初中数学竞赛中“二次根式”问题的解法
初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略(三)
初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（三）安徽省巢湖市教学研究室张永超4.其它方程的解的讨论例11.(2003年四川)若关于的方程只有一个实数解，则= 。
解：去分母得，整理得①。
当=0时，方程①有一个实数根，经检验是原方程的解；当≠0时，方程①是一元二次方程。
因为＞0，因此方程①总有两个实数根，其中一个根是原方程的增根。
而原方程的增根只可能出现在使原方程公分母为0的未知数的取值中，即原方程的增根只可能是=0，或=1。
因为=0不可能是方程①的解，所以只能=1是方程①的解，因此，解得=。
综上所述，当=0，或=时，原方程只有一个实数根。
评注：关于分式方程增根的讨论，本例具有一定的代表性。
与本例类似的问题有：类题. 是什么整数时，方程只有一个实数根？指出所有这样的值，并求出与它相对应的根。
分析：方法与例22类似，答案为=4，或=8。
例12.(2001年我爱数学夏令营)如果满足的实数恰有6个，那么实数的值等于。
解：显然＞0。
原方程可化为。
若＞10，则原方程等价于，可化为，即，此时原方程只有4个解，不符合题意。
若0＜＜10，则原方程等价于，它可以化为如下四个方程：，，，，此时这4个方程都有两个不同的实数解，因此原方程有8不同的解，不符合题意。
若=10，则原方程可化为如下三个方程：，，，每个方程各有两个不同的实数解，所以=10符合题意。
评注：本题的解法有多种，上面的解答应用了分类讨论思想与枚举法。
实际上本题用图象法解答较为简便，方法是：先作函数的图象，并将函数的图象沿轴方向上下平移，不难发现，只有当=10时，函数的图象与函数的图象才有6个不同的交点，即原方程恰有6个解；当10＜＜15或=0时，原方程恰有4个解；当=15时，原方程恰有3个解；当0＜＜10时，原方程恰有8个解。
(如上图所示)延伸拓展：用类似上例的方法可以解决下列问题：类题.(2003年北京)如果满足的实数恰有6个值，则实数的取值范围是( ).A.－6≤≤0；B.0＜≤3；C.3＜＜6；D.6≤＜9.分析：运用分类讨论或图象法可得答案应选C.例13.(2001年武汉)方程的整数解( ).A.不存在；B.仅有1组；C.恰有2组；D.至少有4组。
二次根式方程的解法与化简
二次根式方程的解法与化简二次根式方程是指含有未知数的平方根的方程，这种方程在数学中有着广泛的应用。
解决二次根式方程的问题，需要掌握一定的解法和化简技巧。
一、二次根式方程的基本形式二次根式方程的基本形式为：$$\sqrt{ax^2+bx+c}=d$$其中，a、b、c、d为已知数，x为未知数。
二、求解二次根式方程的一般步骤求解二次根式方程的一般步骤如下：1. 将方程两边进行平方处理，消去方程中的根号。
2. 根据等式性质，化简方程，将方程转化为一般形式的二次方程。
3. 求解一般形式的二次方程，得到未知数的值。
4. 验证求得的解是否满足原方程。
三、二次根式方程的解法举例下面通过举例来展示解决二次根式方程的具体步骤。
例1：求解方程$\sqrt{x^2-3x+2}+1=4$步骤1：将方程两边进行平方，得到$x^2-3x+2=(4-1)^2=9$步骤2：化简方程，得到$x^2-3x+2=9$步骤3：将方程转化为一般形式的二次方程，得到$x^2-3x-7=0$步骤4：求解一般形式的二次方程，可以使用因式分解或求根公式，得到$x_1=4$，$x_2=-1$步骤5：验证解是否满足原方程，将解代入原方程进行验证，验证结果为$\sqrt{4^2-3*4+2}+1=4$，$\sqrt{(-1)^2-3*(-1)+2}+1=4$，验证通过。
因此，方程的解为$x_1=4$，$x_2=-1$例2：求解方程$\sqrt{6x-8}=2$步骤1：将方程两边进行平方，得到$6x-8=2^2=4$步骤2：化简方程，得到$6x-8=4$步骤3：将方程转化为一般形式的二次方程，得到$6x-8-4=0$，即$6x-12=0$步骤4：求解一般形式的二次方程，得到$x=2$步骤5：验证解是否满足原方程，将解代入原方程进行验证，验证结果为$\sqrt{6*2-8}=2$，验证通过。
因此，方程的解为$x=2$四、二次根式方程的化简技巧在解决二次根式方程时，有时会遇到需要进行化简的情况。
二次根式与二次方程的解法
二次根式与二次方程的解法在数学中，二次根式与二次方程是常见的概念和问题。
本文将介绍二次根式以及二次方程的解法，并通过例题展示其应用。
一、二次根式二次根式指的是形如sqrt(a)的表达式，其中a为非负实数。
对于二次根式，我们常常需要进行化简或者求值。
1. 化简二次根式当二次根式中含有多个根号时，我们可以通过合并根号下的项来进行化简。
例题1：化简根号12 + 根号27 - 根号75。
解析：首先，我们将12、27和75分解质因数，得到12 = 2^2 × 3，27 = 3^3，75 = 3 × 5^2。
然后，我们可以合并根号下的项，得到：根号12 + 根号27 - 根号75 = 2根号3 + 3根号3 - 5根号3 = 0。
因此，化简后的结果为0。
2. 求二次根式的值对于给定的二次根式，我们可以直接计算其值。
例题2：计算根号16 + 2根号9 - 3根号1的值。
解析：根号16 + 2根号9 - 3根号1 = 4 + 2 × 3 - 3 × 1 = 10。
因此，该二次根式的值为10。
二、二次方程的解法二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已知实数且a≠0。
我们可以通过以下两种方法来解二次方程：1. 因式分解法当二次方程可以进行因式分解时，我们可以通过因式分解的方法求解。
例题3：解方程x^2 + 3x + 2 = 0。
解析：我们可以将方程进行因式分解，得到(x + 2)(x + 1) = 0。
然后，我们可以令每个因式等于零，得到x + 2 = 0和x + 1 = 0。
解方程得到x = -2和x = -1。
因此，方程的解为x = -2和x = -1。
2. 二次公式法当二次方程无法进行因式分解时，我们可以使用二次公式求解。
例题4：解方程2x^2 + 5x + 3 = 0。
解析：根据二次公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，我们可以计算出方程的解。
竞赛中二次根式的配方技巧
竞赛中二次根式的配方技巧225500江苏省姜堰市励才实验学校肖维松配方法在初中数学竞赛中有着极其广泛的应用．开阔学生视野、启迪学生思维、提高分析问题和解决问题的能力，丰富学生的课外学习内容．本文主要介绍配方技巧在二次根式中的应用．1化简例1（2010年全国初中数学联赛江西省初赛题）化简槡槡槡槡3+5－13+48槡槡6+2的结果是槡A．2B．槡22C．2D．12解因为槡13+48=（槡23）2槡+1+43=（槡1+23）2，5－（槡1+23）槡=4－23=（槡3－1）2，3+（槡3－1）槡=2+3=槡4+232=（槡3+1）22=（槡槡6+22）2，所以，原式=12，故选D ．点评此题是形如A ʃ槡槡B C 形式的复合二次根式化简问题，解题关键是通过三次变形，将分子中二次根式的被开方数配成完全平方，然后化简即可．例2（2009年第20届“希望杯”初二第1试）化简（槡11+47）32+（槡11－47）32，结果等于槡槡槡A．58B．387C．247D．327解原式=（槡7+2ˑ27+22）32+（槡7－2ˑ27+22）32=（槡7+2）[]232+（槡7－2）[]232=（槡7+2）3+（槡7－2）3槡=387，故选B ．点评当问题中的被开方数出现a +槡b c 与a －槡b c 互为有理化因式时，采用配方变成完全平方形式求解较为简便．2计算例3（1996年“东方航空杯”上海市初中数学竞赛题）计算槡26槡槡槡3+2－5．解因为（槡3）2+（槡2）2－（槡5）2=0，所以原式=（槡3）2槡+26+（槡2）2－（槡5）2槡槡槡3+2－5=（槡槡3+2）2－（槡5）2槡槡槡3+2－5=（槡槡槡3+2+5）（槡槡槡3+2－5）槡槡槡3+2－5槡槡槡=3+2+5．点评本题通常利用分母有理化进行计算，但较繁，然而巧用“数0”的特征，来助添项配方的技巧，使原来较难的化简题轻松获解，一气呵成，真正是别具风格，新颖独特．例4（2007年河北省初中数学创新与知识应用竞赛题）计算1+20072+200722008槡2－12008．解原式=（1+20072+2ˑ2007）－2ˑ2007+200722008槡2－12008=（1+2007）2－2ˑ2008ˑ20072008+200722008槡2－12008=（2008－20072008）槡2－12008=2008－20072008－12008=2007．点评本题是通过添项，经过两次变形，配成完全平方数进行计算的，方法巧，过程简，有新意．3求值例5（2008年数学周报初中数学竞赛题）已知实数a ，b ，c 满足条件槡a +b 槡－1+c 槡－2=14（a +b+c +9），则abc =．解将条件变形为（12槡a －1）2+（12b 槡－1－1）243（2011年第8期·初中版）·解题研究·+（12c 槡－2－1）2=0，则由非负数性质，得槡a =2，b 槡－1=2，c 槡－2=2{，故a =4，b =5，c =6{，ʑabc =120．点评解决本题的关键在于对条件等式进行配方，配成三个完全平方式，利用平方数是非负数这一特点，求得a ，b ，c 的值即可．4证明例6（2001年绍兴地区初中数学联赛题）已知n为整数，求证1+1n 2+1（n +1）槡2=1+1n －1n +1．证明左边=（1+1n ）2－2n +1（n +1）槡2=（n +1n ）2－2ˑn +1n ˑ1n +1+（1n +1）槡2=（n +1n －1n +1）槡2=n +1n －1n +1=1+1n －1n +1=右边，ʑ结论成立．点评解决本题的关键是通过两次配方，使命题获证．例7（2001年大连市第八届“育英杯”数学竞赛题）已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且有（槡a +槡b +槡c ）2=3（槡ab +槡ac +槡bc ），求证△ABC 是等边三角形．证明ȵ（槡a +槡b +槡c ）2=3（槡ab +槡ac +槡bc ），ʑ（槡a ）2+（槡b ）2+（槡c ）2+2槡ab +2槡ac +2槡bc =3槡ab +3槡ac +3槡bc ，ʑ（槡a ）2+（槡b ）2+（槡c ）2－槡ab －槡ac －槡bc =0，ʑ2［（槡a ）2+（槡b ）2+（槡c ）2－槡ab －槡ac －槡bc ］=0，ʑ［（槡a ）2－2槡ab +（槡b ）2］+［（槡a ）2－2槡ac+（槡c ）2］+［（槡b ）2－2槡bc +（槡c ）2］=0，ʑ（槡a －槡b ）2+（槡a －槡c ）2+（槡b －槡c ）2=0，ʑ槡a －槡b =0，槡a －槡c =0，槡b －槡c =0{，ʑa =b =c ，故△ABC 是等边三角形．点评本题通过整理配方转化成三个完全平方式的和为零，再利用非负数的性质，导出了a ，b ，c 相等的关系而得证．5纠错例8阅读下列材料，回答问题．对于题目“化简并求值：1a+1a2+a 2槡－2，其中a =15”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答：原式=1a+（1a －a ）槡2=1a +1a－a =2a －a =495．乙的解答：原式=1a+（a －1a ）槡2=1a +a －1a=a =15，谁的解答是错误的，为什么？解乙的解答是错误的．ȵ当a =15时，1a =5，a －1a＜0，故（a －1a ）槡2≠a －1a，而是（a －1a ）槡2=1a－a．点评利用配方技巧将平方式变形为完全平方式，以便于求其算术平方根，这是化简二次根式的一种通法，甲、乙两人都是这么做的．分歧在于a =15，（1a －a ）槡2是等于a －1a ，还是等于1a－a ？因此理解和运用a 槡2=a =a ，（a ≥0）－a．（a ＜0{）是一个难点，应引起重视．（收稿日期：20110501）53·解题研究·（2011年第8期·初中版）。
初中生的数学竞赛备考技巧
本节课的核心素养目标包括：
1.逻辑推理：通过分析二次根式的性质和运算规律，培养学生运用逻辑推理能力解决数学问题的能力。
2.数学建模：引导学生将二次根式应用于实际问题，培养学生的数学建模素养，提高解决实际问题的能力。
3.直观想象：通过图形和实际问题，培养学生的直观想象能力，帮助学生更好地理解和应用二次根式。
简短介绍数学竞赛备考技巧的重要性，为接下来的学习打下基础。
2.数学竞赛备考技巧讲解（10分钟）
目标：让学生了解数学竞赛备考的基本方法和策略。
过程：
讲解数学竞赛备考技巧的定义和作用。
详细介绍数学竞赛备考的基本方法和策略，如分析题型、制定学习计划等。
3.数学竞赛案例分析（20分钟）
目标：通过具体案例，让学生深入了解数学竞赛备考技巧的特性和重要性。
1.知识方面：大部分学生已经掌握了二次根式的基本知识，如二次根式的定义、性质、运算规律等。然而，学生在实际应用这些知识时，可能会遇到一些问题，如对二次根式的运算顺序、运算方法掌握不牢固等。
2.能力方面：学生的数学运算能力较好，但在解决实际问题时，部分学生可能会出现运算失误。此外，学生在解决竞赛题目时，需要具备较强的逻辑思维能力和直观想象能力。对于这些能力方面的问题，需要在教学中加以培养和提高。
教学资源准备
1.教材：确保每位学生都有《人教版数学八年级上册》教材，以便于学生跟随教学进度进行学习和复习。
2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如二次根式的性质和运算规律的示意图、实际应用问题的案例图片等。
3.实验器材：本节课涉及实验操作，需要准备数学模型、计算器、直尺、圆规等实验器材，确保实验器材的完整性和安全性。
-重点知识点：利用坐标系表示二次根式的图像、顶点、开口方向等。
二次根式化简的常用技巧
二次根式化简的常用技巧,也是中考和数学竞赛中的常见题型.对于特殊的二次根式的化简,除了掌握基本概念和运算法则外,还应根据根式的具体结构特征,灵活选用一些特殊的方法和技巧.这样做,不仅可以化难为易、化繁为简,提高解题速度,收到事半功倍的奇效,而且有助于培养学生分析问题、解决问题的能力及探索求新的学习习惯.现就几类常用的方法和技巧举例说明如下,供同学们参考：一、巧用乘法公式例1、化简：)303223)(532(-+++二、巧因式分解例2、化简 2356101528-+--+解析：本题的关键是将分子中的8拆数配方因式分解，进而约分求得结果.三、巧用逆运算例3、化简20092008)322()322(-+ 解析：本题的关键是巧用积的乘方的逆运算：n n n ab b a )(=四、巧拆项、裂项例4、化简42356305627+++++解析：本题的关键是将分子中的62拆成66+，分母因式分解，进而裂项化简 五、巧换元例5、化简 1111-++--+x x x x +1111--+-++x x x x解析：注意到11-++x x 与11--+x x 的和为12+x ，积为2因此若设11-++x x =A ， 11--+x x =B则 A +B =21+x ，2)1()1(=--+=x x AB所以，原式=A B +B A =AB B A 22+=()AB AB B A 22-+ =()222122⨯-+x =x 2 六、巧构方程例6、化简 333解析：本题整体设元可使问题化难为易迅捷获解，设 x = 333两边平方，得 x x 32= 即 0)3(=-x x解得 0,321==x x （不合舍去） 所以 333= 3七、巧取倒数例7、化简 132533515-++--八、换元法：当问题的结构过于复杂，难以直接发现规律时，可以通过换元，将结论的形式转化为简单形式，以便于发现解题规律。
例11 （十二届初二“希望杯”）化简.______3426302352的结果是+--+.126621ac21)a c b (ac 2c b a )c a ac abc (2cb a ,3c ,5b ,2a ：22===+--+=+--+====原式则设解九、配方法：在复合二次根式b m a +中，如果存在x ＞0,y ＞0,使得.，xy 2b m ，.y x )y x (b m a ，，,a y x ,b m xy 2222再检查平方项的形式成一般先拆开在使用此法时写成式子为达到化简目的全平方式则可把被开方数写成完+=+=+=+=解析：此题先取倒数求出倒数的值，从而求得原式的值，可使问题化繁为简，迎刃而解。
二次根式方程的解法
二次根式方程的解法二次根式方程是一种形式为ax^2 + bx + c = 0的二次方程，其中a、b、c为已知实数且a ≠ 0。
解二次根式方程的方法有多种，包括因式分解、配方法、求根公式等，下面将一一介绍这些解法。
1. 因式分解法当二次根式方程可以进行因式分解时，我们可以通过因式分解法求解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，然后令括号内的两个因式分别等于0，即可得到方程的解x = 2和x = 3。
2. 配方法当二次根式方程无法直接因式分解时，可以尝试使用配方法。
配方法的基本思想是通过将方程中的一项拆分为两个相同的项的和或差，从而使方程能够进行因式分解。
例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以将其配方为(x + 2)(x + 4) = 0，然后令括号内的两个因式分别等于0，即可得到方程的解x = -2和x = -4。
3. 求根公式求根公式是解二次根式方程最常用的方法之一，它可以直接求得方程的解。
二次根式方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中±表示两个解，√表示平方根。
通过代入方程的系数a、b、c，即可计算出方程的解。
需要注意的是，方程的解可能是实数或者复数，取决于判别式D = b^2 - 4ac的正负情况：如果D > 0，方程有两个不相等的实数解；如果D = 0，方程有两个相等的实数解；如果D < 0，方程有两个共轭复数解。
除了上述常用的解法，还有其他求解二次根式方程的方法，例如图像法、完全平方公式等。
这些方法在特定情况下可能更加简便有效。
但不管采用何种方法，解二次根式方程的关键是要找到方程的解，即找到使方程成立的x的值。
为了更好地理解和掌握解二次根式方程的方法，我们需要不断进行练习和实践。
在解题过程中，可以利用一些技巧，如观察方程的特征、化简方程等，以便更快地找到方程的解。
二次根式的化简求值(含答案)
第八讲 二次根式的化简求值用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式，有理式和无理式统称代数式，整式和分式统称有理式．有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点．这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形，有时需把待求式化简或变形，有时需把已知条件和待求式同时变形．例题求解 【例l 】已知21=+xx ，那么191322++-++x x x x x x 的值等于 ．(2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛题)思路点拨 通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用xx 1+的代数式表示．【例2】 满足等式2003200320032003=+--+xy y x x y y x 的正整数对(x ，y)的个数是( )A ．1B ．2C ． 3D ． 4 (2003年全国初中数学联赛题)思路点拨 对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解．【例3】已知a 、b 是实数，且1)1)(1(22=++++b b a a ，问a 、b 之间有怎样的关系?请推导．(第20后俄罗斯数学臭林匹克竞赛题改编) 思路点拨 由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．【例4】 已知：aa x 1+= (0<a<1)，求代数式42422362222----+---+÷-+x x xx x x x x x x x 的值． (2002半四川省中考题)思路点拨 视x x x 4,22--为整体，把aa x 1+=平方，移项用含a 代数式表示x x x 4,22--，注意0<a1的制约．【例5】 (1)设a 、b 、c 、d 为正实数，a<b ，c<d ，bc>ad ，有一个三角形的三边长分别为22c a +，22d b +，22)()(c d a b -+-，求此三角形的面积；(第12届“五羊杯”竞赛题)（2）已知a ，b 均为正数，且a+b=2，求U=1422+++b a 的最小值．(2003年北京市竞赛题)思路点拨 (1)显然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)，22c a +的几何意义是以a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；(2)用代数的方法求U 的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求U 的最小值．学历训练1．已知2323-+=x ，2323+-=y ，那么代数式22)()(y x xy y x xy +-++值为 ．2．若41=+a a (0<a<1)，则aa 1-= ． 3．已知123123++=++x x ，则)225(423---÷--x x x x 的值．(2001年武汉市中考题)4．已知a 是34-的小数部分，那么代数式)4()2442(222a a a a aa a a a -⋅++++-+的值为 ． (2003年黄石市中考题)5．若13+=x ，则53)321()32(23+-+++-x x x 的值是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 (2003年河南省竞赛题) 6．已知实数a 满足a a a =-+-20012000，那么22000-a 的值是( ) A ．1999 B ．2000 C ．2001 D ．20027．设9971003+=a ，9991001+=a ,10002=c ，则a 、b 、c 之间的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．c<b<a C ． c<a<b D ．a<c<b8．设a a x -=1，则24x x +的值为( )A ．a a 1-B ．a a -1C ．aa 1+ D ．不能确定 9．若a>0，b>0， 且)5(3)(b a b b a a +=+，求abb a ab b a +-++32的值．10．已知x x =--2)1(1，化简x x x x +++-+414122．11．已知31+=x ，那么2141212---++x x x = ． (2003年“信利杯”全国初中数学竞赛题) 12．已知514=-++a a ，则a 26-= ．13．已知9)12(42+-++x a 的最小值为= ．（“希望杯”邀请赛试题）14．已知2002)2002)(2002(22=++++y y x x ，则58664322+----y x y xy x = ．(第17届江苏省竞赛题) 15．1+a2如果22002+=+b a ，22002-=-b a ，3333c b c b -=+，那么a 3b 3－c 3的值为( ) (2003年武汉市选拔赛试题)A ．20022002B ．2001C ．1D ．016．已知12-=a ，622-=b ，26-=c ，那么a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．c<b<a c<a<b (2002年全国初中数学联赛题)17．当220021+=x 时，代数式20033)200120054(--x x 的值是( ) A ． 0 B ．一1 C ． 1 D ．－ 22003 (2002年绍兴市竞赛题)18．设a 、b 、c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a+999b+1001c 的值是( ) A ．1999 B ． 2000 C ． 2001 D ．不能确定 (2001年全国初中数学联赛试题)19．某船在点O 处测得一小岛上的电视塔A 在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B 处，测得电视塔在船的西北方向，问再向西航行多少海里，船离电视塔最近?20．已知实数 a 、b 满足条件1<=-a b b a ，化简代数式2)1()11(--⋅-b a ba ，将结果表示成不含b 的形式．21．已知a a x 21+=(a>0)，化简：2222-++--+x x x x ．22．已知自然数x 、y 、z 满足等式062=+--z y x ，求x+y+z 的值． (加拿大“奥林匹克”竞赛题)答案：。
中考重点二次根式方程的解法
中考重点二次根式方程的解法一、引言在中考数学考试中，根式方程是一个重点考察的内容。
其中，二次根式方程常常是学生们较为容易忽视或者容易出错的部分。
因此，掌握二次根式方程的解法对于提高解题能力和应对中考考试非常重要。
本文将介绍几种常见的解二次根式方程的方法，希望能帮助广大学生顺利解决这类题目。
二、完全平方式解法完全平方式是解二次根式方程常用的一种解法。
当我们遇到二次根式方程时，首先要判断是否可以进行完全平方式的转化。
具体步骤如下：1. 将二次根式的根式部分的系数提取出来，令其为 $a$。
2. 将二次根式方程左右两边进行平方操作，消去根号。
3. 得到一个二次方程，化简并移项，变成 $ax^2 + bx + c = 0$ 的形式。
4. 利用一元二次方程的解根公式求解。
例题：解方程 $\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+1} = \sqrt{3x-2}$解法：1. 提取根式部分系数，得到 $a = \sqrt{2}$。
2. 平方消去根号，得到方程 $(2x-3) + 2\sqrt{(2x-3)(x+1)} + (x+1) =3x-2$。
3. 化简并移项，得到方程 $2\sqrt{(2x-3)(x+1)} = x$。
4. 继续化简，得到方程 $4(2x-3)(x+1) = x^2$。
5. 展开并移项，得到方程 $4x^2 - 6x - 9 = x^2$。
6. 继续移项，得到方程 $3x^2 - 6x - 9 = 0$。
7. 使用一元二次方程解根公式，得到 $x_1 = 3, x_2 = -1$。
8. 检验解，发现两个解都满足原方程，因此得出结论。
三、区间取值法解法在解二次根式方程时，有些情况下无法直接使用完全平方式转化。
此时，可以考虑使用区间取值法进行求解。
具体步骤如下：1. 对于含有根号的二次根式方程，将根式部分的取值范围找出。
2. 针对不同的取值范围，进行分段并分类讨论。
3. 将二次根式方程转化成二次方程，求解得到每个取值范围内的解。
处理二次根式的方法
处理二次根式的方法
申建春
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1995(000)005
【摘要】(本讲适合初中) 数学竞赛中,有关二次根式的问题很多,本文仅就有关二次根式问题的解法向读者作一介绍。
1 定义法
【总页数】3页(P3-5)
【作者】申建春
【作者单位】湖南邵东杨桥杨塘中学 422827
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.最简二次根式与同类二次根式的判别方法小结 [J], 李开铜
2.例谈二次根式比较大小的方法 [J], 张永军
3.二次根式大小比较的几种方法 [J], 万元华;丁冬
4.解决二次根式问题中的数学思想方法 [J], 陈亮
5.“二次根式”中的数学思想方法 [J], 许根云
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
专题42 二次根式 初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练含解析卷
专题42 二次根式一、二次根式的性质与化简【学霸笔记】1. 二次根式的性质（1；（2.2. 二次根式运算法则（1；（2【典例】如果式子√(x −1)2+|x ﹣2|化简的结果为2x ﹣3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞0【解答】解：∵√(x −1)2+|x ﹣2|＝|x ﹣1|+|x ﹣2|，又∵化简的结果为2x ﹣3，∴{x −1≥0x −2≥0， 解得x ≥2．故选：B ．【巩固】实数a 、b 满足√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，则a 2+b 2的最大值为 ．二、二次根式分母有理化【典例】已知x =√3+√2√3−√2，y =√3−√2√3+√2，则x y +y x = ．【解答】解：把x 、y 进行分母有理化可得：x =√3+√2√3−√2=√3+√2)(√3+√2)(√3−√2)(√3+√2)=5+2√6， y =√3−√2√3+√2=√3−√2)(√3−√2)(√3−√2)(√3+√2)=5﹣2√6， ∴x y +y x =x 2+y 2xy =√6)2√6)2(5+2√6)(5−2√6)=98．故答案为：98．【巩固】已知x=√2020−√2019，则x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020的值为（）A．0B．1C．√2019D．√2020三、二次根式中的整数和小数部分应用【典例】已知√5+2的整数部分为a，小数部分为b，求a2−4b2a2+4ab+4b2的值．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜√5＜3，∴4＜√5+2＜5，∴a＝4，b=√5−2；∴a2−4b2a2+4ab+4b2 =(a−2b)(a+2b)(a+2b)2=a−2ba+2b=4−2√5+44+2√5−4=45√5−1．【巩固】设a为√3+√5√3−√5的小数部分，b为√6+3√3√6−3√32 b −1a=．巩固练习1．若实数a，b，c满足等式2√a+3|b|=6，4√a−9|b|=6c，则c可能取的最大值为（）A．0B．1C．2D．32√3+2√2−√3−2√2）A．√2B．−√2C．2D．﹣23．如果实数x，y满足（√x2+1+x）（√y2+1+y）＝1，那么x+y值为（）A．0B．﹣1C．1D．24．小明在解方程√24−x−√8−x=2时采用了下面的方法：由(√24−x−√8−x)(√24−x+√8−x)=(√24−x)2−(√8−x)2=（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，又有√24−x−√8−x=2，可得√24−x+√8−x=8，将这两式相加可得{√24−x=5√8−x=3，将√24−x=5两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．请你学习小明的方法，解决下列问题：（1）已知√22−a2−√10−a2=3√2，则√22−a2+√10−a2的值为．（2）解方程√4x2+6x−5+√4x2−2x−5=4x，得方程的解为．5．已知整数x、y满足：1＜x＜y＜100，且x√y+y√x−√2009x−√2009y+√2009xy=2009则：√x+y+10=．6．已知x=b−√b2−4122（b＞21），则x2﹣bx+103＝．7．已知x＝3+2√2，求：x2+1x2+6x+6x+7的值．8．计算：（1）2√5（4√20−3√45+2√5）；（2）√3−1+√27−（√3−π）0+3﹣2（3）若a=√5+1，b=√5−1，求a2b+ab2的值．（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|9．已知x﹣y＝6，√x2−xy+√xy−y2=9，求√x2−xy−√xy−y2的值．10．若m满足关系√3x+5y−2−m+√2x+3y−m=√x−199+y⋅√199−x−y，试求m的值．11．已知x =√n+1−√n√n+1+√n y =√n+1+√n√n+1−√n （n 为自然数），问：是否存在自然数n ，使代数式19x 2+36xy +19y 2的值为1998？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由．专题42 二次根式一、二次根式的性质与化简【学霸笔记】1. 二次根式的性质（1；（2.2. 二次根式运算法则（1；（2【典例】如果式子√(x −1)2+|x ﹣2|化简的结果为2x ﹣3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞0【解答】解：∵√(x −1)2+|x ﹣2|＝|x ﹣1|+|x ﹣2|，又∵化简的结果为2x ﹣3，∴{x −1≥0x −2≥0， 解得x ≥2．故选：B ．【巩固】实数a 、b 满足√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，则a 2+b 2的最大值为 ．【解答】解：∵√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|＝10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|+|b +4|+|b ﹣2|＝10，∵|a ﹣1|+|a ﹣5|≥4，|b +4|+|b ﹣2|≥6，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|＝4，|b +4|+|b ﹣2|＝6，∴1≤a≤5，﹣4≤b≤2，∴a2+b2的最大值为：52+（﹣4）2＝41．故答案为：41．二、二次根式分母有理化【典例】已知x=√3+√2√3−√2，y=√3−√2√3+√2，则xy+yx=．【解答】解：把x、y进行分母有理化可得：x=√3+√2√3−√2=(√3+√2)(√3+√2)(√3−√2)(√3+√2)=5+2√6，y=√3−√2√3+√2=√3−√2)(√3−√2)(√3−√2)(√3+√2)=5﹣2√6，∴xy +yx=x2+y2xy=√6)2√6)2(5+2√6)(5−2√6)=98．故答案为：98．【巩固】已知x=√2020−√2019，则x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020的值为（）A．0B．1C．√2019D．√2020【解答】解：∵x=√2020−√2019=√2020+√2019，∴x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020＝x5（x﹣2√2019）﹣x4+x2（x﹣2√2020）+2x−√2020＝x5（√2020+√2019−2√2019）﹣x4+x2（√2020+√2019−2√2020）+2x−√2020＝x5（√2020−√2019）﹣x4+x2（√2019−√2020）+2x−√2020＝x4[x（√2020−√2019）﹣1]+x2（√2019−√2020）+2x−√2020＝0+x（√2020+√2019）（√2019−√2020）+2x−√2020＝﹣x+2x−√2020＝x−√2020=√2019．故选：C．三、二次根式中的整数和小数部分应用【典例】已知√5+2的整数部分为a，小数部分为b，求a2−4b2a2+4ab+4b2的值．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜√5＜3，∴4＜√5+2＜5，∴a＝4，b=√5−2；∴a2−4b2a2+4ab+4b2 =(a−2b)(a+2b)(a+2b)2=a−2ba+2b=4−2√5+44+2√5−4=45√5−1．【巩固】设a为√3+√5√3−√5的小数部分，b为√6+3√3√6−3√32 b −1a=．【解答】解：∵√3+√5−√3−√5=√6+2√52−√6−2√52=√5+1√2√5−1√2=√2，∴a的小数部分=√2−1；∵√6+3√3−√6−3√3=√12+6√32−√12−6√32=√3+3√23−√3√2=√6，∴b的小数部分=√6−2，∴2b −1a=√6−2−√2−1=√6+2−√2−1=√6−√2+1．故答案为：√6−√2+1．巩固练习1．若实数a，b，c满足等式2√a+3|b|=6，4√a−9|b|=6c，则c可能取的最大值为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由两个已知等式可得，√a=35(c+3)，|b|=25(2−c)，而|b|≥0，所以c≤2．当c ＝2时，可得a ＝9，b ＝0，满足已知等式．所以c 可能取的最大值为2．故选：C ．2．化简√3+2√2√17+12√2−√3−2√2√17−12√2的结果是（ ） A ．√2 B ．−√2C ．2D ．﹣2 【解答】解：3+2√2=(√2+1)2，3−2√2=(√2−1)2；17+12√2=(3+2√2)2，17−12√2=(3−2√2)2，因此，原式=√3+2√2√3−2√2=√2+1√2−1=−2． 故选：D ．3．如果实数x ，y 满足（√x 2+1+x ）（√y 2+1+y ）＝1，那么x +y 值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．2 【解答】解：∵（√x 2+1+x ）（√x 2+1−x ）＝x 2+1﹣x 2＝1，（√y 2+1+y ）（√y 2+1−y ）＝y 2+1﹣y 2＝1又∵（√x 2+1+x ）（√y 2+1+y ）＝1，∴{√x 2+1−x =√y 2+1+y①√y 2+1−y =√x 2+1+x②， ①+②得：﹣x ﹣y ＝x +y ，∴2（x +y ）＝0，∴x +y ＝0．故选：A ．4．小明在解方程√24−x −√8−x =2时采用了下面的方法：由(√24−x −√8−x)(√24−x +√8−x)=(√24−x)2−(√8−x)2=（24﹣x ）﹣（8﹣x ）＝16，又有√24−x −√8−x =2，可得√24−x +√8−x =8，将这两式相加可得{√24−x =5√8−x =3，将√24−x =5两边平方可解得x ＝﹣1，经检验x ＝﹣1是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： （1）已知√22−a 2−√10−a 2=3√2，则√22−a 2+√10−a 2的值为 ．（2）解方程√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5=4x ，得方程的解为 ．【解答】解：（1）（√22−a 2+√10−a 2）（√22−a 2−√10−a 2）＝22﹣a 2﹣（10﹣a 2）＝12，∵√22−a 2−√10−a 2=3√2，∴√22−a 2+√10−a 2=2√2，故答案为：2√2；（2）（√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5）（√4x 2+6x −5−√4x 2−2x −5）＝（4x 2+6x ﹣5）﹣（4x 2﹣2x ﹣5）＝8x ，∵√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5=4x ，∴√4x 2+6x −5−√4x 2−2x −5=2，将这两式相加可得√4x 2+6x −5=2x +1，解得x ＝3，经检验，x ＝3是原方程的解．∴原方程的解为：x ＝3，故答案为：x ＝3．5．已知整数x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100，且x √y +y √x −√2009x −√2009y +√2009xy =2009 则：√x +y +10= ．【解答】解：∵x √y +y √x −√2009x −√2009y +√2009xy =2009 ∴√xy （√x +√y ）−√2009（√x +√y ）+√2009xy −√20092=0 （√x +√y +√2009）（√xy −√2009）＝0∵1＜x ＜y ＜100∴√xy −√2009=0∴xy ＝2009＝7×7×41＝49×41∵整数x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100∴x ＝41，y ＝49∴√x +y +10=√41+49+10=√100=10． 故本题答案为：10．6．已知x =b−√b 2−4122（b ＞21），则x 2﹣bx +103＝ ． 【解答】解：将x =b−√b 2−4122代入x 2﹣bx +103， x 2﹣bx +103＝（b−√b 2−4122）2﹣b •b−√b 2−4122+103 =b 2−2b √b 2−412+b 2−4124−b 2−2b √b 2−412+b 2−4124＝0，故答案为0．7．已知x＝3+2√2，求：x2+1x2+6x+6x+7的值．【解答】解：原式＝x2+2+1x2+6（x+1x）+5＝（x+1x）2+6（x+1x）+5＝（x+1x+1）（x+1x+5），∵x＝3+2√2，∴1x =3+2√2=3﹣2√2，∴x+1x=3+2√2+3﹣2√2=6．∴原式＝（6+1）×（6+5）＝77．8．计算：（1）2√5（4√20−3√45+2√5）；（2）√3−1+√27−（√3−π）0+3﹣2（3）若a=√5+1，b=√5−1，求a2b+ab2的值．（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|【解答】解：（1）原式＝2√5（8√5−9√5+2√5）＝2√5×√5＝10；（2）原式=√3+1+3√3−1+1 9＝4√3+1 9；（3）∵a=√5+1，b=√5−1，∴a+b＝2√5，ab＝4，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝4×2√5＝8√5；（4）由图可知：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0．∴√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c＝﹣a．9．已知x﹣y＝6，√x2−xy+√xy−y2=9，求√x2−xy−√xy−y2的值．【解答】解：∵x ﹣y ＝6，∴(√x +√y)(√x −√y)=6，∴√x +√y =√x−√y ， ∵√x 2−xy +√xy −y 2=√x •√x −y +√y •√x −y=√x −y （√x +√y ）＝9， ∴√6√x−√y =9， 即√x −√y =6√69， ∴√x 2−xy −√xy −y 2=√x −y （√x −√y ）=√6×6√69 ＝4．10．若m 满足关系√3x +5y −2−m +√2x +3y −m =√x −199+y ⋅√199−x −y ，试求m 的值．【解答】解：根据题意得：{x −199+y ≥0199−x −y ≥0， 则x +y ﹣199＝0，即√3x +5y −2−m +√2x +3y −m =0，则{x +y −199=03x +5y −2−m =02x +3y −m =0，解得{x =396y =−197m =201．故m ＝201．11．已知x =√n+1−√n √n+1+√n y =√n+1+√n√n+1−√n （n 为自然数），问：是否存在自然数n ，使代数式19x 2+36xy +19y 2的值为1 998？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由． 【解答】解：不存在．∵x +y =√n+1−√n√n+1+√n √n+1+√n√n+1−√n =(√n +1−√n)2+(√n +1+√n)2＝n +1﹣2√n(n +1)+n +n +1+n +2√n(n +1)=4n +2．xy =√n+1−√n√n+1+√n •√n+1+√n=1．假设存在n使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998．即19x2+36xy+19y2＝1998．19x2+19y2＝1962，（x2+y2）=1962 19．（x+y）2=196219+3819=200019.x+y=√200019=20√9519．由已知条件，得x+y＝2（2n+1）．∵n为自然数，∴2（2n+1）为偶数，∴x+y=20√9519不为整数．∴不存在这样的自然数n．。
竞赛中二次根式的计算技巧_于志洪
2 yz = 4 5 2 zx = 4 15 所以 º @ » @ ¼ , 得 xy z = 240 , 所以 xyz = 4 15. 用 ½ 分别除以 º 、 »、 ¼ ,得 x = 12 ,y = 4 ,z = 5 .
xy = 2 2 2 2 因为 (x + y ) = (x + y ) + 2xy = 9 , 又 x+ y > 0 , 所以 x + y = 3 , 即 3+ 2 2+ 6- 4 2 = 3 . 练习题 6 ( 2007 年扬州市初中数学竞赛 题 ) 化简 8- 2 8+ 2 10 + 2 5 +
2
63 +
. 提示 : 分子提取 2 , 分母提取 3 . 答案 : 6 . 3
因为 x > 0 , 所以 x = 3 2 . 故选 ( A ). ( 2006 年安徽省初中数学竞赛 3+ 24
3 的值是 (
)
八、 巧用待定系数法 例 8 ( 2008 年广东省湛江市初中数学竞 赛题 ) 化简 : 21 - 4 5 + 8 3 - 4 15.
初中数学竞赛代数部分教程文件
（9）多项式的带余除法： 若多项式f(x)除以g(x)，所得商式为q(x),余式为
r(x),则 f(x)=g(x)q(x)+r(x)
（10）因式分解的方法：
•提公因式法 •运用公式法 •分组分解法 •十字相乘法 •双十字相乘法 •待定系数法 •添项、拆项、配方法 •换元法
例 （ 1 ） x 2 3 x y 1 0 y 2 x 9 y 2
（2） k 为何值时， x 2 2xy ky2 3x 5y 2
能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式
（ 3 ） (x 2 3 x 2 )(4 x 2 8 x 3 ) 9 0
（11）幂指数运算性质：
amanamn am n amn
abn anbn
amanamn
2、分式的知识点
（1）基本公式
【例】(2000 年全国初中数学联赛题)
已知 a 3 4 3 2 3 1 ，求 3 3 1 的值. a a2 a3
练习、已知： x2
x 1
0，求 x 4
1 x4
的值。
练习.如果
a2
3a
1
0
,那么
a3 a6
1
的值是___________.
练习、若 a b 1 3,b c 1 3,
➢ a c b c a b c c 0；
➢
n
a
an a 0。
（4）设 a,b,c,d,m 有理数，且 m 不是完全平方数，则
当且仅当 a c，b d 时， a b m c d m 。
( 5 ) 若 a bc 0 ， 则 a 0 ,b 0
（6）二次根式的求值 基本思路：先将二次根式化为最简根式 再作加减乘除运算 特殊的方法、技巧：换元法、拆项法、因式
初中数学重点梳理：根式及其运算
根式及其运算知识定位根式是初中数学的重要内容之一，也是近年各类初中数学竞赛中常常涉及到的知识点.解此类有关根式计算题的关键在于将无理式进行有理化.但是在很多竞赛题中我们遇到的计算式子却非常复杂和灵活，其中对根式的计算要求技巧性较强，因而计算的难度较大.在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．知识梳理二次根式的概念：式子a (a ≥0)叫二次根式。
二次根式的性质： （1）()()02≥=a a a ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==00002a ,a a ,a ,a a a二次根式的运算法则：（1）c )b a (c b c a ±=± (0≥c )； （2）ab b a =⋅ (00≥≥b ,a )；（3）baba =(00>≥b ,a )； （4）()()0≥=a a a m m若0>>b a ，则b a >。
设m ,d ,c ,b ,a 是有理数,且m 不是完全平方数，则当且仅当d b ,c a ==时，m d c m b a +=+ 。
形如b a x +=，b a y -=的这两个根式互称为共轭根式。
当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例题精讲◆专题一：共轭因式法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】设0>m ，m x x =--+13，则代数式13-++x x 的值是 (用m 表示).【答案】m4 【解析】观察此题中13--+x x 与13-++x x 恰是共轭因式，因此想到将两式相乘得：()()()()413131322=--+=-++•--+x x x x x x即()433=-++•x x m ,所以mx x 413=-++. 点评：我们把形如b a +、b a -的两个根式互称为共轭因式,共轭因式相乘就恰好将无理式化为有理式，从而此题轻松解决. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2◆专题二：有理化法【试题来源】2008年全国初中数学联赛第一试 【题目】已知实数x 、y 满足()()20082008200822=----y y x x ，则2007332322--+-y x y x 的值为( )【选项】(A)－2008 (B) 2008 (C)－1 (D)1 【答案】D 【解析】由已知()()20082008200822=----y y x x 可得：200820081200822--=--y y x x然后将等式左边分子有理化得：()()200820082008200820082222--=-+-+--y y x x x x x x()20082008200820082222--=-+--y y x x x x200820082008200822--=-+y y x x∴ 2008200822--=-+y y x x ①同理可得：2008200822-+=--y y x x ②由①、②得：x = y ∴ ()2008200822=--x x变形得： 20082008200822--=--x x x x将等式的左边分子有理化得：200820082008200822--=-+x x x x∴ 2008200822-+=--x x x x∴020082=-x ,即20082=x∴原式=120072008200720073323222=-=-=--+-x x x x x .故选D.点评：有理化法是解二次根式计算题的常用方法，就其形式来说可分为分母有理化和分子有理化两类.具体方法是在分式的分母(或分子)同时乘以原二次根式的有理化因式，从而达到化无理式为有理式的目的. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2◆专题三：因式分解法常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式 【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】计算-++++12862231286223+---，得 .【答案】2-【解析】此题分子、分母均含根式，如果按照通常的做法是先分母有理化，这样计算较繁.若观察到分母可进行因式分解，先将分母因式分解后，再化简.原式()()32432223++++=()()32432223-----()()423223+++=()()423223----421421-++=222222-++-=2-=点评：从此题我们可得到这样的启发：当分子分母均含有根式时，可用因式分解法先将式子化简，再进行计算，这样能起到化繁为简的作用. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】【题目】化简：2008200820082008100435715337++⎪⎭⎫⎝⎛，得到 . 【答案】1 【解析】解:原式.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】化简：)23)(36(23346++++,最后得_________【答案】23+【解析】原式633332(32)(63)(63)(32)(63)(32)(32)(63)++===+++++++62【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题四：换元法【试题来源】2004年全国初中数学联赛 【题目】已知8a ≥1, 则333183131831-+-+-++a a a a a a 的值是( )【选项】 (A)1 (B) 23a (C)a 8 (D)不能确定【答案】A【解析】解析：设318-=a x ,则8132+=x a ,83312+=+x a原式()3228313x x x +++=()3228313xx x +-++3238133+++=x x x 3238133+-+-+x x x ()3381+=x ()3381x -+2121x x -++==1 选A.点评：此题若用常规方法根本无法入手进行解答，此处换元法的运用妙在能达到化无理式为有理式的目的，从而使问题迎刃而解. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2◆专题五：裂项法【试题来源】2003年第十四届“希望杯”全国数学竞赛第二试 【题目】对于正整数n,有111111+-=+++n nn n n )n (，若某个正整数k 满足32111433413223121121=+++++++++k k k )k (,则k=______. 【答案】8【解析】解析：由公式111111+-=+++n nn n n )n (，因此有()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k32111=+-k 3111=+∴k 8=∴k点评：裂项法在很多有关分式和分数的计算题中经常用到，我们仔细观察会发现能应用此方法进行计算的式子都有着某种特殊的规律.常用的裂项形式主要有以下几种： (1)()11111+-=+n n n n .如：200820071431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 200812007131212111-++-+-= 200811-= 20082007=(2)()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+k n n k k n n 1111.如：2008200511071741411⨯++⨯+⨯+⨯ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-⨯=2008120051714141131 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=20081131 2008200731⨯= 2008669=(3)111111+-=+++n n n n n )n (.如本题中()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k .【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】4947474917557153351331++++++++【答案】73 【解析】考虑一般情形(21)(21)(21)(21)2121(2121)n n n n n n n n ==+-+-++-++-(2121)(2121)1(22121(2121)221212121n n n n n n n n n n n n +--+--===+-+-++--+原式11113{()(()2217713354749=+++-=-=【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题六：条件转化法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】已知x ＝22＋1，则分式15119232----x x x x 的值等于__________．【答案】2【解析】由x ＝22＋1得：221=-x两边平方得：()()22221=-x ,即722+=x x所以原式()()1511729272--+--+=x x x x x 154222---=x x()1547222--+-=x x12--==2点评：此题先通过乘方的方法将已知条件中的无理式x ＝22＋1，转化为有理式722+=x x .再代入所求代数式中，通过逐步降次，从而求得代数式的值，因此这种方法称为条件转化法. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】设215-=a ,则=-+---+aa a a a a a 3234522 . 【答案】－2 【解析】解:,,因此，本题正确答案是-2.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题七：配方及平方法【试题来源】2008年第十九届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x ，得 .【答案】12-x【解析】法一:解析：应用配方法可得：()112112+-+-=-+x x x x()2211121+•-+-=x x()211+-=x 同理可得：=--12x x ()211--x∴1212--+-+x x x x()()221111--++-=x x1111--++-=x x∵2>x∴原式12-=x .点评：配方法是化简多重根式的常用方法.其根本做法是把被开方式b a 2±配方成完全平方式()2y x ±的形式()0,0≥≥y x ,即是要设法找到两个正数x ，y(x ＞y)，使x+y=a ，xy=b ，则()y x yx xy y x b a ±=±=±+=±222,其中(x ＞y).法二: 对于上面的例子还可以进行另一种思考：由于12-+x x 与12--x x 互为有理化因式(共轭因式)，则有()()2222121212-=--=--•-+x x x x x x x ,因此原式平方后是一个有理式，所以上题还可以用平方法. 解析：设1212--+-+=x x x x y ，则y ＞0.将上式两边分别平方得：()()1212122122--+--•-++-+=x x x x x x x x y()221222--+=x x x44222+-+=x x x ()2222-+=x x222-+=x x∵2>x ，∴442-=x y ∴1244-=-=x x y点评：解答含根式的计算题，关键在于如何将无理式转化成有理式.如果原无理式直接平方后就能从无理式转化为有理式，那么我们不妨用平方法，这种方法的解题思路更加自然流畅，计算过程也更加简便易行.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】武汉市选拔赛试题 【题目】化简22)1(111+++n n ，所得的结果为（ ）A ．1111+++n nB ．1111++-n nC ．1111+-+n nD ．1111+--n n【答案】C【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．原式222221*********(1)()()(1)(1)11n n n n n n n n n n n n n ++++-+-+=-=-++++选（C ）【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题八：巧用乘法公式解题【试题来源】2004年第十五届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】对于任意的自然数n ，有f(n)=323232121121+-+-+++n n n n n , 则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)＝ . 【答案】5【解析】注意到f(n)表达式的分母可整理成：()()2333231111-+-•+++n n n n ，形如22b ab a ++的形式，类似于立方差公式的一部份，因此考虑用立方差公式. 由立方差公式：()()2233bab a b a b a ++-=-有()()333311--+n n()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++--+=23332333111111n n n n n n即()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+=233323331111112n n n n n n∴1=()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+2333233311111121n n n n n n将其代入f(n)表达式得：f(n ）=()()()()()23332323332333111111111121-+-•+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+•n n n n n n n n n n=()331121--+•n n∴f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)()()()()33333333998100021462124210221-•++-•+-•+-•=()3333333310009989984422021+-++-+-+-= 1021⨯= 5=点评：此题用常规方法无法入手进行解答，已知条件中的表达式也比较复杂，这时我们从表达式的形式上进行分析，得到22b ab a ++的形式，自然联想到立方差公式，然后运用乘法公式将条件进行转化，从而找到解决问题的捷径. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3◆专题九：活用整数、根式的性质解题【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】计算2200612008200720062005-+⨯⨯⨯的结果是__________． 【答案】2005【解析】：注意到此题中2005、2006、2007、2008是四个连续的正整数，而四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数.因此本题有了如下的简便解法：原式()()()2200612200612006200612006-++⨯+⨯⨯-==()[]()()[]2200612200612006120062006-++⨯-⨯+⨯=()()2222006122006200620062006-+-+⨯+()()22222006120062006220062006-++-+= ()2222006120062006--+=222006120062006--+==2005点评：正整数具有这样的性质“四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数”，而本题恰是灵活运用了正整数的这一性质进行解答的.我们可以看到正整数的某些性质恰是解决有关正整数问题的金钥匙.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】重庆市竞赛题【题目】已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ．【答案】6【解析】因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．二次根式有如下重要性质：(1)0≥a ，说明了a 与a 、n a 2一样都是非负数；(2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；(3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．提示：22222205420,262045x x x y x y x x⎧-≥⎪⎪-→-==→+=⎨-⎪≥⎪-⎩ 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3习题演练【试题来源】 【题目】计算：（11014152110141521+--+++；（23151026332185231--+-+++【答案】（1）562- （2）233-【解析】（1）原式101415212(57)3(57)(23)(57)101415212(57)3(57)(23)(57)+--+-+-+==++++++++(23)(32)(526)265==--=（2315102633218(31510)(1826)(332)52315231--+-+-+-+-=++++5(332)23(332)(332)(332)(5231)33252315231-+-+--++===++++【知识点】根式及其运算 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】“希望杯”邀请赛试题 【题目】计算223810++ 【答案】24+【解析】原式222108122(2)108(12)108(12)=+++++++2224242(2)(42)42=++=+=【知识点】根式及其运算 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4【试题来源】湖北省孝感市“英才杯”竞赛题 【题目】计算1212--+-+a a a a 【答案】见解析【解析】通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就a 的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．原式222222121(1)121(1)(11)(11)a a a a a a =+-+---+-=+---2111112112a a a a a a a ⎧-≤≤≤⎪=--=⎨-->⎪⎩ 当1，即12时 当>1，即时 【知识点】根式及其运算 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】山东省竞赛题【题目】已知521332412---=----+c c b a b a ，求c b a ++的值． 【答案】20【解析】思路点拨 已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为：222221[(1)211][(2)2212][(3)2339]2a ab ac c ---+---+=----+即2221(11)(22)]33)02a b c -+-+-=，因此有110a -=，得2a =；220b -=，得6b =330c -=，得12c =。
【中考冲刺】初三数学培优专题 01 二次根式的化简与求值(含答案)(难)
二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.=x , y , n 都是正整数）例题与求解【例1】 当x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、20032-（绍兴市竞赛试题）【例2】 化简（1(ba b ab b -÷-- （黄冈市中考试题）（2（五城市联赛试题）（3（北京市竞赛试题）（4（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y==想一想：设x=求432326218237515x x x xx x x--++-++的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例5】 （1的最小值.（2的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1）为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例6】 设2)m a =≤≤，求1098747m m m m m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.化简：7()3“希望杯”邀请赛试题）2.若x y x y+=-=，则xy＝_____(北京市竞赛试题)3.+（“希望杯”邀请赛试题）4. 若满足0＜x＜y=x，y）是_______（上海市竞赛试题）5.2x－3，则x的取值范围是（）A. x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞06）A．1B C. D. 5（全国初中数学联赛试题）7．a，b，c为有理数，且等式a+=成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999 B. 2000 C. 2001D. 不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1（2（3（4（天津市竞赛试题）（5（“希望杯”邀请赛试题）10、设52x=，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x++++的值.（“希望杯”邀请赛试题）117x=，求x的值.12、设x x ==（n 为自然数），当n 为何值，代数式221912319x xy y ++的 值为1985？B 级1. 已知3312________________x y x xy y ==++=则. (四川省竞赛试题)2. 已知实数x ，y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3. 已知42______1x x x ==++2x 那么. （重庆市竞赛试题）4. a =那么23331a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题）5. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（ ）A . 2B . 4C . 6D . 8(全国初中数学联赛试题)6． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b(全国初中数学联赛试题)7.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（ ）A . 1B . 2C . 3D . 4（陕西省竞赛试题）9． 把(1)a - ）A .B C. D . （武汉市调考题）10、化简：（1 （“希望杯”邀请赛试题）（210099++（新加坡中学生竞赛试题）（3（山东省竞赛试题）（4 （太原市竞赛试题）11、设01,x << 1≤<.（“五羊杯”竞赛试题）12的最大值.13、已知a , b , c为有理数，证明：222a b c a b c ++++为整数.二次根式的化简与求值例1 A 提示：由条件得4x 2－4x －2 001＝0． 例2 (1)原式＝()aba b a b++()1ba b b a b⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+-⎣⎦·a b b -＝2ab (2)原式＝()()()()257357257357+-++++＝26－5．(3)原式＝()()()()633326332+-+++＝316332+++＝62-；（4）原式＝()()()5332233323325231-+-+-++＝332-．例3 x ＋y ＝26，xy ＝1，于是x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝22，x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)＝426，x 6＋y 6＝(x 3＋y 3)2－2x 3y 3＝10582．∵0＜65-＜1，从而0＜()665-＜1，故10 581＜()665+＜10582． 例4 x ＋21x +＝211y y ++＝21y +－y …①；同理，y ＋21y +＝211x x ++＝21x +－x …②．由①＋②得2x ＝－2y ，x ＋y ＝0． 例5 (1)构造如图所示图形，PA ＝24x +，PB ＝()2129x -+．作A 关于l 的对称点A '，连A 'B 交l 于P ，则A 'B ＝22125+＝13为所求代数式的最小值． (2)设y ＝()2245x -+＋()2223x -+，设A (x ，0)，B (4，5)，C (2，3)．作C 关于x 轴对称点C 1，连结BC 1交x 轴于A 点．A 即为所求，过B 作BD ⊥CC 1于D 点，∴AC ＋AB ＝C 1B ＝2228+＝217． 例 6 m ＝()2212111a a -+-•+＋()2212111a a ---•+＝()211a -+＋()211a --．∵1≤a ≤2，∴0≤1a -≤1，∴－1≤1a -－1≤0，∴m ＝2．设S ＝m 10＋m 9＋m 8＋…＋m －47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S ＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S ＝211－2－94＋47＝1 999．A 级 1．1 2．52- 3．0 提示：令1997＝a ，1999＝b ，2001＝c ． 4． (17，833)，(68，612)，( 153，420) 5．B 6．C 7．B 8．A 9．(1)()2x y + (2)原式＝32625++-＝()()22325+-＝325++．(3)116- (4)532--(5)32+ 10．48提示：由已知得x 2 ＋5x ＝2，原式＝(x 2＋ 5x ＋4)(x 2＋5x ＋6)． 11．由题设知x ＞0，(27913x x ++＋27513x x -+)(27913x x ++－27513x x -+)＝14x ．∴27913x x ++－27513x x -+＝2，∴227913x x ++＝7x ＋2，∴21x 2－8x－48＝0．其正根为x ＝127． 12．n ＝2 提示：xy ＝1，x ＋y ＝4n ＋2． B 级 1． 64 2．1 提示：仿例4，由条件得x ＝y ，∴(x －22008x -)2＝2 008，∴x 2－2008－x 22008x -＝0，∴22008x -(22008x -－x )＝0，解得x 2＝2 008．∴原式＝x 2－2 007＝1． 3．9554．1 提示：∵(32－1)a ＝2－1，即1a＝32－1． 5．B 提示：由条件得a ＋b 3＝3＋3，∴a ＝3，b ＝1，∴a ＋b ＝4． 6．B 提示：a －b ＝6－1－2＞322+－1－2＝0．同理c －a ＞0 7．B 8．B 9．D 提示：注意隐含条件a －1＜0． 10．(1)1 998 999. 5 提示：设k ＝2 000，原式＝212k k --． (2)910 提示：考虑一般情形()111n n n n +++＝1n －11n + (3)原式＝()()8215253532+-++-＝()()253253532+-++-＝53+．(4)2－53- 11．构造如图所示边长为1的正方形ANMD ，BCMN ．设MP ＝x ，则CP ＝21x +，AP ＝()211x +-，AC ＝5，AM ＝2，∴AC ≤PC ＋PA ＜AM ＋MC ，，则5≤21x +＋()211x +-＜1＋2 12．设y ＝2841x x -+－2413x x -+＝()2245x -+－()2223x -+，设A (4，5)，B (2，3)，C (x ，0)，易求AB 的解析式为y ＝x ＋1，易证当C 在直线AB 上时，y 有最大值，即当y ＝0，x ＝－1，∴C (－1，0)，∴y ＝22． 13．33a bb c ++＝()()()()3333a bb cb c b c +-+-＝()222333ab bc bac b c -+--为有理数，则b 2 －ac ＝0．又a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ac )＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋b 2)＝()2c b a ++－2b （a ＋b ＋c ）＝（a ＋b＋c ）（a －b ＋c ），∴原式＝a －b ＋c 为整数．。
二次根式与二次方程的解法与因式分解
二次根式与二次方程的解法与因式分解一、二次根式的定义及性质二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
二次根式与二次方程有着密切的联系，因为在解二次方程的过程中，我们经常会遇到涉及到二次根式的计算和化简。
对于形如√a的二次根式，可以通过以下性质进行化简或计算：1. 二次根式的乘法性质：√a * √b = √(a * b)（其中a和b为非负实数）。
2. 二次根式的除法性质：√a / √b = √(a / b)（其中a和b为非负实数，且b不为0）。
3. 二次根式的加法与减法性质：√a ± √b 无法进行简化，但可以根据需要合并或分开。
二、二次方程的解法二次方程是指形如ax² + bx + c = 0（其中a、b、c为实数，且a≠0）的方程。
求解二次方程的一般步骤如下：1. 将方程移项，将其转化为标准形式：ax² + bx + c = 0。
2. 利用求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a，计算方程的解。
3. 根据判别式Δ = b² - 4ac的取值情况，可以得到方程的解的个数与性质：a) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解。
b) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解。
c) 当Δ < 0时，方程没有实数解，但可能有复数解。
三、二次方程的因式分解在解二次方程时，有时我们需要进行因式分解，以便更好地理解和计算方程的解。
当方程为完全平方时，即存在实数k使得(ax + k)² = 0，可以通过因式分解求解得到方程的解。
例如，对于方程x² - 4x + 4 = 0，可以进行因式分解得到(x - 2)² = 0，进而得到x = 2为方程的唯一解。
此外，在某些情况下，我们可以通过对方程进行配方法式进行因式分解。
具体的配方法式可根据具体问题而定，不同的问题可能采用不同的配方法。
初二数学-绝对值与二次根式经典例题汇总
初二数学-绝对值与二次根式经典例题汇总1． 绝对值例1 （1986年扬州初一竞赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p ＜15.对于满足p≤x ≤15的x 的来说，T 的最小值是多少？解由已知条件可得T=（x-p ）+（15-x ）+（p+15-x ）=30-x.∵当p ≤x ≤15时，上式中在x 取最大值时T 最小；当x=15时，T=30-15=15，故T 的最小值是15.例2 若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.证 设两数为a 、b ，则|a|+|b|=|a||b|.∴|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）.∵ab ≠0，∴|a|＞0，|b|＞0.∴|b|-1=a b ＞0，∴|b|＞1.同理可证|a|＞1.∴a 、b 都不在-1与1之间.例3 设a 、b 是实数，证明|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.证明 当|a|-|b|≤0时，|a|-|b|≤|a+b|成立.当|a|-|b|＞0时，由于（|a|-|b|）2-|a+b|2=（a 2+b 2-2|ab|）-（a 2+b 2+2ab ）=-2（|ab|-ab ）≤0，∴|a|-|b|≤|a+b|.同理可证|a+b|≤|a|+|b|.2． 根式在根式进行化简、求值和证明的过程中，常采用配方法、乘方法、比较系数法、设参法、公式法等等，现举例如下：（1）配方法：将二次根号内的式子配成完全平方式，将三次根号下的式子配成完全立方式.例4 (1981年宁波初中竞赛题)设3819 的整数部分为x,小数部分为y,试求y y x 1的值. 解 38192)34( =4-3=2+(2-3),故x=2,y=2-3,∴x+y+3213221 y=4-3+2+3=6.例5 化简.441296222 x x x x x x解 原式=222)2()1()3( x x x=|x+3|+|x-1|-|x-2|.令x+3=0，x-1=0，x-2=0.得x=-3，x=1，x=2，这些点把数轴划分成四个部分：当x ＜-3时原式=-（x+3）-（x-1）+（x-2）=-x-4；当-3≤x ＜1时，原式=（x+3）-（x-1）+（x-2）=x+2；当1≤x ≤2时，原式=（x+3）+（x-1）+（x-2）=3x ；当x ＞2时，原式=（x+3）+（x-1）-（x-2）=x+4.说明：将根号下含字母的式子化为带绝对值的式子来讨论，是解这类问题的一般技巧. 例6 化简2222222222b a b a b a a b a （a ＞b 2＞0）.解原式=222222)(a b a a b a222222)(b b a b b a =222222)()(b b a a b a =.||2222b b a a b a∵a ＞b 2＞0. ∴a 2＞2b 2，∴原式=.2222b a b b a a b a例7 求证：.4214202142033 证明：∵321420 =,221221283,2221420,22)22(333∴原式=4.(2)乘方法:由于乘方与开方互为逆运算,顺理成章地可以用乘方的方法去根号例8 已知,0313131 z y x 求证:(x+y+z)3=27xyz.证明:∵,0313131 z y x ∴.313131z y x 两边立方,)()(33133131z y x x+y+,)(331313131z y x y x 即).()(331313131z y x y x y x再边再立方得（x+y+z ）3=27xyz.例9 已知.34223242a y x y y x x求证 .323232a y x证明 设,3242A y x x 则,23242A y x x即 .)(,2323234232342A y x x A y x x 同理可设,3422B y x y 则.)(2323234B y x y∴A+B=2132323221323232)()(y x y y x x =)()(3232213232y x y x =.)(233232y x由 A+B=a ，得 ,)(233232a y x ∴.322332a y x（2） 比较系数法例10 求满足条件y x a 62的自然数a 、x 、y.解 将等式两边平方得xy y x a 262∵x 、y 、a 都是自然数. ∴xy 只能是无理数，否则与等式左边是无理数相矛盾.∴x+y=a ，xy=6.由条件可知 x ＞y 且x 、y 是自然数.当x=6时，y=1，得a=7.当x=3时，y=2，得a=5.故x=6,y=1,a=7.或x=3,y=2,a=5.例11 化简).71)(51(211分析 被开方式展开后得13+2352725 ,含有三个不同的根式,且系数都是2,可看成是将z y x平方得来的.解 设 )71)(51(211 =z y x ,两边平方得 13+2352725 =x+y+z+2.22yz xz xy比较系数,得.35,7,5,13yz xz xy z y x 由②有y x 5 ，代入③，得y z z y 57,75 代入④，得y 2=52，∴y=5（x 、y 、z 非负）， ∴y x 5 =1，,757 y z ∴原式=1+.75（4）设参法例12 （1986年数理化接力赛题） 设nn b a b a b a b a 332211（a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 都是正数）.求证: ① ② ③ ④n n b a b a b a b a 332211 =,)()(32121n n b b b b a a a 证明 设,2211k b a b a b a nn且a 1=b 1k,a 2=b 2k,…，a n =b n k. 左边=k b k b k b n 22221 =),(21n b b b k右边=)(21k b k b k b n ·)(21n b b b =),(21n b b b k∴左边=右边（5）公式法、代数变换及其他 例13 已知x=,)15(4)15(433 求x 3+12x 的值. 解 由公式（a-b ）3=a 3-b 3-3ab （a-b ）可得 )15(4)15(43 x 3)15(4)15(43 · 33)15(4)15(4 =8-3334x=8-12x.∴x 3+12x=8.例14 设.3737,3737 y x求x 4+y 4+（x+y ）4.解 由条件知,2215,2215 y x∴x+y=5，xy=1.∴原式=(x 2+y 2)2-2x 2y 2+(x+y)4 =[(x+y)2-2xy]2-2x 2y 2+(x+y)4=(25-2)2-2+54。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学竞赛中二次根式问题的解法
一、定义相夹法
当a ≥0时，a 叫做二次根式，据此由a ≥0与a ≤0得出a=0，从而对所求式进行化简。
例1、1993)33342(a a a a
a x --+--+-=的个位数字是 。
例2、等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不相等的实数，则222
23y
xy x y xy x +--+的值是 。
二、运用0≥a
a 是一个非负数，常根据出生个非负数和为0，而断定各个数都是0，用于解多元方程及求值。
例3、已知x ，y ,z 是实数且满足024
122=+++-+-z y z z y x ，则(y+z)x 的值为 。
三、分子有理化
化分子为常数，分析分母特点，求出结论。
例4、若a ＞1，P=,119931993--a a q=,199311993a a --r=,119931993+-a a S=,199311993a a -+则p ，q ，r ，s 中取值最小的一个是
例5、若x ≠0，则x
x x x 4
4211+-++的最大值是 。
四、利用分式的运算法则
(1)拆后分算，法则是：a
c a b a c b +=+ 例6、化简：)
32)(25(24335++++
(2)拆后相消，法则是分母有理化。
例7、设M=1994
19931.....321211+++++，N=1-2+3-4+……+1993-1994，则2)1(+M N 的值是 。
(3)分解相约，法则是因式分解。
例8、化简：
156310245--+-
五、运用乘法公式
例9、计算：)765).(765)(765).(765(++-+--+++
六、配方法
例10、若a ，b ，c 为两两不等的有理数，求证
222)(1)(1)(1a c c b b a -+-+-为有理数。
七、换元法
例11、当x=
231+时，求代数式1
1.11111+--+----++x x x x x x x 的值。
八、化简：对已知条件或结论化简，便于代入求值
例12、若a ＞0，b ＞0且)5(3).(b a b b a a +=+求
ab
b a ab b a +-++32的值。
例13、若a a x 2-=，①则2
848422++-++++=x x x x x x y =
九、运用无理数相等的条件。
若,''y b x a y b x a +=+则a=a ’，b=b ’
例14、设M,x,y 均为正整数且y x a M -=
-28，则x+y+M=
十、构造方程：构造方程，化去根号，转化为有理系数方程问题。
(1)化简复合二次根式
例15、化简：1330213302+--
(2)求多项式的值。
例16、当2
19941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值为 A 、1， B 、-1， C 、22001 D 、-22001
十一、运用数的新定义：根据有关数的新定义，化简根式求值。
例17、=+++]1993[.....]1901[]1900[ 。
([x]表示不超过x 的最大整数)
十二、共轭根式法：
B A B A -+与互为共轭根式，运用它们可化去其中一个式两个根号。
例18、若实数x 满足,111x
x x x -+-=则[2x]= 。