指数对数的导数

求指数、对数函数的导数

例 求下列函数的导数：

1．1ln 2+=x y ；2．)132(log 22++=x x y ；

3．)sin(b ax e y +=； 4．).12cos(3+=x a y x

分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数．

解：1．解法一：可看成1,,ln 2+===x v v u u y 复合而成．

.1

11 2)1(2

111 )2(2

11222212221

+=+⋅+=⋅+⋅+=⋅⋅='⋅'⋅'='--x x x x x

x x x x v u v u y y x v u x 解法二：[])1(11

1ln 222'++='+='x x x y

.121121

11)1()1(2111

22222122+=⋅+⋅

+='+⋅+⋅+=

-x x x x x x x x 解法三：)1ln(2

11ln 22+=+=x x y ， []

.1122)1(1121)1ln(2122222+=+='+⋅+⋅='+='x x x x x x x y

2．解法一：设132,log 2

2++==x x u u y ，则 )34(log 12+⋅⋅='⋅'='x e u

u y y x u x .1

32log )34()34(132log 2222++⋅+=+++⋅=x x e x x x x e 解法二：[]

)132(1

32log )132(log 22222'++⋅++='++='x x x x e x x y .132log )34()34(132log 2222+++=+⋅++=x x e x x x x e 3．解法一：设b ax v v u e y u

+===,sin ,，则

)sin()cos( cos b ax u x v u x e

b ax a a

v e u u y y +⋅+=⋅⋅='⋅'⋅'=' 解法二：[][]'+⋅='='++)sin()sin()sin(b ax e e

y b ax b ax )

sin()sin()cos()()cos(b ax b ax e b ax a b ax b ax e ++⋅+='

+⋅+⋅= 4．])12cos([3'+='x a y x

)].12s i n (2)12c o s (ln 3[)

12sin(2)12cos(ln 3)12)](12sin([)12cos()3(ln ])12[cos()12cos()(3333333+-+⋅=+⋅-+⋅='

++-++'⋅⋅='

+⋅++'=x x a a x a x a a x x a x x a a x a x a x x x x x x x

说明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律，是解决问题的关键，解答本题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题服务，在求导过程中，学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境．

解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．

变形函数解析式求导

例 求下列函数的导数：

（1）12223+-++=x x x x y ； （2）x

x y +-=11ln ； （3）x x y sin )(tan =； （4）62--=x x y ．

分析：先将函数适当变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量．

解：（1）.1

2122223+-++=+-++=x x x x x x x x y 2

22222)1(11)1()12(11+-+-+=+---+-+='x x x x x x x x x y ． （2）)]1ln()1[ln(2

1x x y +--=， .1

1)1)(1(11211111212-=+--++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---='x x x x x x x y （3）)ln(tan sin e x x y =

])ln(tan [sin e )ln(tan sin '='x x y x x

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

'+=)(tan tan 1sin )ln(tan cos )(tan sin x x x x x x x ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛+=cos sin cos )ln(tan cos )(tan sin x x x x x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--+=x x x x x x x x cos )sin (sin cos )ln(tan )(tan cos 2sin .cos 1)ln(tan )(tan cos sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x x x x x

（4）[]⎪⎩⎪⎨⎧-∈---∈++-=].

3,2[ ,6,3,2 ,622x x x x x x y ⎩

⎨⎧+∞--∞∈-∈+-=').,3()2,( ,12),3,2( ,12 x x x x y 当3,2-=x 时y '不存在．

说明：求)

()(x Q x P y =（其中)()(x Q x P 、为多项式）的导数时，若)(x P 的次数不小于)(x Q 的次数，则由多项式除法可知，存在)()(x R x S 、，使)()()()(x R x S x Q x P +=．从而)

()()()()(x Q x R x S x R x P +=，这里)()(x R x S 、均为多项式，且)(x R 的次数小于)(x Q 的次数．再求导可减少计算量．

对函数变形要注意定义域．如)1ln()1lg(+--=x x y ，则定义域变为),1(+∞∈x ，所以虽然)1l n ()1l n (++-=x x y 的导数1211112-=++-x x x x 与x x y +-=11ln 的导数1

2)1()1()1(11111122-=+--+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+x x x x x x x x x x x 结果相同，但我们还是应避免这种解法．

函数求导法则的综合运用

例 求下列函数的导数：

1．21x x y +=；2．x

e x x y 22)32(⋅+-=；