圆锥曲线中的三角形问题(含解析)

专题12 圆锥曲线中的三角形问题

一、题型选讲

题型一 、由面积求参数或点坐标等问题

例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线2

2y px =（0p >）的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物

线交于点M ，N （点N 在轴上方），点E 为轴上F 右侧的一点，若||||3||NF EF MF ==，MNE S =△则p =（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．9

例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆22221x y C a b

+=：的左、右焦点F 1，F 2分别作斜率为C 上半部分于A ，B 两点，记△AOF 1，△BOF 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1：S 2＝7：5，则椭圆C 离心率为_____．

例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

:143

x y E +=的左、

右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．

（1）求12AF F △的周长；

（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．

题型二、与面积有关的最值问题

例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点()2,1P 斜率为正的直线交椭圆22

1245

x y +=于A ，B 两点.C ，

D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠.则PCD ∆外接圆半径的最小值为（ ）

A ．

5

B ．

5

C ．

2413

D ．

1913

例5、【2020年新高考全国△卷】已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且

AM 的斜率为

1

2

， （1）求C 的方程；

（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.

例6、【2019年高考全国△卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之

积为−

12

.记M 的轨迹为曲线C .

（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交

C 于点G .

（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.

例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知1F ，2F 是椭圆2222:1x y C a b

+=的左右焦点，且椭圆C

，直线:l y kx m =+与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 过1F 时2F AB 周长为8. （△）求椭圆C 的标准方程；

（△）若0OA OB ⋅=，是否存在定圆2

2

2

x y r +=，使得动直线l 与之相切，若存在写出圆的方程，并求出

OAB 的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.

例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线2

4y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点B 在准线l 上的投影为E ，若C 是抛物线上一点，且AC EF ⊥.

（1）证明：直线BE 经过AC 的中点M ；

（2）求ABC ∆面积的最小值及此时直线AC 的方程.

二、达标训练

1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设12,F F 是椭圆22

2:1(02)4x y C m m

+=<<的两个焦点，00(,)

P x y

是C 上一点，且满足12PF F ∆则0||x 的取值范围是____.

2、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线2

2:13

x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线

与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．

32

B ．3

C ．

D ．4

3、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线E ：2

4y x =和直线l ：40x y -+=，P 是直

线上l 一点，过点P 做抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，C 是抛物线上异于A ，B 的任一点，抛物线在C 处的切线与PA ，PB 分别交于M ，N ，则PMN ∆外接圆面积的最小值为______.

4、（2020届浙江省嘉兴市5月模拟）设点(,)P s t 为抛物线2:2(0)C y px p =>上的动点，F 是抛物线的

焦点，当1s =时，5

4

PF =

．

（1）求抛物线C 的方程；

（2）过点P 作圆M ：22

(2)1x y -+=的切线1l ，2l ，分别交抛物线C 于点,A B ．当1t >时，求PAB △面积的最小值．

5、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点(0,0)O ，(2,0)E ，抛物线2

:2(0)C y px p =>的焦点F