一类具有时滞的中立型积分微分系统的周期解

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一类具有混合时滞的二阶中立型泛函微分方程的正周期解

Ｊｒｒ１一）＝．（ｄ
中立型泛函微分方程不仅扩展了时滞微分方程，而且为生物学］力学［、济学等领域提供了很好、２经］的数学模型．３４多文献已经研究了关于一阶、阶时滞微分方程的正周期解的存在性，由于中立型泛＿－许３二函微分方程较为复杂，以在这方面研究还不太多．所文献［］５中作者研究了下面一类二阶中立型泛函微分方程正周期解的存在性（ｔ（）一ｃ（一丁ｔ） ”：口ｔｔ－ｔｔ（））（）ｔ（））（））一厂，一丁），２（（（其中口ｔ（）∈Ｃ（（＋０），（）∈ＣＲ， ∈Ｃ（ ×［，０，０＋０），（）（），关Ｒ，０，０）丁ｔ（Ｒ）Ｒ０＋０）［，０）口ｔ，ｔ √ ｔ）
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仑犯学院学碾自然科学版）（
２１０１年２月第２１卷第１
Ｊｒｌｆｅｉｎｅｉ（ａｒｃｎｅ）ｏｎｆｉｒｔＮｔａＳｉｃｓｕａｏＨｅＵｖｓｙｕｌｅ
Ｆｂ０１Ｖｏ．ｏ１ｅ．２１Ｉ２１Ｎ．
ｒｃｎｒｅｅｔｗｏｋ．
Ｋｅｏｄ：ｅｔｌｆｎｔｎｌｄｆｒｎｉｌｅｕｔｎ；ｐｓｉｅｐｒｄｃｓｌｔｎ；Ｋａｎｓｌｋｉｘｄｙｗｒｓｎｕｒｕｃｉａｉｅｅｔｑａｉｓｏｉｖｅｉｉｏｕｉａｏｆａｏｔｏｏｒｓｏｅｓｉｓｆｅ－ ’ｉ

一类中立型随机偏微分方程概周期解的存在性和唯一性

一类中立型随机偏微分方程概周期解的存在性和唯一性蒲晓琴【摘要】最近,P.Bezandry和T.Diagana(P.Bezandry,T.Diagana.Appl.Anal.,2007,117:1-10.)引入了均值概周期的概念,研究了一类随机时滞演化方程,并获得了其均值概周期存在和唯一的充分条件.我们将应用不动点理论和分数幂算子方法,获得一类中立型随机偏微分方程在均方意义下的概周期解的存在性和唯一性的充分条件.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(039)005【总页数】6页(P659-664)【关键词】中立随机偏微分方程;均值概周期;分数幂算子;不动点【作者】蒲晓琴【作者单位】中国民航飞行学院计算机学院,四川广汉618307【正文语种】中文【中图分类】O175.13Bohr最先引了概周期函数的概念，随后，Bochner将这概念推广到Polish空间．近些年来，由于概周期微分方程在物理、化学和生物数学上的应用，许多学者研究了概周期微分方程概周期解存在性问题［1－17］．随机微分方程的动力行为也被许多人研究［8－20］．最近，P．Bezandry等［21－22］引入了均值概周期的概念，研究了一类随机时滞演化方程，并获得了其均值概周期存在和唯一的充分条件．应用不动点理论和分数幂算子方法，获得了一类中立型随机偏微分方程在均值概周期解的存在性和唯一性的充分条件．假设H和K为实可分的Hilbert空间，它们的范数分别记为‖·‖和‖·‖K．设(Ω，F，{Ft}t≥0，P)为完备概率空间．L2(K，H)为Hilbert－Schmidt算子，范数记为‖·‖2．Q为对称非负算子，Q∈L2(K，H)，并且Q的迹有限．W(t)(t∈R)为定义在(Ω，F，{Ft}t≥0，P)上的取值在K上的Q－Wiener过程［23］．L2(P，H)为强可测的，均方可积的H值随机变量的全体，显然，在范数‖X‖L2(P，H)=(E‖X‖2)1/2下为Banach空间，其中E为期望．设范数为研究如下一类中立型随机偏微分方程其中，A为Hilbert空间H上的一致指数稳定解析半群最小生成元，r≥0，f，g:R×H→H和σ:R×H→为连续函数．设A:D(A) H→H为定义在Hilbert空间H上的线性算子(T(t))t≥0的解析半群最小生成元，M和δ为正常数，满足‖T(t)‖≤Me－δt对任意t≥0．假设0∈ρ(A)，那么，可以定义分数幂算子Aα对0＜α＜1．它是一闭线性算子，并且定义域D(Aα)在H中稠密．Hα记为Banach空间D(Aα)，其范数为引理1．1［24］下列2个属性成立:(i)如果0＜β＜α≤1，那么Hα→Hβ并且当A的预解式为紧时，该嵌入是紧的; (ii)对0＜α≤1，存在Cα以致为了获得主要结果，介绍一些定义和引理．设(B，‖·‖)为一Banach空间．定义1．1 一连续随机过程X:R→L2(P;B)称为均值概周期的，如果对每一个ε＞0，存在l(ε)＞0以致任何区间长度l(ε)最少存在一数τ满足下列为一些均值概周期过程的属性．引理1．2［21］如果X属于AP(R;L2(P;B))，那么:(i)映射t→E‖X(t)‖2一致连续;(ii)存在常数N＞0满足E‖X(t)‖2≤N，对t∈R．引理1．3 如果X(·)∈AP(R;L2(P;B))，那么X(·－r)∈AP(R;L2(P;B))，其中r≥0为固定常数．证明和文献［25］中的相似，故省略．设CUB(R;L2(P;B))为连续有界随机过程X: R→L2(P;B)的集合，那么，容易证明在下列范数下CUB(R;L2(P;B))为Banach空间．引理1．4［21］ AP(R;L2(P;B)) CUB(R; L2(P;B))为闭子空间．由上可知，AP(R;L2(P;B))在范数‖·‖∞下是Banach空间．设(B1，‖·‖B1)和(B2，‖·‖B2)为Banach空间．定义1．2 称连续函数F:R×B1→B2，(t，Y)→F(t，Y)关于t∈R是均值概周期的，对Y∈K是一致的，其中K B1是紧的，如果对任何ε＞0，存在l(ε，K)＞0以致对任何区间长度l(ε，K)最少存在一数τ，对任何随机过程Y:R→K满足引理1．5［21］设F:R×B1→B2，(t，Y)→F(t，Y)关于t∈R是均值概周期的，对Y∈K是一致的，其中K B1是紧的．假设F是以下列方式Lipschitz的对所有Y，Z∈B1，t∈R成立，其中M＞0，那么对所有均值概周期过程Φ:R→L2(P;B1)，随机过程t→F(t，Φ(t))是均值概周期的．(1)式的温和解的定义如下［26］:定义1．3 随机过程x(t):［δ，δ+a)→L2(P; H)，a＞0，称为(1)式在［δ，δ+a)上的温和解，如果s→AT(t－s)f(s，x(s－r))在［δ，t)可积，δ＜t＜δ+ a，并且满足为了获得所需结果，假设:(H1)函数g(t，x):R×H→H关于t∈R对x∈Ω(Ω H是紧的)是一致均值概周期的．存在α∈(0，1)以致(－A)αf(t，x):R×H→Hα关于t∈R对x∈Ω(Ω H是紧的)是一致均值概周期的．进一步，(－A)αf，g是以下列方式 Lipschitz的:存在 Lf和Lg满足对所有x，y∈H和t∈R成立．(H2)函数σ(t，x):R×H→L02关于t∈R对x∈Ω(Ω H是紧的)是一致均值概周期的．进一步，σ是以下列方式Lipschitz的:存在Lσ满足对所有x，y∈H和t∈R成立．定理2．1 假设(H1)和(H2)成立，并且那么(1)式在R上存在唯一均值概周期解．证明设Γ:AP(R;L2(P;H))→C(R;L2(P; H))的定义为显然，Γx(·)是连续的．定义由引理1．3、引理1．5和(H1)可知，当x为均值概周期函数时，(－A)αf(t，x(t－r))为均值概周期函数时．由引理1．2，可知(－A)αf(t，x(t－r))有界．由引理1．1和Cauchy－Schwarz不等式可得由s→AT(t－s)f(s，x(s－r))是可积的在(－∞，t)对任何t∈R，故Γ定义是合适的．由引理1．3、引理1．5和(H1)可知，当x为均值概周期函数时，(－A)αf(t，x(t－r))为均值概周期函数时．因此，对每一个ε＞0存在l(ε)＞0以致对任意区间长度l(ε)最少存在一个数τ满足对任何t∈R成立．同时有由上可知对每个t∈R成立，即I1x(t)均值概周期函数．下一步，证明当x是均值概周期函数I3x(t)和I4x(t)是均值概周期函数．该证明和文献［21］中的定理3．2相似，故省略．下一步证明I2x(t)是均值概周期函数．由引理1．3、引理1．5和(H1)可得，当x 是均值概周期函数，(－A)αf(t，x(t－r))是均值概周期函数．因此，对每一个ε＞0存在l(ε)＞0以致对任意区间长度l(ε)最少存在一个数τ满足对任何t∈R成立．由引理1．1可得因此，应用Cauchy－Schwarz不等式可得由上可知对每个t∈R成立，即I2x(t)是均值概周期函数．由上可知，Γ是AP(R;L2(P;H))对自身的映射．下面证明Γ是压缩映射．显然由于可得首先，估计上式右边第一项现在估计第二项，由引理1．1、(H1)和Cauchy－Schwarz不等式可得现在估计第三项得现在估计最后一项，应用建立在文献［27］中命题1．9的It 积分估计得因此这说明Γ(·)是压缩的．故Γ(·)存在不动点x∈AP(R;L2(P;H))，即对所有t∈R成立．固定δ∈R可得那么然而，对t≥δ，因此，x(t)是(1)式的温和解．证明完毕．致谢中国民航飞行学院面上项目(J2013－39)对本文给予了资助，谨致谢意．【相关文献】［1］HERN NDEZ E，PELICER M．Asymptotically almost periodic and almost periodic solutions for partial neutral differential equations［J］．Appl Math Lett，2005，18:1265－1272．［2］HENR QUEZ H，V SQEZ C．Almost periodic solutions of abstract retarded functional －differential equations with unbounded delay［J］．Acta Appl Math，1999，57(2):105－132．［3］LIU B，TUNC C．Pseudo almost periodic solutions for a class of nonlinear Duffing system with a deviating argument［J］．J Appl Math Comput，2015，49:233－242．［4］ZHANG L，LI H．Weighted pseudo almost periodic solutions for differential equations with piecewise constant arguments［J］．Bull Aust Math Soc，2015，92:238－250．［5］AKDAD A，EZZINBI K，SOUDEN L．Pseudo almost periodic and automorphic mild solutions to nonautonomous neutral partial evolution equations［J］．Nonauton Dyn Syst，2015，2:12－30．［6］SADRATI A，ZERTITI A．Existence and uniqueness of positive almost periodic solutions for systems of nonlinear delay integral equations［J］．Electron J Diff Eqns，2015，116:12．［7］CAO J，HUANG Z．Existence and exponential stability of weighted pseudo almost periodic classical solutions of integro－differential equations with analytic semigroups ［J］．Differ Eqns Dyn Syst，2015，23:241－256．［8］WANG W T．Positive pseudo almost periodic solutions for a class of differential iterative equations with biological background［J］．Appl Math Lett，2015，46:106－110．［9］HENRIQUEZ H，CUEVAS C，CAICEDO A．Almost periodic solutions of partial differential equations with delay［J］．Adv Difference Eqns，2015，2015:46－61．［10］WANG Q，LIU Z，LI Z，et al．Existence and global asymptotic stability of positive almost periodic solutions of a two－species competitive system［J］．Int J Biomath，2014，7:1450040．［11］ZHUANG R，YUAN R．Weighted pseudo almost periodic solutions of N－th order neutral differential equations with piecewise constant arguments［J］．Acta MathSin(Engl Ser)，2014，30:1259－1272．［12］MAQBUL M，BAHUGUANA D．Almost periodic solutions for Stepanov－almost periodic differential equations［J］．Differ Eqns Dyn Syst，2014，22:251－264．［13］EZZINBI K，ZABSORE I．Pseudo almost periodic solutions of infinite class for some functional differential equations［J］．Appl Anal，2013，92:627－1642．［14］WANG L，SHI Y．Almost periodic solutions of abstract differential equation withimpulse and time delay in Banach space［J］．Int J Appl Math Stat，2013，43:379－386．［15］VRABEL I．Almost periodic solutions for nonlinear delay evolutions with nonlocal initial conditions［J］．J Evol Eqns，2013，13: 693－714．［16］DING H，LONG W，N’GU R KATA G．Existence of pseudo almost periodic solutions for a class of partial functional differential equations［J］．Electron J Diff Eqns，2013，104:14．［17］XU Y．Existence and uniqueness of almost periodic solutions for a class of nonlinear Duffing system with time－varying delays［J］．Electron J Qual Theory Differ Eqns，2012，80:9．［18］鲍杰，舒级．高阶广义2D Ginzburg－Landau方程的随机吸引子［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2014，37(3):298－306．［19］付颖，李扬荣．无界域上带有可加白噪音的Ginzburg－Landau方程的随机吸引子［J］．西南大学学报(自然科学版)，2012，37(12):37－42．［20］杜先云，陈伟．具有可加噪声的耗散KdV型方程的随机吸引子［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2012，35(5):651－655．［21］BEZANDRY P，DIAGANA T．Existence of almost periodic solutions to some stochastic differential equations［J］．Appl Anal，2007，117:1－10．［22］BEZANDRY P．Existence of almost periodic solutions to some functional integro－differential stochastic evolution equations［J］．Stat Probabil Lett，2008，78:2844－2849．［23］PRATO G，ZABCZYK J．Stochastic Equations in Infinite Dimensions ［M］．Cambridge:Cambridge Univ Press，1992．［24］PAZY A．Applied Methematical Sciences［M］．New York:Springer－Verlag，1983．［25］DING H，LIANG J，N’GU R KATA G．Pseudo almost periodicity of some nonautonomous evolution equations with delay［J］．Nonlinear Anal:TMA，2007，67:1412－1418．［26］LIU K．Stability of Infinite Dimensional Stochastic Differential Equations with Applications［M］．London:Chapman and Hall，2004．［27］ICHIKAWA A．Stability of semilinear stochastic evolution equations［J］．J Math Anal Appl，1982，90(1):12－44．。

一类高阶多时滞中立型微分方程的2t周期解

一类高阶多时滞中立型微分方程的2t周期解解决二次多时滞中立型微分方程（2t-order Neutral Delay Differential Equation）是一个重要的形式，它包括多极（polynomial）和低次数（low-order）方程。

2t次多时滞中立型微分方程的2t周期解的求解是一个具有挑战性的任务，也是一个解决特定问题的有用工具。

二次多时滞中立型微分方程的2t周期解一般可以用Laplace-Carley变换法来解决。

Laplace-Carley变换法涉及到一组参数，如时间参数、变换参数、常数参数和系数参数，这些参数必须赋值才能求解该方程。

首先，使用Laplace变换将微分方程转换为简单的积分形式，然后使用Carley变换解决积分方程。

通常情况下，2t次多时滞中立型微分方程的2t周期解通常可以分解为两个独立的积分，其分解方程如下：α(t) = ∫t₀tαᵢ(s)ds + βᵢ(s)ds其中αᵢ(s)和βᵢ(s)为Carley变换中的参数。

在这里，αᵢ(s)表示第i个滞后时间参数，而βᵢ(s)表示第i个变量参数。

对于不同的2t次多时滞中立型微分方程，αᵢ(s)和βᵢ(s)的取值有所不同，如果正确的参数不被选择，则求解的周期解就会出错。

根据已知的参数，可以在数值上求解2t次多时滞中立型微分方程的2t周期解。

使用Laplace-Carley变换法求解2t次多时滞中立型微分方程的2t周期解效率极高，因为它允许快速计算2t次多时滞中立型微分方程的2t周期解，而且这种方法不需要为积分方程设定初值。

总之，2t次多时滞中立型微分方程的2t周期解是一个复杂的问题，但它可以通过Laplace-Carley变换法得到解决，这使得解决变得相对简单。

一类中立型退化时滞微分方程的周期解

＝０而丁为一个任意的实常数。特别地，Ｅ。当＝０时，方程（）则２变为
国家自然科学基金（９３００、６９４３）湖南省自科基金资助（７Ｊ１２和湖南省教育厅课题（９２６资助０Ｊ１）６０ｃ５）罗毅平教授推荐
收稿日期：００年６月８日２１
第３０卷第４期２１００年ｌ２月
数学理论与应用
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡＬ１ＥＯＲＹＨＡＮＤＰＬＣＩＡＰＩＡＴＯＮＳ
Ｖ０．ＯＮｏ４１３．
Ｄｅ．２０ｃ０１
一
类中立型退化时滞微分方程的周期解
（ｅａｔｅｔｆｃｅｃ，ｈｕａｓｔｔｏｎｉｅｒｇＸａｔｎ４０）ＤｐｒｎｏｉｎｅＴｅＨｎｎＩｔｕｅｆｇｎｅｎ，ｉａ，１１ｍＳｎｉＥｉｎ１１
ＡｂｔａｔＴｅｅｉｔｎｉｌｃｎｉｏｓｏｅｏｉｏｕｏｆｉｇｌｒｎｕｒｉｅｅｔｌｅｕｔｎｗｔｅａｒｎｅ・ｓｒｃｈｘｓｅｔｏｄｔｎｆｐｒｄｃｓｌｔｎｏｎｕａｅｔａｄｆｒｎｉｑａｉｉｄｌｙａｅｉｖｓａｉｉｉｓｌａｏｈｔａｅ．Ｐｒｃｌｒｉｔｄｇａｔｕａｌｈｒｂｅｏｘｓｎｅｏｒｄｃｓｌｔｎｏｏ—ｄｍｅｓｎｉｇｌｒｄｆｒｎｉｕｔｎｉｙ，ｔｅｐｏｌｍｆｉｔｃｆｐｉｉｏｕｉｆｗｅｅｅｏｏｔｉｎｉａｓｎｕａｉｅｅｔｅａｉｓｏｌｌａｑｏ

一类积分微分方程概周期解的存在唯一性

ｄ［（）］＝ＡＱ￡（）（）（）＋（）５
４Ｊｌ（，ｌｓｌｓＩ ≤ｍ＜ ∞，）ｃｄ＋并存在Ｌ＝（）＞，则式（）变为Ｌ０对Ｖｔ∈Ｒ，有
＋
ｆＪ（，）ｌｓ＜。Ｉｔｓｌｃｄ
１预备知识
定义１［设 “Ｒ于是连续的，：—Ｒ关若对于
［，］１２分别研究了以下系统。
・
一
（）＝Ａｔ（）（，ｔ）＋Ｉｃｔ）（）ｓ＋ｇｔ（，５ｄｓ（，
（一）＋６ｔ；ｔ）（）
・ｒｔ
∈ 并且Ｒ，
ｌ（ｓｌｘ［（（）ｒ，（）＝， ≤ｅＩ）ｌｐｆＡ￡ｄ］其中Ａ
Ａ［（】 Ⅲ丢Ａ。ｘ
引理２４［对于方程式（）若（ｔ）≤ ３，Ａ（）
度结合泛分析有关知识来讨论（）１的概周期的存在唯一性，并对解的稳定性也作了研究。
＠２１ＳｉＴｃ．ｎｎ．０１ｅｅｈＥｇｇ．
一
类积分微分方程概周期解的存在唯一性
钱雪森王良龙
（徽大学数学科学学院，肥２０３）安合３０９
摘
要
考虑一类中立型积分微分方程的概周期解的存在性和唯一性问题。利用矩阵测度和不动点的方法获得概周期解存
ｌ
—
第一作者简介：钱雪森（９４）男，１８～，安徽巢湖人，硕士，研究方向
微分方程与动力系统。

一类具有时变时滞的中立型微分系统的稳定性分析

第２８卷第３期
２１年９月０１
广东工业大学学报
ＪｕｎｌｏａｇｏｇＵｎｖｒｉｆＴｅｈｏｏｙｏｒａｆＧｕｎｄｎｉｅｓｔｏｃｎｌｇｙ
Ｖｏ．８Ｎｏ３１２．Ｓｐｅｅ０１ｅｔｍｂｒ２１
结果比非时滞系统的结果保守些，这个结果已经在
（）一ｔ）一ｆ（）ｓ＝０ｔ届（— ｓｄ．（）２
根据式（）可以令系统（）为２，１
文献［．］４５中被证明．文献［］在６中提出了一种新的
稳定性判据，由于该文中考虑的系统具有一定的但
２ ≤口ＱＱ一西ａ西ａ＋
Ｐ是实数，而且ＩＩ．Ｐ＜１假谢和ｏ的范围为０ｆｒ ≤ ≤
ｆ０ ≤ ｈｔ是一个满足０（），≤ ．（） ≤ｈｔ ≤ 、（）ｈｔ≤
恒成立．
为了得到一个较为保守的稳定标准，入一个引的时变时滞函数，是一个常数．（满足李普希兹ｆ）新的积分不等式，个积分不等式可以用于计算这条件：）Ｙｌｌ — 为李普希兹常数．Ｉ一）≤ Ｙ，ＩＬａｕｏｙｐｎｖ函数的上限．式（）１的初始条件定义为：引理３对于任意的标量＞０及（＝１ … ，ｉ，（）＝ｓ，∈［一０，＝ｍａ｛，｝ｓ西（）ｓ，］ｘｆ，９，面的不等式满足）下（）（６０，）ｓ ∈ ［一，］贸．

一类具有无穷时滞中立型泛函微分方程反周期解的存在性

即（）是反周期的，ｔ且是有界的．
（）２类似可证．
ｌ（）ｓＩ≤ ２Ｉｔ一（）ｌＣ
ｅ（ｃｄ，ｓ３ｘｒＡＡｆ．ｐ））≥ ０（
．
主要结论及证明
定理１假设方程（）满足条件（）１Ｈ１且满足
和
解的存在性给予了大量研究，并得到一些结果，参见文献［５—９．］然而对中立型泛函微分方程反周期解问题的讨论甚少，文讨论下面一类具有无穷本时滞中立型泛函微分方程
（）２（）３
盖）Ｑ，ｔＪＪ（一（（，）（
唯一的７周期解： ’
ｓｐ（Ｉｕ训
（）＝ｆＸｔｘｓ（）ｓｔ（）（）ｓｄ厂
（）Ａｔ２若（）满足条件（２，ｋＨ）且：＝ｅｐ一ｘ（
Hale Waihona Puke ＩＱｔＭ，１（，１）一Ｑ（，２Ｉ）ｌｔ，２ ≤ Ｉ／２Ｊ２，１一Ｉ
Ｊｎａ．
２１０２
文章编号：０８—１０（０２）１—０５Ｏ１０４２２１Ｏ１１一４
一
类具有无穷时滞中立型泛函微分方程反周期解的存在性
张洪彦，王奇，丁敏敏，王志杰
（徽大学数学科学学院。安安徽合肥２０３３０９ｊ
＝
ｆ（＋）一ｓ）ｓＴｄｔＴＸ＋厂＋）ｓ（（ｆ（）（）ｓＴｄｓ（＋）ｓ，
阵，如果存在一个映射Ｐ和正常数，使得：Ｉ（）Ｘ１ｓｌ≤ｆｘ（仅ｔ）， ≥ｓｌｔＰ＿（）Ｉｌｐ一（ —ｓ）ｔ；ｅ

一类具有无限时滞中立型积分微分方程的周期解

第２卷第６期７
Ｖｏ．７Ｎｏ６１２，．
滨州学院学报
ＪｕｎｌｆＢｎｈｕＵｎｖｒｉｙｏｒａｉｚｏｉｅｓｔｏ
２１年１０１２月
Ｄｅ．，０１ｃ２１
【分方程与动力系统研究】微
一
类具有无限时滞中立型积分微分方程的周期解
其中ｔＥＲ，Ａ（，，ｔ）Ｃ（，）为连续函数矩阵，Ｒ，，ｚＥＲ，ｔ）Ｂ（，，ｔｓ厂ＥＣ（Ｒ）ｆ将有界集映为有界集．
ｆｔＴ，（＋）一ｆｔ，（）＝ｘｔｓ，Ｅ（。，］（，ｓ＝（＋）５）＝一。０．
（）１
Ａ（，（）ｚ（）ｌＣｔ５ｓｄ＋ｇ（，￡）＋厂，￡ｚ）＋（，））ｓ（ｔ（一ｒ）（）
Ａ（＋丁）一Ａ（）Ｂ（＋Ｔ，＋Ｔ）一Ｂ（，）Ｃ（＋Ｔ，＋Ｔ）一Ｃ（，）ｔ，ｔｓｔ５，ｔ５ｔ５，
利用线性理论及Ｓｈｕｅ不动点定理获得了方程（）ｅａｄｒ１的周期解的存在性、唯一性及稳定性，到了一些判得
别准则．
１预备知识
定义１如果实方阵Ｐ满足Ｐ。＝Ｐ，＝则称Ｐ为投影．＝定义２设Ａ（）是定义在Ｒ上的连续的 × 是实矩阵函数，虑线性系统考
ｎ（＋ ∑ Ｊ￡Ｊ（ ≤０ｉ，，ｆ）（ ≤ａ￡，：１２…，，ｎ））
］ｌ（～Ｐｘｓｌ≤ Ｋｅｐａｔ），≤ ｓｌ）ｊｘ（）（）ｌｘ（（ —ｓ）ｔ．

一类具有脉冲的中立型时滞微分方程正周期解的存在性

１９９７年，ｉ利用Ｍａｉ续定理，论了～类具常时滞的周期系数的中立型泛函微分方程．０１年，ＬＪｗｈｎ连讨２０Ｆｎ［讨论了方程（）并且对文献［］中公开问题给出了解答．０３年，ｕ６研究了如下方程正周期解的ａｇ５］２，３２０Ｌ［］
ｚ（（ｋ￡）一ｔ）：ｌ（ｎ１十Ｊ）ｃ，２
即
、
￡：
∈ Ｎ．
‘）４
收稿日期：０９—０２０３—１０
基金项目：湖南省教育厅２０年科技项目（６０２；０６０Ｃ４）湖南工学院２０年科研项目（Ｙ８２）０８Ｈ００６作者简介：盛洁波（９９，，１６一）女湖南人，讲师，主要研究方向：微分方程．
பைடு நூலகம்
一
类具有脉冲的中立型时滞微分方程正周期解的存在性
盛洁波陈福来２，
（．１湖南工学院基础课教学部，湖南衡阳４１０；．２０２２湘南学院数学系，湖南郴州４３０）２００
摘要：一个实际生态系统，常受到周围环境变化以及人类活动的影响，因而在生态系统建模中应该考虑脉冲的存在．现有的研究过多局限在具有常时滞的周期系统的中立型泛函微分方程，对具有脉冲的中立型时滞微分方程模型研究较少．本文利用重合度理论，究了一类具有脉冲的中立型时研
—
１］本文利用重合度理论，３．讨论方程（）１的正周期解的存在性。
１预备知识

一类三阶中立型时滞方程的周期解

＝
，ｃ。ｓ
ｑｎ）＝一（）（（３１＋
ｊ＝ｌ
妻ＵＯＴ）（：竿）ｊＳ＋３Ｃ）ｓｉｎ
＋）十ｃ一。（（砉ｏ７ｓ。ｓｈ下ｉｎ）ｉｒｎ
证明设方程（）有解，造如下４＋－ＮＮ￣２构
３ｍ３
∑ ａ ‘ ￡＋∑ ∑ ｕ（￡）（）ｉ）ｘｊ一＝厂￡ｌｘ
ｉ０＝Ｊ＝１ｉ＝０
（）１
的周期解问题，中ｈ其＞０， “ ｉ＝１２，；＝１２，，，为常数，ａ三１ｆｔ是口，，３， … ｍ均且３。（）连续可微的且以２为周期的函数，其Ｆｕｉ展开式为：Ｔ令ｏｒｒｅ
一
类三阶中立型时滞方程的周期解
何光明一曹进德．，
（．南大学应用数学系，京２０９；２蚌埠坦克学院数学室，埠２３１）１东南１０６一蚌３０３
摘要：用Ｆｕｉｒ数理论和实分析不等式技巧，论了一类三阶中立型时滞差分方程利ｏｒ级ｅ讨
厂￡＝ｋ十∑ （Ｃ（）ｏ忌ＯＳ
ｎ：ｉ
＋ｄｓ）ｉｎ
其中走，，＝１２，）为Ｆｕｉｒｏ走ｄ（， … ｏｒ系数。ｅ
通过巧妙运用Ｆｕｉ级数理论及实分析不等式技巧，方程（）的周期解进行了深入ｏｒｒｅ对１的研究，到了若干个全新的充分判据。仅将相关文献中的结论进行了全面的改进与推得不

一类中立型无穷时滞脉冲微分方程的周期解

大部分只是讨论了不含脉冲效应方程的周期解，而关于具有脉冲效应的中立型微分方程周期解的研究
并不多．文献［１］考虑中立型脉冲时滞方程『［Ｙ（ｔ）＋Ｐ（ｔ）ｙ（ｔ一下）一ｒ（）ｙ（ｔ — Ｐ）］＝Ｐ（），ｔ ≤０，ｔ ≠ｔ，
［摘要】利用线性系统的指数型二分性和Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理，研究一类中立型无穷时滞脉冲微分方程的周期解存在性问题，给出了保证系统存在周期解的一组充分条件，推广并改进了现有文献中的相关
结论．
［关键词］脉冲方程；中立型；周期解；无穷时滞［中图分类号］０１７５．１［文献标志码］Ａ
Ｊｕ１．２０１３
［文章编号］１００７—７４０５（２０１３）０４— ０３０２一ｏ６
一
类中立型无穷时滞脉冲微分方程的周期解
赵琨，蒋芳芳，冯春华
（广西师范大学数学科学学院，广西桂林５４１００４）
ｔｙ（ｔ）一Ｙ（ｔ）＝ｂｋＹ（ｔ），ｔ＝ｔ，
…
正解的存在性．文献［２］利用拓扑度理论研究了一类具有脉冲的中立型单种群生态模型，得到该系统存在正周期解的充分条件．文献［３］利用严格集压缩不动点定理研究了方程
ｎｔ）［０（￡）一卢（￡） Ⅳ （￡）一∑ｂｉ（ｆ） Ⅳ （￡一Ｔｉ（￡））一∑ ｃｊ（ｔ）ｍ（ｔ — （））］，ｔ ≠ｔｋ，，

时滞微分系统的周期解及周期边值问题的开题报告

时滞微分系统的周期解及周期边值问题的开题报告一、研究背景和意义时滞微分系统是一类常见的复杂动态系统，它与实际问题密切相关，如生态系统、环境污染、经济金融等。

特别是在现代控制理论研究中，时滞系统得到了广泛的关注。

目前，时滞微分系统的周期解及周期边值问题仍是一个研究热点。

周期解是指在某一周期性条件下，系统输出变量以周期方式变化的解。

周期解在实际应用中起着重要的作用，如谐振现象、信号的周期性特征等。

而周期边值问题，则是指系统周期解的边界条件，它是一个具有约束性的问题，需要在满足周期条件的前提下，保证边界条件的成立。

二、研究内容和方法本研究将主要关注时滞微分系统的周期解及周期边值问题，研究内容包括但不限于以下几个方面：1. 建立时滞微分系统的周期解模型，分析系统周期解的性质与特点；2. 探究时滞微分系统周期边值问题的数学表述和求解方法；3. 研究时滞微分系统的周期解稳定性以及对参数变化的敏感性；4. 分析周期解与系统控制性能之间的关系，并对控制策略进行优化。

在研究方法上，本研究将采用数学建模和分析方法，结合数值模拟和仿真验证的手段进行验证。

三、预期成果和意义此次研究的成果将有望实现如下几个方面：1. 建立时滞微分系统的周期解模型，并探究其基本性质和特点，为系统控制提供更为全面的基础；2. 发展时滞微分系统周期边值问题的数学表述和求解方法，为实际问题的解决提供更为实用的工具；3. 针对时滞微分系统的周期解稳定性与参数敏感性问题，提出相应的控制策略，为实际应用提供更为可靠的支持。

此次研究的意义在于对时滞微分系统的周期解及周期边值问题进行系统的研究，为控制理论的应用提供更为全面、详尽的思路和方法。

同时，此研究成果也将在实际应用中产生重要的科学与经济效益。

具有p-Laplace算子的无穷时滞中立型微分方程的周期解

（）３
式（中ｇ＞１是常数且＋＿：１３）＿ｌ
。
作者简介：仕洲（９９）广东潮阳人，教授，究方向：函陈１５一，副研泛
微分方程．Ｅｍｉｃｅｓｉｏ＠１３ｔｍ。．ａｌｈｎｈｚｕ６．ｏ：ｈ
＠
２１ＳｉｅｈＥｇｇ００ｃＴｃ．ｎｎ，．
具有ＰＬｐａｅ子的无穷时滞中．ａｌ算ｃ立型微分方程的周期解
陈仕洲
（韩山师范学院数学与信息技术系，潮州５１４）２０１
摘
要利用重合度理论和一些分析技巧，究了一类具有ｐＬｐｃ研－ａｌｅ算子的无穷时滞中立型泛函微分方程周期解存在性问ａ
ｍａ（）ｌ由文献［］知（Ｃ，．）为ＢｎｃｘＩ０。２Ｂ１１ａａｈ
ｓ０Ｕ ≤ ≤
空间，之为Ｂ令Ｃ记Ｃ。＝｛ ∈ＣＲ，Ｉ（＋Ｉ（Ｒ）ｔ
周期解存在性。据我们所知，对于具有ＰＬｐａｅ算 —ａｌｃ子的泛函微分方程周期解问题研究得要少得多。
ＣＲ×Ｒ，；ｓＭ连续（Ｒ）ｑ（，）
２１００年６月１６日收到
ｒｌ
（“，）＝（（）ＩＩ（４）（口）＝（），）
（）
ｆｆ，）（＋（＋ｆｓＨｓ）（（））ｎ，ｄｂ，：ｔｆｆｆｔ“ ｔ（（）ｕ）
Ｑ￣ｍｃＱ（＝，：ｌＹＱ，［］专（），）

一类具有分布时滞的p-Laplacian中立型泛函微分方程周期解的存在性

．
２存在常数ｒ）Ｉ＞０ｒ，２＞０ｍ＞０和ｄ≥ ０，得，使
（）。“ ≤ ｇ／ ≤ ｒｌＩ，／＞ｄｉｒＩｌ（，）ｕＶＩｌ；，
（ｉｇＨ＞０（ｕ（，ｉ）ｕ（）或ｇＩ１）＜０，１Ｊ；）ＶＩ＞ｄ１，
３存在常数ｓ＞０使得），
【（）Ｉ＋ｄ２一＋６］）一ｔＪ
Ｄ＝
【’）卢ｚ＞［二ｔＩ＋ｄ＜… （＋Ｉ） ’ ｒ卢。】ｍ。（Ｊ．Ｊ
４）卜歹条件之一成立：Ｕ
ｃ＝・ｐ，ｉ一旦』，ｎ
其，ｆ．中＝１
、Ｘ２Ｉ
再将方程（）改为下列形式２
ｒＡ。（）＝（ｚｔ）＝ｌ（）（ｘ）ｔ（）ｔ
（）ｔ
㈤：－）（）ｃ（一）厂（（ｃ））『）ｇ０
．
）ｅ）（＋
其中，＋一：１得出￡１（）：（（）（）是方程（）的一个周期解，．￡，￡）３则。ｔ是方程（）的一个（）２
ｃｎ中立型泛函微分方程ｌａ
（，（一￡ｏ）十（）￡＋（ｆｓｍｓ＝（（￡ｃ一９（ｇｆ＋）（）ｅ），）（））（ｄ）
（１）
的周期解的存在性问题，Ｐ＞在２的条件下，用重合度理论获得了方程（）少存在一个周期解的充分利１至
从而推广和改进了文献［］的相关结果．５
１准备知识

具有无穷时滞中立型积分微分方程的周期解

（一）ｅ（（７ｄ，ｌｘ－丁）（ｌｐｓ（）））
ｓ．
（８）
证设ｘｔ是方程（）（）６的任一非零解，Ｌａｕｏ泛函（（）ｘｔ，由右上导数取ｉｎｖｐ＝１（ｌ））则及矩阵测度的定义得
一
（）一
）＝＋ｄ））ｓ）
ｊｄｓｓ）＋）
（５）
其中ｔ， ∈Ｒ，（，ｔ）ｃｔ）礼×礼连续函数矩阵，ｆ∈ＣＲ×ＢｈＲ）， ∈ＲｔＢ（ｓ，（ｓ为），，（Ｃ，，将有界集映为有界集．Ａ（＋Ｔ＝（，ｔ，＋Ｔ＝Ｂ（ｓ，ｔ，＋Ｔ＝ｃ（ｓ，ｔ）Ｂ（＋Ｔｓ））ｔ）ｃ（＋Ｔｓ），ｔ），ｆｔ，）（）ｘ（＝ｘｔ）ｓ～。０利用矩阵测度及不动点定理研究方程周（＋Ｔ＝ｆｔ，ｔ）（＋ｓ， ∈（。，］，ｓ．期解的存在性、唯一性及稳定性，推广和改进了有关的结果．
（）一
．）＝）ｓｄ邱）＋）ｓ）
ｄ：Ｊ，。ｔＤ） ‘，
ｊｄ）ｓｓ）＋）
的周期解的存在性．范猛和王克ｆ证明了无穷时滞线性中立型泛函微分方程７】
解的有界性蕴涵周期解的存在性，推广了Ｍａｓｒ．，ｈｗ．和Ｍａａ的结果（ｓｅａＪＬＣｏｓＳＮｋｙＭ参见文献【１１陈和孙［】８０．－）１对纯量方程１
２一些引理
定义１设矩阵Ａ＝（ｉ），阵测度（定义为ａ矩ｊ）

中立型标量积分微分方程的周期解

中立型标量积分微分方程的周期解\[ \frac{{d^n y}}{{dt^n}} + a_{n-1} \frac{{d^{n-1}y}}{{dt^{n-1}}} + \ldots + a_1 \frac{{dy}}{{dt}} + a_0 y = b_m \frac{{d^m x}}{{dt^m}} + b_{m-1} \frac{{d^{m-1} x}}{{dt^{m-1}}} + \ldots + b_1 \frac{{dx}}{{dt}} + b_0 x \]其中n和m分别是y和x的最高阶导数，a和b分别是y和x导数的系数。

为了简化，我们假设m<n。

接下来，我们将探讨中立型标量积分微分方程的周期解。

1.周期解的定义假设y(t)是上述微分方程的一个解，并且存在常数T使得y(t+T)=y(t)对于所有t成立。

那么y(t)是周期解，并且T是它的周期。

2.周期解的存在性定理对于中立型标量积分微分方程而言，周期解的存在性定理是一个非常重要的结果。

它断言：如果微分方程的右侧函数是周期函数，即存在正常数P使得b(t+P)=b(t)成立对于所有t，且P不是微分方程解的周期，那么该微分方程必定存在一个周期解。

这个定理的证明比较复杂，超出了本文的范围。

但是我们可以简要讨论其思路：利用周期函数的性质，将中立型标量积分微分方程转化为对特定函数的积分方程，并利用积分方程的性质证明周期解的存在性。

3.周期解的稳定性在一般的非线性动力系统中，周期解的稳定性是一个很重要的性质。

稳定性是指对于微小的扰动，解是否会始终保持在原周期解的附近。

对于中立型标量积分微分方程，周期解的稳定性可以通过线性化的方法来分析。

通过线性化，我们将非线性的微分方程转化为线性的微分方程，并分析线性化方程的解的性质。

如果线性化的方程的解是稳定的，那么对应的周期解也是稳定的。

具体的线性化方法是通过将非线性部分在周期解的附近进行泰勒展开，留下导数的线性组合，得到一个线性微分方程。

一类中立型积分微分方程概周期解的存在性和唯一性

２１
周期解的存在唯一性定理，我们也推广了相关文献的主要结果．
１主要结果
定义１－：设 “Ｒ［ｓ７］：一尺关于ｔ是连续的，若对任意的占０ｊ＝（＞使得任一长为ｚ＞，ｆｆ）０，的区间上至少含有一个ｏ＝）ｒ（使得对任意ｔＲ都有 ∈
（）】Ａ（）＋ｃ（，）ｓ＋Ｐ（（一丁（））＋ｂｔｆ）＝ｆ（）ｓ（）ｆ￡￡）（）
，
周期解的存在性和唯一性问题．由于周期函数是概周期函数的特例，因而讨论微分方程的概周期解具有更
（＝（ｔ＋ｆ（，ｘｓｄ＋ｔ（— ｔ）＋（ｔＡ（！ｔ）（）ｓｇ（，ｔ（）ｂｔ）））Ｃｓｒ）） …
ｆ
（＝（，（）（）！∞ （，ｘｓｄ＋，ｔｒｔ）＋（ｔＡｔｔｔ＋ｆｔ）（）ｓｇ（ — ））ｂｔ））ｓＣｔ（（）
Ｉ（＋一（ｌｔ） “ｆｕ）
成立，则称ｕｔ关于ｔ（）是概周期的．定义２侧：设 ∈Ｒ，ｔ是ｎ×ｎ连续矩阵，性系统Ｑ（）线
（）＝Ｑ（）（）ｔｔｘｔ（）２
在Ｒ满足指数型二分性是指存在常数ｋ０＞＞，０及投影Ｐ使系统（）２的基本解矩阵Ｘｔ满足（）
（．１河池学院
［摘
要］考虑具连续时滞和离散时滞的中立型积分微分方程
二￡（（）Ａｔ』）ｓＰ（ｑ￡）６）ｄ）蓍（￡】（）（ｓ（ｄ（ｔ＇）＋（（＋【ｑ一）＝ｍ（＋，），－ｉ）￡（

一类中立型脉冲积分微分方程的概周期解

一类中立型脉冲积分微分方程的概周期解
林远华;冯春华
【期刊名称】《广西科学》
【年(卷),期】2008(15)4
【摘要】利用压缩映射不动点定理,研究一类中立型脉冲积分微分方程的概周期解,给出该方程存在概周期解的一组充分条件.
【总页数】4页(P357-360)
【作者】林远华;冯春华
【作者单位】河池学院,广西,宜州,546300;广西师范大学,广西,桂林,541004
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.具无穷时滞的中立型Volterra积分微分方程的概周期解 [J], 方聪娜;王全义
2.一类中立型积分微分方程概周期解的存在性和唯一性 [J], 林远华;冯春华
3.中立型Volterra积分微分方程概周期解的存在唯一性 [J], 方聪娜
4.一类中立型积分微分方程概周期解的存在唯一性与稳定性 [J], 贺艳飞
5.具无限时滞的高维中立型脉冲积分微分方程概周期解的存在性 [J], 林远华;冯春华
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Ｖｏ１．４２ＮＯ．６
ＮＯＶ．２Ｏ１３
一
类具有时滞的中立型积分微分系统的周期解
胡永珍
（北京第二外国语学院经贸与会展学院，北京１０００２４）
摘要：考虑一类具有时滞的中立型积分微分系统的丁＿周期解的存在性问题，借助线性系统的指数型二分性和Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理，获得了保证系统存在Ｔ＿周期解的充分条件．关键词：积分微分系统；中立型；时滞；周期解；指数型二分性
Ｊ一。。
存在丁－周期解的充分条件．文献Ｉ－４］利用Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理，给出中立型微分系统
ｊ
ｕ（＿ｚ（￡）＋ＣＸ（ｔ — ｒ））一Ａ（￡，（￡））（￡）＋厂（ｔ，Ｘ）
．
Ｕ
周期解存在的充分条件．文献［５］利用线性系统的指数型二分性和Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理，获得保证具有
无限时滞的中立型微分系统
ｊ
ｕ
ｒபைடு நூலகம்
Ｊ一。。
景（ｚ（￡）＋ＣＸ（一ｒ））一Ａ（，ｘ（ｔ —ｒ（￡）））ｚ（￡）＋ＩＣ（ｔ，ｓ）ｘ（ｓ）ｄｓ＋ｆ（ｔ，Ｘ）＋６（￡）
第４２卷第６期２０１３年１１月
内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＩｎｎｅｒＭｏｎｇｏｌｉａＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
ｚ（）一ｚ（＋），０∈ ［一ｒ，０］；６（￡）是维连续向量函数，ｒ（）是连续函数，ｃ（￡）和（）是连续可微函数，且
Ａ（ｔ＋Ｔ，Ｘ）一Ａ（ｔ，Ｘ），Ｃ（ｔ＋Ｔ，Ｓ＋ｔ）一Ｃ（ｔ，ｓ），ｆ（ｔ＋Ｔ，）一ｆ（ｔ，），ｂ（ｔ＋Ｔ）一６（），ｒ（ｔ＋Ｔ）一ｒ（），
ｃ（ｔ＋Ｔ）一ｆ（￡），８（ｔ＋Ｔ）一（），ｒ — ｍａｘ｛ｓｕｐ１（）Ｉ，ｓｕｐＩｒ（）Ｉ），常数Ｔ＞０．
本文借助文献Ｉ－５］的思想，利用线性系统的指数型二分性和Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ不动点定理，获得了保证系统（１）存在Ｔ＿周期解的充分条件，以及保证系统（２）存在唯一Ｔ＿周期解的充分条件，所得到的结论推广了文
中图分类号：０１７５．１４文献标志码：Ａ文章编号：１００１ — ８７３５（２０１３）０６ — ０６３１ — ０６
０引言
近年来，周期微分系统周期解的存在性问题受到数学工作者的极大关注，并已取得一些很好的研究成
Ｊ一。。
（１）
的Ｔ－周期解的存在性问题，以及在Ａ（ｔ，ｘ（ｔ —ｒ（￡）））一Ａ（）的情况下，系统
Ｊｒ
ｕ
ｕ（ｚ（￡）＋ｃ（ｔ）ｘ（ｔ一（ｆ）））一Ａ（）（）＋ＩＣ（ｔ，ｓ）ｘ（ｓ）ｄｓ＋厂（，）＋６（￡）
献［１ — ８］的相关结果．文中沿用文献［５］中的记号和术语，并引用了其中定义２．１～定义２．３和引理２．１～
● Ｊ一。。
（２）
的丁＿周期解的存在唯一性问题．其中：ｔ，Ｓ ∈ Ｒ， ∈Ｒ ” ，Ａ（ｔ，ｚ）和Ｃ（ｔ，ｓ）是Ｘ连续矩阵函数；ｆ：Ｒ×Ｃ
一
是维连续向量函数；ｆ（ｔ，）在Ｒ×ｃ的任一有界凸集上是一致连续的，Ｃ—ｃ（［一ｒ，ｏ］，Ｒ ” ），ｚ ∈ Ｃ，
存在Ｔ＿周期解的充分条件．本文考虑较上述系统更一般的具有时滞的中立型积分微分系统
ｊｕｒ￡
Ｕ ‘
（ｚ（）＋ｃ（ｔ）ｘ（ｔ一（￡）））＝：＝Ａ（ｔ，ｘ（ｔ —ｒ（￡）））ｚ（）＋ＩＣ（ｔ，ｓ）ｚ（ｓ）ｄｓ＋ｆ（ｔ，）＋６（）
果口］．在研究周期微分系统周期解的存在性过程中，不动点定理起着非常重要的作用．文献［３］利用线性系
统的指数型二分性和Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理，得到具有时滞的微分系统
』
Ｕ
ｒ
（）一Ａ（ｔ，（））ｚ（￡）＋ｌＣ（ｔ，ｓ）ｚ（ｓ）ｄｓ＋ｆ（ｔ， —ｒ）＋６（￡）