椭圆检测题

椭圆检测题

（试卷满分100分，考试时间90分钟）

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m

D ．(±n －m ，0)

解析：选C 化为标准方程是x 2－n ＋y 2

－m ＝1，

∵m

∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －(－n )＝n －m .

2．(2020·长沙一模)椭圆的焦点在x 轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )

A.x 22＋y 2

2＝1 B.x 22＋y 2

＝1 C.x 24＋y 2

2

＝1 D.y 24＋x 2

2

＝1 解析：选C 由条件可知b ＝c ＝2，a ＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2

2＝1.故选C.

3. (2019·北京高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为1

2，则( )

A ．a 2＝2b 2 B.3a 2＝4b 2 C ．a ＝2b

D ．3a ＝4b

解析：选B 因为椭圆的离心率e ＝c a ＝1

2，

所以a 2＝4c 2.

又a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4b 2.

4. 已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 2

3＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆C 上，且∠

F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝ ( )

A ．4 B.6 C ．8

D ．12

解析：选A 由|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2，得3|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝4，故选A.

5．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4，0)，顶点B 在椭圆x 2

25＋

y 2

9＝1上，则sin A ＋sin C sin B

＝( )

A.34

B.23

C.45

D.54

解析：选D 椭圆x 225＋y 2

9＝1中，a ＝5，b ＝3，c ＝4，

故A (－4,0)和C (4,0)是椭圆的两个焦点， 所以|AB |＋|BC |＝2a ＝10，|AC |＝8，由正弦定理得 sin A ＋sin C sin B ＝|AB |＋|BC ||AC |＝108＝5

4

.

6.椭圆以x 轴和y 轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为( )

A.x 24＋y 2

＝1 B.y 216＋x 2

4

＝1 C.x 24＋y 2＝1或y 216＋x 2

4＝1 D.x 24＋y 2＝1或y 24

＋x 2

＝1 解析：选C 由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a ＝2b .因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在x 轴上，则a ＝2，b ＝1，椭圆的标准方程为x 24＋y 2

＝1；若焦点在y 轴上，则a

＝4，b ＝2，椭圆的标准方程为y 216＋x 2

4

＝1，故选C.

7.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：

①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1

a 2；④c 1a 2>a 1c 2.

其中正确式子的序号是( ) A ．①③ B.①④ C ．②③

D ．②④

解析：选D 观察图形可知a 1＋c 1>a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝|PF |，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0知，a 1－c 1c 1a 1c 2，c 1a 1>c 2

a 2，

即④式正确，③式不正确．故选D.

8.已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )

A.3－1

B.2－ 3

C.22

D.32

解析：选A ∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线， ∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ，∵|F 1F 2|＝2c ，

∴|MF 1|＝3c ，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴椭圆离心率e ＝21＋3＝

3－1.

二、填空题（每小题5分，共20分）

9.已知椭圆x 24＋y 2

＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相

交，一个交点为P ，则|PF 2|＝________.

解析：F 1(－3，0)，∵PF 1⊥x 轴，∴P ⎝⎛⎭⎫－3，±1

2， ∴|PF 1|＝12，∴|PF 2|＝4－12＝7

2.

答案：7

2

10．已知椭圆x 24＋y 2

b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于

A ，

B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．

解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2

a ＝3，所以

b 2

＝3，即b ＝ 3.

答案： 3

11．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫b 2＋c 2

有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为________．

解析：由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则⎩⎨⎧

a ＞b

2＋c ，b ＜b

2＋c ，

整理得