微分方程讨论解答

讨论题 2 是否微分方程的通解包含了微分方程的所有解？ 解 微分方程的通解不一定包含了微分方程的所有解，例如方程
y2 4y 0,
有通解 y (x C)2 ，但它不能包含方程的解 y 0
讨论题 3 已知一个四阶常系数线性齐次微分方程的四个线性无关的特解为：
, 求这四阶微分方程及其通解. 解 由y1、y2可知，它们对应的特征根为二重特征根 r 1，
在最后，得出了微分方程及其解以后，还应对其作些分析，看我们得到的结 果是否跟观察问题所得出的结果相符，不能完全符合实际的可能性是存在的，因 为我们在建立微分方程的过程中，从简易的角度考虑，往往滤去一些与问题有关 的次要因素，因此所得到的模型是近似的，如果不符就应该修改数学模型。例如， 在建立质点运动的模型时，可以在忽略阻力的条件下进行，这样得到的模型可能 对某些运动是合适的，但对于主力处于重要地位的运动来说，建立模型时，如将 阻力计算在内，必将更为符合实际。
由y3、y4可知，它们对应的特征根为共轭特征根 r 2i ，所以特征方程为
(r 1)2 (r2 4) 0或r4 2r3 5r2 8r 4 0 它所对应的微分方程为
y4 2y 5y 8y 4y 0
其通解为
y C1 C2x ex C3 cos 2x C4 sin 2x
讨论题 4 容易验证：
但是这两个解的叠合:
和 y (x 1)2 都是微分方程
和
的解，
（其中 C1,C2 都是任意常数）为什么只能满足前一个方程而不能满足后一个方程？ 其原因何在？ 解 这是有关微分方程解的叠加原理的问题，上述两个微分方程在本质上有差异， 前一个方程是线性齐次微分方程，后一个方程是非线性微分方程，我们知道解的 叠加原理只适用于线性齐次微分方程，换句话说，解的叠加性是线性齐次微分方 程所独具的特性，非线性方程不具有此性质，两个解的叠合之所以能满足前一个 方程而不满足后一个方程的原因就在于此。
总的说来，用微分方程解应用题的一般步骤如下， 1、分析问题，建立微分方程，写出定解条件，注意单位的一致； 2、求出微分方程的通解，根据初始条件确定积分常数，包括比例系数； 3、回答问题，必要时对结果作些解释； 4、必要时修改模型，对问题作进一步的探讨。
讨论题 1 是否所有的微分方程都存在 通解？ 答案：不是所有的微分方程都存在 通解，例如方程：
y2 1 0和 y y 4 0
都不存在实函数解，而方程
只有解
y2 y2 0 y0
我们知道，如果微分方程的解中含有不能合并的任意常数的个数与它的阶数相同， 那么这个解称为通解，以上三个方程，有的没有实函数解，有的有解，但解中不 含任意常数，所以上述三个方程都不存在通解。
讨论题 5 怎样用微分方程解应用题？ 解 大家知道，用微分方程解应用题是比较困难的，微分方程本来就是来自自然 科学和工程技术中大量的各式各样应用问题的数学描述，时至今日，微分方程的 应用以进一步深入到了生物医学生态经济等各领域，其中大多数领域我们是不熟 悉的，我们比较熟悉的是一些几何物理力学等方面的一些简单问题。因此，我们 所能解的应用题，也只限于这个范围，但是，通过这方面的训练，可以逐步培养 我们的解题能力。微分方程跟中学里遇到的代数方程，三角方程不同，它是未知 函数及其导数的确定函数与已知函数之间的条件等式，是描述某一事物在任何位 置，任何时刻都必须满足的表达式，即所谓问题的数学模型，它所含的导数都是 实际问题中各式各样的变化率，因此我们必须熟悉导数所能表示的各种变化率， 例如切线的斜率，速度，加速度，角速度，电流等等，除此以外，我们还需熟悉 各个领域中与问题本身有关，并且必须遵循的原理，原则等等。例如，力学中物 体运动所遵循的牛顿第二运动定律，牛顿万有引力定律，热学中的牛顿冷却定律， 以及傅里叶传热定律，弹性变形问题中的胡克定律，流体力学中的托里拆利定律， 阿基米德的原理，电学中的基尔霍夫定律，化学中的质量作用定律，放射性问题 中的衰变率，生物学以及人口问题中的增长率等，还有一些问题常常遵Biblioteka Baidu的原则：
净变化率=输入率-输出率。用微分方程解应用题，关键的一步是根据问题所给的 信息，建立问题的数学模型，即微分方程。如果在问题中出现“变化、改变、增 加、减少、快、慢”等词的时候，那么可能就表明这是跟导数有关的信号。根据 问题的特性，还应考虑问题是否应遵循什么定律或原则，是利用已知的定律，还 是要用微元法去导出微分方程，这样从各个方面去考虑，可能就跟列出所要的微 分方程相差不远了。