斯·布拉维斯（Friedrich Ernst Bravais）Bravais晶格的概念最早由法国物理学家汉斯·布拉维斯在19世纪提出。
布拉维斯通过对晶体的实验观察和理论分析，总结出了晶格可以分为14种不同的类型。
这14种晶格类型被称为Bravais晶格，是晶体结构研究中的基础。
2. Bravais晶格的特点Bravais晶格具有以下几个特点：（1）平移对称性：Bravais晶格可由无穷多个离散的平移矢量生成，这些平移矢量连接晶格中的等价点。
（2）最小平移矢量：Bravais晶格中存在一组最小平移矢量，可以通过这组平移矢量将整个晶格堆积至无限大。
（3）空间点群对称性：每个Bravais晶格都具有一定的空间点群对称性，即存在一组操作使得晶格保持不变。
（4）空间格点和晶体基元：晶格中的格点和晶体基元构成了晶体结构的基础单元。
3. Bravais晶格的分类Bravais晶格根据平移矢量的性质可分为三类：简单晶格、面心立方晶格和体心立方晶格。
（1）简单晶格：平移矢量只连接晶格中的等价点，最小平移矢量等于一个晶格常数。
（2）面心立方晶格：平移矢量连接晶格中的等价点，并且最小平移矢量等于晶格常数的一半。
（3）体心立方晶格：平移矢量连接晶格中的等价点，并且最小平移矢量等于晶格常数的一倍。
4. Bravais晶格的应用Bravais晶格的概念在材料科学和凝聚态物理学中应用广泛。
通过研究不同Bravais晶格类型的结构和性质，可以深入理解晶体的电子结构、热学性质、机械性能等特性。
此外，Bravais晶格的分析也对晶体缺陷、晶格畸变和相变等问题提供了理论基础。
5. Bravais晶格的进一步发展随着科技的发展和对精确晶体结构分析的需求，Bravais晶格的概念也在不断发展。
第一章结晶学基础-1.3.1十四种布拉维点阵_6.14ZSQ
材料科学基础第1 章1.3.1 十四种布拉维点阵十四种布拉维点阵一、单位平行六面体的选取二、十四种布拉维点阵三、晶胞空间点阵的划分 空间点阵是一个由无限多结点在三维空间作有规则排列的图形。
整个空间点阵就被这些平行线分割成多个紧紧地排列在一起的平行六面体有缘学习更多驾卫星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）单位平行六面体的 选取原则 3.大小原则体积最小 1 对称性原则应能反映空间点阵对称性 2 角度原则 直角关系尽可能多4 对称性规定夹角不为直角 结点间距最小的行列做棱，夹角最接近直角的平行六面体二维平面点阵的划分(A)具有L44P的平面点阵；(B)具有L22P的平面点阵单位平行六面体在空间点阵中，选取出来的能够符合这几条原则的平行六面体称为单位平行六面体；可以用三条互不平行的棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ来描述，如下图所示。
点阵常数棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ的大小称为点阵常数。
晶体的点阵常数十四种布拉维点阵（格子）简单（原始）点阵（格子）(P) 结点分布在角顶，每个点阵包含一个结点体心点阵（格子）（I）结点分布在角顶和体心，每个点阵包含二个结点十四种布拉维点阵（格子）面心点阵（格子）(F) 结点分布在角顶和面心，每个点阵包含四个结点单面心点阵（格子）(A/B/C) 结点分布在角顶和一对面心，每个点阵包含2个结点根据布拉维推导，从一切晶体结构中抽象出来的空间点阵，按上述原则来选取平行六面体，只能有14种类型，称为14种布拉维点阵。
十四种空间点阵正交P(简单) C(底心) I(体心) F(面心) 点阵常数 a ≠ b ≠ cα= β= γ= 90°立方简单立方(P) 体心立方（I）面心立方（F）点阵常数 a =b =cα= β= γ= 90°如图立方为什么没有底心呢？假如有底心，将破坏立方的3L 4的对称性，只有1L 4。
立方三方（R ） 90120≠<====γβαc b a 点阵常数：六方（H ）12090===≠=γβαcb a 点阵常数： 四方（P ） 四方（I ）90===≠=γβαc b a 点阵常数：四方也不可能有底心，假如有，则破坏了“点阵点最少”的条件，还可画出只有一个点阵点的格子。
二维布拉维格子类型 -回复
二维布拉维格子类型-回复什么是二维布拉维格子类型？二维布拉维格子类型是指由两种不同原子在二维晶格中周期性排列而成的结构。
这种晶格结构在材料科学和固态物理中具有重要的应用价值和研究意义。
本文将详细介绍二维布拉维格子类型的定义、特点以及应用领域。
一、二维布拉维格子类型的定义二维布拉维格子类型是指在平面上由两种不同原子周期性排列而成的晶格结构。
其中一种原子称为A原子，另一种原子称为B原子。
这两种原子按照一定的规则排列，形成了一个重复的二维晶格结构。
二、二维布拉维格子类型的特点1. 原胞：二维布拉维格子类型的晶格结构是由原胞构成的。
原胞是指最小重复单元，通常是一个矩形或菱形。
A原子和B原子在原胞中按照一定规则排列，从而形成整个晶格结构。
2. 对称性：二维布拉维格子类型的晶格结构具有一定的对称性。
根据A原子和B原子的排列方式不同，晶格结构可以具有不同的对称性。
常见的对称性包括平移对称性、旋转对称性和镜像对称性等。
3. 布拉维区：二维布拉维格子类型的晶格结构还具有布拉维区的特点。
布拉维区是指在动量空间中，晶格结构所占据的区域。
二维布拉维格子类型的晶格结构可以通过布拉维区的形状和尺寸来描述。
4. 能带结构：二维布拉维格子类型的晶格结构对电子的能量具有禁带和能带结构的影响。
A原子和B原子的排列方式会影响电子在晶格结构中的能量分布，从而导致能带的形成。
三、二维布拉维格子类型的应用领域1. 材料科学：二维布拉维格子类型的晶格结构在材料科学中具有重要的应用价值。
通过控制A原子和B原子的排列方式，可以调控材料的结构和性能，从而实现对材料性能的调控和优化。
2. 纳米器件：二维布拉维格子类型的晶格结构在纳米器件制备中也有广泛的应用。
通过改变A原子和B原子的排列方式，可以制备出具有特殊功能的纳米器件，如传感器、光伏器件等。
3. 量子计算：二维布拉维格子类型的晶格结构在量子计算领域也具有潜在的应用价值。
研究人员可以通过调控A原子和B原子的排列方式，设计出适用于量子计算的布拉维格子类型结构，从而实现更高效的量子计算。
第八讲—14种布拉菲格子
6/mmm
(L66L27PC)
m3m
(3L44L36L29PC)
6/mmm (L66L27PC)
E, 2C6, 2C3, C2, 3C2’, 3C2”, σh, 3σv, 3σd, i, 2S3, 2S6
m3m (3L44L36L29PC)
E, 8C3, 3C2, 6C4, 6C2, 3σh, 6σd
推导32种点群的熊夫利斯方案 熊夫利斯符号
五种循环群 Cn (5 种) Cnh = Cn × {E, σh} (5 种) Cnv = Cn × {E, σv} (4 种, C1v = C1h) Dn = Cn × {E, C2[100] } (4 种) Dnh = Cnh × {E, d} (4 种)
i, 8S6, 6S4,
点对称操作
1 (E)
2 (C2)
(C21, C22)
3 (C3)
(C31, C32, C33)
4 (C4)
(C41, C42, C43, C44 )
6 (C6)
(C61, C62, C63, C64 , C65, C66 )
n = 1n (iCn), Sn = σCn !!!
四个三次轴
六方 立方
特点
全对称点群
a≠ b≠ c, ≠≠
1
a≠b≠c, = = 90o≠ a≠b≠c, = = = 90o
2/m mmm
a = b≠c, = = = 90o a = b≠c, = = 90o, = 120o a = b = c, = = 菱形 a = b≠c, = = 90o, = 120o
y x
y
23
y
m3
x
固体物理第二章第二节 对称性和布拉维格子的分类
晶体的对称性定律的证明
B
A
如图,A为格点,B为离A最近 a a 的格点之一,则与 AB 平行的 格点之间的距离一定是 AB A a B 的整数倍。 如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则 该操作将使B 格点转到 B位臵,则由于转动对称 操作不改变格子,在 B 处必定原来就有一个格点。 因为B 和A 完全等价,所有旋转同样可以绕B 进行. 由此可设想绕B 转角，这将使A 格点转到 A的 位臵。同样 A处原来也必定有一个格点
A B H E
D
D
C G
F
C
正四面体既无四 度轴也无对称心
参考方俊鑫书 P37-39
A
G
B F E H
旋转反演对称操作中只有4度 旋转反演对称操作是独立的 独立的对称操作有8种, 即1，2，3，4，6，i， m， 4 。 或C1，C2，C3， C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
3
4
1830年，赫塞耳(Johann Friedrich Christian Hessel)首先导出了32种点群，由32种点群出发， 可以对布拉维点阵进行分类，这正是1850年布 拉维所作的工作，他证明了只有7个晶系。(点 群不含平移对称操作，因为平移导致任何格点 都要动，而点群必须至少有一个格点不动) 熊夫利(Schoenflies1891)和费奥多罗夫 (Fedorove 1892) 为了研究复式晶格(几套简单 格子的平移)的分类，考虑了平移对称操作， 提出了空间群的概念,并证明只有230种独立 的空间群。 可由此证明只有14种三维布拉维 点阵
nm
n2 n2
nm
二维布拉维格子类型 -回复
二维布拉维格子类型-回复什么是二维布拉维格子类型？二维布拉维格子类型是指由一组正交的基矢量构成的平面，用于描述晶体的结构和性质。
布拉维格子类型的概念是基于晶体对称性的，通过将晶体复制并沿着平移矢量平移，可以填充整个平面。
这种描述方法十分有用，因为它可以简化对晶体结构的理解，并有助于预测材料的电子、磁性和光学性质。
布拉维格子类型根据平面的对称性和基矢量的选择而分类。
其中，最简单的布拉维格子类型是长方形和正交形，它们的基矢量分别是a和b。
在这两种类型中，晶格点位于基矢向量的顶点。
此外，还存在六边形、菱形和斜方形布拉维格子类型，它们的基矢量分别为a和b，但晶格点的排列方式略有不同。
接下来，我们将详细介绍每种布拉维格子类型的特点和应用：1. 长方形布拉维格子类型：长方形布拉维格子类型是最常见的一种类型。
其基矢量a和b分别垂直于平面，并且长度相等。
晶格点沿着基矢量的顶点排列，形成一个二维晶格。
这种布拉维格子类型通常用于描述金属和绝缘体的结构。
2. 正交形布拉维格子类型：正交形布拉维格子类型与长方形布拉维格子类型相似，但其基矢量a和b的长度可以不相等。
这种布拉维格子类型通常用于描述具有高度各向异性的材料，如液晶和某些晶胞轴向非晶态材料。
3. 六边形布拉维格子类型：六边形布拉维格子类型的基矢量a和b呈60度夹角。
晶格点位于基矢向量的顶点，形成一个六边形晶格。
该类型的布拉维格子用于描述石墨烯等材料，因其特殊的几何形状，六边形布拉维格子具有特殊的电子性质。
4. 菱形布拉维格子类型：菱形布拉维格子类型与六边形布拉维格子类型非常相似，其基矢向量a和b也呈60度夹角，但是晶格点位于基矢向量的中点。
这种布拉维格子类型通常用于描述铜铎氧化物等材料的结构和性质。
5. 斜方形布拉维格子类型：斜方形布拉维格子类型的基矢量a和b具有不同的长度和夹角。
这种布拉维格子类型通常用于描述薄膜材料和晶体异质结构的性质。
布拉维格子类型的研究对理解和设计晶体材料具有重要意义。
§1.4晶格的对称性
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a=b≠c
6.六角晶系：α = β = 900 γ = 1200 6.六角晶系： 六角晶系
a=b=c
7.立方晶系： 7.立方晶系： 立方晶系 α = β = γ = 900
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第一章 晶体结构 1.三斜晶系： 1.三斜晶系： 三斜晶系
a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠γ
2.单斜晶系： 2.单斜晶系： 单斜晶系
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第一章 晶体结构 1.4.2 二维晶格的 大晶系和5种布拉伐格子 二维晶格的4大晶系和 种布拉伐格子 大晶系和
二维晶格有4个晶系，分别是斜方晶系、长方晶系、 二维晶格有 个晶系，分别是斜方晶系、长方晶系、 个晶系 正方晶系和六角晶系； 正方晶系和六角晶系；
共有5 种布拉伐格子：简单斜方、简单长方、中心长 共有 种布拉伐格子：简单斜方、简单长方、 简单正方、简单六角． 方、简单正方、简单六角． 为单胞基矢， 为基矢间夹角， 为单胞基矢， ϕ 为基矢间夹角，二维 晶格的4大晶系和 种布拉伐格子如下： 大晶系和5种布拉伐格子如下 晶格的 大晶系和 种布拉伐格子如下：
NaCl结构 结构
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第一章 晶体结构
基元是一个CsCl分子 分子 基元是一个 布拉伐格子是简单立方
CsCl结构 结构 基元是2 基元是2个C原子 （顶角一个、 ¼ 原子 顶角一个、 体对角线一个） 体对角线一个） 布拉伐格子是面心立方
金刚石结构
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第一章 晶体结构 作业： 作业： 列出三维和二维所有晶系中的各种布拉伐点阵的名称， 列出三维和二维所有晶系中的各种布拉伐点阵的名称， 并说明其特点。 并说明其特点。
固体物理第二章第二节对称性和布拉维格子的分类
P28-29表2.1给出了32个晶体学点群，为了 便于大家看懂，下面给出符号的说明
Cn C1, C2 , C3, C4 , C6
900 1200
900
7个晶系(crystal system)相应的点群 S1, C2h , D2h , D4h , D3d , D6h , Oh
即：Ai G,i 1, 2,3 ,G {Ai}
必须满足下列条件： 1). 封闭性(closure property) 按照给定的乘法规则，群G中任何两个元素 相乘，得到的还是该群的一个元素。
Ai Aj Ak ,i j or i j
2). 群中一定包含一个不变元素(单位元素) E
E G, EAi Ai E Ai
我们这里要讨论的主要是晶格(或点阵)的对 称性(symmetry of lattice).
在晶格这个物理系统中，一种对称性是指某些 要素互相等价，而用来描述晶格的要素，无非就 是：点、线、面。而保持这些要素等价的操作---对称操作有三种：平移、旋转、镜反射。假设 在某一个操作过后，点阵保持不变，也就是每个 格点的位置都得到重复，那么这个相应的平移、 旋转或镜反射操作就叫作一个点阵对称操作。其 中的点、线、面分别叫做对称中心、对称轴、对 称面----称为对称元素
比如：绕x轴的旋转，设转角为θ，则有：
x x
y
y
cos
z sin
z
y
sin
z
cos
a11 a12 a13 1 0
0
十四种布拉菲格子
就目前所知，晶体多达20000多种以上，它们的几何 就目前所知，晶体多达 多种以上， 多种以上 外形更是多姿多彩、精美绝伦、奥妙无比， 外形更是多姿多彩、精美绝伦、奥妙无比，足以让所有 的能工巧匠叹为观止！然而，种类繁多、 的能工巧匠叹为观止！然而，种类繁多、形状各异的晶 体在微观结构的周期性特征上却是极其简单的， 体在微观结构的周期性特征上却是极其简单的，描述晶 体微观结构周期性特征的Bravais格子总共只有十四种不 格子总共只有十四种不 体微观结构周期性特征的 格子总共只有十四种 同的类型。 同的类型。
Pearson记法 →
hR
7°立方(Cubic) 晶系 立方(Cubic) Bravais格子之惯用元胞的几何特征为： Bravais格子之惯用元胞的几何特征为： 格子之惯用元胞的几何特征为
a = b = c，α = β = γ = 90 0
格点有三种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上； 格点有三种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上； 其二，除顶点外，还分布于体心；其三，除顶点外，还分布于六 其二，除顶点外，还分布于体心；其三，除顶点外， Bravais格子 简单立方Bravais格子、 个面心 有 三种Bravais格子，分别称为简单立方Bravais格子、 → 三种Bravais格子，分别称为简单立方Bravais格子 体心立方Bravais格子和面心立方Bravais格子 体心立方Bravais格子和面心立方Bravais格子 Bravais格子 Bravais cP、 cP Pearson记法 → 、
cI和cF，惯用元胞分别如图1.2.6－ 中的（ cI和cF，惯用元胞分别如图1.2.6－1中的（l）图、(m)图和（n） 1.2.6 (m)图 图所示 背景音乐： 背景音乐：
布拉维格子的名词解释
布拉维格子的名词解释布拉维格子是固体中一种特殊的晶体结构，由于其独特的构造和性质，在物理学领域中被广泛研究和应用。
本文将对布拉维格子进行详细的解释和探讨。
布拉维格子的概念最早由瑞士物理学家勃拉维（Bravais）提出，他将晶体结构的排列方式进行了系统地分类和命名。
在布拉维格子中，晶体的原胞（最小重复单位）无限重复堆积而成，形成了整体具有周期性的结构。
布拉维格子的基本单位可以是点、线或面，其分类依据是基元（基本单位）的对称性。
布拉维格子的分类有14种，分别为简单立方格子、面心立方格子、体心立方格子、六方密堆积格子、多面体格子等。
这些不同类型的布拉维格子由于原胞中基元的排列不同，因而具有不同的对称性和性质。
在布拉维格子的研究中，晶格常数是一个重要的参数，它表示了格子中基元之间的距离。
晶格常数决定了布拉维格子的结构和性质，不同的晶格常数对应着不同的晶体特征。
更进一步地，布拉维格子的点阵常数是指晶体中相邻的两个基元之间距离的最小值，它是晶格常数的一个函数。
布拉维格子的性质和应用涵盖了多个领域。
在材料科学中，人们通过研究和改变布拉维格子的结构，可以获得具有特殊功能和性能的材料。
例如，面心立方格子具有良好的可塑性和导电性，因此广泛应用于金属制品的生产中。
而六方密堆积格子被广泛应用于光纤和半导体等领域，其特殊的结构使得其具有优异的机械和光学性能。
在纳米科技领域，布拉维格子也发挥着重要的作用。
纳米颗粒可以通过控制布拉维格子的大小和形状来调控其物理和化学性质。
这对于设计和制造高性能的纳米材料尤为重要，因为纳米尺度的材料往往具有与其宏观尺度不同的独特性质。
不仅如此，布拉维格子还在凝聚态物理、量子力学和电子结构等领域起到了关键作用。
通过对布拉维格子的研究，物理学家们可以深入理解材料的电子结构和输运行为，从而发现新的物理现象和规律。
总而言之，布拉维格子作为晶体结构的基本单位，其独特的结构和对称性赋予了物质一些特殊的性质。
第一章 晶体结构
19
1.3 对称性和布拉维格子的分类
二 基本对称操作
1 i,Cn,σ (m)
2 n度旋转 ─ 反演轴
绕μ轴旋转
2π后再进行中心反演：
n
1，2，3，,4, i, m 八种独立的对称操作。
宏观上看，晶体是有限的，描述晶体宏观对称性 不包含平移对称操作；但从微观上看，晶体是无 限的，为描述晶体结构的对称性，应加上平移对 称操作。
衍射斑点(峰) ↔ 晶格中的一族晶面 倒格子 ↔ 正格子 点子 ↔ 晶面
斑点分布 ↔ 晶格基矢 → 晶体结构
25
1.4 倒格子/倒易点阵
一 定义
设布拉维格子的基矢为：av1 ,av2 , av3
由
v Rl
=
l1av1
+
l2av2
+
l3av3 决定的格子称为正格子
（direct lattice)，
满足
2vπ Gh
4 两点阵位矢的关系
v Rn
•
v Gh
=
2πm
m为整数
利用
aavvii
• •
v bvj bj
= =
2π 0
i= j i≠ j
( ) Rv n •Gvh = (l1av1 + l2av2 + l3av3 )•
v h1b1
+
v h2b2
+
v h3b3
= l1h1 • 2π + l2h2 • 2π + l3h3 • 2π
按坐标系的性质，晶体可划分为七大晶 系，每一晶系有一种或数种特征性的布拉 维原胞，共有14种布拉维原胞：
三斜(简单三斜) 单斜(简单、底心) 正交(简单、底心、体心、面心) 四方(简单、体心) 三角 六角 立方(简单、体心、面心)
1.1晶格
三角相石英
非晶琥珀
石膏沿特定方向被切开。这 一过程被称为解理，容易被 切开的面被称为解理面。
切点
切 点
最终被切开
离子晶体沿特定 方向被解理的示 意图。
1.1 晶格（Crystal lattice）
一. 什么是晶格？
X光衍射证实，晶体外形的对称性是其组成原 子在空间做有规律的周期性排列的结果。
晶体点阵
二维正方点阵
＋ 基元
点阵学说最早在1848年由Bravais提出，所 以晶体点阵又称布拉菲格子（ Bravais lattice ）， 也叫空间格点（Space lattice ）。
Auguste Bravais (1811-1863)
描 述 晶 体 表 面 原 子 排 列 的 二 维 长 方 点 阵
NaCl结构
CsCl结构
见 kittel p15
六. 体心和面心立方点阵的基矢和原胞
1 a b c j k 2 2 1 a a c a k i 2 2 1 a a a b i j 2 2 a
1 2 3
c
fcc：
a1
Cu Ag Al Au Ca Ni a=3.16 a=4.09 a=4.05 a=4.08 a=5.58 a=3.52 NaCl a=5.63, KBr a=6.59, MgO a=4.43, MnO a=4.43, AgBr a=5.57, KCl a=6.29, (单位：0.1nm)
NaCl结构中的原子排列
几个常用词的理解： Cell 晶胞
Primitive cell
Wigner-Seitz primitive cell
原胞(初基晶胞）
空间点阵型式[精华]
![空间点阵型式[精华]](https://img.taocdn.com/s3/m/9f426acca48da0116c175f0e7cd184254b351bd5.png)
空间点阵型式：14种布拉维格子-兰州大学结构化学在七大晶系基础上, 如果进一步考虑到简单格子和带心格子, 就会产生14种空间点阵型式, 也叫做14种布拉维格子. 不过, 格子是否带心并不能从宏观上发现, 所以, 空间点阵型式属于微观对称性的范畴.为什么要考虑带心格子呢? 原因是: 有些点阵中的格子, 如果取成某种复格子就能充分表现出它固有的较高对称性，但若取成素格子, 某些对称性就可能被掩盖，表现为较低的对称性. 我们宁愿观察一个高对称性的复格子, 也不愿观察一个低对称性的素格子. 所以, 选取正当格子时, 首先照顾高对称性, 其次才考虑点阵点尽可能少.前面以NaCl型晶体的格子为例讲过, 若取素格子, 只能表现三方对称性（这是一种三方R，现已不用）; 若取作立方面心复格子，就表现出了立方对称性. 当然, 这并不是说格子的选取方式能够改变点阵本身的对称性, 只是说, 点阵固有的较高对称性, 在素格子上被掩盖而不易表现出来.图6-42 NaCl型晶体的立方面心复格子(正当格子)与素格子那么, 任何点阵都能通过取带心格子表现出更高的对称性吗? 否! 例如, 在三斜晶体的点阵中, 无论取多少点, 格子的对称性也仍是三斜. 我们当然不去徒劳无益地选择带心格子.下面给出在七大晶系基础上进一步考虑简单和带心格子所产生的14种空间点阵型式, 即14种布拉维格子:图6-43 14种空间点阵型式（布拉维格子）对于以上两种六方格子需要特别说明几点：（1）图中只有蓝色线条围成的部分才是六方格子，而灰白色部分只是为了便于观察其对称性才画出的，因为六方格子也必须是平行六面体而不能是六棱柱；（2）六方晶系的晶体按六方晶胞表达只能抽象出六方简单（hP）格子，而三方晶系的晶体按六方晶胞表达时则能抽象出六方简单（hP）和六方R 心（hR）两种格子，有时为了清楚起见，分别称之为“三方晶系的六方简单 (hP) 格子”和“三方晶系的六方R 心(hR) 格子”. 换言之，六方R心（hR）格子实际上只用于三方晶系，而六方简单 (hP)格子既用于六方晶系, 也用于三方晶系, 所以只算一种格子. （3）晶系是在实在的物理基础上划分的，所以，尽管三方晶系的两种格子——六方简单(hP)和六方R心(hR)的形状都与六方晶系的六方简单 (hP)格子相同（即hP是两个晶系共用的）, 但真实的三方晶体中只有三次对称轴而没有六次对称轴, 只有六方晶体才有六次对称轴.你能否发明更多的“布拉维格子”?例如：四方面心、四方底心?立方底心?或除去立方面心上相对的两个面心?……下图（a）表明：所谓的四方C心其实应当是四方简单；图(b)表明：所谓的四方面心其实其实应当是四方体心;图(c)表明:立方F被除去相对两个面心后，不仅沿体对角线的4条三重对称轴不复存在，而且沿图中箭头平移时再不能复原，所以，它不但丧失了作为立方格子的资格，而且丧失了作为点阵的资格!图6-44 （a）假想的四方C心 (b)假想的四方面心 (c)立方F失去相对两个面心6.4.6 32个晶体学点群分子的对称操作的集合构成分子点群. 同理，晶体的宏观对称操作也是点操作，所有宏观对称元素也会通过一个公共交点按一切可能组合起来，产生晶体学点群. 不过，既然晶体中的宏观对称元素只有8种，晶体学点群数目也必然受到限制. 可以证明晶体学点群只有32种.晶体学点群可以用所谓的熊夫利(Schonflies)符号表示，也可以用国际符号表示，还有一种称之为“极射赤面投影图”的图形表示法. Schonflies符号由德国结晶学家Schonflies创造，我们在分子点群中已经用过，不过，由于轴次定理的限制，晶体学点群的Schonflies符号不会出现C5v、D5h等符号. 国际符号是尚未见过的新符号，需要作一简要介绍.晶体学点群的国际符号一般由三个位构成，每个位代表与特征对称元素取向有一定联系的方向. 所以, 任何一位代表的方向随晶系不同而可能不同. 右表列出七种晶系中国际符号的三个位的方向.平行于某个方向的对称轴和/或垂直于该方向的对称面就标记在相应的位上. 表6-5 国际符号三个位的方向例如，立方晶系的三个位依次为a、a+b+c、a+b，由矢量加法可知, 它们分别是正方体的棱、体对角线、面对角线方向. 将各方向上的对称元素依次标记在相应的位上, 就是某个点群的国际符号.例如, 立方晶系的点群共有五个，用Schonflies符号分别标记为T, T h, O,T d , O h , 国际符号是：尽管立方晶系的国际符号规定了三个位, 但23和m3点群属于四面体群，a+b位上没有对称元素，故只列出前两个位的对称元素.晶体学点群命名示意: NaCl型晶体NaCl型晶体的晶体点群与正方体的对称性相同, 为m3m（Schonflies符号为O h）. 不妨先观察一下正方体，可以看出: (1)垂直于a的方向有镜面; (2)平行于体对角线方向有3次对称轴;(3)垂直于面对角线方向有镜面. NaCl型晶体在相应的方向上也有这些对称性，所以，晶体点群的国际符号为m3m（Schonflies符号为Oh）. 可能有读者问：这些方向上还有别的对称元素，为什么只标记这样少数几个呢？这正是国际符号的奥妙之处, 它要尽可能紧凑，同一方向上不止一种对称元素时，按一定规则选取最必要者标出. 图6-45 NaCl型晶体的晶体点群与正方体的对称性相同,为m3m（Oh）事实上，国际符号又分为简略符号与完全符号. 例如，m3m是简略符号，是完全符号，但这简略符号已经包含了所有最必要的对称元素,如果需要的话，由这些对称元素出发，根据群论的组合原理就能导出点群中所有的对称元素. 因此，很少使用完全符号. 而且，即使完全符号也并不列出点群中所有的对称元素.现在，读者一定也明白为什么分子点群只用Schonflies符号，而不用国际符号的原因了吧？分子中没有晶轴的概念，国际符号的“位”对于分子根本没有意义.应当特别注意：晶体的点群是针对真实的晶体而言, 而不能仅仅针对只具有抽象几何意义的空间点阵和布拉维格子来划分. 晶体只有七个晶系, 却有32个点群, 所以, 必然会有多个点群属于同一个晶系的现象. 例如, 属于立方晶系的点群共有五个，用Schonflies符号分别标记记为T, Th, O, Td , Oh , 国际符号分别是抽象的空间点阵和布拉维格子的格点上没有放上真实的结构基元. 所以, 如果仅从布拉维格子看, 任一种晶系的布拉维格子都有该晶系的最高对称性, 即属于该晶系的全点群, 立方晶系的全点群就是Oh; 但真实晶体却必须在格点上放上结构基元, 于是, 对称性就可能从全点群下降(至多保持不变), 这样一来, 任一种晶系的真实晶体的对称性就未必能继续保持在该晶系的全点群, 也许只能属于该晶系对称性较低的点群,称为偏点群. 任何晶系的偏点群都是其全点群的子群.许多初学者有这样一个常见问题: 为什么将立方晶系的特征对称元素规定为沿正方体四条体对角线的3, 而不是穿过正方体相对面心的三条4? 4的对称性不是更高吗? 难道属于立方晶系的晶体还不都具有三条4?事实是, 属于立方晶系的晶体确实不一定都具有三条4 !例如, NaCl 型晶体属于Oh点群, 它既有三条4 , 也有四条3 ; 而立方ZnS 型晶体则不然, 它属于Td点群, 具有四条3,却没有三条4 . 这两类晶体共有的对称元素是四条3, 也就是立方晶系的特征对称元素.晶体学点群还有一种图形表示法, 称为极射赤面投影图. 其基本思想是利用立体仪把球面上的点投影到赤道平面上, 化立体为平面.先模仿地球仪按如下步骤造一个立体仪：1. 取一个单位圆球作为投影球S;2.取赤道平面作为投影面Q, 与S交成投影圆;3. 以垂直于Q并通过球心O的极轴作为投影轴, 两端分别为北极N和南极S.表6-6 32个晶体学点群图6-46 NaCl型与立方ZnS型晶体图6-47 立体仪用极射赤面投影图描述晶体学点群时, 通常对每个点群画出两个投影图. 以 m3m为例, 下图(a)表示晶体对称元素的投影，图(b)表示球上一组点的投影图, 这组点是从某一个普通的点开始, 利用所有对称操作复制出来的,也反映点群对称性. 有的文献将这两种图合并在一起, 如图(c):我们以晶体对称元素为例, 简要介绍立体仪投影法.首先, 将晶体对称元素系的公共交点置于投影球心O, 从球心向各晶面引垂线(即晶面法线)并交于投影球, 在球面上形成一组点的分布. 由于这些晶面法线是晶体的各种对称轴, 所以, 这组点就构成了晶体对称轴的球面投影. 类似地, 晶体的对称面也可延伸至投影球, 与球面相交成圆. 所以, 除了对称中心处于球心, 不会在投影球面上形成点以外, 晶体的各种对称轴和对称面都可以在投影球上形成球面投影.图6-48 m3m的极射赤面投影图在此基础上, 利用立体仪投影法，把球面上的点进一步投影到赤道平面上: 设北半球球面上有一个点P，过P点向南极连线成PS，与赤道平面交于P’点, 就在P’处画一个点; 反之, 若南半球球面上有一点R，过R点向北极连线成RN，与赤道平面交于R’点, 就在R’处画一个空心圆圈, 以区别于北半球球面上点的投影(图中未画出):晶体对称面在投影球面上相交成圆, 而圆又可以被看作无数点的集合. 既然球面上每个点都能产生赤面投影, 对称面当然也能表示在极射赤面投影图上.关于极射赤面投影更详细的介绍, 可以参考晶体学的有关书籍.图6-49 极射赤面投影原理。
3.空间点阵
在晶体内部结构中 (以及在相应抽象出来的空间点阵 中) 可能存在的对称要素以及相应可以进行的宏观对 称操作主要有以下几类： q 对称中心 q 对称面 q 旋转轴 q 倒转轴 (有时也称为象转轴)
v 对称中心是一个假想的几何 点，其对应的对称操作是对于 这个点的倒反 (反演)。 v 通过对称中心作任意直线， 在此直线上位于对称中心两侧 等距离的两点是性质完全相同 的对应点。 v 在晶体中，如果存在有对称 中心，则对称中心肯定位于晶 体的几何中心。 v在结晶学中，对称中心一般 用符号 “i” 表示。
从等大球体堆积构型中抽象出空间点阵 (四) 体心立方堆积
体心位置和顶点位置是等同位置
小结一下
• 六方最紧密堆积的晶体结构图形与空间点阵图 形是不一样的，而三种立方堆积的晶体结构图 形与空间点阵图形则是一样的 • 六方最紧密堆积结构的基元由两个圆球构成， 是导致晶体结构与空间点阵图形不一样的原因 • 三种立方堆积中的基元均由一个圆球构成，因 此晶体结构图形与空间点阵图形是一样的
在晶体研究中经常遇到两个名词：
q点群：在宏观晶体中存在的所有对称要素都必定 通过晶体的中心，因此不论如何进行对称操作，晶 体中至少有一个点是不变的，因此对称型也称为点 群。(点群有32种) q 空间群：晶体结构中还有一些微观的对称要 素，微观对称要素的核心是平移轴，微观对称要素 的集合构成平移群。晶体结构中存在的一切对称要 素 (包括平移轴在内) 的集合称为空间群。晶体中 可能存在的空间群只有 230 种
v 对称面是一个假想的平面，相应 的对称操作为对此平面的反映。对 称面就像一面镜子，把物体的两个 相同的部分以互成镜像反映的关系 联系起来。 v 垂直于对称面作任意直线，位于 直线两侧等距离的两点是性质完全 相同的对应点 v 晶体中如果存在有对称面，则必 定通过晶体的几何中心并将晶体分 为互成镜像反映的两个相同部分 v在结晶学中，对称面一般用符号 “m” 表示。
14种布拉维点阵的结构特征
14种布拉维点阵的结构特征布拉维点阵是描述晶体中原子、离子或分子排列方式的一种数学模型。
有14种布拉维点阵，也被称为14种布拉维格子或14种布拉维空间群。
这些点阵通过特定的对称性元素来定义。
以下是这些14种布拉维点阵的主要结构特征：1三立方格子（Triclinic）：没有垂直平面或轴的对称性。
所有晶胞边长和角度均可不同。
2单斜格子（Monoclinic）：有一个垂直平面。
一个轴有对称性。
3正交格子（Orthorhombic）：三个垂直的平面和三个垂直的轴。
所有晶胞角度均为90度。
4四方格子（Tetragonal）：一个垂直平面和一个垂直轴。
所有晶胞边长相等，两个轴长度相等。
5六方格子（Hexagonal）：六重对称性轴，垂直于平面。
六边形的基本晶胞。
6立方格子（Cubic）：三个垂直平面和三个垂直轴。
所有晶胞边长相等，所有角度均为90度。
7三斜半基心格子（Triclinic P）：没有垂直平面或轴的对称性。
所有晶胞边长和角度均可不同。
8单斜面心格子（Monoclinic P）：有一个垂直平面。
一个轴有对称性。
9正交面心格子（Orthorhombic P）：三个垂直的平面和三个垂直的轴。
所有晶胞角度均为90度。
10四方面心格子（Tetragonal P）：一个垂直平面和一个垂直轴。
所有晶胞边长相等，两个轴长度相等。
11六方面心格子（Hexagonal P）：六重对称性轴，垂直于平面。
六边形的基本晶胞。
12立方面心格子（Cubic P）：三个垂直平面和三个垂直轴。
所有晶胞边长相等，所有角度均为90度。
13三斜体心格子（Triclinic I）：没有垂直平面或轴的对称性。
所有晶胞边长和角度均可不同。
14正交体心格子（Orthorhombic I）：三个垂直的平面和三个垂直的轴。
所有晶胞角度均为90度。
这些布拉维点阵描述了晶体的结构特征，是研究材料科学和晶体学的重要工具。
晶体学基础第二章-晶体的对称分类与布拉菲点阵
2.晶系（crystal system）：7个晶系
三斜晶系：只有 1 或 1
单斜晶系：2 和 m 均不多于一个 正交晶系（斜方晶系）：2 和 m 的总数不少于3个
三方晶系：唯一的一个高次轴是 3 或 3 四方晶系：唯一的一个高次轴是 4 或 4 六方晶系：唯一的一个高次轴是 6 或 6
立方晶系（等轴晶系）：有4个 3
32种点群描述的晶体对称性对应的只有14种布拉菲点阵分为7个晶系沿晶体的对称轴或对称面的法向在一般情况下它们构成斜坐标系三个晶轴之间的夹角二晶体的14种布拉菲点阵布拉菲格子
2.4 晶体的对称分类与布拉菲点阵
一、晶体的对称分类
按晶体的对称性特征晶体分类
1.晶族（crystal category）：3个晶族 低级晶族：无高次轴 中级晶族：只有一个高次轴 高级晶族：高次轴多于一个
3.晶类: 属于同一点群的晶体。32个晶类。
二、晶体的14种布拉菲点阵（布拉菲格子）
—— 32种点群描述的晶体对称性 —— 对应的只有14种布拉菲点阵 —— 分为7个晶系
—— 单胞的三个基矢
沿晶体的对称轴或对称面
的法向，在一般情况下，它们构成斜坐标系
三个晶轴之间的夹角
7大晶系的形成
1.2对称性和布拉维格子的分类
见黄昆书30页
20面体的 对称性
目前普遍的认识是：晶体的必要条件是其构成原子的 长程有序，而不是平移对称性，具有 5 次对称性的 准晶体（Quasicrystal）就是属于原子有严格的位置 有序，而无平移对称性的晶体。它的图像可从二维 Penrose拼图中得 到理解。实际是一
种准周期结构，是 介于周期晶体和非 晶玻璃之间的一种 新的物质形态—— 准晶态 。
1.2
对称性和布拉维格子的分类
一. 对称性的概念 二. 晶体中允许的对称操作 三. 晶体宏观对称性的表述：点群 四. 七个晶系和14种晶体点阵 五. 晶体的微观对称性：空间群 六. 点群对称性和晶体的物理性质
除去晶体点阵外，晶体的结构还能够用什么样 的语言方便地描述?
一.对称性的概念：
一个物体（或图形）具有对称性，是指该物 体（或图形）是由两个或两个以上的部分组成， 经过一定的空间操作（线性变换），各部分调换 位置之后整个物体（或图形）保持不变的性质。 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对 称操作。即：操作前后物体任意两点间的距离保 持不变的操作。 点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动 的操作。有限大小的物体，只能有点对称操作。 对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素： 点，反演中心；线，旋转轴；面，反映面等。
其中 Aij 为正交矩阵 从解析几何知道，符合正交 变换的是：绕固定轴的转动 (Rotation about an axis) 绕 z 轴旋转θ 角
a11 s r Ai j a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
sin cos 0 0 0 1
通过仔细分析可知正四面体允许的对称操作只有 24个；正六角拄的对称操作也只有24个，它们都没有 立方体的对称性高。
2.2.4 晶体的14种Bravais格子简介
Bravais格子之惯用元胞的几何特征为：
a b c，
有 格点的分布方式只有一种：分布于惯用元胞的八个顶点上
一种Bravais格子：简单三斜Bravais格子
Pearson 记法 aP, 惯用
元胞如图2.2.2－1中的（a）图所示
背景音乐：
2°单斜（Monoclinic）晶系 Bravais格子之惯用元胞的几何特征为：
分布于惯用元胞的八个顶点上一种bravais格子称为简单六方bravais格子hp平行六面体元胞不能显示出点对称性常选用正六方棱柱体作为惯用元胞如图2221中的j图所示12090记法pearson背景音乐
2.2.4
晶体的十四种Bravais格子简介
就目前所知，晶体多达20000多种以上，它们的几何
外形更是多姿多彩、精美绝伦、奥妙无比，足以让所有 的能工巧匠叹为观止！然而，种类繁多、形状各异的晶 体在微观结构的周期性特征上却是极其简单的，描述晶 体微观结构周期性特征的Bravais格子总共只有十四种不
背景音乐：
5°六方（Hexagonal）晶系或六角晶系
Bravais格子之惯用元胞的几何特征为：
a b c， 90 0 ， 120 0 有 格点的分布方式只有一种：分布于惯用元胞的八个顶点上 一种Bravais格子，称为简单六方
Bravais格子 Pearson 记法 hP， 平行六面体元胞不能显示出点对 称性，常选用正六方棱柱体作为
方Bravais格子。另一方面，惯用元
胞也可选用简单六方Bravais格子的 平行六面体元胞，只是除顶点外格点 还分布于体内（2/3，1/3，1/3）处 和（1/3，2/3，2/3）处,如图2.2.2 －1中的（k）图所示。因此,简单三 角Bravais格子通常又称为六方菱面 体 背景音乐：
2023年大学_固体物理基础第三版(阎守胜著)课后题答案下载
2023年固体物理基础第三版（阎守胜著）课后题答案下载固体物理基础第三版（阎守胜著）课后答案下载第一章金属自由电子气体模型1.1 模型及基态性质1.1.1 单电子本征态和本征能量1.1.2 基态和基态的能量1.2 自由电子气体的热性质1.2.1 化学势随温度的变化1.2.2 电子比热1.3 泡利顺磁性1.4 电场中的`自由电子1.4.1 准经典模型1.4.2 电子的动力学方程1.4.3 金属的电导率1.5 光学性质1.6 霍尔效应和磁阻1.7 金属的热导率1.8 自由电子气体模型的局限性第二章晶体的结构2.1 晶格2.1.1 布拉维格子2.1.2 原胞2.1.3 配位数2.1.4 几个常见的布拉维格子2.1.5 晶向、晶面和基元的坐标2.2 对称性和布拉维格子的分类2.2.1 点群2.2.2 7个晶系2.2.3 空间群和14个布拉维格子2.2.4 单胞或惯用单胞2.2.5 二维情形2.2.6 点群对称性和晶体的物理性质 2.3 几种常见的晶体结构2.3.1 CsCl结构和立方钙钛矿结构 2.3.2 NaCl和CaF、2结构2.3.3 金刚石和闪锌矿结构2.3.4 六角密堆积结构2.3.5 实例，正交相YBa2Cu307-82.3.6 简单晶格和复式晶格2.4 倒格子2.4.1 概念的引入2.4.2 倒格子是倒易空间中的布拉维格子 2.4.3 倒格矢与晶面2.4.4 倒格子的点群对称性2.5 晶体结构的实验确定2.5.1 X射线衍射2.5.2 电子衍射和中子衍射2.5.3 扫描隧穿显微镜第三章能带论I3.1 布洛赫定理及能带3.1.1 布洛赫定理及证明3.1.2 波矢七的取值与物理意义3.1.3 能带及其图示3.2 弱周期势近似3.2.1 一维情形3.2.2 能隙和布拉格反射3.2.3 复式晶格3.3 紧束缚近似3.3.1 模型及计算3.3.2 万尼尔函数3.4 能带结构的计算3.4.1 近似方法3.4.2 n(K)的对称性3.4.3 n(K)和n的图示3.5 费米面和态密度3.5.1 高布里渊区3.5.2 费米面的构造3.5.3 态密度第四章能带论Ⅱ4.1 电子运动的半经典模型 4.1.1 模型的表述4.1.2 模型合理性的说明4.1.3 有效质量4.1.4 半经典模型的适用范围4.2 恒定电场、磁场作用下电子的运动4.2.1 恒定电场作用下的电子4.2.2 满带不导电4.2.3 近满带中的空穴4.2.4 导体、半导体和绝缘体的能带论解释 4.2.5 恒定磁场作用下电子的准经典运动 4.3 费米面的测量4.3.1 均匀磁场中的自由电子4.3.2 布洛赫电子的轨道量子化4.3.3 德哈斯一范阿尔芬效应4.3.4 回旋共振方法4.4 用光电子谱研究能带结构4.4.1 态密度分布曲线4.4.2 角分辨光电子谱测定n(K)4.5 一些金属元素的能带结构4.5.1 简单金属4.5.2 一价贵金属4.5.3 四价金属和半金属4.5.4 过渡族金属和稀土金属第五章晶格振动5.1 简谐晶体的经典运动5.1.1 简谐近似5.1.2 一维单原子链，声学支 5.1.3 一维双原子链，光学支 5.1.4 三维情形5.2 简谐晶体的量子理论5.2.1 简正坐标5.2.2 声子5.2.3 晶格比热5.2.4 声子态密度5.3 晶格振动谱的实验测定 5.3.1 中子的非弹性散射5.3.2 可见光的非弹性散射 5.4 非简谐效应5.4.1 热膨胀5.4.2 晶格热导率第六章输运现象6.1 玻尔兹曼方程6.2 电导率6.2.1 金属的直流电导率6.2.2 电子和声子的相互作用 6.2.3 电阻率随温度的变化 6.2.4 剩余电阻率6.2.5 近藤效应06.2.6 半导体的电导率6.3 热导率和热电势6.3.1 热导率6.3.2 热电势6.4 霍尔系数和磁阻第七章固体中的原子键合7.1 概述7.1.1 化学键7.1.2 晶体的分类7.1.3 晶体的结合能7.2 共价晶体7.3 离子晶体7.3.1 结合能7.3.2 离子半径7.3.3 部分离子部分共价的晶体7.4 分子晶体、金属及氢键晶体7.4.1 分子晶体7.4.2 量子晶体7.4.3 金属……第八章缺陷第九章无序第十章尺寸第十一章维度第十二章关联固体物理基础第三版（阎守胜著）：基本信息阎守胜，1938生出生，1962年毕业于北京大学物理系，现任北京大学物理学院教授，博士生导师，兼任中国物理学会《物理》杂志主编，他长期从事低温物理，低温物理实验技术，高温超导电性物理和介观物理方面的实验研究，并讲授大学生的固体物理学，低温物理学和现代固体物理学等课程。
2.2.1 对称性和布拉维格子的分类
格子所有格矢所对应的平移对称操作的集合，
称为平移群。使品体复原的全部平移和点对称
操作的集合，构成空间群。
空间群 (总数为230个)
1)简单空间群：
2)复杂空间群:
一个平移群和一个点群的全部对称操作组合而成，共 73个。
群中可包含n重螺旋轴，即转动后再沿平行于转动轴方向
平移分数格矢长度，和滑移面，即反映操作后再沿平行 该面的某个方向平移分数格矢长度。复杂空间群中的平移 不一定是布拉维格子的格矢。
2.2.2 晶体的七个晶系及32点群
点群：在点对称操作基础上组成的对称操作群。 由于群中的对称操作必须和晶体的平移对称 性相容，所以这种点群也叫晶体学点群。 其中不动操作为单位元素“乘法”指连续操作 分析表明：由于平移对称性的限制，只能组成32个点群
分属七个晶系。
点群的表达方式： 熊夫利符号（Schoenflies Symbols）：
2.2
对称性和布拉维格子的分类
2.2.1点群 1)基本概念： 对称性：在一定的几何操作（对称操作）下，物 体保持不变的特性。 对称操作：不改变物体内部任意两点间距，使物 体复原的操作。 对称元素：对称操作所据以进行的旋转轴、镜面 和对称中心等几何元素。
对称群（也叫空间群）：对称操作的集合。 点 平移操作 群 点群：对称群中除去平移操作外的部分。 群
点群对称性和晶体物理性质： 晶体的任一宏观物理性质一定具有它所属点群的
一切对称性。
群是一组元素的集合，G≡{E,A,B,C,D,…},有如下性质：
1）闭合性:若A,B∈G,则AB=C∈G。
2）存在单位元素E,使得对所有元素P∈G,有PE=EP=P。 3）对任意元素P∈G，存在逆元素P-1，使得PP-1=P-1P=E 4）元素间的“乘法”运算，满足结合律：A(BC)=(AB)C
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群论作为数学的分支，是处理有一定对称性 的物理体系的有力工具，可以简化复杂的计算， 也可以预言物理过程的发展趋势，还可以对体 系的许多性质作出定性的了解。 群及其表示理论是物理系研究生的一门重要 基础课，对于本科生不作要求。因此，我们不 打算在这里讲过多的群论的知识。只是简单介 绍一下，让大家对群的概念有一个认识。 一、群的知识简介 1. 群的定义 ts)或操 作的集合，常用符号 G 来表示。
Ai Aj Ak , i j or i j
2). 群中一定包含一个不变元素(单位元素) E E G, EAi Ai E Ai 3). 存在逆元素 Ai G, Ai1 Ai Ai1 Ai1 Ai E
4). 满足组合定则
( Ai Aj ) Ak Ai ( Aj Ak )
因为B 和A 完全等价,所有旋转同样可以绕B 进行. 由此可设想绕B 转角，这将使A 格点转到 A的 位臵。同样 A处原来也必定有一个格点
显然n=1,相当于不动操作(元素)E, n=2,3,4,6的转轴分别称为二度、三度、四度、 六度转轴
晶体的对称性定律的证明
B
A
如图,A为格点,B为离A最近 a a 的格点之一,则与 AB 平行的 格点之间的距离一定是 AB a B A 的整数倍。 如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则该 操作将使B格点转到B’ 位臵,则由于转动对称操作 不改变格子,在 B’ 处必定原来就有一个格点。
在晶体的几何对称性的研究中，每一个能 使晶体复原的对称操作，都满足上述群中的 元素的要求，由这些元素(或操作)所构成的 群叫对称性群(symmetry group),包括点群 (point group)和空间群(space group)
1830年，赫塞耳(Johann Friedrich Christian Hessel)首先导出了32种点群，由32种点群出发， 可以对布拉维点阵进行分类，这正是1850年布 拉维所作的工作，他证明了只有7个晶系。(点 群不含平移对称操作，因为平移导致任何格点 都要动，而点群必须至少有一个格点不动) 熊夫利(Schoenflies1891)和费奥多罗夫 (Fedorove 1892) 为了研究复式晶格(几套简单 格子的平移)的分类，考虑了平移对称操作， 提出了空间群的概念,并证明只有230种独立 的空间群。 1850年布拉维由此证明只有14种 三维布拉维点阵
2.
为了保持在旋转对称操作后点阵不变，在二 维晶格中，旋转轴一定要通过某一个格点而且 垂直平面；在三维晶格中，旋转轴一定要通过 某一个格点而且平行于某一个晶向。 由于晶体周期性的限制，转角只能是:
2 , n 1, 2,3, 4, 6 n
即：晶体中允许的转动对称轴只能是1，2， 3，4和6重轴 称为晶体的对称性定律
此外，为了方便，人们制定了标示晶体类型 的符号，一套是熊夫利制订的，称为熊夫利符 号；一套是海尔曼(Hermann)和毛衮(Mauguin) 制订的，称为国际符号 我们这一节主要介绍这些人得到的结果
二、点群和七个晶系
1. 点群
保持空间某一点固定不动的对称操作，称为 点对称操作。在点对称操作基础上构成的对称 操作群称为点群
对称性和布拉维格子的分类
本节主要内容:
一、群的知识简介 二、点群和七个晶系
三、空间群和14种布拉维格子
四、点群对称性和晶体的物理性质
对称性和布拉维格子的分类 布拉维格子是按其对称性(symmetry)来分类的： 所谓对称性是指在一定的几何操作下，物 体保持不变的特性。 对称性在物理学中是一个非常重要的概念， 它可使复杂物理现象的描述变得简单、明了。 因为对称性的本质是指系统中的一些要素是等 价的。对称性越高的系统，需要独立表征的系 统要素就越少，因而描述起来就越简单。 我们这里要讨论的主要是晶格(或点阵)的 对称性(symmetry of lattice).
构成群的元素要满足以下条件： 设 A1 , A2 , A3 等表示群G中所包含的元素 或操作
Ai G, i 1, 2,3, G {Ai } 即：
必须满足下列条件： 1). 封闭性(closure property) 按照给定的乘法规则，群G中任何两个元素 相乘，得到的还是该群的一个元素。
x x a11 y y a21 z z a 31
a12 a22 a32
a13 x a23 y ; z a33
正交矩阵 参考方俊鑫固物p32-36 ;或方可固物p13-16
点对称操作的类型和对称元素： 对于晶体而言，对称操作就是对晶体进行 几何变换而能复原的操作。晶体中的基本的点 对称操作有三种： 正当转动操作,即绕固定轴的转动 (rotation about an axis) ； 镜面反映 (Reflection across a plane); 中心反演(inversion through a point) ; 相应的对称元素有:对称轴;对称面;对称中心 一个旋转对称操作(rotational symmetry operation)意味着将点阵绕着某个轴旋转某个 角度 或- 以后，点阵保持不变。
在晶格这个物理系统中，一种对称性是指某些 要素互相等价，而用来描述晶格的要素，无非就 是：点、线、面。而保持这些要素等价的操作---对称操作有三种：平移、旋转、镜反射。假设 在某一个操作过后，点阵保持不变，也就是每个 格点的位臵都得到重复，那么这个相应的平移、 旋转或镜反射操作就叫作一个点阵对称操作。其 中的点、线、面分别叫做对称中心、对称轴、对 称面----称为对称元素 从数学角度来看，晶体的对称性是对晶体进 行几何变换而能保持晶体性质的不变性,相当于 一个正交线性变换。一个变换就是一种操作。