圆锥曲线中的三角形问题(含解析)

专题12 圆锥曲线中的三角形问题
一、题型选讲
题型一 、由面积求参数或点坐标等问题
例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线2
2y px =（0p >）的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物
线交于点M ，N （点N 在轴上方），点E 为轴上F 右侧的一点，若||||3||NF EF MF ==，MNE S =△则p =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．9
例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆22221x y C a b
+=：的左、右焦点F 1，F 2分别作斜率为C 上半部分于A ，B 两点，记△AOF 1，△BOF 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1：S 2＝7：5，则椭圆C 离心率为_____．
例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
:143
x y E +=的左、
右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．
（1）求12AF F △的周长；
（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．
题型二、与面积有关的最值问题
例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点()2,1P 斜率为正的直线交椭圆22
1245
x y +=于A ，B 两点.C ，
D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠.则PCD ∆外接圆半径的最小值为（ ）
A ．
5
B ．
5
C ．
2413
D ．
1913
例5、【2020年新高考全国△卷】已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且
AM 的斜率为
1
2
， （1）求C 的方程；
（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.
例6、【2019年高考全国△卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之
积为−
12
.记M 的轨迹为曲线C .
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交
C 于点G .
（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.
例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知1F ，2F 是椭圆2222:1x y C a b
+=的左右焦点，且椭圆C
，直线:l y kx m =+与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 过1F 时2F AB 周长为8. （△）求椭圆C 的标准方程；
（△）若0OA OB ⋅=，是否存在定圆2
2
2
x y r +=，使得动直线l 与之相切，若存在写出圆的方程，并求出
OAB 的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.
例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点B 在准线l 上的投影为E ，若C 是抛物线上一点，且AC EF ⊥.
（1）证明：直线BE 经过AC 的中点M ；
（2）求ABC ∆面积的最小值及此时直线AC 的方程.
二、达标训练
1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设12,F F 是椭圆22
2:1(02)4x y C m m
+=<<的两个焦点，00(,)
P x y
是C 上一点，且满足12PF F ∆则0||x 的取值范围是____.
2、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线2
2:13
x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线
与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．
32
B ．3
C ．
D ．4
3、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线E ：2
4y x =和直线l ：40x y -+=，P 是直
线上l 一点，过点P 做抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，C 是抛物线上异于A ，B 的任一点，抛物线在C 处的切线与PA ，PB 分别交于M ，N ，则PMN ∆外接圆面积的最小值为______.
4、（2020届浙江省嘉兴市5月模拟）设点(,)P s t 为抛物线2:2(0)C y px p =>上的动点，F 是抛物线的
焦点，当1s =时，5
4
PF =
．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点P 作圆M ：22
(2)1x y -+=的切线1l ，2l ，分别交抛物线C 于点,A B ．当1t >时，求PAB △面积的最小值．
5、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点(0,0)O ，(2,0)E ，抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点F
为线段OE 中点.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点E 的直线交抛物线C 于, A B 两点，4AB AM =，过点A 作抛物线C 的切线l ，N 为切线l 上的点，且MN y ⊥轴，求ABN 面积的最小值.
6、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线2
14
y x =
的焦点为F .
()1若点P为抛物线上异于原点的任一点，过点P作抛物线的切线交y轴于点Q，证明：2
∠=∠.
PFy PQF ()2A，B是抛物线上两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点()
D(AB不与x轴平行)，且
0,4
+=.过y轴上一点E作直线//
6
AF BF
m x轴，且m被以AD为直径的圆截得的弦长为定值，求ABE
△
面积的最大值.
一、题型选讲
题型一、由面积求参数或点坐标等问题
例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线2
2y px =（0p >）的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物
线交于点M ，N （点N 在轴上方），点E 为轴上F 右侧的一点，若||||3||NF EF MF ==，MNE S =△则p =（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．9
【答案】C 【解析】
设准线与x 轴的交点为T ，直线l 与准线交于R ，||||3||3NF EF MF a ===，则
||||3NF EF a ==，||MF a =，过M ，N 分别作准线的垂线，垂足分别为,P Q ，
如图，由抛物线定义知，||MP a =，||3NQ a =，因为MP ∥NQ ，所以
||||
||||
PM RM QN RN =， 即||3||4a RM a RM a
=+，解得||2RM a =，同理
||||||||FT RF QN RN =，即||336FT a
a a
=，解得 3||2FT a =
，又||FT p =，所以32a p =，2
3
a p =，过M 作NQ 的垂线，垂足为G ，则
||MG =
==，所以1||||2
MNE
S EF MG =⋅=△ 1
32a ⨯⨯=2a =，故3
32p a ==. 故选：C.
例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆22221x y C a b
+=：的左、右焦点F 1，F 2分别作斜率为C 上半部分于A ，B 两点，记△AOF 1，△BOF 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1：S 2＝7：5，则椭圆C 离心率为_____．
【答案】
12
【解析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S 21'BOF B OF S =，则有11275
A B y S S y ==，
所以1
7
5A B y y =-
． 将直线AB 1
方程4x c =-
，代入椭圆方程后，2
2
22
4
1
x y c x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣
b 2cy +8b 4＝0，
由韦达定理解得1
2228A B c
y y b a
+=+，142288A B b y y b a -=+， 三式联立，可解得离心率1
2
c e a ==． 故答案为：
12
． 例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
:143
x y E +=的左、
右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．
（1）求12AF F △的周长；
（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．
【解析】（1）椭圆22
:143
x y E +
=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则2224,3,1a b c ===.
所以12AF F △的周长为226a c +=.
（2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，
则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-
在2x =时取等号.
所以OP QP ⋅的最小值为4-.
（3）因为椭圆22
:143
x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，
则123
(1,0),(1,0),(1,)2
F F A -.
所以直线:3430.AB x y -+=
设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得
|343||30403|
355
x y -+⨯-⨯+=⨯，
则34120x y -+=或3460x y --=.
由2234120,143x y x y -+=⎧⎪
⎨+
=⎪⎩
得2724320x x ++=，此方程无解；
由223460,14
3x y x y --=⎧⎪⎨+
=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.
代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127
y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212
(,)77
--.
题型二、与面积有关的最值问题
例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点()2,1P 斜率为正的直线交椭圆22
1245
x y +=于A ，B 两点.C ，
D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠.则PCD ∆外接圆半径的最小值为（ ） A
．
5
B
．
5
C ．
2413
D ．
1913
【答案】D 【解析】如图，
先固定直线AB ，设()BM f M AM =
，则()()()f C f D f P ==，其中()BP
f P AP
=为定值， 故点P ，C ，D 在一个阿波罗尼斯圆上，且PCD 外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r ，阿波罗尼斯圆会把点A ，B 其一包含进去，这取决于BP 与AP 谁更大，不妨先考虑BP AP >的阿波罗尼斯圆的情况，BA 的延长线与圆交于点Q ，PQ 即为该圆的直径，如图：
接下来寻求半径的表达式， 由
()2,2AP BP r BP BQ r AP AQ AP AP AQ BP ⋅+==+=+，解得111
r AP BP
=-， 同理，当BP AP <时有，
111
r BP AP
=-， 综上，
111r AP BP
=-； 当直线AB
无斜率时，与椭圆交点纵坐标为1,1AP BP ==，则1912
r =； 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为()12y k x -=-，即21y kx k =-+， 与椭圆方程联立可得()()()
2
2
2
24548129610k x k k x k k ++-+--=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，则由根与系数的关系有，()
()
12
22
1224821245961245k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪+⎪
⎨--⎪
=⎪+⎩
，
21111
2
r AP BP x ∴=-=-，
注意到12x -与22x -异号，故
1119r ===，
设125t k =+
，则1112122613
1919192419r ==≤⋅=，，当15
169
t =，即1695t =
，此时12
5k =，故1913
r ≥，
又
19191213>，综上外接圆半径的最小值为1913
. 故选：D ．
例5、【2020年新高考全国△卷】已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且
AM 的斜率为
1
2
， （1）求C 的方程；
（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值. 【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：1
3(2)2
y x -=-，即24-=-x y . 当y =0时，解得4x =-，所以a =4，
椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>过点M (2，3)，可得
249116b +=， 解得b 2=12.
所以C 的方程：22
11612
x y +=.
(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.
联立直线方程2x y m -=与椭圆方程22
11612
x y +=，
可得：()2
232448m y y ++=，
化简可得：2
2
16123480y my m ++-=，
所以(
)
2
2
1444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，
点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：d =
=，
由两点之间距离公式可得||AM ==.
所以△AMN
的面积的最大值：
1182⨯=. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
例6、【2019年高考全国△卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之
积为−
12
.记M 的轨迹为曲线C .
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交
C 于点G .
（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）
16
9
. 【解析】（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得22
1(||2)42
x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．
由2
2142
y kx
x y =⎧⎪⎨+
=⎪⎩
得x =．
记u =
，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．
于是直线QG 的斜率为
2k ，方程为()2
k
y x u =-． 由22
(),2142
k y x u x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①
设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得3
2
2G uk
y k
=+． 从而直线PG 的斜率为3
222
12(32)2uk uk k u k k
u
k -+=-+-+．
所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．
（ii ）由（i
）得||2PQ =
||PG =△PQG 的面积
2
22
218()
18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k
++===++++‖． 设t =k +1
k ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号．
因为2
812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为16
9
． 因此，△PQG 面积的最大值为16
9
．
例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知1F ，2F 是椭圆22
22:1x y C a b
+=的左右焦点，且椭圆C
，直线:l y kx m =+与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 过1F 时2F AB 周长为8. （△）求椭圆C 的标准方程；
（△）若0OA OB ⋅=，是否存在定圆2
2
2
x y r +=，使得动直线l 与之相切，若存在写出圆的方程，并求出
OAB 的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（△）223144x y +=；（△）22
1x y +=
，⎡⎢⎣⎦
.
【解析】
（△）由题意可得，22||48F A F B AB a ++==， 故2a =
，又有3
c e a =
=
，∴c = 椭圆的标准方程为22
3144
x y +=；
（△）法1：设||OA m =，||OB n =，∵0OA OB ⋅=，∴OA OB ⊥， 设点(cos ,sin )A m m θθ，点(sin ,cos )B n n θθ-，
22222222
cos 3sin 144
cos 3sin 1
44m m n n θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，两式相加得22131144m n +=+， 2222m n m n +=⋅，
222AB OA OB =⋅，∴1r =，
442
2
2
2
22
2111||1111
n n AB m n n n n n -+=+===++---，24,43n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，
∴AB ⎡∈⎢⎣⎦
，OAB
S ⎡∈⎢⎣⎦
△． 法2：()2222234
136340x y k x kmx m y kx m
⎧+=⇒+++-=⎨
=+⎩， ()()22222236434131248160k m m k m k ∆=--+=-++>，
1212OA OB x x y y ⋅=+()()2
2
12121k x x km x x m =++++22
2
444013m k k
--==+， ∴221m k =+，
∴1r ===，
122
||
13
AB x
k
=-==
+
当0
k=时，||2
AB=，
当0
k≠
时，
||
AB=≤21
3
k=时取到等号，此时2
4
3
m=符合>0
∆
∴1,
3
OAB
S
⎡
∈⎢
⎣⎦
△
．
例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线24
y x
=的焦点为F，准线为l，过点F 的直线交抛物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，若C是抛物线上一点，且AC EF
⊥.
（1）证明：直线BE经过AC的中点M；
（2）求ABC
∆面积的最小值及此时直线AC的方程.
【答案】（1）详见解析；（2）面积最小值为16，此时直线方程为30
x y
±-=.
【解析】
（1）由题意得抛物线24
y x
=的焦点()
1,0
F，准线方程为1
x=-，
设()
2,2
B t t，直线AB：1
x my
=+，
则()
1,2
E t
-，
联立1
x my
=+和24
y x
=，
可得244
y my
=+，
显然40
A B
y y+=，可得
2
12
,
A
t t
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，
因为EF
k t
=-，AB EF
⊥，
所以1AC k t
=， 故直线AC ：2211y x t t t ⎛⎫+
=- ⎪⎝⎭
， 由224120
y x
x ty t ⎧=⎪⎨---=⎪⎩
， 得2
24
480y ty t
---
=. ∴4A C y y t +=，2
48A C y y t =--
， 所以AC 的中点M 的纵坐标2M y t =，即M B y y =， 所以直线BE 经过AC 的中点M .
（2
）所以
A C y A C =-=
= 设点B 到直线AC 的距离为d ，
则
22
12t d ++=
=
.
所以
1162ABC
S AC d ∆=⋅=≥=，
当且仅当41t =，即1t =±，
1t =时，直线AD 的方程为：30x y --=，
1t =-时，直线AD 的方程为：30
x y +-=.
另解：
2221112222ABC A C S BM y y t t t ∆=
⋅-=++-3
2
22122t t ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
.
二、达标训练
1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设12,F F 是椭圆22
2:1(02)4x y C m m
+=<<的两个焦点，00(,)
P x y
是C 上一点，且满足12PF F ∆则0||x 的取值范围是____. 【答案】[]0,1
【解析】依题意，122F F =，所以120122PF F S y ∆=
⨯=0y =，
而2200214x y m +=，所以2
200224124144y x m m m ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭
.由于02m <<，2
04m <<，根据二次函数的性
质可知：(
)
(]2
24
2
42
40,4m m m -=--+∈，所以241234m m -
≤--，所以2
24
12414x m m =-≤-，解得[]00,1x ∈.
故答案为：[]0,1
2、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线2
2:13
x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线
与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．
32
B ．3
C ．
D ．4
【答案】B
【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的
方程为2)y x =
-，
分别与两条渐近线3y x =
和3y x =-联立，
求得M
，3(,22
N -，
所以||3MN ==，故选B ． 3、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线E ：24y x =和直线l ：40x y -+=，P 是直线上l 一点，过点P 做抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，C 是抛物线上异于A ，B 的任一点，抛物线在C 处的切线与PA ，PB 分别交于M ，N ，则PMN ∆外接圆面积的最小值为______. 【答案】258
π
【解析】
设三个切点分别为222
(,),(,),(,)444
a b c A a B b C c ，
若在点A 处的切线斜率存在，
设方程为2()4
a y a k x -=-与2
4y x =联立，
得，2
2
2
440,164(4)0ky y a k a k a k a --+=∆=--+=， 即2
22440,a k ak k a
-+=∴=
， 所以切线PA 方程为2
202
a x ay -+= ①
若在点A 的切线斜率不存在，则(0,0)A ， 切线方程为0x =满足①方程，
同理切线,PB MN 的方程分别为2
202b x by -+=，
2
202
c x cy -+=，联立,PA PB 方程，
2220220
2a x ay b x by ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
，解得42ab x a b y ⎧
=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即,42ab a b P +⎛⎫ ⎪⎝⎭
同理,,,4242ac a c bc b c M N ++⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(),42a c b c b PM --⎛⎫
= ⎪⎝
⎭， ()(),,,4242b c a c a c b a b a PN MN ----⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
设PMN ∆外接圆半径为R ，
|||||||||PM b c PN a c MN a b =-=-=-，
11
||||sin ||||22
PMN S PM PN MPN PM PN ∆=∠=
21||||
()2||||
PM PN PM PN =
==||||||1
||
||||1622a b b c a c MN PM PN R
---=
=，
||||||4PM PN MN R S ⋅⋅==
08
c =
≥时取等号，
点P
在直线40,4,8422ab a b ab x y a b +-+=
∴
+=∴+=+，
8
R =
∴≥
8==
4
≥
=
， 当且仅当1,6,0a b c =-==或6,1,0a b c ==-=时等号成立， 此时PMN ∆外接圆面积最小为25
8
π. 故答案为:258
π.
4、（2020届浙江省嘉兴市5月模拟）设点(,)P s t 为抛物线2:2(0)C y px p =>上的动点，F 是抛物线的
焦点，当1s =时，54
PF =．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点P 作圆M ：22(2)1x y -+=的切线1l ，2l ，分别交抛物线C 于点,A B ．当1t >时，求PAB △面积的最小值．
【答案】（1）2y x =（2）最小值 【解析】
（1）当1s =时，5||24p PF s =+
=， 所以12
p =，故所求抛物线方程为2y x =. （2）点(),P s t 为抛物线2y x =上的动点，则2s t =，
设过点2(,)P t t 的切线为2()x m y t t =-+， 2
1=， 得22
222(1)2(2)(2)10(*)t m t t m t -+-+--=， 12,m m 是方程（*）式的两个根， 所以21222(2)1
t t m m t -+=-，2123m m t =-， 设()()
221122,,,A y y B y y ，
因直线2:()l x m y t t =-+，与抛物线2:C y x =交于点A ，
则2
12()x m y t t y x
⎧=-+⎨=⎩得22110y m y m t t -+-=， 所以211ty m t t =-，即11y m t =-，
同理22y m t =-，
设直线()1212:AB x y y y y y =+-，
则12||||AB y y =-，
d =，
又12122221
t y y m m t t -+=+-=-， 2
121223()()1
t y y m t m t t -=--=-， 所以212121211|||||()|22
PAB S AB d y y t t y y y y ==--++
2
2222311
t t t t t --=-⨯+--
=令210u t
=->，4(PAB S u u =++
当且仅当2u =，即
t =时，PAB S 取得最小值
5、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点(0,0)O ，(2,0)E ，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F
为线段OE 中点.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点E 的直线交抛物线C 于, A B 两点，4AB AM =，过点A 作抛物线C 的切线l ，N 为切线l 上的点，且MN y ⊥轴，求ABN 面积的最小值.
【答案】（1）2
4y x =；（2）
【解析】
（1）由已知得焦点F 的坐标为(1, 0)， 2p ∴=，
∴抛物线C 的方程为：24y x =；
（2）设直线AB 的方程为：2x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，
联立方程224x my y x
=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2480y my --=， 216320m ∴∆=+>，124y y m +=，128y y =-，
设直线l 方程为：()11y y k x x -=-，
联立方程()
1124y y k x x y x ⎧-=-⎨=⎩，消去x 得：2114440y y y x k k
-+-=， 由相切得：112164440k k y x ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，112110y x k k ∴-+=， 又2114
y x =，21121104y y k k ∴-+=， 2
1102y k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭
，
1
2k y ∴=， ∴直线l 的方程为：11220x y y x -+=，
由4AB AM →→=，得12034x x x +=，12034
y y y +=， 将12034y y y +=代入直线l 方程，解得22
11218
88N y
y y y x +-==， 所以0121
2ABN N S x x y y =-⨯-△
2
12112138
248x x y
y y +-=-⨯-
22
121216
32y y y y ++=⨯-
3
12
32y y -=
3
118
32
y y +
=，
又11
8
y y +≥ 所以42ABN S △
，当且仅当1y =±时，取到等号，
所以ABN
面积的最小值为
6、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线2
14y x =的焦点为F .
()1若点P 为抛物线上异于原点的任一点，过点P 作抛物线的切线交y 轴于点Q ，证明：2PFy PQF ∠=∠. ()2A ，B 是抛物线上两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点()0,4D (AB 不与x 轴平行)，且6AF BF +=.过y 轴上一点E 作直线//m x 轴，且m 被以AD 为直径的圆截得的弦长为定值，求ABE △面积的最大值.
【答案】()1证明见解析； ()2 【解析】
()1由抛物线的方程可得()0,1F ，准线方程：1y =-，设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由抛物线的方程可得2
x y '=，所以在P 处的切线的斜率为：02x k =， 所以在P 处的切线方程为：()200042
x x y x x -=-， 令0x =，可得204
x y =-， 即2040,Q x ⎛-⎫ ⎪⎝
⎭， 所以2014
x FQ =+，而P 到准线的距离2014x d =+，由抛物线的性质可得PF d = 所以PF FQ =，PQF QPF ∠=∠，
可证得：2PFy PQF ∠=∠.
()2设直线AB 的方程为：y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
直线与抛物线联立24y kx m
x y =+⎧⎨=
⎩，
整理可得：2440x kx m --=，
216160k m ∆=+>，
即20k m +>，
124x x k +=，124x x m =-，()21212242y y k x x m k m +=++=+，
所以AB 的中点坐标为：()22,2k k m +，
所以线段AB 的中垂线方程为：()21
2(2)y k m x k k -+=--，
由题意中垂线过()0,4D ，所以2224k m ++=，即222k m +=，① 由抛物线的性质可得：1226AF BF y y +=++=，
所以24226k m ++=，即222k m +=，②
设()0,E b ，()222
114AD x y =+-，
AD 的中点的纵坐标为1
42y +，
所以以AD 为直径的圆与直线m 的相交弦长的平方为：
2
214442y AD b ⎡⎤
+⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥
⎣⎦
()()()2
2
2
1121
14444444y y x b b y ⎡⎤
-+=+--++⎢⎥⎢⎥⎣⎦
()22
1111444434y b b y by b y b b ⎡⎤-+-+=-+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦，
要使以AD 为直径的圆截得的弦长为定值则可得3b =，时相交弦长的平方为定值12，即()0,3E
所以E 到直线AB
的距离为：d = 而弦长
AB =
=，
所以1
232EAB S AB d =⋅==-
将①代入可得2322212ABE S k k =-+=+=
设()6424472f k k k k =-+++为偶函数，
0k >>的情况即可，
()()()()5342222416142126722167f k k k k k k k k k k ++=---=-+=--' 令()0f k '=
，6k =
当06k <<，()0f k '>，()f k 单调递增；
当k 6<<()0f k '<，()f k 单调递减，
所以(k ∈且0k ≠
上，66f f ⎛⎫
⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
为最大值9
，
所以ABE S
的最大值为：212+=。