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《椭圆及其标准方程》课件

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《椭圆及其标准方 程》ppt课件
目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数(常数大于 F1、F2之间的距离)的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ,焦点的距离c满足关系式: c²=a²-b²,其中a为椭圆长轴半径 ,b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上,椭圆的范围是从-a到a;在y轴上,椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点,并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ,椭圆的顶点是(-a,0),(a,0),(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动,可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状,只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆,可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向,但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中,行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质,可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a,其中c是焦点到椭圆中心 的距离,a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0,椭圆越接近圆;离心率越 大,椭圆越扁。

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F2
根据椭圆定义,设|MF1|+|MF2|=2a
2
2
+ 2
=1
2
2


你可以在图中找出表示a,c,b的线段吗?
2 2
+ 2=1
2


M
F1
O
F2
二、椭圆的标准方程
椭圆的焦点为F1(-c,0),F2(c,0),椭圆上任意一点M都满
足|MF1|+|MF2|=2a,则椭圆的标准方程为
M
2 2
LET’S START
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
椭圆是生活中的一种常见图形
具有何种几何特征才是椭圆呢?
具有何种几何特征才是椭圆呢?
b
1
a
一、椭圆的定义
我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大
于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点,

椭圆:我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等
于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
|PF1|+|PF2|=2aLeabharlann > 2c椭圆的标准方程:
焦点在x轴:
其中,a>b>0,且a2=b2+c2
焦点在y轴:
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单?
M
设M(x,y),焦距|F1F2|=2c (c>0) 则F1(-c,0),F2(c,0)
根据椭圆定义,设|MF1|+|MF2|=2a
2 − = ( − )2 + 2
F1
O
F2
怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单?

椭圆及其标准方程(26张PPT)高二上学期数学选择性必修第一册

椭圆及其标准方程(26张PPT)高二上学期数学选择性必修第一册
F1(0,-c)、F2(0,c)
椭圆的两种标准方程中,总是 a>b>0. 所以哪个项的分母大,焦点就在那个轴上;反过来,焦点在哪个轴上,相应的那个项的分母就越大.
b2 = a2 –c2
x
y
o
归纳总结,方程特征
(2a>2c)
极速练习
焦点坐标为:
焦距等于______
课堂整理——解决问题
P( x , y )
设 P( x,y )是椭圆上任意一点
设F1F=2c,则有F1(-c,0)、F2(c,0)
椭圆上的点满足PF1+PF2为定值,设为2a,则2a>2c
O
b2x2+a2y2=a2b2
探究:如何建立椭圆的方程?
数学求简求美意识
合作探究——推导方程
化简方法2
焦半径
合作探究——推导方程
情境导入
——生活中的椭圆
椭圆及其标准方程
明确目标——整体把握
椭圆及其标准方程
复习回顾,引入新知
圆是如何绘制的?如何精确的绘制椭圆呢?
椭圆及其标准方程
(1)取一条细绳(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2(3)用铅笔尖(M)把细绳拉紧,在板上慢慢移动看看画出的图形
请同学们以小组为单位利用手中的画板,绳子和笔尝试绘制椭圆
18
课时小结
课堂整理——解决问题
一、椭圆定义:
注明:①若2a=2c,则轨迹为线段; ②若2a<2c,则点的轨迹不存在 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时,
焦点在y轴上时,
三、椭圆方程的求法:定义法、待定系数法
作业布置
一.课本P52、1、2、4
椭圆及其标准方程
教材版本:北师大版 学 科:数学 年 级:高二年级 学 期:上

椭圆及其标准方程ppt课件

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依题意有
( 3)2
(-2)2
+ 2
2

(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2

=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2

2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2

+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么?
D
解1:(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y),点P的坐标
为(x0, y0),则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点,得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上, ∴x02 y02 4,
2
a
a c

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c表示).
M
C
F1
F2
情景二:
M
问题1:当, 的大小变化时,得到的图像是什么?
(1) 必须在平面内;
(2)两个定点---两点间距离确定;
(3)定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方:
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是

1 = 2 = , = 2 − 2 ,

令b= = 2 − 2 ,
2
那么方程 2

2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1

2

概念3:
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上,
焦点坐标:1 (−, 0),2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三:
问题3:回忆下圆的方程:我们是如何求圆轨迹方程的?
(1)建系
(2)设点
(3)限制条件
(4)代换
(5)化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法,我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1:我们该如何建系?
整理,得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −

3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt

3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt

焦点在x轴上:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上:
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4:若焦点F1、F2 在y轴上,且F1(0,-c),F2 (0,c),a,b的意义同上, 则椭圆的方程是什么?
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1:椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么? ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)

课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版

课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版

思 考 为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段;
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时,
轨迹不存在。
F1
F2
例1:命题甲:动点P到两定点A,B的距离之 和|PA|+|PB|恒等于一个常数;命题乙:点P 的轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理,直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简,得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A.(1,+∞)
B.(-∞,-1)
C.(-1,1)
D.(-1,0)∪(0,1)
D
例3已:知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0),
并且经过点P 5 , 3 ,求它的标准方程.
2 2
y
解:因为椭圆的焦点在 x轴上,设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa, 为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0),
并且经过点P
那么,如何求椭圆1的方程呢? 2
y M ,求它的标准方程.
又设M与F1, F2的距离的和等于2a
a b c, 2 2 又因为 , 所以
那么,如何求椭圆的方程呢?
2
(1)距离的和2a 大于焦距2c ,即2a>2c>0.

椭圆及其标准方程ppt课件

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PF1 PF2 2a , F1 F2 2c,求动点 P 的轨迹方程.
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知:在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ,满足
(2)设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
(3)椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内,到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.

(2) 在平面内,到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果?
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时,你是否还能
画出图形? 不存在运动轨迹
7
探究二
思考:你能否根据以上实验操作,类比圆的定义,
归纳总结出椭圆的定义?
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数(大于 F1F2 )的点的集合叫作椭圆。
(1)焦点:定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知:在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ,满足

课件13:2.2.1 椭圆及其标准方程

课件13:2.2.1 椭圆及其标准方程
P到两焦点的距离和为26;
3
(2)经过点P(1, ),两焦点间的距离为2,焦点在x轴上.
2
解:(1)∵椭圆的焦点在 y 轴上,
y 2 x2
所以设它的标准方程为:a2+b2=1(a>b>0).
∵2a=26,∴a=13,又 c=5.∴b2=a2-c2=144.
x2
y2
∴所求椭圆方程为:169+144=1.
x 2 y2
即所求椭圆的方程为10+15=1.
命题方向3
⇨椭圆的焦点三角形
x2 y2
典例 3 已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)上一点 P,F1、F2 为
椭圆的焦点,若∠F1PF2=θ,求△F1PF2 的面积.
解:由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,
而在△F1PF2中,由余弦定理得,
方程 Ax2+By2=1(其中 A>0,B>0,A≠B)包含椭圆的焦点
x2 y 2
在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况,方程可变形为 1 + 1
A B
=1.
核心素养 椭圆的其他方程形式
1 1
①当A>B,即 B>A 时,表示焦点在 x 轴上的椭圆;
1 1
②当A<B,即 B<A 时,表示焦点在 y 轴上的椭圆.
x2
y2
焦点的椭圆方程为 2 + 2 =1(a>b>0,λ>-b2);与椭
a +λ b +λ
y2 x2
y2
圆 a2 + b2 = 1(a>b>0) 有 公 共 焦 点 的 椭 圆 方 程 为 2

a +λ
x2
2
=1(a>b>0,λ>-b

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令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数,因此方程①到方程⑥的变形都是同解变 形.这样,椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之,以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程,这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上,两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆,这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图,设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.

解 :设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率 同理,直线 BM 的斜率 由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的 坐 标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义,设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③

椭圆的定义与标准方程 ppt课件

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x F2
由椭圆的定义得,限制条件: |P1F ||P2F |2 a
由于 |P 1 | F (x c )2 y 2 ,|P 2 | F (x c )2 y 2
得方程
(xc)2y2(xc)2y22a
(问题:下面怎样化简?)
15
移项,再平方 ( x c ) 2 y 2 4 a 2 4 a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
又因为c=2,所以 (b3)2 =用a待2 -定c2系=1数0法-4确=定6a.、b的值,
因 此 , 所 求 椭 圆 的 写标 出准 椭方 圆程 的为 标准方程.
x2 +y2 =1.
24
102 62
变 式 引 申 : 求 焦 点 在 y 轴 上 , 且 经 过 点 A (1 ,1 )、 B (0 ,-1 )的 3 3 2
x2 a2
by22
1(ab0)
y2 a2
bx22
1(ab0)
(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 (3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
(4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在
哪一个轴18上。
笨,没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照,花儿对我笑,小鸟说早早早……”
5
引例:
若取一条长度一定且没有弹性的细绳,把它 的两端都固定在图板的同一点处,套上铅笔,拉 紧绳子,移动笔尖,这时笔尖画出的轨迹是什么 图形?
圆的定义:平面内到
定点的距离等于定长的 点的轨迹是圆
(xa)2(yb)2r2
7
探究:
若将细绳的两端拉开一段距离,分别固定在 图板上不同的两点F1、F2处,并用笔尖拉 紧绳子,再移动笔尖一周,这时笔尖画出的 轨迹是什么图形呢?

椭圆及其标准方程ppt课件市公开课金奖市赛课一等奖课件

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(3)
工具
第二章 圆锥曲线与方程
第20页
已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9. 动圆在圆C1内部且与圆C1相内切,与圆C2相外切,求动圆圆
心轨迹.
动圆满足条件为:①与圆C1相内切;②与圆C2相外 切.依据两圆相切充要条件建立关系式,可求出动圆 圆心轨迹方程,进而拟定出轨迹图形.
灵活应用.
工具
第二章 圆锥曲线与方程
第26页
3.利用待定系数法拟定椭圆原则方程
求椭圆原则方程惯用待定系数法,要恰当地选择方 程形式,假如不能拟定焦点位置,那么有两种办法来 处理问题,一是分类讨论全面考虑问题;二是设椭圆 方程普通式.
(1)假如明确了椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上, 那么所求椭圆一定是原则形式,那么能够利用待定系
答案: D
工具
第二章 圆锥曲线与方程
第4页
2.椭圆2x52+y2=1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2,则
点 P 到另一个焦点的距离为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
解析: 由椭圆定义知点P到另一个焦点距离是10- 2=8.
答案: D
工具
第二章 圆锥曲线与方程
第5页
求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26. (2)求焦点在坐标轴上,且经过 A( 3,-2)和 B(-2 3, 1)两点.
第11页
解析: 设椭圆方程为xa22+yb22=1, ac= 22,故 ba22=12.
由于△ABF2 的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+ |AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16,故 a=4.
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