回归直线方程的求解方法

例1 据调查，某产品的宣传费用支出X在一定范围内与销售额Y 之间有表10-20所示对应关系（单位：万元）；
X Y
2 25
4 40
5 48
6 50
7 60
8 75
试写出y对x的回归直线方程。
解 经计算可知：
n 16 149 2384 n x ,y , xy , xi yi 1770 , xi2 194, n 6. 3 3 9 i 1 i 1
问题解决 表10-21是随机抽取的8名学生的身高x(cm)与体重 y(kg)的数据。 x 17 15 17 16 18 17 15 16 2 0 0 5 0 6 5 0 60 47 85 70 75 80 50 65
Y
试求出身高与体重之间的关系的回归直线方程。 （回归系数取整数）
求回归直线方程的步骤： ⑴计算平均数； ⑵计算的积，求； ⑶计算； ⑷将结果代入公式求b； ⑸用 求a； ⑹写出回归方程．
1
了解相关关系、回归分析、散点图、回归直线 方程的概念．
2
掌握散点图的画法，掌握回归直线方程的求 解方法，会求回归直线方程．
3
让学生参与回归直线的探求，结合身边的实 例，发现散点图的线性特征，主动构建线性回归 直线方程的模型．
散点图的画法，回归直线方程的求解方法．
回归直线方程的求解方法．
这节课主要采取启发引导和讲练结 合的教学方法．通过创设情境、设置问 题等手段对学生进行了启发、诱导，结 合讨论法、讲授法组织学生自主探 究．然后结合例题及课后练习巩固求回 归直线方程的步骤．
若已知变量x与y之间存在着某种相关关系，为了研 究它们之间关系，一个最简单的方法是作图。若以X作 为自变量，y作为因变量，每对数据（x，y)在坐标系中 用相应的点表示，这种图称为散点图，从散点图可以看 出两个变量之间的大致关系。 对于相关关系，虽不能求出变量之间精确的函数关 系式，但通过观测大量的数据，可以发现它们之间的关 系存在着一定的统计规律性，应用统计方法寻求一个数 学公式描述变量间的相关关系所进行的统计分析称为回 归分析，其中最简单、最常用的就是只含有两个变量的 一元线性回归。
下列变量之间，能否由一个变量的值精确地求出 另一个变量的值？ （1）圆的面积S与该圆的半径r； （2）正方形的面积S与该正方形的边长X； （3）人的体重W与人的身高H； （4）蔬菜的产量Y与所施的氮肥量X； （5）某天冷饮销量Y与当天最高气温T 一般地，变量之间的关系可以是确定性关系，也 可以是非确定性关系，变量之间的非确定性关系，称 为相关关系，或称回归关系。
例如，某小卖部为了了解热茶销售量与最低气温之间的关系， 随机统计并制作了某6天的热茶销售量（单位：杯）与当天 最低气温（单位:0C）对照表:
最低 气温 热茶 20 24 34 销售量
26 18 13
10 4 38 50
-1 64
如果某天最低气温是-50C，能预测这天小卖部卖出热 茶的杯数吗？
我们以横坐标x表示最低气温（单位：0C），纵坐标y 表示热茶销售量（单位：杯），作出散点图：
，依次输入数值，即2→ = →8 → =
→4 → = ，然后用计算器光标键把输 →40 → =
→6 → = →7 → =
放位置移到 Y下的第一位置，依次输入数值，即25 → =
→48 → = →50 → = →60 → = →75 → = → AC 第三步，显计算结果。 在输入中注意x的量与y的量要对应。 按键 SHIFT → 1 → → 5 → 1 → = ，显示a≈8.371； 按键 SHIFT → 1 → → 5 → 2 → = ，显示b≈7.743；
所以，b≈7.743，a ≈8.371,
y 7.743x 8.371.
因此，y对x的回归直线方程为

例2 用科学计算器计算上例中的回归系数a,b. 解 第一步，设置统计计算状态（STAT）。 按一次 MODE ，会显示 1：COMP 2:STAT 3:TABLE 进入统计计算模块。
表示斡旋计算状态选项，按 2 第二步，输入数据。 接着上一步，按键 2 →5 → =
先把a看成常数,那么W是关于b的二次函数.
当 b
140 a 3820 时，W取最小值。 2 1286 140 a 460 12
时，W取最小值.
两样，把b看成常数，那么W是关于a的二次函数， 当 a
140a 460 a 12 所以，当 140a 3820 b 2 1286
思考交流 在现实生活中存在大量的相关关系， 举几个例子与同伴交流
假设电瓶车使用年限x和所支出的维修费用 y(元）有如下的统计数据： X Y 1 50 2 150 3 240 4 370
若y对x呈线性相关关系，试求回归直线方程
y by a
并估计使用5年时维修费用是多少？
一般地，设有n对观察数据如下：
教材P195练习第1题
时，W取最小值，由此解得
a ≈5735568，b ≈-1.6477.
x 57.5568 . 所求直线方程为 y 1.6477 当x=-5时， y 66. 所以当气温为-50C时，热茶销量约为66杯。 像这样能用直线方程 y bx a 近似表示的相关关系
叫做线性关系，这条直线称为回归直线，其中a,b称为回归系数。
70
热茶销售量（杯）
60 50 40 30 20 10 0 -5 0 5 10 15 20 25 30 最低温度（摄氏度）
从图中可看出，这些点散布在一条直线附近，当然， 这样的直线可以画出很多条，但一定存在这样一条直 线 y bx a，对于每一个给定的x值，对应的 与相关的实际值y之间是最接近的，类似于估计样本中 数据与平均的总体偏离程度（样本方差），我们考虑离 差的平方和。 W（a,b)=(26b+a-20)2+(18b+a-24)2+(13b+a-34)2+ (10b+a-38)2+(4b+a-50)2+(-b+a- 64)2 =1286b2+6a2+140ab-3820b-460a+10172 因此，设法取a,b的值，使W（a，b）达到最小值， 这种方法叫做最小二乘法。
x
y
x1
y1
x2
y2
x3
y3
…
…
xn
yn
当a，b使W(a,b)=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+ (yn-bxn-a)2取得最小值时，可求得a,b分别为
n n n n i i n xi yi ( x )( y ) n xi yi n x y i 1 i 1 i 1 b i 1 n b n n 2 还可以表示为： 2 i 2 2 n xi ( x ) n xi n x i 1 i 1 i 1 a y bx a y bx