信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的求解解析
c1
e2 t
e
t
信号与系统 二、用时域法求解状态方程
所以得
eA t c0I c1A
2e t e2 t
1 0
0 1
e2t e t
1 0
1 2
e t e2t e t
0
e2 t
信号与系统 二、用时域法求解状态方程
e 例： 给定矩阵 A。求矩阵指数函数
At
A
1 1
1
3
解： 矩阵 A 的特征多项式为
s
1
12
4
3s 1
s
5
4 s 1 s
s s
3s2 s 4
s 12 4
s2 5s 1
s 12 4
4 5 s
1 5 s
19 s 3
5 s
12
5
4 s 23 55
s 12 4
4
4 5 s
1 5 s
x(t
)
y(t)
1 2
1
1(t) 2 (t )
1
x(t
)
系统输入为单位阶跃信号，初始状态
1 λ(0 ) 2
试求矩阵指数函数 eAt 、状态变量 λ(t)与输出 y(t) 。
信号与系统
解：系统的参量矩阵分别为
A
1 1
0 3
，
B
1 0
C
1 2
1
，
D 1
所以
(sI
A)
s
1 0
0 1
d
1
d
1
d m1
dm
1
e t
1
t m1e1 t
d m1
dm1
g
信号与系统3.5 连续时间LTI系统零状态响应
3. 卷积积分的性质
※ 等效特性：
x1(t) x2(t)
x1(1) (t) x2 '(t)
x1
'(t)
x ( 1) 2
(t
)
※ 平移特性： x(t) * (t－T) = x(t－T)
若x1(t) * x2(t) = y(t)，则 x1(t－t1) * x2(t－t2)= y(t－t1－t2)
t
3t
t 0 123
两个不等宽矩形脉冲的卷积为一个等腰梯形信号
两个信号的卷积，卷积结果仍为一个信号。该信号的起点等 于那两个信号起点之和，终点等于那两个信号的终点之和。
3. 卷积积分的性质
(1) 交换律： x1(t) *x2(t) = x2(t) * x1(t) (2) 分配律： [ x1(t) + x2(t) ] * x3(t) = x1(t) * x3(t) + x2(t) * x3(t) (3) 结合律 ： [ x1(t) * x2(t) ] * x3(t) = x1(t) *[ x2(t) * x3(t) ]
23
t
y(t)
1
t
2 1 0
12
[例] 如下图x(t)，计算三角波x1(t)与周期~x2(冲t) 激串信号~x2 (t)的卷积。
1
(1)
T=1
1 0
1
t
三角波
t
-1 0
1
周期冲激串信号
解： T=1时，周期冲激串信号 ~x2(t) (t 1) (t) (t 1)
图形法计算卷积积分的步骤：
(1)将x(t)和h(t)中的自变量由t改为； (2)将其中一个信号翻转得h(－)，再平移t得到h(t－) ；
34连续时间LTI系统的冲激响应
=
3u(
)
2e
3(t
)u
(t
)d
详细求解见后
= 2(1 e3t )u(t)
卷积法求解yzs (t)的思路
(1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 (2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应
—— 单位冲激响应h(t) (3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意信号x(t)激励
1. 冲激响应的定义
若描述连续时间LTI系统的常系数线性微分方程为
y(n) (t) an1 y(n1) (t) L a1 y '(t) a0 y(t)
bm x(m)
(t)
b x(m1) m1
(t)
L
b1x ' (t) b0x(t)
则连续时间LTI系统的冲激响应h(t)应满足
北京交通大学 信号处理课程组
连续时间LTI系统的冲激响应
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
系统的零状态响应 当系统的零状态响应是当系统的初始状态为零时，
由系统的外部激励 x(t) 而产生的响应，用表示yzs (t)。
连续时间LTI系统的冲激响应
假设单位冲激信号d (t)作用在系统上的冲激响应为h(t)
d (t)
系统
h(t)
零状态
而任意信号x(t) 都可以分解为单位冲激信号的线性组合，
即
x(t) x( ) d (t )d
零状态响应
yzs (t)
x( ) h(t )d
x(t) h(t)
即 yzs (t)为输入激励 x(t)与系统的冲激响应 h (t)的卷积积分。
2.1 LTI连续系统的响应
1 P= 3
1 t 于是，特解为 e 。 3
3. 全解
完全解 = 齐次解 + 特解 定出齐次解中的待定常数Ci。 由初始值 初始值定出齐次解中的待定常数 • 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而 与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或 自由响应； • 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。 举例
齐次解举例
d 求微分方程 3 y (t ) + 7 2 y (t ) + 16 y (t ) + 12 y (t ) = f (t ) dt dt dt 的齐次解。 d3 d2
系统的特征方程为 解： 解：系统的特征方程为
λ3 + 7λ2 + 16λ + 12 = 0
特征根
(λ + 2) (λ + 3) = 0
激励ft响应yt的特解ypt常数f常数p的特征根0重为r有0111ptptptptmmmmr???????等于特征单根?r1????e01tptp?mt特征根均不为00111ptptptpmmmm???????t?e不等于特征根??etp???tcos???tsin??????j?sincos21??特征根不等于tptp重特征根r等于?ptptptrrr?e01???2
0-和0+初始值举例1
例1：描述某系统的微分方程为 ) y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + f(t (t) )，求y(0+)和y’(0+)。 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=δ’(t (t)
0-和0+初始值举例1
例2：描述某系统的微分方程为 ) y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + f(t (t) )，求y(0+)和y’(0+)。 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=δ’(t (t) )=δ’(t )代入上述微分方程得 解：将输入f(t (t)= (t) y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ” (t) + δ’(t ) （1） (t) 利用系数匹配法分析： )= aδ” (t)+bδ’(t)+Cδ(t)+r1(t)， r1(t)中不含冲激 令y”(t (t)= )=a y’(t )= aδ’(t)+bδ(t )+ r2(t)， r2(t)= Cε(t )+ r1(-1)(t) (t)= (t)+ (t)=C (t)+ )= aδ(t )+ r3(t)， r3(t)= bε(t )+ r2(-1)(t) y(t y(t)= (t)+ (t)=b (t)+ 将上述关系代入式（1），并整理得
§4.8 连续信号通过LTI系统的频响分析 《信号与系统》课件
在零输入条件下，对上式两边进行傅里叶变换，并
利用傅里叶变换的时域微分特性，可得：
[an ( j)n a1 ( j) a0 ]R() [bm ( j)m b1 ( j) b0 ]E()
H ()
R() E()
bm ( an (
j)m j)n
bm1( j)m1 b1( j) b0 an1( j)n1 a1( j) a0
获得系统的频率响应方法
方法1：从系统微分方程入手，运用傅里叶变换的微分 性质得到 R() 与E() 的关系式，再将两者进行比值运 算，得到系统输出与输入之比，即H() R() E() 方法2：根据基本电路元件R、L、C的频率模型R、jL 1 jC，以及电路的基尔霍夫定律等，再求 H() R() E() 方法3：先求出系统的冲激响应 h(t) ，再用傅里叶变换
（3）输出信号的相位相对于输入信号偏移了0
本章小结
本章讨论了信号的频域分析方法，包括周期信号 的傅里叶级数、非周期信号的傅里叶变换、周期信 号的傅里叶变换。傅里叶变换是构建时域分析到频 域分析的桥梁。还介绍了傅里叶变换的基本性质， 分析了利用傅里叶变换的性质简化了傅里叶变换运 算的过程，也给出了傅里叶变换一些应用的理论依 据。最后，讲述了抽样定理以及信号通过线性系统 的频响特性。抽样定理是连续信号与离散信号的桥 梁，也是对连续信号实现数字处理的理论基础。该 定理要求抽样频率应大于信号最高频率的两倍，在 此条件下，通过理想低通滤波器可以无失真地恢复 被抽样的信号。抽样定理的出现，为信号处理有关 理论的迅速发展奠定了具有历史意义的里程碑。
频域分析法求解系统零状态响应的具体步骤
（1）求激励信号e(t) 分解为正弦分量 E( j) （2）求系统传输特性函数H( j)
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
解:
(3) )
Ae 2t
Be 4t
1 et 3
y(0) A B 1 1
y' (0)
2A
3 4B
1
2
解得 A=5/2，B= 11/6
连续时间LTI系统的响应
1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2. 卷积法:
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
y(t) yzi (t) yzs (t) yzi (t) f (t) * h(t)
✓ 求解齐次微分方程得到零输入响应 ✓ 利用卷积积分可求出零状态响应
二、卷积法
解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
s2 4s 4 0
s1 s2 2 （两相等实根）
y x (t) K1e 2t K 2te 2t
y(0)=yx(0)=K1=2; y'(0)= y'x(0)= 2K1+K2 =-1
解得 K1 = 2, K2= 3
yx (t) 2e2t 3te2t , t 0
t 0 t0 t 0 t0
解: (2) 求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)
由输入f (t)的形式，设方程的特解为
yp(t) = Cet
t>0
将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
LTI连续系统的时域响应
信号与系统
信号与系统
LTI连续系统的时域响应
1.1
微分方程经典解与自由、强迫响应
LTI连续系统的时域响应
1.2
零输入相应、零状态响应分别求法
LTI连续统的时域响应
1.2
零输入相应、零状态响应分别求法
可以看出：系统方程的齐次解就是系统的自由响应（又称固有响应），系统方程的特 解就是系统的强迫响应；系统的自由响应包含着零输入响应的全部及零状态响应中的 一部分;系统的零状态响应包含着系统强迫响应的全部及系统自由响应中的一部分.
§2.2 LTI连续系统的响应
§2.2 LTI连续系统的响应通信与信息工程学院 江帆一．物理系统的模型•许多实际系统可以用线性系统来模拟。
•若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用 线性常系数微分方程来描述。
二．微分方程的列写•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。
•对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑 约束列写系统的微分方程。
元件特性约束：表征元件特性的关系式。
例如二端元 件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及 四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL,KVL.三．n阶线性时不变系统的描述一个线性系统，其激励信号e(t )与响应信号r (t )之间 的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述d n r (t ) d n −1 r ( t ) d r (t ) + C1 + L + C n −1 + C nr (t ) C0 n n −1 dt dt dt d m e( t ) d m −1 e ( t ) d e( t ) = E0 + E1 + L + E m −1 + E m e( t ) m m −1 dt dt dt若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为 常系数的n阶线性常微分方程。
阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。
四．求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：列写方程，求解方程。
y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t) 微分方程的经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解） 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励 f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。
信号与系统 连续时间LTI系统的频率响应
( ) ( )
信号与系统
二、频率响应的性质
(3) 一个具有有理函数频率响应的因果系统是一个物理可实 现系统。(物理可实现性)。 佩利—维纳准则： 幅频响应为 H ( ) 的系统可实现的必要条件为
ln H ( ) 1
2
d
而且幅频特性必须平方可积，即
y (t ) 1 j j t e e H ( ) e j e j t H () 2
1 j j t e e H ( ) e j e j e j t H ( ) e j 2
H () cos t
H(ω) 称为系统的频率响应特性，简称系统频率响应或频率特性。
信号与系统
一、连续时间LTI系统频率响应的定义
系统频率响应 H(ω)一般是 ω 的复函数，可以表示为
H () H () e
j
H () 称为系统的幅频响应特性，简称幅频响应 或幅频特性。
( ) 称为系统的相频响应特性，简称相频响应 或相频特性.
信号与系统
§ 4.6 连续时间LTI系统的频率响应（1）
信号与系统
一、连续时间LTI系统频率响应的定义
常系数线性微分方程来描述一个连续时间LTI系统，即
d n y(t ) dy(t ) d m x(t ) dx(t ) an a1 a0 y (t )=bm b1 b0 x(t ) n m dt dt dt dt 由傅立叶变换及其性质可得：
。
I (t )
I j
R
e(t )
u o (t )
C
信号与系统 2.1 LTI连续系统的响应
4 4 0
2
2 0 1 2 重根
2
对应的齐次解为
yh t C1t C2 e2t
2. 特解
特解的形式和激励的形式有关，由激励的形式定。
激励f(t) 响应y(t)的特解yp(t)
F (常数 )
tm
P(常数)
三.零输入响应和零状态响应
1 、零输入响应
零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态{x(0)} 所引起的响应，用yzi(t)表示。在零输入条件下，微分 方程等号右端为零，化为齐次方程，即：
( a j yzij ) (t ) 0 j 0 n
对于零输入响应，由于激励为零，故有 yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)= y(j)(0-) 注意：零输入响应的这个性质
第二章 连续系统的时域分析
本章主要研究线性时不变（LTI）连续系统的时域 分析方法，即对于给定的激励，根据激励和响应之间 关系的微分方程求响应的方法。
第二章 连续系统的时域分析
本章重点：
微分方程的经典求解方法
关于0-和0+初始值 零输入响应和零状态响应
§2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解
全响应
如果系统的初始状态不为零，在激励f(t)的作用下， LTI系统的响应称为全响应，它是零输入响应与零状 态响应之和，即： y(t)=yzi(t)+yzs(t) 注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值 yzi(j)(0+), yzs(j)(0+) (j=0,1,2，…,n-1)的计算。 y(j)(0-)= yzi(j)(0-)+ yzs(j)(0-) y(j)(0+)= yzi(j)(0+)+ yzs(j)(0+) 对于零状态响应，在t=0-时激励尚未接入，因此 yzs(j)(0-)=0 因而零输入响应的0+值 yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-)= y(j)(0-)
周期信号通过LTI连续时间系统的响应_信号与系统分析_[共2页]
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2π −∞
2π −∞
−∞
（3.3.4）
若系统的频率响应 H (ω) = H (ω) ej ∠H(ω) ，应用 LTI 连续时间系统 FT 分析法式（3.3.3）
得输出信号 yf (t) 的频谱
Yf (ω) = F (ω)H (ω) = F (ω) H (ω) ej⎡⎣ ∠F(ω)+ ∠H (ω)⎤⎦
取反 FT 得
∫ ∫ yf
(t)
=
t dω
=
1 2π
∞
F (ω)
−∞
H (ω) e j⎡⎣ ∠F (ω)+ ∠H (ω)⎤⎦e jωt dω
即
∫ yf (t) =
∞
F (ω)
−∞
H (ω) dfe j⎡⎣ωt+∠ F (ω)+ ∠H (ω)⎤⎦
（3.3.5）
比较式（3.3.4）和式（3.3.5）可见，输入信号 f (t) 各 ejωt 分量的模为 F (ω) df 通过 LTI
3 第 章 连续时间信号与 LTI 连续时间系统的频域分析 79
f (t) ←⎯→ F (ω) = F (ω) ej ∠ F(ω)
根据式（3.2.6）得
∫ ∫ ∫ f (t) = 1 ∞ F (ω)ejωt dω = 1 ∞ F (ω) ej ∠F(ω)ejωtdω = ∞ F (ω) dfej⎡⎣ωt+ ∠ F(ω)⎤⎦
连续时间系统后响应 yf (t) 的各 ejωt 分量的模为 H (ω) F (ω) df ；而输入信号 f (t) 各 ejωt 分量
的 初 相 为 ∠F (ω) ， 通 过 LTI 连 续 时 间 系 统 后 ， 响 应 yf (t) 的 各 ejωt 分 量 的 初 相 为
7连续时间LTI系统响应求解举例
(2) 冲激响应h (t )；（4) 系统的完全响应y (t ) ；)(zi t y (1) 系统的零输入响应；(3) 系统的零状态响应；（5) 判断系统是否稳定。
[例]描述某连续时间LTI 系统的微分方程为激励信号x (t )=u (t )，初始状态y (0-)=1，y ’(0-)=2 。
试求:解：(1)系统的零输入响应y zi (t )特征根为31-=s 42-=s ，34zi 12()e e t t y t K K --=+-≥0t ，1)0(21=+=-K K y 243)0('21=--=-K K y 代入初始状态，K 1=6, K 2= －5特征方程01272=++s s34zi ()6e 5e ,0t t y t t ---=-≥[例]描述某连续时间LTI 系统的微分方程为激励信号x (t )=u (t )，初始状态y (0-)=1，y ’(0-)=2 。
解：)()e e ()(43t u B A t h t t --+=)()e e ()(43t u t h t t ---=(2)系统的冲激响应h (t )利用冲激平衡法，设h (t )的形式为)()(12)('7)("t t h t h t h δ=++代入，)()(12)('7)("t t h t h t h δ=++求得待定系数A =1，B =－1。
可得冲激响应为[例]描述某连续时间LTI 系统的微分方程为激励信号x (t )=u (t )，初始状态y (0-)=1，y ’(0-)=2 。
解：(3)系统的零状态响应)(*)()(zs t h t x t y =)()e e (*)(43t u t u t t ---=)()e 41e 31121(43t u t t --+-=[例]描述某连续时间LTI 系统的微分方程为激励信号x (t )=u (t )，初始状态y (0-)=1，y ’(0-)=2。
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
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优点
能够直接得到系统在任意 时刻的响应值。
缺点
计算量大，需要逐个时间 点进行计算。
拉普拉斯变换法
定义
拉普拉斯变换法是一种将时域函 数转换为复频域函数的数学工具。
01
描述ห้องสมุดไป่ตู้
02 通过拉普拉斯变换，将系统的微 分方程转化为代数方程，然后求 解得到系统在复频域的响应。
优点
能够方便地求解高阶微分方程， 适用于具有复杂特性的系统。 03
拉普拉斯变换法
能够求解系统的零状态响应，但需要 已知系统传递函数，且变换过程可能 较为复杂。
05
结论
总结
本文介绍了求解连续时间LTI系统响应的几种方法，包括时域法和频域法。 通过具体实例，展示了这些方法在求解系统响应中的应用和优势。
时域法通过建立和求解微分方程来获取系统输出，具有直观和物理意义 明确的优点。而频域法则通过分析系统函数的频域特性来求解响应，具
信号与系统连续时间LTI系统的 几种响应求解方法及例
CONTENTS
• 引言 • 几种响应求解方法 • 例题解析 • 方法比较与选择 • 结论
01
引言
背景介绍
01
信号与系统是电子工程和通信工 程的重要基础学科，主要研究信 号和系统在时域和频域的行为和 特性。
02
在信号与系统中，线性时不变 （LTI）系统是最基本、最重要的 系统之一，其响应求解是研究的重 要内容。
LTI系统的基本概念
LTI系统是指系统的输出仅与输入和系统 的状态有关，而与时间无关。
LTI系统具有线性、时不变和因果性等基 本特性。
郑君里信号与系统习题解答第二章
第二章 连续时间系统的时域分析经典法：双零法卷积积分法：求零状态响应求解系统响应→定初始条件满足换路定则起始点有跳变：求跳变量零输入响应：用经典法求解零状态响应：卷积积分法求解()()()()⎩⎨⎧==-+-+0000L L c c i i u u例题•例题1：连续时间系统求解（经典法，双零法） •例题2：求冲激响应（n >m ） •例题3：求冲激响应（n ＜m ） •例题4：求系统的零状态响应 •例题5：卷积 •例题6：系统互联例2-1分析在求解系统的完全响应时，要用到有关的三个量是： ：起始状态，它决定零输入响应；()()()()()()()()()强迫响应。
状态响应，自由响应，并指出零输入响应，零，求系统的全响应，已知 系统的微分方程为描述某t u t e r r t e t t e t r t t r t t r =='=+=++--,00,206d d 22d d 3d d LTI 22()-0)(k r ⎩⎨⎧状态变量描述法输出描述法—输入建立系统的数学模型：跳变量，它决定零状态响应； ：初始条件，它决定完全响应；这三个量之间的关系是 分别利用 求零状态响应和完全响应，需先确定微分方程的特解。
解：方法一：利用 先来求完全响应，再求零输入响应，零状态响应等于完全响应减去零输入响应。
方法二：用方法一求零输入响应后，利用跳变量 来求零状态响应，零状态响应加上零输入响应等于完全响应。
本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应。
方法一1. 完全响应 该完全响应是方程 （1）方程（1）的特征方程为 特征根为 方程（1）的齐次解为因为方程（1）在t >0时，可写为 （2）显然，方程（1）的特解可设为常数D ，把D 代入方程（2）求得 所以方程（1）的解为下面由冲激函数匹配法定初始条件 由冲激函数匹配法定初始条件 据方程（1）可设代入方程（1），得匹配方程两端的 ，及其各阶导数项，得 所以，所以系统的完全响应为()+0)(k zsr ()+0)(k r ()()()+-+=-000)()()(k zs k k r r r ()()++00)()(k k zs r r ，()()代入原方程有将t u t e =()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()++'0,0r r ()()++''0,0zs zs r r ()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()的解且满足00,20='=--r r 0232=++αα2121-=-=αα，()t t e A e A t r 221--+=()()()()t u t r t t r tt r 62d d 3d d 22=++3=D ()3221++=--tt e A e A t r ()()()t u b t a t t r ∆+=δ22d d ()()t u a t t r ∆=d d ()无跳变t r ()()()()()()t u t t r t u a t u b t a 6223+=+∆+∆+δδ2=a ()t δ()()22000=+=+'='-+a r r ()()200==-+r r ()()代入把20,20=='++r r ()3221++=--t t e A e A t r 1,021-==A A 得()0 32≥+-=-t e t r t ()t r zi 再求零输入响应2.求零输入响应 （3）（3）式的特征根为 方程（3）的齐次解即系统的零输入响应为所以，系统的零输入响应为 下面求零状态响应零状态响应=完全响应—零输入响应，即 因为特解为3，所以强迫响应是3，自由响应是方法二（5）以上分析可用下面的数学过程描述 代入（5）式 根据在t =0时刻，微分方程两端的 及其各阶导数应该平衡相等，得 于是t >0时，方程为 齐次解为 ，特解为3，于是有所以，系统的零状态响应为方法一求出系统的零输入响应为()是方程响应因为激励为零，零输入t r zi ()()()02d 3d d 22=++t r dt t r t t r ()()()()()()的解．，且满足 0000 2000='='='===--+--+r r r r r r zi zi zi zi 2121-=-=αα，()t t zi e B e B t r 221--+=()()式解得，代入，由)4(0020='=++zi zi r r 2,421-==B B ()0 242≥-=--t e e t r t t zi ()0 342≥++-=--t e e t r t t zs t t e e 24--+-()是方程零状态响应t r zs ()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()的解且满足000='=--zs zs r r ()项由于上式等号右边有t δ()应含有冲激函数，，故t r zs "()将发生跳变，即从而t r zs '()()-+'≠'00zs zs r r ()处是连续的．在而0=t t r zs ()()()()()t u a t r t t u b t a t r tzs zs∆=+∆+=+d d ,d d 22δ()()()()()()t u t t r t u a t u b t a 6223+=+∆+∆+δδ()t δ2=a ()()()()002000===+'='-+-+zs zs zs zs r r a r r ()()()()t u t r t t r t t r 62d d 3d d 22=++ 221t t e D e D --+()3221++=--t t zi e D e D t r ()()得由初始条件0,200=='++zs zs r r 1,421=-=D D ()0) ( 342≥++-=--t e e t r t t zs ()0 242≥-=--t e e t r t t zi完全响应=零状态响应+零输入响应，即例2-2冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。
信号与系统实验报告实验三 连续时间LTI系统的频域分析
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义;2、掌握系统频率响应特性的计算方法与特性曲线的绘制方法,理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用;3、学习与掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义;4、掌握用MA TLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求:掌握LTI 连续与离散时间系统的频域数学模型与频域数学模型的MATLAB 描述方法,深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义,理解滤波与滤波器的概念,掌握利用MATLAB 计算与绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性,也称为频率响应特性,简称频率响应(Frequency response),就是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况,包括响应的幅度随频率的变化情况与响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号与响应信号,h(t)就是系统的单位冲激响应,它们三者之间的关系为:)(*)()(t h t x t y =,由傅里叶变换的时域卷积定理可得到:)()()(ωωωj H j X j Y =3、1或者: )()()(ωωωj X j Y j H =3、2)(ωj H 为系统的频域数学模型,它实际上就就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt e t h j H tj ωω)()( 3、3由于H(j ω)实际上就是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换,如果h(t)就是收敛的,或者说就是绝对可积(Absolutly integrabel)的话,那么H(j ω)一定存在,而且H(j ω)通常就是复数,因此,也可以表示成复数的不同表达形式。
在研究系统的频率响应时,更多的就是把它表示成极坐标形式:)()()(ωϕωωj ej H j H = 3、4上式中,)j (ωH 称为幅度频率相应(Magnitude response),反映信号经过系统之后,信号各频率分量的幅度发生变化的情况,)(ωϕ称为相位特性(Phase response),反映信号经过系统后,信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
3_3连续时间LTI系统的零输入响应
2.零输入响应的三种形式
零输入响应yzi(t)的形式
(1) 特征根是不等实根 s1, s2, , sn
yzi (t ) K1es1t K2es2t Knesnt
(2) 特征根是相等实根 s1=s2==sn =s
yzi (t ) K1es t K2tes t Knt n1es t (3) 特征根是成对共轭复根 si i ji , i n / 2
yzi (t ) e1t ( K1 cos1t K2 sin 1t ) e it ( Kn1 cosit Kn sin it )
以上Ki 均由系统初始状态 y(0 ), y ' (0 ),...y ( n1) (0 ) 确定。
3.零输入响应的求解
求解过程 第一步：求出微分方程对应的特征根；
解：系统的特征方程为 s2+6s+8 = 0 系统的特征根为 s1 = －2, s2 = －4 （两不等实根） y zi ( t ) K1e 2 t K 2 e 4 t y(0－)=yzi(0－)=K1+K2=1; y'(0－)= y’zi(0－)= －2K14K2 =2
K1=3，K2= －2
[例] 已知描述某连续时间LTI系统的微分方程式为: y" (t)+2y ' (t) +5y (t) = 4x(t), t>0 初始状态为y(0－) = 1，y'(0－) = 3，求系统零输入响应yzi(t)。
解: 系统的特征方程为 s 2 2s 5 0 系统的特征根为
s1 1 2 j，s 2 1 2（两个共轭复根） j
t y zi ( t ) e （ K1 cos 2t K 2 sin 2 t )
2.1LTI连续系统的响应
四、零输入响应和零状态响应
系统响应的分解可以表示为：
y(t) = 4 e−2t − 2 e−5t + 8
3
15
5
︸ ︸ 自由响应 强迫响应
（瞬态响应） （稳态响应）
= − 4 e −2t + 2 e −5t + 8 e −2t − 4 e −5t + 8
3
15 3
15
5
︸ 零输入响应
k =1
k =1
︸ 零输入响应
︸ 零状态响应
四、零输入响应和零状态响应
例2 给定电路如图，t<0时开关S处于1的位置，而且 已经达到稳态；t=0时，开关转向2，把t<0时的电路 状态看作起始状态，求t>0时i(t)的零输入和零状态响
应。
2 S R1=1
i(t)
1
பைடு நூலகம்
iC(t)
iL(t)
+
e(t)=4V -
n
∑ yzi (t) = Azik exkt k =1
由于没有外加激励的作用，因此系统的状态不会发 生变化，即y (k) (0+)= y (k) (0-) ，于是， yzi(t)中的常数 可以由 y (k) (0-)确定。
四、零输入响应和零状态响应
零状态响应的定义：不考虑起始时刻系统的储能作 用（系统起始状态为零），仅由外加激励信号所产 生的响应，记为yzs(t)。它满足方程 an yzs (n) (t) +an-1 yzs (n-1) (t) +…+a1 yzs (1) (t) + a0 yzs (t) = bm f(m) (t) + bm-1 f(m-1) (t) + …+b1 f(1) (t) + b0 f (t) 及起始状态y (k) (0-) (k=0,1,…,n-1) ，其表达式为：
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1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2. 卷积法:
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
y(t) yzi (t) yzs (t) yzi (t) f (t) * h(t)
✓ 求解齐次微分方程得到零输入响应 ✓ 利用卷积积分可求出零状态响应
二、卷积法
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的
卷积法求解系统零状态响应yf (t)的思路
1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应
—— 冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意
信号f(t)激励下系统的零状态响应yf (t) 。
卷积法求解系统零状态响应yf (t)推导
(t) h(t)
特征方程为
s2 6s 8 0
特征根为
s1 2，s2 4
齐次解yh(t)
yh (t)
K1e2t
K
e4t
2
t>0
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
[例2-4-3] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动
态方程 y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
初始条件y(0+)=1, y ‘(0+)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， (1)求系统的零状态响应y(t) 。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
y'(t) + 3y(t) = 2f(t) 系统的冲激响应 h(t) = 2e3t u(t), f(t) = 3u(t), 试求系统的零状态响应yf (t)。
解：y f (t) f (t) h(t) f ( ) h(t )d = 3u( ) 2e3(t )u(t )d
= 0t 3 2e 3(t )d
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求 系统的完全响应y(t)。
解:
(3) 求方程的全解
y(t)
yh (t)
yp (t)
Ae 2t
Be 4t
1 et 3
y(0) A B 1 1
y' (0)
2A
3 4B
1
2
解得 A=5/2，B= 11/6
3
y(t) 5 e2t 11 e4t 1 et , t 0
初始状态单独作用而产生的输出响应。 数学模型:
y (n) (t) an1 y (n1) (t) a1 y ' (t) a0 y(t) 0
求解方法： ✓ 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式 ✓ 再由初始条件确定待定系数。
[例1] 已知某线性时不变系统的动态方程式为:
y" (t)+5y ' (t) +6y (t) =4f(t), t>0
解: (2) 求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)
由输入f (t)的形式，设方程的特解为
yp(t) = Cet
t>0
将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
由时不变特性 (t ) h(t )
由均匀特性 f ( ) (t ) f ( )h(t
f
(
)
(t
)d
y f (t) f ( ) h(t )d
y f (t) f ( ) h(t )d f (t) h(t)
[例] 已知某LTI系统的动态方程式为：
2
6
3
二、卷积法
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 2.系统的零状态响应
当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t) 产生的响应称为系统的零状态响应，用yf (t)表示。
求解系统的零状态响应yf (t)方法：
1) 直接求解初始状态为零的微分方程。 2) 卷积法：
利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。
0 2(1 e3t ) = 0 = 2(1 e3t )u(t)
t 0 t0 t 0 t0
解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
s2 4s 4 0
s1 s2 2 （两相等实根）
y x (t) K1e 2t K 2te 2t
y(0)=yx(0)=K1=2; y'(0)= y'x(0)= 2K1+K2 =-1
解得 K1 = 2, K2= 3
yx (t) 2e2t 3te2t , t 0
解得 K1= 6，K2= 5
yx (t) 6e2t 5e3t , t 0
[例2] 已知某线性时不变系统的动态方程式为:
y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。
系统的初始状态为y(0) = 1，y' (0) = 3， 求系统的零输入响应yx(t)。
解: 系统的特征方程为 s2 5s 6 0
系统的特征根为 s1 2，s2 3
y x (t) K1e2t K 2e3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3