上海初二八年级上数学知识点详细总结

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《数学》(八年级上册)知识点总结

第一章 实数

一、实数的概念及分类

1、实数的分类 正有理数

有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数

无理数 无限不循环小数 负无理数

2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如32,7等;

(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3

π

+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; (4)某些三角函数值,如sin60o

二、平方根、算数平方根和立方根

1、算术平方根:一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2

=a ,那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。特别地,0的算术平方根是0。

表示方法:记作“a ”,读作根号a 。

性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。

2、平方根:一般地,如果一个数x 的平方等于a ,即x 2

=a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根(或二次方根)。

表示方法:正数a 的平方根记做“a ±

”,读作“正、负根号a ”。

性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 开平方:求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方。 0≥a 注意:a 的双重非负性:

a ≥0

3、立方根

一般地,如果一个数x 的立方等于a ,即x 3

=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根(或三

次方根)。

表示方法:记作3a

性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。 注意:33a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 三、二次根式计算

1、含有二次根号“”;被开方数a 必须是非负数。

2、性质:

(1))0()(2

≥=a a a

)0(≥a a

(2)==a a 2

)0(<-a a

(3))0,0(≥≥•=b a b a ab ()0,0(≥≥=•b a ab b a )

(4)

)0,0(>≥=b a b

a

b a ()0,0(>≥=

b a b

a

b

a ) 3、化简二次根式:把二次根式被开方数的完全平方因式移到根号外。例:2332182=⨯=。

(字母因式由根号内移到根号外时,必须考虑字母因式隐含的符号) 4、最简二次根式:化简后的二次根式需同时符合以下两个条件:⑴被开方数中各因式的指数都为1;⑵被开方数不含分母。这样的二次根式叫做最简二次根式。

将一个二次根式化成最简二次根式,有以下两种情况:

⑴如果被开方数是分式或分数(包括小数),先利用商的自述平方根的性质把它写成分式的形式,然后再分母有理化;

⑵如果被开方数是整式或整数,先将它分解因式或分解质因数,然后把能开方的因式或因数开出来,从而将式子化简。

化二次根式为最简二次根式的步骤: ⑴把被开方数分解质因数,化为积的形式; ⑵把根号内能开方的的因数移到根号外;

⑶化去根号内的分母,若被开方数的因数中有带分数要化成假分数,小数化成分数。 5、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式是同类二次根式。例:18、22、

22

1

。(判断是不是同类二次根式:首先,要看它们是不是最简二次根式;其次,看这些最简二次根式的被开方数是否相同) 6、二次根式的加法、减法:⑴化简,化成最简二次根式;⑵合并同类二次根(即将被

开方数相同的二次根式的系数进行合并)

7、二次根式的乘法、除法:⑴先完成根号内乘除,再化简二次根式;⑵小数化分数,带分数化假分数;⑶字母需考虑取值范围(不要忽视隐含条件)。

8、分母有理化:把分子和分母都乘以一个适当的代数式,使分母不含根号,这种计算叫做分母有理化。

第二章 一元二次方程

一、定义:只含有一个未知数,且未知数最高次数是二次的整式方程。 二、一般式:)0(02

≠=++a c bX aX

三、一元二次方程的解法:

1、开平方法:一般来说,形如d X =2

、)0(02

≠=+a c aX 的一元二次方程可以用开平

方法。(三种情况:有两个不相等的实数根,等于0,没有实数根)

2、因式分解法:提取公因式、公式法(平方差、完全平方公式)、十字相乘法、分组分解法。

3、配方法:⑴移常数项;⑵化二次项系数为1;⑶配方,在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方;⑷用开平方法求解;⑸结论。

4、公式法:⑴先把方程化为一般形式;⑵写出方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号);⑶计算ac b 42

-;⑷当042

≥-ac b 时,将a 、b 、c 的值代入求根公式,求出方

程的两个根;⑸当ac b 42

-<0时,方程没有实数根,就不必解了。

(开平方法、因式分解法一般适用于特殊形式的方程,而配方法、公式法是使用最普遍的方法,适用任意方程,其中:公式法计算较繁琐。) 四、一元二次议程根的判别式

1、定义:ac b 42

-叫做一元二次方程)0(02

≠=++a c bX aX 的根的判别式,通常用符号

“△”来表示,即△=ac b 42

-。

2、一元二次方程)0(02

≠=++a c bX aX 的根的情况与△的关系: ⑴△=⇔〉-042

ac b 方程有两个不相等的实数根。

⑵△=⇔=-042ac b 方程有两个相等的实数根。

⑶△=⇔〈-042

ac b 方程没有实数根。 3、由方程的情况求字母系数的值或取值范围 ⑴如果说方程有实数根,那么042

≥-ac b ;

⑵注意:因为是一元二次方程,不要遗漏隐含条件0≠a 。 五、一元二次议程的应用

1、二次三项式的概念:形如(a 、b 、c 都不为0)的多项式称为二次三项式。

2、二次三项式的因式分解:

⑴首先考虑能否提取公因式;⑵能否运用十字相乘法;⑶最后考虑用公式法。 3、列一元二次方程解应用题的一般步骤: ⑴审题⑵设元⑶列方程⑷解方程⑸检验⑹写答案 4、根据题意列方程时,必须同时满足以下四个条件:

⑴方程两边意义相同;⑵方程两边单位一致;⑶方程两边数值相等;⑷方程全面地反映了题中所有数量之间的关系。 5、列一元二次方程解题的类型:

⑴几何类问题(利用几何定理、面积公式等作解题依据,列出一元两次方程,解题); ⑵增长(降低)率问题:如设基数为a ,平均增长率为x ,则第一次增长后为a(1+x),第二

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