三角函数中三角变换常用地方法和技巧

三角函数中三角变换常用的方法和技巧三角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
倍角公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 sin2A=2sinA*cosA
半角公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
万能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
一、角的变换
在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。

常见角的变换方式有：ββαα
-+=)(；)()(2βαβαα-++=；
αβαβα+-=-)(2；2
2
α
α=等等。

例1 函数ππ2sin cos ()36y x x x ⎛⎫⎛⎫
=--+∈
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
R 的最小值等于（ ）． （A ）3- （B ）2-
（C ）1- （D
）解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：πππ
362
x x ⎛⎫⎛⎫-++=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以将函数()f x 的表达式转化为πππ()2cos cos cos 666f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故()f x 的最小值为1-．故选（C ）．
评注：常见的角的变换有：()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，
2()αβααβ-=+-，2
2
αβ
αβ
β+-=
-
，3πππ
()442
βααβ⎛⎫⎛⎫+--=++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ44αβαβ⎛
⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往
会发现角之间的关系． 例2、已知 βαβαα,,14
11
)cos(,71cos -=+=
均是锐角，求βcos 。

解：。

）2
1734143571)1411(cos 1435sin(,734sin .
sin )sin(cos )cos(])cos[(cos =⨯+⨯-=∴=+=+++=-+=ββαααβααβααβαβ
小结：本题根据问题的条件和结论进行])[(αβαβ-+=的变换。

例3、已知cos(91)2-
=-βα,sin(2α-β)=3
2
,且,20,2πβπαπ<<<<求.2cos βα+ 分析：观察已知角和所求角，可作出)2
(
)2
(2
βα
β
αβ
α---
=+的配凑角变换，然后利用
余弦的差角公式求角。

解：.27
5
7329543591)]2(
)2
cos[(2
cos
,
3
5(1)2cos(,954(
1)2
sin(.
2
2
4
,2
4
,
20,2
)3
2)912
2
=•+⨯-=---
=+∴=--=
-=-=-
<
-<
-
<-
<∴
<<<<βα
β
αβ
αβα
β
απ
βα
π
πβ
απ
π
βπαπ
例4、已知),2sin(sin βαβ+=m 求证：
分析：由角的特点，因已知条件所含角是,,2ββα+所证等式含角,,αβα+所以以角为突破口。

证明：.tan 11tan(1sin )cos()1(cos )sin()1(,
sin )cos(cos )sin(sin )cos(cos )sin(],
)sin[(])sin[(,)(,)(2αβαα
βααβααβααβαα
βααβααβααβααβαβαβαβαm
m
m m m m m m -+=
+∴≠++=+-∴+++=+-+++=-+∴-+=++=+）即 小结：抓住题设与结论中角的差异，利用角的和，差，倍等关系，变不同的角为同角，在三角变换中角的变换很重要。

二、函数名称变换
三角函数包括六种形式，因此，对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径，正确选用三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，可以使问题得到快速的解决．
例1、若sin （α+β）=
12, sin （α—β）＝1
10
，求tan tan αβ
解：由sin=（α+β）=
12, s in （α—β）＝1
10
得 ∴
tan tan αβ＝sin cos cos sin αβαβ＝3
2
例2、当π
04
x <<时，函数22
cos ()cos sin sin x f x x x x =-的最小值是（ ）．
（A ）4 （B ）
12
（C ）2 （D ）
14
解析：注意到函数的表达式的分子与分母是关于sin x 与cos x 的齐二次式，所以，分子
与分母同时除以2
cos x 转化为关于tan x 的函数进行求解．因为π04
x <<，所以
0tan 1α<<，所以22
11
()4tan tan 11tan 24f x x x x =
=-⎛
⎫--+
⎪⎝
⎭≥．故选（A ）． 评注：切、割化弦，弦化切是解答三角问题中对函数名称进行转化的最常见、最基本的
两种方法：
（1）若所给的三角式中出现了“切、割函数”，则可利用同角三角函数基本关系将“切、割函数”化为“弦函数”进行求解、证明；
（2）若所给的三角式中出现了“弦函数”与“切函数”，有时可以利用公式sin tan cos x x x
=将“弦函数”化为“切函数”进行解答． 例3
、化简：0
cos10(tan10sin50
解：原式000
000
sin10cos102cos 40(2cos10sin 50sin 50-====-
例4、已知tan()34
π
α+=-，求
2
2sin cos sin sin cos 1
αα
ααα-+的值。

解：∵tan()1
4tan tan()2441tan()
4
π
αππααπα+-=+-==++， ∴
222222sin cos 2sin cos 2tan 4
7
sin sin cos 1sin sin cos sin cos 2tan tan 1ααααααααααααααα===
-+-++-+ 点评：在求值、化简、恒等式证明中，切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。

三、升幂与降幂变换
分析三角函数中的次数，是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题中的要求，正确选用半角公式或倍角公式等三角公式，达到次数的统一．
例1、 已知α
为第二象限角，且sin α=πsin 4sin2cos 21
ααα⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭++的值． 分析：由于已知条件中知道sin α的值，而所求三角函数式中所涉及的角是与α有关的
复角，因此可利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形获得解答．
解：原式2
(sin cos )
cos )22sin cos 2cos 4cos (sin cos )
αααααααααα++==++
当α为第二象限角，
且sin
4
α=时，sin cos0
αα
+≠，
1
cos
4
α=-，所
以
π
sin
4
sin2cos214cos
α
ααα
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭==
++
．
评注：解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式，消去常数1．
例2、求值：
︒
︒
︒
+
︒
-
480
sin
20
sin
2
20
sin
8
20
sin
4
33
解：原式：＝
︒
︒
-
︒
-
20
sin
3
)
20
sin
2
1(
20
sin
4
32＝
︒
︒
︒
-
20
sin
3
40
cos
20
sin
4
3
=
︒
︒
︒
-
︒
+
︒
20
sin
3
40
cos
20
sin
4
)
20
40
sin(
2
=
︒
︒
︒
-
︒
︒
20
sin
3
20
sin
40
cos
20
cos
40
(sin
2
＝
︒
︒
-
︒
20
sin
3
)
20
40
sin(
2＝
3
3
2
注：怎样处理sin320°和3是本题的难点，解决的方法是“降幂”和“常数变换法”。

例3、化简β
α
β
α
β
α2
cos
2
cos
2
1
cos
cos
sin
sin2
2
2
2-
+。

分析：从“幂”入手，利用降幂公式。

解：原式
四、常数变换
在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换有：α
α
α
α
α
α2
2
2
2
2
2cot
csc
tan
sec
cos
sin
1-
=
=
+
=，0
045
sin
90
sin
1=
=，
α
α
α
αsin
csc
1,
cos
sec
1=
⋅
=等等。

例1、已知
π
tan2
4
α
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
，求
2
1
2sin cos cos
ααα
+
的值．
分析：由已知易求得tanα的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余弦函数且各式都为二次式，而分子是常数1，可将1化为22
sin cos
αα
+，再利用同角三角函
数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解．
解：由π1tan tan 241tan α
αα
+⎛⎫+==
⎪-⎝⎭，得1tan 3α=，
于是原式2222
sin cos tan 12
2sin cos cos 2tan 13
ααααααα++===++．
评注：对于题中所给三角式中的常数（如：1，比照特殊角的三角函数值，将它们化为相应的三角函数，参与其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的
作用．
例2、 求值（
21cos 80o —23cos 10o ）·1
cos 20o
解：∵21cos 80o —23
cos 10o ＝2222cos 103cos 80cos 80cos 10o o o o －
＝22cos10cos 10sin 10o o
o o o o o o o o 4（sin30+cos30sin10）（sin30cos10－cos30sin10）
＝24sin 40sin 201sin 204
o o o ＝16sin 40sin 20o o
＝32cos20o ∴原式＝32
例3、(2004年全国高考题)求函数x
x
x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周
期，最大值和最小值。

分析：由所给的式子x x x x 2
244cos sin cos sin ++可联想到2
2
2
)cos (sin 1x x +=。

解：x
x
x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=
2
12sin 41+=
x 。

所以函数)(x f 的最小正周期是π，最大值为
43，最小值为4
1。

五、消参变换
当题设或结论中含有参数时，我们可以采用消去参数法来解决．
例1、已知sin sin(3)m βαβ=+，1m ≠且ππ()2k k αβ+≠+∈Z ，π
()2
k k α≠∈Z ．
求证：1tan()tan 1m
m
αβα++=
-． 分析：由于已知和结论中都含有参数m ，所以我们可以把已知变形，求出
sin sin(2)m m βαβ=
+，，代入1tan 1m
m
α+-化简，即可证得等式成立．
评注：在解答含有参数的等式证明问题时，我们往往可以采用这种办法．本例并未给出
证明过程，同学们可试着自己完成．
六、变换公式的方法
使用任何一个公式都要注意它的逆向变幻，多向变幻，这是灵活，深刻地使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式变活，显得更加重要。

三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用。

如cos α＝
α
α
sin 22sin ，tan α±tan β＝tan （α＋β）（1 tan αtan β）等。

例1：求值：
2
12cos 412csc )312tan 32-︒︒
-︒+（
解：先看角，都是12°；再看“名”，需将切割化为弦，最后在化简过程中再看变换。

原式＝
2
12cos 412sin 1
)312cos 12sin 3(
2
-︒︒⋅
-︒︒（切、割化为弦）
=)
112cos 2(12cos 12sin 212cos 312sin 32
-︒︒︒︒-︒=︒︒︒-︒24cos 24sin )
12cos 2312sin 21(32(逆用二倍角) =︒︒︒︒-︒︒24cos 24sin )
60sin 12cos 60cos 12(sin 32（常数变换）
=
︒︒︒-︒24cos 24sin 2)6012sin(34（逆用差角公式）＝︒
︒-48sin )
48sin(34
＝－４3（逆用二倍角公式）
注：要养成逆用公式的意识，熟悉教材给出的三角基本公式的同时，如果我们熟悉其
他变通形式常可以开拓解题思路。

例2、求︒︒+︒+︒28tan 17tan 28tan 17tan 的值。

解：原式=1
28tan 17tan )28tan 17tan 1(45tan 28tan 17tan )28tan 17tan 1)(2817tan(=︒︒+︒︒-︒=︒
︒+︒︒-︒+︒
小结：对于两个角的正切的三角函数的和与积的形式的求值问题，通常利用
β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=
±的变形式).tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±
例3、求)6
tan()6tan(3)6tan()6tan(
θπ
θπθπθπ
+-+++-的值。

又3
)
6
tan()6tan(3)]6tan()6tan(1[3)]
6
tan()6tan(1[3)
6
tan()6tan()
6tan()6tan(1)
6tan()6tan()]6
()6tan[(=+•-++•--=∴+•--=
++-∴+--++-=
++-θπ
θπθπθπθπ
θπθπ
θπθπθπθπ
θπθπθπ原式
例4、 若αβ为锐角且满足sin α—sin β= —12，cos α—cos β=12
，求tan （α—β）的值。

解：由题中条件把两等式平方相加得
sin 2
α—2sin αsin β+sin 2
β＋cos 2
α—2cos αcos β+cos 2
β=
1
2
即2—2cos （α—β）＝
12 ∵cos （α—β）＝34
∵α、β为锐角 sin α—sin β＝—1
2
＜0
∴ 0<α<β<2
π 2π
-<α—β<0
∴s in
, ∴ tan （α—β）=
sin()
cos()
αβαβ--=
—3,。