补充：伊藤引理与维纳过程

• 那么������ ������, ������ =������������，������ ������, ������ = ������������
期权的本质
• 期权价格是股价和时间的函数 ������ = ������ ������, ������ • 那么股价是服从一个Ito过程，那么V服从什么过程，知道了不就 指导V的价值变化了吗？ • Ito引理
股价的随机过程
• 股价的几何布朗运动 ������������ = ������������������������ + ������������������������
• 同伊藤过程对比
������������ = ������ ������, ������ ������������ + ������ ������, ������ ������������
伊藤引理
• 伊藤引理：
������������ = ������ ������, ������ ������������ + ������ ������, ������ ������������ • 若G是x和t的函数，即������ = ������ ������, ������ • 那么， ������������ ������������ 1 ������ 2 ������ 2 ������������ ������������ = ������ + + ������ ������������ + ������������������ 2 ������������ ������������ 2 ������������ ������������ • 新的过程G • 漂移率为
• 股价的几何布朗运动 ������������ = ������������������������ + ������������������������ • 期权价格是股价和时间的函数 ������ = ������ ������, ������ • 那么期权的价格运动方程 ������������ ������������ 1 ������ 2 ������ ������������ 2 ������������ = ������������ + + ������������ ������������ + ������������������������ 2 ������������ ������������ 2 ������������ ������������ •
维纳过程与伊藤引理
金融工程学 随机过程基础知识 2016.11.5
维纳过程（Wiener Process）
• 是马尔科夫随机过程中的一种特殊形式 • 物理学中长用于描述某个粒子受大量小分子碰撞的运动，也成为 布朗运动（Brownian Motion） • 定义：如果变量z满足如下两个基本性质，那么变量z 遵循Wiener Process • 性质1：一个小的时间间隔△t内z的变化 △z为 ∆������ = ������ ������ + ∆������ − ������ ������ = ������ ∆������ ������~������ 0,1
2
• 从而有
������������������������ − ������������������0 ~������
1 2 ������ − ������ ������，������ 2 ������ 2
•即
1 2 ������������������������ ~������ ������������������0 + ������ − ������ ������，������ 2 ������ 2
=0
• 从而，有
1 2 ������������ = ������ − ������ ������������ + ������������������ 2
对数正态特性
• 在当前时刻0和将来某一时刻T之间，������������������的变化是正态分布的，均 1 2 值为 ������ − ������ ������，方差为������ 2 ������
• 方差率为
������������ ������������ ������ + ������������ ������������ 2 ������������ ������ ������������
+
1 ������2 ������ 2 ������ 2 2 ������������
期权价格与伊藤引理
������=1
������������ ∆������
维纳过程（Wiener Process）
• ������ ������ − ������ 0 的均值为0 • ������ ������ − ������ 0 的方差为������∆������ = ������ • ������ ������ − ������ 0 的标准差为 ������ ∆������ = ������ ������ + ∆������ − ������ ������ = ������ ∆������ ������~������ 0,1 • 当∆������越来越小时，离散变连续 ∆������ → ������������ ， ∆������ → ������������ • 可以将 ������������ = ������ ������������ ������~������ 0,1
对数正态特性
• 用Ito引理推导lns的过程 • 由于
������������ ������������
������ = ������������������
������2 ������ ������������2
=
1 ������
=
1 − 2 ��Байду номын сангаас���
������������ ������������
简单的漂移过程
• 考虑如下过程 • 对时间求积分 • 一条过������0 斜率为������的直线 ������������ = ������������������ ������ = ������0 + ������������
一般化的Wiener过程
• 我们通常看到的Wiener过程，是标准维纳过程和漂移过程的叠加 ������������ = ������������������ + ������������������ • 它的离散形式
∆������ = ������∆������ + ������������ ∆������ ������~������ 0,1 • 因此∆������ 具有正态分布 ∆������ 的均值为������∆������ ∆������ 的标准差为������ ∆������ ∆������ 的方差为������ 2 ∆������
一般化的Wiener过程
• 任意时间后T的x值的变化具有正态分布，且 ������ 变化的均值为������������ ������ 变化的标准差为������ ������ ������变化的方差为������ 2 ������
一般化的Wiener过程
伊藤过程（Ito ）
• 更一般化的维纳过程 ������������ = ������ ������, ������ ������������ + ������ ������, ������ ������������ • 伊藤过程的期望漂移率和方差率都随时间变化而变化。 • ������ 到������ + ∆������的时间内， ������变化到������ + ∆������ ∆������ = ������ ������, ������ ∆������ + ������ ������, ������ ������ ∆������ ������~������ 0,1
• 性质2：对于任何两个不同的短期时间间隔 △t， △z的值相互独 立。
维纳过程（Wiener Process）
• 一段时间T内z值的变化，z(T)-z(0)。可以看成N个长度为△t的小时 间间隔中z的变化的总和。这里 ������ ������ = ∆������ • 因此，
������
������ ������ − ������ 0 =