高三数学高考重点难点讲解三角函数的图像和性质
高考数学复习考点知识讲解课件22 三角函数的图象与性质
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[解析] 由 2x＋π6≠π2＋kπ(k∈Z)，得 x≠π6＋k2π(k∈Z)，故函数 f (x)的定义域为 x|x≠π6＋k2π，k∈Z.故选 D．
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2．(2022·东北师大附中月考)函数 f (x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为( B )
(2)∵f (x)为偶函数， ∴－π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，得 φ＝56π＋kπ，k∈Z. 又 φ∈(0，π)，∴φ＝56π. ∴f (x)＝3sin2x＋π2＝3cos2x. 由 2x＝π2＋kπ，k∈Z，得 x＝π4＋k2π，k∈Z， ∴f (x)图象的对称中心为π4＋k2π，0，k∈Z.
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(1)三角函数周期的一般求法 ①公式法． ②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期． (2)对于可化为 f (x)＝Asin(ωx＋φ)(或 f (x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求 f (x)的对 称轴，只需令 ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)(或令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求 x 即可；如果求 f (x)的对 称中心的横坐标，只需令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)或令ωx＋φ＝π2＋kπk∈Z，求 x 即可．
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3．函数 f (x)＝cosx＋π6(x∈[0，π])的单调递增区间为( C ) A．0，56π B．0，23π C．56π，π D．23π，π
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[解析] 由 2kπ－π≤x＋π6≤2kπ，k∈Z，解得 2kπ－76π≤x≤2kπ－π6，k∈Z，∵x∈[0， π]，∴56π≤x≤π，∴函数 f (x)在[0，π]的单调递增区间为56π，π，故选 C．
超实用高考数学重难点专题复习：专题四 三角函数 第一讲 三角函数的图像及性质
,又因为 f ( x) 2 tan 3x 1
6
18
的图象是由 f ( x) 2 tan 3 x 的图象向上平移1个单
6
位得到的，所以对称中心可以为 ,1 .故选D.
18
考点3：三角函数 y A sin( x ) 的图像及性质
6
12
6
且为单调递减时候零点，∴
5π π
π 2kπ, k Z
12 6
24k
12
, k Z ，由图象知 T 2π 2 5π ，∴
，又∵
(
n
)
12
5
5
0 ，∴ 2
∴ 2
π
∴ f ( x) 2 sin 2 x ，∵函数 f x 的图象可由 y A sin x
[解析] 由 1 tan( x ) 0 ,得
4
2
4
4
4
解得 k
x k , k Z ,故所求函数的定义域为
4
2
k
,
k
,k Z
4
2
,故选C.
考点2：三角函数的性质
1.三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性
[典型例题]
π
1.函数 y 2sin 2 x 是( )
应用
2.根据图象求解析式或参数
（三）核心知识整合
考点1：三角函数的定义域、值域、最值
1.三角函数的图像
第16讲三角函数的图象和性质
第16讲 三角函数的图象和性质常熟市中学 唐志忠一、高考要求三角函数的性质和图象主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、有界性及其图象的平移和伸缩变换等，多以小而活的选择和填空的形式出现，有时也会出现以函数的性质为主结合图象的综合题． 二、两点解读重点：① 掌握三角函数的图象及其三角函数线；②根据图象记忆和掌握三角函数的性质；难点：①三角函数图象的平移变换和对称变换和伸缩变换；②三角函数单调区间；③三角函数性质的应用． 三、课前训练1．函数()2cos 2f x x x =+的最小正周期是 （ ）(A )2π(B ) π (C )2π (D )4π 2．若把一个函数的图象按a =（－3π，－2）平移后得到函数y=cos x 的图象，则原图象的函数解析式为 ( )(A) y=cos(x +3π)－2 (B) y=cos(x －3π)－2 (C) y=cos(x+3π)+2 (D) y=cos(x －3π)+23．函数0.5log (sin cos )y x x =⋅的增区间为 ________________． 4．函数 y =2sin()cos()36x x ππ--+的最小值为 _ ______．四、典型例题例1 给定性质：①最小正周期为π，②图象关于直线3x π=对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是 （ ） （A ） sin()26x y π=+（B ）sin(2)6y x π=+（C ）sin y x = （D ）sin(2)6y x π=- 例2 把函数sin()(0,)y x ωϕωϕπ=+><的图象向左平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得图象的解析式是x y sin =，则（ ）（A ）2,6πωϕ== （B ）1,212πωϕ==-（C ）1,26πωϕ== （D ）2,3πωϕ==-例3 已知函数()f x =2Acos (x+ )(A>0,>0)ωϕω的最大值为3，f (x )的图象在y 轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=____．例4 函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________．例5 已知函数2()23cos 2sin cos 3f x x x x =--,(1) 求函数()f x 的单调递增区间； (2) 若将()f x 的图象按向量(,0)3π-平移后，再将所有点的横坐标缩小到原来的21倍，得到函数()g x 的图象，试写出()g x 的解析式．(3) 求函数()g x 在区间[,]88ππ-上的值域．例6 已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如下图所示：（1）求函数)(x f 的解析式并写出其所有对称中心；（2）若)(x g 的图角与)(x f 的图象关于点 P （4，0）对称，求)(x g 的单调递增区间．第16讲 三角函数的图象和性质 过关练习1．函数f (x )=sin x 的最小正周期是 （ ）（A ）2π（B ）2π （C ）π （D ）不存在2．若函数()2cos()f x x ωϕ=+对任意实数x 都有()()33f x f x ππ-=+，那么()3f π的值等于 （ ）（A ）-2（B ）2（C ）±2（D ）不能确定3．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为 （ ）（A ）周期函数，最小正周期为32π （B ）周期函数，最小正周期为3π（C ）周期函数，数小正周期为π2（D ）非周期函数4．已知函数)(x f y =图象如图甲，则x x f y sin )2(-=π在区间[0，π]上大致图象是（ ）5．把函数f (x )＝－2tan(x ＋π4)的图象向左平移a (a >0)个单位得到函数y ＝g (x )的图象，若函数y ＝g (x )是奇函数，则a 的最小值为_________． 6． 函数x x x f cos 2cos 1)(-=，322x ππ<<的递减区间是___________．7．设函数2()3cos sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0,a R ω>∈）．且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是6π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果()f x 在区间5[,]36ππ-，求a 的值．8．已知函数2()2sin cos f x x x x =--(1) 求函数()f x 的单调递增区间； (2) 若将()f x 的图象按向量(,0)3π-平移后，再将所有点的横坐标缩小到原来的21倍，得到函数()g x 的图象，试写出()g x 的解析式; (3) 求函数()g x 在区间[,]88ππ-上的值域．第16讲 三角函数的图象和性质 参考答案课前训练部分1．Ｂ 2.D 3.(,]42k k k Z ππππ++∈ 4. －1 典型例题部分 例1． D 例2． D,6sin()sin[()]6y x y x ππωϕωϕ=+−−−→=++−−−−−−−−→左移横坐标伸长到原来的两倍1sin[()]26y x πωωϕ=++,再与sin y x =比较对应系数可得答案D 。
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。
在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。
下面将对这些内容进行总结。
一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。
2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。
3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。
二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。
2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。
3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。
高考数学复习知识点讲解教案第25讲 三角函数的图象与性质
π
− 或0
2
<<
π
，
2
∴ 函数 = lg sin 2 + 9 −
π
2 的定义域为[−3, − )
2
∪
π
0,
2
.
探究点二 三角函数的值域或最值
例2（1）
[2024·天津和平区期中] 函数 = sin + 3cos
最小值为(
C
π
在区间[0, ]上的
2
)
A. 3
B. 2
C.1
D.2
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）
π
,
1
在函数 = sin ， ∈ [0,2π]的图象中，五个关键点是： 0,0 ，_______,
2
3π
,
−1
π, 0 ,___________，
2π, 0 .
2
（2）
π
,
0
在函数 = cos ， ∈ [0,2π]的图象中，五个关键点是： 0,1 ，_______，
π
2
所以 = − + 2π , ∈ ，
所以cos = cos
π
2
− + 2π = sin =
2 5
，
5
∈ ,故选A.
（2） 已知函数
3
+
2
___________.
= sin + cos + 2sin cos + 2，则 的最大值为A.π ቚπ−
6
C.
π
ቚ2π−
6
< < π +
5π
,∈
三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
千里之行，始于足下。
三角函数及反三角函数图像性质、学问点总结三角函数及反三角函数是高中数学中重要的内容之一，它们的图像性质是我们学习和理解这些函数的基础。
下面是关于三角函数及反三角函数图像性质的学问点总结。
一、正弦函数的图像性质：1. 定义域：正弦函数的定义域为全体实数。
2. 值域：正弦函数的值域为闭区间[-1,1]。
3. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，正弦函数的图像重复消灭。
4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
5. 对称轴：正弦函数的对称轴是y轴。
6. 最值点：正弦函数的最值点包括最大值1和最小值-1，最值点的横坐标为周期的整数倍。
二、余弦函数的图像性质：1. 定义域：余弦函数的定义域为全体实数。
2. 值域：余弦函数的值域为闭区间[-1,1]。
3. 周期性：余弦函数的周期是2π，即在一个周期内，余弦函数的图像重复消灭。
4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
5. 对称轴：余弦函数的对称轴是x轴。
6. 最值点：余弦函数的最值点包括最大值1和最小值-1，最值点的横坐标为周期的半整数倍。
三、正切函数的图像性质：1. 定义域：正切函数的定义域为全体实数，除了临界点kπ（k为整数）。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
2. 值域：正切函数的值域为全体实数。
3. 周期性：正切函数的周期是π，即在一个周期内，正切函数的图像重复消灭。
4. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
5. 渐近线：正切函数有两条渐近线，分别是x=kπ+π/2（k为整数）和x=kπ（k为整数）。
6. 最值点：正切函数没有最值点。
四、反正弦函数的图像性质：1. 定义域：反正弦函数的定义域为闭区间[-1,1]。
2. 值域：反正弦函数的值域为闭区间[-π/2,π/2]。
3. 奇偶性：反正弦函数是奇函数，即arcsin(-x)=-arcsin(x)。
4. 递增性：反正弦函数在定义域内是递增的。
高考数学复习考点知识讲解课件26 三角函数的图象与性质
≤
πx
6
以－ 3≤y≤2，所以ymax＋ymin＝2－ 3.
π
−
3
≤
7π
3
，所以－ ≤sin
6
2
πx
6
π
−
3
≤1.所
− − ，
(2)函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为________________．
解析： (2)设t＝sin x－cos x，则－ 2≤t≤ 2，t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cos x，则
π
4
的最大值为3＋2＝5，此时x＋ ＝π＋2kπ，k∈Z，
(三)易错易混
π
− ，
4．(忽视区间的限制)函数y＝3sin (2x - )(x∈)的值域是________．
6
解析：当x∈
2x
π
−
6
∈
π
0，
2
3
− ，3
2
π
时，2x－ ∈
6
，即y＝3sin
π
5
π
− ， π .故sin 2x −
6
6
6
减，k∈Z
上递减，k∈Z
＋2kπ
x＝__________时，y
x＝________时，
2kπ
max
＝1(k∈Z)；
ymax＝1(k∈Z)；
无最值
－ ＋2kπ
π＋2kπ
x＝__________时，y
＝
x＝________时，
min
－1(k∈Z)
ymin＝－1(k∈Z)
奇函数
高考数学重难点解析 三角函数的图像及性质
三角函数的图像与性质【考纲说明】1．能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像，了解三角函数的周期性；2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最 小值、周期性、图像与x 轴交点等）；3．结合具体实例，了解)sin(ϕω+=x y 的实际意义；【知识梳理】一、三角函数的图像与性质1 sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性 奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭函 数性 质2、函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的性质振幅：A ；最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ； 其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
二、三角函数图像的变换1、五点法作y=Asin （ωx+ϕ）的简图： 五点取法是设t=ωx+ϕ，由t 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.2、三角函数的图像变换三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象。
新高考数学总复习专题五三角函数的图象和性质课件
考点一 三角函数的图象及其变换
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
1)正弦函数y=sin
x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,0),
2
,1,(π,0),
3 2
, 1
,(2π,0).
2)余弦函数y=cos
x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点:(0,1),
(2)(202X全国甲文,15,5分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,
则f
2
=
.
解析
(1)设点A的横坐标为x0,则
5 2
-x0=
42 (2
3)2
=2,解得x0=
1 2
.∴
T 2
=
5 2
-
1 2
=
2,即T=4.∵T= 2 ,ω>0,∴ω=2 =2 = .
|ω|
T 42
D.
f(x)在
2
3
,
6
上单调递增
解析 ∵函数f(x)的图象相邻的最高点之间的距离为π,∴其最小正周期T=
π,则ω=2 =2,∴f(x)=2sin(2x+φ).将函数y=f(x)的图象向左平移 个单位长
T
12
度后,可得g(x)=2sin
2
x
12
φ
=2sin
2x
6
φ
的图象,∵g(x)是奇函
例2
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)
ω
0,|
φ
|
2
,其图象相邻的最高点之间的
距离为π,将函数y=f(x)的图象向左平移 个单位长度后得到函数g(x)的图
高考数学冲刺复习三角函数图像考点解析
高考数学冲刺复习三角函数图像考点解析在高考数学中，三角函数图像是一个重要的考点，它不仅要求我们掌握基本的概念和性质，还需要我们能够灵活运用这些知识解决各种问题。
在冲刺复习阶段，对三角函数图像考点进行系统的梳理和深入的理解，能够帮助我们在考试中更加得心应手。
一、三角函数的基本类型我们先来了解一下常见的三角函数，包括正弦函数（y ＝ sin x）、余弦函数（y ＝ cos x）和正切函数（y ＝ tan x）。
正弦函数的图像是一个以2π 为周期，在－1 到1 之间波动的曲线。
它在 x ＝ 0 时，函数值为 0；在 x ＝π/2 时，函数值为 1；在 x ＝3π/2 时，函数值为－1。
余弦函数的图像同样是以2π 为周期，在－1 到 1 之间波动。
它在 x ＝ 0 时，函数值为 1；在 x ＝π 时，函数值为－1。
正切函数的图像则有所不同，它的周期是π，定义域为x ≠ （π/2)＋kπ（k 为整数），值域为R。
其图像在每个周期内都是单调递增的，且有垂直渐近线 x ＝（π/2) ＋kπ。
二、三角函数图像的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，正切函数的周期是π。
周期性是三角函数的重要特征之一，利用周期性可以将函数在一个周期内的性质推广到整个定义域。
2、对称性正弦函数是关于直线 x ＝π/2 ＋kπ（k 为整数）对称的奇函数；余弦函数是关于直线 x ＝kπ（k 为整数）对称的偶函数。
3、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ（k 为整数）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ上单调递减。
余弦函数在2kπ π, 2kπ上单调递增，在2kπ, 2kπ ＋π上单调递减。
4、值域正弦函数和余弦函数的值域都是-1, 1，正切函数的值域是 R。
三、三角函数图像的变换1、平移变换对于函数 y ＝ sin(x ＋φ)，当φ ＞ 0 时，图像向左平移φ 个单位；当φ ＜ 0 时，图像向右平移|φ|个单位。
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质教案一、教学目标：1. 理解三角函数的定义和基本概念。
2. 学会绘制和分析三角函数的图像。
3. 掌握三角函数的性质，并能应用于实际问题。
二、教学重点：1. 三角函数的定义和图像。
2. 三角函数的性质。
三、教学难点：1. 三角函数图像的绘制和分析。
2. 理解和应用三角函数的性质。
四、教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 三角函数图像的示例。
3. 练习题和解答。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，如温度、声音等，引入三角函数的概念，激发学生的兴趣。
2. 讲解：讲解三角函数的定义和基本概念，引导学生理解三角函数的周期性和奇偶性。
3. 演示：使用课件或黑板，展示三角函数的图像，让学生观察和分析图像的形状和特点。
4. 练习：让学生绘制一些简单的三角函数图像，并分析其性质。
5. 讲解：讲解三角函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等，引导学生理解和应用。
6. 练习：让学生解决一些实际问题，运用三角函数的性质进行计算和分析。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调三角函数的图像和性质的重要性。
8. 作业：布置一些练习题，让学生巩固所学内容。
六、教学反思：本节课通过实例引入三角函数的概念，激发学生的兴趣。
通过讲解和演示，让学生理解和掌握三角函数的图像和性质。
通过练习和实际问题解决，让学生应用所学知识。
整个教学过程中，注意引导学生主动参与，培养学生的动手能力和思维能力。
作业的布置有助于巩固所学内容。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标。
六、教学目标：1. 能够运用三角函数的性质解决简单的三角方程和不等式问题。
2. 理解正弦、余弦和正切函数的图像是如何由基础函数通过平移、伸缩等变换得到的。
3. 能够分析实际问题，选择合适的三角函数模型进行求解。
七、教学重点：1. 三角函数图像的变换规律。
2. 三角方程和不等式的求解方法。
八、教学难点：1. 理解三角函数图像的变换规律及其对函数性质的影响。
2. 解决实际问题中三角函数的应用。
高考数学难点突破_难点15__三角函数的图象和性质
高考数学难点突破_难点15__三角函数的图象和性质首先，我们从正弦函数和余弦函数的图象开始讲解。
正弦函数的图象是一条连续的波浪线，其中最高点和最低点分别是1和-1，它在原点处与x轴相交。
余弦函数的图象与正弦函数相似，最高点和最低点也是1和-1、但是，余弦函数在原点处最低点，与x轴相交，而在最高点之后和最低点之前，它与x轴需要再次相交。
接下来，我们来看正切函数和余切函数的图象。
正切函数的图象是一个周期为π的波浪线，它在原点处有一个垂直渐近线，与x轴相交。
余切函数的图象与正切函数相似，但它在原点处有一个水平渐近线，与y轴相交。
此外，我们还可以根据周期、对称轴和图象的极值来判断函数的图象。
对于正弦函数和余弦函数来说，它们的图象是关于y轴对称的，并且有一个周期为2π。
对于正切函数和余切函数来说，它们的图象是关于原点对称的，并且有一个周期为π。
在了解了三角函数的图象之后，我们接下来来看几个重要的性质。
首先是函数的奇偶性。
正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)；正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)；余切函数是奇函数，即cot(-x)=-cot(x)。
其次是函数的同号性。
在第一象限，所有的三角函数的值都是正的；在第二象限，只有正弦函数的值是正的；在第三象限，只有正切函数的值是正的；在第四象限，只有余切函数的值是正的。
最后，我们来看一下函数的增减性和极值。
对于正弦函数来说，在(0,π/2)区间上是增函数，在(π/2,π)区间上是减函数，在(π,3π/2)区间上是增函数，在(3π/2,2π)区间上是减函数。
对于余弦函数来说，情况与正弦函数相反。
对于正切函数来说，在(0,π/4)和(π/2,3π/4)区间上是增函数，在(π/4,π/2)和(3π/4,π)区间上是减函数。
对于余切函数来说，情况与正切函数相反。
在解决涉及三角函数的问题时，可以运用三角函数的图象和性质，进行数据的分析和判断。
高考数学重难点解析三角函数的图象和性质
难点15 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.●难点磁场(★★★★)已知α、β为锐角，且x (α+β－2π)＞0,试证不等式f (x )=)sin cos ()sin cos (αββα+x x ＜2对一切非零实数都成立.●案例探究［例1］设z 1=m +(2－m 2)i ,z 2=cos θ+(λ+sin θ)i ,其中m ,λ,θ∈R ，已知z 1=2z 2，求λ的取值范围.命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目.知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题.技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.解法一：∵z 1=2z 2，∴m +(2－m 2)i =2cos θ+(2λ+2sin θ)i ,∴⎩⎨⎧+=-=θλθsin 222cos 22m m ∴λ=1－2cos 2θ－sin θ=2sin 2θ－sin θ－1=2(sin θ－41)2－89. 当sin θ=41时λ取最小值－89，当sin θ=－1时，λ取最大值2. 解法二：∵z 1=2z 2 ∴⎩⎨⎧+=-=θλθsin 222cos 22m m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==222sin 2cos 2λθθm m , ∴4)22(4222λ--+m m =1. ∴m 4－(3－4λ)m 2+4λ2－8λ=0,设t =m 2,则0≤t ≤4,令f (t )=t 2－(3－4λ)t +4λ2－8λ,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤-≤≥∆0)4(0)0(424300f f λ或f (0)·f (4)≤0∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥≤≤≤≤--≥0220434589λλλλλ或或∴－89≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是［－89，2］.［例2］如右图，一滑雪运动员自h =50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O 点保持速率v 0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB =L ，试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题.错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活. 技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.解：由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-==20021sin 4sin cos cos gt v L h t v L S θαθα 由①②整理得：v 0cos θ=.21sin sin ,cos 0gt t L v t L +-=αθα ∴v 02+gL sin α=41g 2t 2+22t L ≥2222412tL t g ⋅=gL运动员从A 点滑至O 点，机械守恒有:mgh =21mv 02, ∴v 02=2gh ,∴L ≤)sin 1(2)sin 1(20αα-=-g ghg v =200(m)即L max =200(m),又41g 2t 2=22222t L t h S =+. ∴θααcos 22cos cos ,20⋅====gLgh t v L S g L t 得cos θ=cos α,∴θ=α=30°∴L 最大值为200米，当L 最大时，起跳仰角为30°.［例3］如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b . (1)求这段时间的最大温差.① ②(2)写出这段曲线的函数解析式.命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则.属★★★★级题目.知识依托：依据图象正确写出解析式.错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母. 技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式. 解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；(2)图中从6时到14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象.∴ωπ221⋅=14－6,解得ω=8π,由图示A =21(30－10)=10，b =21(30+10)=20，这时y =10sin(8πx +φ)+20,将x =6,y =10代入上式可取φ=43π.综上所求的解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈［6,14］. ●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决的方法主要有： 1.考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.2.三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.3.三角函数与实际问题的综合应用.此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)函数y =－x ·cos x 的部分图象是( )2.(★★★★)函数f (x )=cos2x +sin(2π+x )是( ) A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值又有最小值的偶函数二、填空题3.(★★★★)函数f (x )=(31)｜cos x ｜在［－π，π］上的单调减区间为_________. 4.(★★★★★)设ω＞0，若函数f (x )=2sin ωx 在［－4,3ππ，］上单调递增，则ω的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★)设二次函数f (x )=x 2+bx +c (b ,c ∈R ),已知不论α、β为何实数恒有f (sin α)≥0和f (2+cos β)≤0.(1)求证：b +c =－1； (2)求证c ≥3；(3)若函数f (sin α)的最大值为8，求b ，c 的值.6.(★★★★★)用一块长为a ，宽为b (a ＞b )的矩形木板，在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值.7.(★★★★★)有一块半径为R ，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.8.(★★★★)设－6π≤x ≤4π，求函数y =log 2(1+sin x )+log 2(1－sin x )的最大值和最小值.9.(★★★★★)是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a ·cos x +85a －23在闭区间［0，2π］上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由.参考答案难点磁场证明：若x ＞0，则α+β＞2π∵α、β为锐角，∴0＜2π－α＜β＜2π;0＜2π－β＜2π,∴0＜sin(2π－α)＜sin β.0＜sin(2π－β)＜sin α，∴0＜cos α＜sin β,0＜cos β＜sin α,∴0＜βsin cos α＜1,0＜αβsin cos ＜1,∴f (x )在(0,+∞)上单调递减，∴f (x )＜f (0)=2.若x ＜0,α+β＜2π,∵α、β为锐角，0＜β＜2π－α＜2π,0＜α＜2π－β＜2π,0＜sin β＜sin(2π－α),∴sin β＜cos α,0＜sin α＜sin(2π－β),∴sin α＜cos β,∴βαsin cos ＞1, αβsin cos ＞1,∵f (x )在(－∞,0）上单调递增，∴f (x )＜f (0)=2,∴结论成立.歼灭难点训练一、1.解析：函数y =－x cos x 是奇函数，图象不可能是A 和C ，又当x ∈(0, 2π)时， y ＜0.答案：D2.解析：f (x )=cos2x +sin(2π+x )=2cos 2x －1+cos x=2［(cos x +81)2212-］－1.答案：D二、3.解：在［－π,π］上，y =｜cos x ｜的单调递增区间是［－2π,0］及［2π,π］.而f (x )依｜cos x ｜取值的递增而递减,故［－2π,0］及［2π,π］为f (x )的递减区间. 4.解：由－2π≤ωx ≤2π，得f (x )的递增区间为［－ωπ2,ωπ2］，由题设得.230,23: 4232],2,2[]4,3[≤ω<∴≤ω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧π≥ωππ-≤ωπ-∴ωπωπ-⊆ππ-解得 三、5.解：(1)∵－1≤sin α≤1且f (sin α)≥0恒成立，∴f (1)≥0∵1≤2+cos β≤3,且f (2+cos β)≤0恒成立.∴f (1)≤0. 从而知f (1)=0∴b +c +1=0.(2)由f (2+cos β)≤0,知f (3)≤0,∴9+3b +c ≤0.又因为b +c =－1,∴c ≥3. (3)∵f (sin α)=sin 2α+(－1－c )sin α+c =(sin α－21c +)2+c －()21(c +)2,当sin α=－1时，［f (sin α)］max =8,由⎩⎨⎧=++=+-0181c b c b 解得b =－4,c =3.6.解：如图，设矩形木板的长边AB 着地，并设OA =x ，OB =y ，则a 2=x 2+y 2－2xy cos α≥2xy－2xy cos α=2xy (1－cos α).∵0＜α＜π,∴1－cos α＞0,∴xy ≤)cos 1(22α-a (当且仅当x =y 时取“=”号)，故此时谷仓的容积的最大值V 1=(21xy sin α)b =2cos 41)cos 1(4sin 22αααb a b a =-.同理，若木板短边着地时，谷仓的容积V 的最大值V 2=41ab 2cos 2α, ∵a ＞b ,∴V 1＞V 2从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a 为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为41a 2b cos 2α. 7.解：如下图，扇形AOB 的内接矩形是MNPQ ，连OP ，则OP =R ，设∠AOP =θ，则∠QOP =45°－θ，NP =R sin θ,在△PQO 中，︒=θ-︒135sin )45sin(RPQ ，∴PQ =2R sin(45°－θ).S 矩形MNPQ =QP ·NP =2R 2sin θsin(45°－θ)=22R 2·［cos(2θ－45°)－22］≤212-R 2，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S 矩形MNPQ 的值最大且最大值为212-R 2.工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB ，以扇形一半径OA 为一边，在扇形上作角AOP 且使∠AOP =22.5°，P 为边与扇形弧的交点，自P 作PN ⊥OA 于N ，PQ ∥OA 交OB 于Q ，并作OM ⊥OA 于M ，则矩形MNPQ 为面积最大的矩形，面积最大值为212-R 2. 8.解：∵在［－4,6ππ］上，1+sin x ＞0和1－sin x ＞0恒成立，∴原函数可化为y = log 2(1－sin 2x )=log 2cos 2x ，又cos x ＞0在［－4,6ππ］上恒成立，∴原函数即是y =2log 2cos x ,在x∈［ －4,6ππ］上，22≤cos x ≤1. ∴log 222≤log 2cos x ≤log 21，即－1≤y ≤0，也就是在x ∈［－4,6ππ］上，y max =0,y mi n =－1.).(51212185,0cos ,0,02).(0423121854,2cos ,20,120),(2132012385,1cos ,2,12.1cos 0,20.21854)2(cos 2385cos cos 1:.9max 2max max 222舍去时则当即若舍去或时则当即若舍去时则当即时若时当解>=⇒=-==<<<-==⇒=-+==≤≤≤≤<=⇒=-+==>>≤≤π≤≤-++--=-++-=a a y x a a a a a a y a x a a a a a y x a a x x a a a x a x a x y综合上述知，存在23=a 符合题设.。
高三专题复习《三角函数的图像与性质》教学设计
《三角函数的图像与性质》教案教学目标： 1、知识目标:进一步理解、掌握三角函数的图像及性质，能熟练应用三角函数的图像与性质解决相关数学问题。
2、过程与方法：培养学生应用所学知识解决问题的能力，独立思考能力，规范解题的标准。
3、情感态度与价值观：培养学生全面的分析问题和认真的学习态度，渗透辩证唯物主义思想。
教学重点：三角函数的性质及应用教学难点：三角函数的周期性、单调性、值域的应用． 教学过程：一、真题感悟,预习检测：1.(2013·江苏卷)函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________. 2.(2011·江苏卷)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.3.(2014·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________.4.(2015·浙江卷)函数f(x)＝sin2x＋sin x cos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.二、知识点回顾，考点整合1、性质列表，网络建构2、三角函数的两种常见变换3.正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象的对称中心、对称轴。
三、热点聚焦，题型突破热点一 三角函数的图象[微题型1] 图象变换【例1－1】 (2015·南通调研)为了得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象向________平移________单位长度.[微题型2] 由三角函数图象求其解析式【例1－2】 (1)(2015·苏北四市模拟)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为________. (2)(2015·苏、锡、常、镇调研)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________.跟踪训练【训练1】 (1)(2015·苏州模拟)已知函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.(2)(2015·南师附中模拟)把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移个单位∏/6长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数表达式为________. 热点二 三角函数的性质[微题型1] 考查三角函数的单调性与对称性【例2－1】 (1)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________.(2)(2015·南通调研)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则φ等于________.[微题型2] 考查三角函数在闭区间上的最值(或值域)【例2－2】 (2015·宿迁高三摸底考试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈[0，π))的图象如图所示.)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )＋3f (x ＋2)在x ∈[－1，3]上的最大值和最小值.【训练2】 (2015·河南名校联考)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)设函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x )，求g (x )的值域.四、随堂检测1.求下列函数的值域（1）1sin cos 2+-=x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈43,4(ππx ； （2）3cos 3cos +-=x x y2．函数)32cos(π--=x y ),0(π∈x 的单调增区间 。
高中数学高三三角函数的图象和性质【教案】
高三一轮（理） 3.3 三角函数的图象和性质【教学目标】1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数在［0，2π］上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间错误!内的单调性。
【重点难点】1。
教学重点：函数y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象和性质; 2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】了解理解掌握函数y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象和性质√［考纲传真] 1。
能画出y＝sin x，y＝cos x,y＝tan x的图象，了解函数的周期性 2.理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间错误!内的单调性。
真题再现学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。
通过对考纲的解读和分析.让学生明确考试要求，做到有的放矢2.【2014上海】 函数 的最小正周期是________ 【解析】由题意13.(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0).若f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________.典例 (1)(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。
(2)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象 如图所示，则f (x )的单调递减区间为()A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，解析 (1)选项A中，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意.6.（2016高考新课标1）已知函数为的零点,为 图像的对称轴， 且在单调，则的最大值为（ )数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x)的最小正周期．知识点3 三角函数的图象和性质y＝sin x y＝cos x y＝tan xR R x≠kπ＋错误!,k ［－1，1][－1,1]R增区间：错误!，减区间:错误!增区间：[2kπ－π，2kπ］，减区间：[2kπ,2kπ＋π]，递增区间kπ－错误!，kπ＋∈Z奇函数偶函数奇函数（kπ,0）,k ∈Z 错误!,k∈Zkπ2，0，k∈Z在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时和解题效率.学必求其心得，业必贵于专精。
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握三角函数的图像与性质，能够运用三角函数解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生探索三角函数的图像与性质。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和团队协作能力。
二、教学内容：1. 三角函数的定义与图像2. 三角函数的周期性3. 三角函数的奇偶性4. 三角函数的单调性5. 三角函数的极值三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数的图像与性质的掌握。
2. 教学难点：三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数的图像与性质。
2. 利用多媒体手段，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。
3. 组织小组讨论，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入高中阶段的学习。
2. 探究三角函数的图像与性质：引导学生观察三角函数的图像，分析其特点，归纳出性质。
3. 讲解与示范：教师讲解三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断方法，并进行示范。
4. 练习与反馈：学生进行课堂练习，教师及时给予反馈，巩固所学知识。
5. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
教案编写完毕，仅供参考。
如有需要，请根据实际情况进行调整。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现，评价学生的学习态度和团队协作能力。
2. 作业评价：对学生的课后作业进行批改，评价学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 单元测试评价：在单元结束后进行测试，评价学生对三角函数图像与性质的掌握情况。
七、教学策略：1. 针对不同学生的学习基础，采取分层教学，使所有学生都能跟上教学进度。
高考专题复习14三角函数的图象与性质
专题14 三角函数的图象与性质【知识精讲】一、正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质 ,x x k k π⎧⎫≠π+∈⎨⎬Z二、函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质 1．函数sin()y A x ωϕ=+的图象的画法 （1）变换作图法由函数sin y x =的图象通过变换得到sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.（2）五点作图法找五个关键点，分别为使y 取得最小值、最大值的点和曲线与x 轴的交点.其步骤为： ①先确定最小正周期T =2ωπ,在一个周期内作出图象；②令=X x ωϕ+,令X 分别取0，2π,π,322ππ,,求出对应的x 值，列表如下：由此可得五个关键点；③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到sin()y A x ωϕ=+的简图.2．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质（1）奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数.（2）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.（3）单调性：根据y =sin t和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ−π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间. （4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解，令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x .利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解，令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴.3．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的物理意义当函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0,[0,)x ∈+∞）表示一个简谐振动量时，则A 叫做振幅，T =2ωπ叫做周期，f =12πT ω=叫做频率,x ωϕ+叫做相位，x =0时的相位ϕ叫做初相. 三、三角函数的综合应用（1）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的定义域均为R ；函数tan()y A x ωϕ=+的定义域均为ππ{|,}2k x x k ϕωωω≠−+∈Z . （2）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最大值为||A ，最小值为||A −；函数tan()y A x ωϕ=+的值域为R .（3）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期为2πω；函数tan()y A x ωϕ=+的最小正周期为πω．（4）对于()sin y A x ωϕ=+，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为奇函数，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为偶函数；对于()cos y A x ωϕ=+，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为奇函数，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为偶函数；对于()tan y A x ωϕ=+，当且仅当()π2k k ϕ=⋅∈Z 时为奇函数．（5）函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式ππ2π2π(22k x k k ωϕ−≤+≤+ )∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()π3π2π2π22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 来确定；函数()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()2ππ2πk x k k ωϕ−≤+≤∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()2π2ππk x k k ωϕ≤+≤+∈Z 来确定；函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()ππππ22k x k k ωϕ−<+<+∈Z 来确定． 【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+（ω有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把ω化为正数后再求解． （6）函数sin()y A x ωϕ=+图象的对称轴为ππ()2k x k ϕωωω=−+∈Z ，对称中心为π(,0)()k k ϕωω−∈Z ；函数cos()y A x ωϕ=+图象的对称轴为π()k x k ϕωω=−∈Z ，对称中心为ππ(,0)()2k k ϕωωω−+∈Z ；函数tan()y A x ωϕ=+图象的对称中心为π(,0)()2k k ϕωω−∈Z .【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线都为对称轴. 函数tan()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点都为对称中心，无对称轴.【题型精讲】题型一 三角函数的周期性【例1-1】求下列函数的周期： (1)2sin3x y =； (2)()cos 4y x =−； (3)3cos 34x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； (4)tan y x =−． 【答案】(1)3π (2)2π (3)6π (4)π 【解析】 【分析】根据三角函数周期公式即可得到结果. (1) ∵2sin3x y = ∴周期2323T ππ==； (2)∵()cos 4y x =−， ∴周期242T ππ==−； (3)∵3cos 34x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴周期2613T；(4)∵tan y x =−， ∴周期1T ππ==.【例1-2】求函数|sin |y x =的最小正周期． 【答案】π 【解析】 【分析】根据函数图象的变换规则画出函数图象，即可得到函数的最小正周期； 【详解】解：函数|sin |y x =是将sin y x =位于x 轴下方的图象关于x 翻折上去， 函数图象如下所示，所以最小正周期为π【例1-3】设ω为实数，函数()3sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，则ω的值为（ ） A ．2 B ．4± C ．4π D ．4π±【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的周期公式计算即可得到答案. 【详解】 由题意可得2||2ππω=，则4ω=±， 故选:B .【例1-4】函数22()cos sin 1f x x x =−+的周期为___________； 【答案】π 【解析】 【分析】利用降幂公式化简，即可求出答案. 【详解】22()cos sin 1cos 21f x x x x =−+=+, 所以()f x 的周期为：22T ππ== 故答案为：π.【练习1-1】求下列函数的周期.（1）()2sin 36y x x R π⎛⎫=−∈ ⎪⎝⎭； （2）()sin 2y x x R =∈.【答案】（1）23π（2）2π 【解析】 （1）由2T πω=求解即可；（2）画出函数图像,根据图像得到周期即可 【详解】（1）由题,3ω=,则223T ππω==（2）（图像法）作出函数()sin 2y x x R =∈的图像,如图所示,由图像可得,函数()sin 2y x x R =∈的周期为2π【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期,考查正弦型函数的图像的应用【练习1-2】函数()()22cos 2sin 0f x x x ωωω=−>的最小正周期为π2，则ω的值为（ ）． A ．2 B ．4C ．1D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式可得()31cos 222f x x ω=−，结合求最小正周期的公式2πT ω=计算即可. 【详解】 解：()()1cos 2311cos 2cos 2222x f x x x ωωω+=−−=−， 由0ω>得函数的最小正周期为2ππ22T ω==， ∴2ω=， 故选：A ．【练习1-3】已知函数()tan (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，则ω的值是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】由正切函数的周期公式可求解. 【详解】 由题意，22ππωω=⇒=. 故选：B题型二 三角函数的奇偶性【例2-1】判断下列函数的奇偶性．(1)2sin 2y x =−； (2)sin y x =； (3)3cos 1y x =+； (4)tan 1y x =−． 【答案】(1)奇函数； (2)偶函数； (3)偶函数；(4)既不是奇函数，也不是偶函数. 【解析】 【分析】根据给定的各个函数，结合奇偶函数的定义逐一判断分别作答. (1)函数2sin 2y x =−的定义域为R ，因2sin 2()2sin(2)(2sin 2)x x x −−=−−=−−， 所以2sin 2y x =−是奇函数. (2)函数sin y x =的定义域为R ，因|sin()||sin ||sin |x x x −=−=， 所以sin y x =是偶函数. (3)函数3cos 1y x =+的定义域为R ，因3cos()13cos 1x x −+=+， 所以3cos 1y x =+是偶函数. (4)函数tan 1y x =−的定义域为{R |,Z}2x x k k ππ∈≠−∈，而tan()1tan 1x x −−=−−，显然tan()1(tan 1)x x −−≠−−，并且tan()1tan 1x x −−≠−， 所以tan 1y x =−既不是奇函数，也不是偶函数.【例2-2】已知()()2sin 32f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ=__________．（写出一个值即可） 【答案】2π（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：因为()()2sin 32f x x ϕ=+是奇函数，所以2k ϕπ=，k Z ∈，解得2k πϕ=，k Z ∈． 故答案为：2π（答案不唯一） 【练习2-1】判断下列函数的奇偶性：(1)()()cos 2cos 2f x x x ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=； (2)()cos 1sin x f x x =−； (3)()f x 【答案】(1)函数()f x 为奇函数 (2)函数()f x 为非奇非偶函数 (3)函数()f x 既是奇函数又是偶函数 【解析】 【分析】(1)把解析式化简成sin y A x ω=型或cos y A x ω=型，来判断其奇偶性； (2)先求一下定义域，再进行奇偶性判断； (3)先求一下定义域，再进行奇偶性判断； (1)函数()f x 的定义域为R ,()()cos 2cos (sin 2)(cos )sin 2cos 2f x x x x x x x ππ⎛⎫++=−=⎪⎝⎭=−故()()sin(2)cos()sin 2cos f x x x x x f x −=−−=−=−， 故函数()f x 为奇函数 (2)函数()f x 定义域为2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭,不关于原点中心对称，故函数()f x 为非奇非偶函数 (3)由cos 1x =，得函数()f x 定义域为{}=2,x x k k Z π∈，关于原点中心对称，此时，()f x =则有()()0f x f x −==，且()()0f x f x −==− 故函数()f x 既是奇函数又是偶函数 【练习2-2】若02πα<<，()sin 2)4(g x x πα++=是偶函数，则α的值为________．【答案】4π 【解析】 【分析】正弦型函数()sin()(0,0)f x A x A ωφω=+>>若成为偶函数，则必有一条对称轴是y 轴，即(0)=f A ，解之即可.【详解】要使()sin 2)4(g x x πα++=成为偶函数，则必有()0=1g即1sin )4(=πα+，故=42k k Z ππαπ++∈，,又有02πα<<，所以=4πα 故答案为：4π 题型三 三角函数的对称性【例3-1】求函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴和对称中心.【答案】对称轴为,212k x k Z ππ=+∈；对称中心为,0,26⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭k k Z ππ 【解析】 【分析】结合3sin y x =的性质，分别令232x k πππ+=+和23x k ππ+=可解得对称轴和对称中心.【详解】 由232x k πππ+=+，得,212k x k Z ππ=+∈， 所以对称轴为,212k x k Z ππ=+∈. 由23x k ππ+=，得,26k x k Z ππ=−∈， 所以对称中心为,0,26k k Z ππ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭.【例3-2】函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭的图像关于直线2x π=对称，则ω可以为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C 【解析】 【分析】()cos()(0)3f x x πωω=−>的对称轴为3x k πωπ−=，化简得到22(0)3k ωω=+>得到答案.【详解】()cos()(0)3f x x πωω=−>对称轴为：22(0)()3233x k k k k Z πππωπωπωω−=⇒−=⇒=+>∈ 当0k =时，ω取值为23. 故选:C.【例3-3】已知函数()cos (0)4f x x πωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，则ω的取值范围是（ ） A ．（134，174] B ．（94，134]C ．[94，134）D ．[134，174） 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的对称轴方程为()144k x πω+=，k Z ∈，原题等价于()1404k ππω+≤≤有3个整数k符合，解不等式1424143ω+⨯≤<+⨯即得解. 【详解】解：()cos (0)4f x x πωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭，令4x k πωπ−=，k Z ∈，则()144k x πω+=，k Z ∈，函数f （x ）在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，即()1404k ππω+≤≤有3个整数k 符合，()1404k ππω+≤≤，得140101444kk ωω+≤≤⇒≤+≤，则0,1,2k =， 即1424143ω+⨯≤<+⨯，∴91344ω≤<. 故选：C.【练习3-1】已知函数()sin cos f x x x =+，R x ∈.求：(1)()f x 的图像的对称轴方程； (2)()f x 的图像的对称中心坐标. 【答案】(1)4x k ππ=+，Z k ∈(2),04k ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭，Z k ∈【解析】 【分析】先将函数化简为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后整体代换ωx ＋φ即可求出对称轴和对称中心﹒ (1)()sin cos 4f x x x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋＋．由42x k k Z πππ∈＋＝＋，，得4x kx k Z π∈＝＋，；(2)由4x k k Z ππ∈＋＝，，得4x k k Z ππ−∈＝，，∴对称中心为04k k Z ππ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭，，﹒ 【练习3-2】已知函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）AB C ．D 【答案】B 【解析】 【分析】先由对称性求得a ，再将4π代入函数解析式即可求得答案. 【详解】因为()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以()203f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1122=−，解得a =422f π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．故选：B题型四 三角函数的单调性【例4-1】函数2cos 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为（ ）A ．()2ππ,2π,Z k k k −∈B ．()2π,2ππ,Z k k k +∈C ．7ππ(2π,2π),Z 66k k k −−∈ D ．π5π(2π,2π),Z 66k k k −+∈【答案】C 【解析】 【分析】根据给定函数，利用余弦函数的单调性直接列式，求解作答. 【详解】 由2ππ2π,Z 6k x k k π−≤+≤∈，解得2π2π,Z 66k x k k 7ππ−≤≤−∈， 所以所求函数的增区间为7ππ(2π,2π),Z 66k k k −−∈. 故选：C【例4-2】已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)1,2D ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】 依题意可得22T ππ≥−，再根据周期公式即可求出ω的大致范围，再根据x 的取值范围，求出6x πω+的取值范围，根据ω的范围求出左端点的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可； 【详解】解：依题意222T πππ≥−=，即T π≥，又2T πω=，所以20ππωω⎧≥⎪⎨⎪>⎩，解得02ω<≤， 又,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,2666x πππωωωππ⎥+∈+⎡⎤⎢⎣⎦+，所以76662ππωππ≤<+，要使函数在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，所以226362πππωπππω⎧≤+⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得2433ω≤≤， 即24,33ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故选：B【练习4-1】已知函数2()22cos f x x x =+. （1）求函数()f x 的值域； （2）求函数()f x 单调递增区间.【答案】(1) [1,3]−, (2) (),36k k k Z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）先对函数化简为()f x 2sin(2)16x π=++，然后利用正弦函数的取值范围可求出()f x 的值域； （2）由222262k x k πππππ−≤+≤+解出x 的范围就是所要求的递增区间.【详解】解：2()22cos 2cos 21f x x x x x =+=++1sin 2cos 2)122x x =++ 2sin(2)16x π=++（1）因为1sin(2)16x π−≤+≤，所以12sin(2)136x π−≤++≤所以()f x 的值域为[1,3]−； （2）由222,262k x k k Z πππππ−≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ−≤≤+∈，所以()f x 单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】此题考查三角函数的恒等变换公式，正弦函数的性质，属于基础题.【练习4-2】函数()=sin2+1(0)f x x ωω>在ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω取值范围为_____【答案】102⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】 【分析】根据题意可求得函数的单调区间，结合()=sin2x+1(0)f x ωω>在ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，列出不等式组，即可求得答案. 【详解】 令ππ2π22π,(Z)22k x k k ω−+≤≤+∈， 可得ππππ,Z 4ω4k k x k ωωω−+≤≤+∈， 因为函数()sin2+1(0)f x x ωω=>在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故πππ46πππ42k k ωωωω⎧−+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得362,(Z)122k k k ωω⎧≥−+⎪⎪∈⎨⎪≤+⎪⎩， 结合0>ω，故当0k =时，ω取值范围为102⎛⎤⎥⎝⎦，，1k时不符合题意，故ω取值范围为102⎛⎤⎥⎝⎦，，故答案为：102⎛⎤⎥⎝⎦，题型五 “五点法”作sin()y A x ωϕ=+的图像【例5-1】已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭.(1)利用“五点法”完成下面的表格，并画出()f x 在区间π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象； (2)解不等式()1f x ≥.【答案】(1)答案见解析(2)π7π,π()412k k k π⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的五点作图法可完成表格，利用五点作图法可得图象； （2）根据函数图象列式可求出结果. (1)完成表格如下：()f x 在区间π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示：(2)不等式()1f x ≥，即1sin 232x π⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭.由ππ5π2π22π,636k x k k +≤−≤+∈Z ， 解得π7πππ,412k x k k +≤≤+∈Z . 故不等式()1f x ≥的解集为π7ππ,π()412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【练习5-1】设函数f (x )＝sin （2x +φ）（﹣π＜φ＜0），y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝8π，此对称轴相邻的对称中心为（308π，） (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)用五点法画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．【答案】(1)3()sin(2)4f x x π=−；(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）解方程sin 218πϕ⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭即得解；（2）用五点法画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象． (1) 解：8x π=是函数()y f x =的一条对称轴，sin 218πϕ⎛⎫∴⨯+=± ⎪⎝⎭，即,42k k Z ππϕπ+=+∈0πϕ−<<，34πϕ∴=−所以3()sin(2)4f x x π=−.令32,4x k k Z ππ−=∈得3,28k x k Z ππ=+∈. 所以函数的对称中心为37(,0),(,0),(,0),888πππ−，，所以函数的解析式为3()sin(2)4f x x π=−.(2)解：由3sin 24y x π⎛⎫=− ⎪可知故函数3sin 24y x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭在区间[]0,π上的图像为：题型六 三角函数的图像变换【例6-1】怎样由函数sin y x =的图象变换得到sin(2)3y x π=−的图象，试叙述这一过程．【答案】答案见解析 【解析】 【分析】利用函数sin(2)3y x π=−与函数sin y x =的关系直接叙述即可.【详解】把函数sin y x =的图象向右平移3π个单位得函数sin()3y x π=−的图象，再将所得图象上每一点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，即得函数sin(2)3y x π=−的图象.【例6-2】要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向左平移512π个单位长度C ．向右平移12π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式化为同名函数，然后由图象平移变换求解． 【详解】因为函数sin 2cos 2cos 224y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==−=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5cos 2cos 2cos 236412y x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=−+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度. 故选：B.【例6-3】将函数()2sin(2)3f x x π=−的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后得到的函数图象关于直线4x π=对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．6π B ．23π C ．3πD ．8π 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换，求得()2sin(22)3g x x πϕ=−−，结合()14g π=±，列出三角方程，即可求解. 【详解】将函数()2sin(2)3f x x π=−的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后，可得()22sin[2()]sin(22)33g x x x ππϕϕ=−−=−−， 因为()g x 的图象关于直线4x π=对称，()sin(2)146g ππϕ=−−=±，即sin(2)16πϕ+=±，可得2,62k k ϕππ+=+π∈Z ，解得,62k k ϕππ=+∈Z ，又因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为6π. 故选：A.【练习6-1】【多选题】要得到函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭到的图象，只需将函数sin y x =的图象（ ）A ．向左平移π4单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的12B ．向右平移π8单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的12C ．每个点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移π8单位长度D ．每个点的横坐标缩短为原来的12，再向左平移π8单位长度【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象的两种变换方式即可求解;先平移再伸缩可判断A,B,先伸缩再平移可判断C,D. 【详解】方式一：（先平移再伸缩）；将sin y x =先向左平移π4单位长度得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后将πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上每个点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变得到πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 对，方式二：（先伸缩再平移）；将sin y x =图像上每个点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变得到sin 2y x =，再将sin 2y x =向左平移π8单位长度得到πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故D 对，故选：AD【练习6-2】为了得到函数()sin2cos2f x x x =−的图像，可以将函数()f x x =的图像（ ）A ．向左平行移动8π个单位 B ．向右平行移动8π个单位 C ．向左平行移动4π个单位D ．向右平行移动4π个单位【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和差公式先将函数化简为()()sin f x A x =+ωϕ，然后再通过三角函数图像的伸缩平移得出答案. 【详解】由题意得()sin2cos2)2()48f x x x x x ππ⎡⎤=−=−=−⎢⎥⎣⎦，所以应把函数()f x x =的图像向右平移8π个单位.故选：B.【练习6-3】为了得到函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移5π24个单位 B ．向右平移7π24个单位 C ．向右平移5π24个单位 D ．向左平移7π24个单位 【答案】B 【解析】 【分析】先通过诱导公式将πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为()5πsin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设平移了ϕ个单位，从而得到方程，求出7π24ϕ=−，得到答案.【详解】πππ5πcos 2sin 2sin 23326y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平移了ϕ个单位，得到()5πsin 226g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则5ππ264ϕ+=，解得：7π24ϕ=−， 即向右平移了7π24个单位. 故选：B题型七 已知函数图像求解析式【例7-1】已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为_______________．【答案】()122sin 23f x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据给定的()f x 的图象，结合三角函数的性质，分别求得,A ω和ϕ的值，即可求解. 【详解】由题意，函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象， 可得1422,()2233A T πππ==−−=，所以4T π=， 可得212T πω==，即()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ， 又由4142()2sin()2sin()03233f πππϕϕ=⨯+=+=， 结合三角函数的五点对应法，可得22,3k k Z πϕπ+=∈，即22,3k k Z πϕπ=−∈， 又因为ϕπ<，所以23πϕ=−，所以()122sin 23f x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭.故答案为：()122sin 23f x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭.【例7-2】函数()()tan f x x ωϕ=+（0>ω）的部分图像如下图，则ϕ最小值为（ ）A ．6πB ．3πC ．4π D ．12π 【答案】A 【解析】 【分析】由图象根据周期得出2ω=，再由62k ππωϕπ⋅+=−+即可求解.【详解】由图知22362ππππωω=−==>=，由62k ππωϕπ⋅+=−+解得5,6k k Z πϕπ=−+∈ 所以当1k =时，6π=ϕ. 故选：A【例7-3】如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y ).若初始位置为P 012⎫⎪⎪⎝⎭，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为（ ）A ．y ＝sin 306t ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．y ＝sin 606t ππ⎛⎫−− ⎪⎝⎭C ．y ＝sin 306t ππ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭D ．y ＝sin 303t ππ⎛⎫−− ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得初相，再根据周期，即可判断选择. 【详解】由题意可得，初始位置为P 0122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，不妨设初相为ϕ，故可得1sin 2ϕ=，cos ϕ6πϕ=.排除B 、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝2||πω＝60， 所以|ω|＝30π，即ω＝－30π.故满足题意的函数解析式为：ππsin t 306y ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭.故选：C .【练习7-1】如图是函数()(π3sin 0,2)y x ωϕωϕ=+><的图像的一部分，则此函数的解析式为___________．【答案】π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】首先由周期求出ω，再根据函数过点,06π⎛⎫− ⎪⎝⎭，即可求出ϕ，从而求出函数解析式.【详解】解：由图可知566T πππ⎛⎫=−−= ⎪⎝⎭，所以2T ππω==，解得2ω=， 再由函数过点,06π⎛⎫− ⎪⎝⎭，所以π3sin 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭−，所以π2,Z 3k k ϕπ+=∈−，解得π2,Z 3k k ϕπ=+∈，因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，所以π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故答案为：π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【练习7-2】已知函数()()tan 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭,()y f x =的部分图象如图所示,则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．3 BC ．1D 【答案】A 【解析】 【分析】由124T π=可求得ω，由512k πωϕπ+=可求得ϕ，再由()01f =可求得A ，从而可得()y f x =的解析式，进而可求12f π⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】15,212642T T ππππ=−=∴=， 2Tπω∴==，代入512k πωϕπ+=得6π=ϕ， ()tan 26f x A x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，又()0tan 16f A π==，A =()26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，312663f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.题型八 三角函数的综合应用【例8-1】已知函数()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的对称轴方程； (2)将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()1g x m −=在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有一解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）对称轴方程为,122k x k Z ππ=+∈；（2）){}11⎡⎣【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f （x ）的解析式，再利用正弦函数的对称性，求得函数f （x ）的对称轴方程． （2）由题意sin （2x ﹣3π）＝12m + 在[0， 2π）上恰有一解，再利用正弦函数的单调性，结合函数y ＝sin （2x ﹣3π） 的图象，求得实数m 的取值范围．【详解】（1）∵函数f （x ）＝2sin x cos x（x +4π）cos （x +4π）＝sin2x （2x +2π）＝sin2xx ＝2sin （2x +3π），∴令2x +3π＝k π+2π，求得x ＝212k ππ+，k ∈Z ，故函数f （x ）的对称轴方程为x ＝212k ππ+，k ∈Z ． （2）将函数f （x ）的图象向右平移3π个单位长度，得到函数g （x ）＝2sin （2x ﹣23π+3π）＝2sin （2x ﹣3π）的图象，若关于x 的方程g （x ）﹣1＝m 在[0，2π）上恰有一解，即2sin （2x ﹣3π）＝1+m 在[0，2π）上恰有一解， 即sin （2x ﹣3π）＝12m + 在[0，2π）上恰有一解． 在[0，2π）上，2x ﹣3π∈[﹣3π，23π），函数y ＝sin （2x ﹣3π），当2x ﹣3π∈[﹣3π，2π]时，单调递增；当2x ﹣3π∈[2π，23π]时，单调递减，而sin （﹣3π）＝﹣2，sin 2π＝1，sin （23π2，12m +12m +＝11≤m ，或m ＝1，即实数m 的取值范围[11）∪{1}．【例8-2】建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28℃时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温（单位：℃）随时间（t ≤≤024，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似的满足函数()()sin 0,0,y A t b A ωϕωϕπ=++>><关系.（1）求函数()y f x =的表达式；（2）请根据（1）的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？【答案】（1）()()2248sin 024123f t t t ππ⎛⎫=+−≤≤ ⎪⎝⎭（2）上午10时开启，下午18时关闭.【解析】 【分析】（1）根据函数图象可知周期T ，进而根据2T πω=求得ω的值；结合函数的最大值和最小值，可求得A ，代入最低点坐标()216,，即可求得ϕ，进而得函数()f t 的解析式． （2）根据题意，令2248sin 28123t ππ⎛⎫+−> ⎪⎝⎭，解不等式，结合t 的取值范围即可求得开启和关闭中央空调时间． 【详解】（1）由图知，()214224T =−=， 所以224πω=，得12πω=.由图知，1632242b +==，321682A −==， 所以()8sin 2412f t t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.将点()216,代入函数解析式得248sin 21612πϕ⎛⎫+⨯+= ⎪⎝⎭， 得262k ππϕπ+=−，()k Z ∈即()223k k Z ϕππ=−∈又因为ϕπ<，得23ϕπ=−.所以()()2248sin 024123f t t t ππ⎛⎫=+−≤≤⎪⎝⎭. （2）依题意，令2248sin 28123t ππ⎛⎫+−>⎪⎝⎭， 可得21sin 1232t ππ⎛⎫−>⎪⎝⎭， 所以()252261236k t k k Z ππππππ+<−<+∈ 解得：()24102418k t k k Z +<<+∈， 令0k =得，1018t <<，故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭.【练习8-1】已知函数2()sin 22cos (0)6f x x x πωωω⎛⎫=+−> ⎪⎝⎭，1x ，2x 是方程()0f x =的两个不相等的实根，且12x x −的最小值为π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域是1,02⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围【答案】（1）()sin(2)16f x x π=−−；（2）,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的性质，可知函数()f x 最小正周期π，再根据三角函数的周期性即可求出ω，进而求出函数()f x 的解析式； （2）由题意可知22666x m πππ≤−≤−，又()f x 的值域是1,02⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，可知1sin(2),162x π⎡⎤−∈⎢⎥⎣⎦，结合sin y x =的图象可知，52266m πππ≤−≤，由此即可求出结果.31【详解】（1）2()sin 22cos 6f x x x πωω⎛⎫=+− ⎪⎝⎭ sin 2cos cos2sin (cos21)66x x x ππωωω=+−+.12cos 212x x ωω=−− sin 216x πω⎛⎫=−− ⎪⎝⎭. 因为12x x −的最小值为π，所以()f x 的最小正周期22T ππω==，解得1ω=， 所以函数()f x 的解析式为()sin(2)16f x x π=−−.（2）由6x m π≤≤，可得22666x m πππ≤−≤−，因为()f x 的值域是1,02⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，所以1sin(2),162x π⎡⎤−∈⎢⎥⎣⎦， 结合sin y x =的图象可知，52266m πππ≤−≤ 解得32m ππ≤≤，所以m 的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
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难点15 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用. ●难点磁场(★★★★)已知α、β为锐角，且x(α+β－2π)＞0,试证不等式f(x)=)sin cos ()sin cos (αββα+x x ＜2对一切非零实数都成立.●案例探究［例1］设z1=m+(2－m2)i,z2=cos θ+(λ+sin θ)i,其中m,λ,θ∈R ，已知z1=2z2，求λ的取值范围.命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目.知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题.技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 解法一：∵z1=2z2，∴m+(2－m2)i=2cos θ+(2λ+2sin θ)i,∴⎩⎨⎧+=-=θλθsin 222cos 22m m∴λ=1－2cos2θ－sin θ=2sin2θ－sin θ－1=2(sin θ－41)2－89. 当sin θ=41时λ取最小值－89，当sin θ=－1时，λ取最大值2. 解法二：∵z1=2z2 ∴⎩⎨⎧+=-=θλθsin 222cos 22m m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==222sin 2cos 2λθθm m , ∴4)22(4222λ--+m m =1.∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,设t=m2,则0≤t ≤4,令f(t)=t2－(3－4λ)t+4λ2－8λ,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤-≤≥∆0)4(0)0(424300f f λ或f(0)·f(4)≤0 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥≤≤≤≤--≥0220434589λλλλλ或或∴－89≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是［－89，2］.［例2］如右图，一滑雪运动员自h=50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O 点保持速率v0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB=L ，试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题.错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活.技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.解：由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-==20021sin 4sin cos cos gt v L h t v L S θαθα由①②整理得：v0cos θ=.21sin sin ,cos 0gt t L v t L +-=αθα ∴v02+gLsin α=41g2t2+22t L ≥2222412t L t g ⋅=gL 运动员从A 点滑至O 点，机械守恒有:mgh=21mv02,①②∴v02=2gh,∴L ≤)sin 1(2)sin 1(20αα-=-g ghg v =200(m) 即Lmax=200(m),又41g2t2=22222t L t h S =+. ∴θααcos 22cos cos ,20⋅====g Lgh t v L S g L t得cos θ=cos α,∴θ=α=30°∴L 最大值为200米，当L 最大时，起跳仰角为30°.［例3］如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b. (1)求这段时间的最大温差. (2)写出这段曲线的函数解析式.命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则.属★★★★级题目. 知识依托：依据图象正确写出解析式.错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母. 技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式. 解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象.∴ωπ221⋅=14－6,解得ω=8π,由图示A=21(30－10)=10，b=21(30+10)=20，这时y=10sin(8πx+φ)+20,将x=6,y=10代入上式可取φ=43π.综上所求的解析式为y=10sin(8πx+ 43π)+20,x ∈［6,14］.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决的方法主要有： 1.考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.2.三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.3.三角函数与实际问题的综合应用.此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)函数y=－x ·cosx 的部分图象是( )2.(★★★★)函数f(x)=cos2x+sin(2π+x)是( ) A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值又有最小值的偶函数二、填空题3.(★★★★)函数f(x)=(31)｜cosx ｜在［－π，π］上的单调减区间为_________.4.(★★★★★)设ω＞0，若函数f(x)=2sin ωx 在［－4,3ππ，］上单调递增，则ω的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★)设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c ∈R),已知不论α、β为何实数恒有f(sin α)≥0和f(2+cos β)≤0.(1)求证：b+c=－1； (2)求证c ≥3；(3)若函数f(sin α)的最大值为8，求b ，c 的值.6.(★★★★★)用一块长为a ，宽为b(a ＞b)的矩形木板，在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值.7.(★★★★★)有一块半径为R ，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.8.(★★★★)设－6π≤x ≤4π，求函数y=log2(1+sinx)+log2(1－sinx)的最大值和最小值.9.(★★★★★)是否存在实数a ，使得函数y=sin2x+a ·cosx+85a －23在闭区间［0，2π］上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由.参考答案难点磁场证明：若x ＞0，则α+β＞2π∵α、β为锐角，∴0＜2π－α＜β＜2π;0＜2π－β＜2π,∴0＜sin(2π－α)＜sin β.0＜sin(2π－β)＜sin α，∴0＜cos α＜sin β,0＜cos β＜sin α,∴0＜βsin cos α＜1,0＜αβsin cos ＜1,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴f(x)＜f(0)=2.若x ＜0,α+β＜2π,∵α、β为锐角，0＜β＜2π－α＜2π,0＜α＜2π－β＜2π,0＜sin β＜sin(2π－α),∴sin β＜cos α,0＜sin α＜sin(2π－β),∴sin α＜cos β,∴βαsin cos ＞1, αβsin cos ＞1,∵f(x)在(－∞,0）上单调递增，∴f(x)＜f(0)=2,∴结论成立. 歼灭难点训练一、1.解析：函数y=－xcosx 是奇函数，图象不可能是A 和C ，又当x ∈(0, 2π)时，y ＜0. 答案：D2.解析：f(x)=cos2x+sin(2π+x)=2cos2x －1+cosx=2［(cosx+81)2212-］－1.答案：D二、3.解：在［－π,π］上，y=｜cosx ｜的单调递增区间是［－2π,0］及［2π,π］.而f(x)依｜cosx ｜取值的递增而递减,故［－2π,0］及［2π,π］为f(x)的递减区间. 4.解：由－2π≤ωx ≤2π，得f(x)的递增区间为［－ωπ2,ωπ2］，由题设得.230,23: 4232],2,2[]4,3[≤ω<∴≤ω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧π≥ωππ-≤ωπ-∴ωπωπ-⊆ππ-解得三、5.解：(1)∵－1≤sin α≤1且f(sin α)≥0恒成立，∴f(1)≥0 ∵1≤2+cos β≤3,且f(2+cos β)≤0恒成立.∴f(1)≤0. 从而知f(1)=0∴b+c+1=0.(2)由f(2+cos β)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c ≤0.又因为b+c=－1,∴c ≥3.(3)∵f(sin α)=sin2α+(－1－c)sin α+c=(sin α－21c+)2+c －()21(c +)2, 当sin α=－1时，［f(sin α)］max=8,由⎩⎨⎧=++=+-0181c b c b 解得b=－4,c=3.6.解：如图，设矩形木板的长边AB 着地，并设OA=x ，OB=y ，则a2=x2+y2－2xycos α≥2xy －2xycos α=2xy(1－cos α).∵0＜α＜π,∴1－cos α＞0,∴xy ≤)cos 1(22α-a (当且仅当x=y 时取“=”号)，故此时谷仓的容积的最大值V1=(21xysin α)b=2cos41)cos 1(4sin 22αααb a b a =-.同理，若木板短边着地时，谷仓的容积V 的最大值V2=41ab2cos 2α,∵a ＞b,∴V1＞V2从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a 为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为41a2bcos 2α.7.解：如下图，扇形AOB 的内接矩形是MNPQ ，连OP ，则OP=R ，设∠AOP=θ，则∠QOP=45°－θ，NP=Rsin θ,在△PQO 中，︒=θ-︒135sin )45sin(RPQ ，∴PQ=2Rsin(45°－θ).S 矩形MNPQ=QP ·NP=2R2sin θsin(45°－θ)=22R2·［cos(2θ－45°)－22］≤212-R2，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S 矩形MNPQ 的值最大且最大值为212-R2.工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB ，以扇形一半径OA 为一边，在扇形上作角AOP 且使∠AOP=22.5°，P 为边与扇形弧的交点，自P 作PN ⊥OA 于N ，PQ ∥OA 交OB 于Q ，并作OM⊥OA 于M ，则矩形MNPQ 为面积最大的矩形，面积最大值为212-R2.8.解：∵在［－4,6ππ］上，1+sinx ＞0和1－sinx ＞0恒成立，∴原函数可化为y=log2(1－sin2x)=log2cos2x ，又cosx ＞0在［－4,6ππ］上恒成立，∴原函数即是y=2log2cosx,在x∈［－4,6ππ］上，22≤cosx ≤1.∴log222≤log2cosx ≤log21，即－1≤y ≤0，也就是在x ∈［－4,6ππ］上，ymax=0,ymin=－1.).(51212185,0cos ,0,02).(0423121854,2cos ,20,120),(2132012385,1cos ,2,12.1cos 0,20.21854)2(cos 2385cos cos 1:.9max 2max max 222舍去时则当即若舍去或时则当即若舍去时则当即时若时当解>=⇒=-==<<<-==⇒=-+==≤≤≤≤<=⇒=-+==>>≤≤π≤≤-++--=-++-=a a y x a a a a a a y a x a a a a a y x a a x x a a a x a x a x y综合上述知，存在23=a 符合题设.。