2-1功和功率

功是描述力对空间积累作用的物理量， 功是描述力对空间积累作用的物理量，是过程量 功是标量 没有方向，只有大小， 标量， 功是标量，没有方向，只有大小，但有正负
θ <
θ >
2
π 功A为正值，力对物体作正功； 为正值，力对物体作正功；
功 为正值，力对物体作正功；
π 2
功A为负值，力对物体作负功，或物体克服该力作功。 为负值，力对物体作负功，或物体克服该力作功。
O
F F mg
14
x
y
F = mg tanθ (变力) 变力)
所作的元功为： 取元位移 d r ，变力 F 所作的元功为：
A α
dθ
θ R
d A = F d r = F cos θ d s
dA = F cos θRdθ
偏转a角的过程中的总功为： 偏转 角的过程中的总功为： 角的过程中的总功为
α α
zQ
o
P
mg
Q
总功: 总功
A = ∫ W d r = ∫ mg d z
= ( mgz Q mgz P )
结论
x
y
重力作功只与质点的起始和终了位置有关， 重力作功只与质点的起始和终了位置有关， 而与质点所经过的路径无关。
21
质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。 质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。
W = mg kgy = F
dA = F dr = Fdy
A = ∫ dA = ∫
10 0
k = 0.2 kg m
F
y
Fdy
= ∫ (mg kgy )dy
0
10
W
o
= 882 J
13
的小球系于长度为R的细绳末端 例2：质量为m的小球系于长度为 的细绳末端, 细 质量为 的小球系于长度为 的细绳末端, 绳的另一端固定在点A, 将小球悬挂在空间。现小球在 绳的另一端固定在点 , 将小球悬挂在空间。 水平推力F 的作用下, 水平推力 的作用下, 缓慢地从竖直位置移到细绳与 角的位置。求水平推力F 所作的功( 竖直方向成α角的位置。求水平推力 所作的功(不考 y 虑空气阻力) 虑空气阻力)。
1
I 合 = p 2 p1
牛顿第二定律: 外力作用，质点产生加速度，运动状态发生变化。 牛顿第二定律 外力作用，质点产生加速度，运动状态发生变化。 力对物体持续作用一段距离，必定改变物体的运动状态。 力对物体持续作用一段距离，必定改变物体的运动状态。
引入功 引入功描述力对空间的积累作用
力对物体作功必定引起某个描述运动状态的物理量发生变化？ 力对物体作功必定引起某个描述运动状态的物理量发生变化？ 能量（动能、势能、机械能） 能量（动能、势能、机械能） 功与能量变化的规律？ 功与能量变化的规律？
1J=1Nm
24
功率的单位： 焦耳/ 功率的单位： J s1 (焦耳/秒), 或称为： (瓦特 简称瓦) 瓦特, 或称为：W (瓦特, 简称瓦)
例 已知 m = 2kg , 在 F = 12t 作用下由静止做直线运动 时的功率。 → 内 作的功及t 求 t = 0→2s内F 作的功及 = 2s 时的功率。
功能关系（动能定理、势能定理、功能原理以及 动能定理、势能定理、
机械能守恒定律） 机械能守恒定律）
2
动力学： 动力学：寻求物体具有某种运动状态的原因
侧面1.瞬时效应 侧面 瞬时效应 牛顿三大定律 保 持 原 有 运 动 状 态 的 原 因 改 变 原 有 运 动 状 态 的 原 因 物 体 受 力 分 析 遵 守 的 原 则 角 动 量 定 理 侧面2.时间累积效应 侧面3.空间累积效应 侧面 时间累积效应 侧面 空间累积效应 动量、 功、能、能量守恒 动量、角动量守恒 时 间 累 积 定 理 —— 量 、 动 动 量 、 角 动 量 守 恒 定 律 功 能 原 理 空 间 累 积 定 理 —— 功 、 能
(3).弹簧弹性力所做的功 (3).弹簧弹性力所做的功
F = kx i
元功 O X X x xp
d A = F d x
= kxi ( d x) i
总功
xQ
l0
1
xP
O xq
1
2 A = ∫ dA = ∫ kxdx = k x kxQ
2
2 P
2
结论 弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关， 弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关， 而与质点所经过的路径无关。 而与质点所经过的路径无关。
3
机 械 能 、 能 量 守 恒 定 律
第二章
机械能守恒定律
4
第二章
机械能守恒定律
§2-1 功和功率 动能和 §2-2 动能和动能定理 势能和 §2-3 势能和势能定理 功能原理， §2-4 功能原理，机械能守恒定律
5
6
一.恒力的沿直线位移的功
F
θ
A = F r cosθ
M
M
A = F r
A = ∫a( L) F dr
b
A＝∫ (Fx dx + Fy dy + Fz dz )
A = ∫ F dr = ∫ F ds τ
a a b b
（1）分析质点受力情况，确定力随位置变化的关系； ）分析质点受力情况，确定力随位置变化的关系； （2）写出元功的表达式，选定积分变量； ）写出元功的表达式，选定积分变量；
9
3.说明 说明 合力的功 = 分力的功的代数和
A = ∫a( L) F dr = ∫a( L) (F +F2 ++ Fn ) dr 1
b b
=∫
b a( L)
F dr + ∫ 1
b a( L)
F dr ++ ∫ 2
b a( L)
F dr n
= A + A2 ++ An 1
作用力和反作用力的功,量值不一定相等, 作用力和反作用力的功,量值不一定相等,符号不一定相反 力对物体作功，必定改变物体的运动状态。 力对物体作功，必定改变物体的运动状态。 可以认为， 可以认为，功是运动状态变化的一种量度 一般来说， 一般来说，功的值与质点运动的路径有关
19
5.讨论几种力做功的特点 5.讨论几种力做功的特点
(1) 万有引力所做的功
b
rb
dr
r M
mM dA = F d r = G 3 r dr r
r dr = r dr cos θ = rdr
r
F
a m
θ
dr
mM ∴d A = G 2 d r r
rb
ra
1 1 mM A = ∫ G 2 d r = GmM( ) ra rb ra r
牛顿第二定律: 外力作用，质点产生加速度，运动状态发生变化。 牛顿第二定律 外力作用，质点产生加速度，运动状态发生变化。
力对物体持续作用一段时间，必定改变物体的运动状态。 力对物体持续作用一段时间，必定改变物体的运动状态。 引入冲量描述力对时间 引入冲量 冲量描述力对时间 的积累作用 力对物体产生冲量必定引起某个描述 运动状态的物理量发生变化？ 运动状态的物理量发生变化？ 物体的动量 物体的动量 冲量与动量变化的规律？ 冲量与动量变化的规律？ 动量定理
10
讨论
作用力和反作用力的功,量值不一定相等, 作用力和反作用力的功,量值不一定相等,符号不一定相反
f1=f 2
A1 = f 1L
A2 = f 2S
f1 f2
内力和为零,内力功的和 内力和为零, 是否为零？ 是否为零？ 不一定为零
∑f =0
B A
B A S L
11
∑A = f 1(L S)
4.功的计算 功的计算
2
94 x2 dx + ∫ 4dy =10.8J 1 2
A2 = ∫ 2 ydx + ∫ 4dy
x1 3 y1 94 1 = ∫ ( x + 6)dx + ∫ 4dy = 21.Baidu Nhomakorabea5J 2 2 1
x2
y2
18
作业： 作业：
质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动， 质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质 点的速度为 v = 4t 2i +16 j ,开始时质点位于坐标原点。 开始时质点位于坐标原点。 求 在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。 的过程中，外力做的功。
结论 万有引力的功，只与始、末位置有关， 万有引力的功，只与始、末位置有关， 而与质点所行经的路径无关。 而与质点所行经的路径无关。
20
(2) 重力所做的功
W = mg k
元功: 元功
d r = d x i + d yj + d zk dA = W dr = mgdz
Q zQ p zp
z zp
二.变力沿曲线的功
求质点M 在变力作用下，沿曲线 求质点 在变力作用下， 轨迹由a 运动到b，变力作的功 轨迹由 运动到 ， 一段上的功： F 在 dr 一段上的功： Z
a
r
b
dr
b
θ
F
a O X
dA = F dr cosθ
Y
7
dA = F dr
一段上的功 F 在ab一段上的功 直角坐标系中
A = ∫a( L) F dr
d 2x Fx = ma x = m 2 = 0 dt
d2y Fy = ma y = m 2 = 0.5 dt
dA = F dr = Fy dy = 0.5dy
A = ∫ dA = ∫ 0.5dy
2
8
= 3J
16
例4 作用在质点上的力为 F = 2 yi + 4 j ( N) 在下列情况下求质点从 x1 = 2(m)处运动到 处该力作的功： x2 = 3(m) 处该力作的功： x2 = 4 y 1. 质点的运动轨道为抛物线 2. 质点的运动轨道为直线
4y = x + 6
Y x2 = 4 y
4y = x + 6
2.25
1
2
O
3 X
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A＝∫ (Fx dx + Fy dy + Fz dz )
4y = x + 6
A = ∫ 2 ydx + ∫ 4dy 1
x1 3 y1 x2 y2
Y x2 = 4 y
2.25
1
2
O 做 功 与 路 径 有 关
3 X
=∫
23
二. 功率
定义：单位时间内完成的功， 定义：单位时间内完成的功，叫做功率
A 平均功率 P ＝ t
瞬时功率
功率的另一种形式： 功率的另一种形式：
A dA P = lim = t→0 t dt
dA F dr P＝ = = F v dt dt
物理意义： 物理意义：表示作功的快慢 单位：（在国际单位制中） ：（在国际单位制中 单位：（在国际单位制中） 功的单位是J (焦耳 简称焦) 焦耳， 功的单位是J (焦耳，简称焦)
T
h ｛
O
dr
F
x
F mg
A = ∫ dA = ∫0 FR cosθ dθ = ∫0 mgRtanθ cosθ dθ = mg R ∫0 sin θ dθ = mg R(1 cos α )
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α
质量为m=0.5kg的质点,在o-xy平面内运动,其运动方程 的质点, 平面内运动, 例3: 质量为 的质点 平面内运动 为： x = 5t , y = 0.5t 2 这段时间内外力对质点所做的功。 求:从t=2s到t=4s这段时间内外力对质点所做的功。 到 这段时间内外力对质点所做的功
解：取如图所示的坐标系, 取如图所示的坐标系, 小球受推力 F 、细绳的张力T 和小球所受重力 mg 三个力始 终是平衡的, 即 终是平衡的 A α
θ
R
F + T + mg = 0
其分量式为: 其分量式为: 在x方向 : T sin θ = F 方向 在y方向 : T cos θ = mg 方向
T
h ｛
b
F = Fxi + Fy j + Fzk
b
dr = dxi + dyj + dzk
A = ∫ (Fxdx + Fydy + Fzdz)
a
在自然坐标系中
F = F τ + Fnn τ
A = ∫ F dr = ∫ F ds τ
a a b b
dr = dsτ
8
3.说明 说明
力和沿力的方向的位移,是功的两个不可缺少的因素。 力和沿力的方向的位移 是功的两个不可缺少的因素。 是功的两个不可缺少的因素
确定积分限进行积分，求出总功。 （3 ） 确定积分限进行积分，求出总功。
12
一人从10.0m深的井中提水, 例1:一人从10.0m深的井中提水,起始桶中装有10.0kg 一人从10.0m深的井中提水 起始桶中装有10.0kg 的水,由于水桶漏水,每升高1.00m要漏去0.2kg的水, 1.00m要漏去0.2kg的水 的水,由于水桶漏水,每升高1.00m要漏去0.2kg的水, 水桶被匀速地从井中提到井口, 水桶被匀速地从井中提到井口,求人所做的功
22
（4）.摩擦力的功
摩擦力 F 在这个过程中所作的功为
A= ∫
M2
M1( L)
F cosαds
M1
v
F = mg
摩擦力方向始终与质点速度方向相反
F
M2
A= ∫
结论
M2
M1 ( L)
mg cosπ ds
A = mgs
摩擦力的功，不仅与始、末位置有关， 摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经 的路径有关 。