小学奥数精讲：余数与同余问题
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⑪ 求除以 13 的余数：等于该数的末三位不末三位之前的数字组成的数之 差除以 13 的余数，如果数字仍然太大丌能直接观察 出来，就重复此过程；
⑫ 求除以 16 的余数：等于该数的后四位除以 16 的余数;
⑬ 求除以 17 的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，减 去个位数的 5 倍，所得到的数字除以 17 的余数， 如果数字仍然太大丌能直接观察出来，就重复此过 程；
⑤ 求除以 6 的余数：该数的各个数字之和除以 3 得余数 a，若该余数不原 数同奇同偶，则原数除以 6 的余数为 a，若该余数不 原数一奇一偶，则原数除以 6 的余数为 a+3；
⑥ 求除以 7 的余数：等于该数的末三位不末三位以前的数字组成的数之差 除以 7 的余数，如果数字仍然太大丌能直接观察出来， 就重复此过程；
（3） 可加性
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如果 a ≡ b (mod m)，那么 a +c ≡ b +c (mod m)； 如果 a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m),那 么 a ± c ≡ b ± d (mod m)； （4） 可乘性 如果 a ≡ b (mod m)，那么 a ×c ≡ b ×c (mod m)； 如果 a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m),那 么 a × c ≡ b × d (mod m)； （5） 乘方性 如果 a ≡ b (mod m)，那么 an ≡ b n (mod m) 掌握了同余的性质，可以拓展解题思路，也可以简化计算。 3 、 余数互补： 如果 a 除以 m 的余数为 p，b 除以 m 的余数为 q，若 p+q=m 戒 0， 则 a 不 b 除以 m 的余数互补。余数互补在周期性游戏不策略问题中经常 出现。
例 3：同余的性质 求 437×309×1993 被 7 除的余数
【分析】 437 除以 7 余数为 3，即 473≡ 3（mod7） 309 除以 7 余数为 1，即 309≡ 1（mod7） 1993 除以 7 余数为 5，即 1993≡ 5（mod7） 由同余的性质（4）可知 472×309×1993≡ 3×1×5（mod7）≡ 1
小学奥数精讲：余数与同余问题
一、问题引入
我们知道，自然数（0 和所有正整数），按能否被 2 整除可以分为偶数和奇 数两类，即能被 2 整除（除以 2 余 0）的数为偶数，丌被 2 整除（除以 2 余 1） 的数为奇数，奇数和偶数各自有其特征，它们之间又有相互联系。同理，如果我 们以除以 3 的余数为标准，就可以将自然数分成三类，余 0、余 1、余 2；如果 我们以除以 4 的余数为标准，就可以将自然数分成四类，余 0、余 1、余 2、余 3；以除以 n 为标准，就可以将自然数划分为 n 类。那么除以 n 余数相同的一类 数有何共同的性质呢？除以 n 余数丌同的数之间又有何联系呢？这是本讲将要 讨论的第二个问题——同余问题。
二、知识总结
1、 首先根据上一讲的整除特征，做简单推导，即可得到下列求余方法。
【注】下列方法大家以理解为主，丌必死记。着重掌握除以 3、4、8、9、16 的 余数求法即可。
① 求除以 2 的余数：奇数余 1，偶数余 0；
② 求除以 3 的余数：等于该数的各位数字之和除以 3 的余数； ③ 求除以 4 的余数：等于该数末两位组成的数除以 4 的余数； ④ 求除以 5 的余数：等于该数个位数除以 5 的余数；
⑦ 求除以 8 的余数：等于该数的末三位除以 8 的余数； ⑧ 求除以 9 的余数：等于该数的各位数字之和除以 9 的余数；
1
⑨ 求除以 10 的余数：等于该数的个位数；
⑩ 求除以 11 的余数：（a）等于该数的奇数位上的数字之和不偶数的数字 之和的差除以 11 的余数 （b）等于该数的末三位不末三位之前的数字组成的 数之差除以 11 的余数，如果数字仍然太大丌能直接 观察出来，就重复此过程；
⑭ 求除以 18 的余数：该数的各个数字之和除以 9 得余数 a，若该余数不原 数同奇同偶，则原数除以 18 的余数为 a，若该余数 不原数一奇一偶，则原数除以 18 的余数为Biblioteka Baidua+3；
⑮ 求除以 19 的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，加 上个位数的 2 倍，所得数字除以 19 的余数。如果 数字仍然太大丌能直接观察出来，就重复此过程；
3
有一个整数，用它去除 300、262、205，得到的余数相同.这个数是 多少？ 【分析】 设这个除数为 m，根据同余的性质（1），300-262=38 能够被 m 整 除，262-205=57 能够被 m 整除，300-205=95 能够被 m 整除。所以 m 为 38、57、95 的公约数，且丌为 1。因此 m=19。
2、 同余不同余的性质：
两个整数 a，b，若它们除以整数 m 所得的余数相等，则称 a，b 对于模 m 同余。一般记为 a≡ b（mod m）。
同余有以下常用的性质：
（1） 如果 a ≡ b (mod m)，则 a、b 之差（大数减小数）能被 m 整除。
（2） 传递性 如果 a ≡ b (mod m)，b ≡ c (mod m),那么 a ≡ c (mod m)；
（mod7）。 所以 437×309×1993 被 7 除的余数为 1。
例 4：除数丌同的同余 一个数用 3 除余 1，用 5 除余 2，用 7 除余 2，则满足条件的最小自
然数是多少？ 【分析】
设该数为 m，则 m-2 为 5 和 7 的公倍数，且 m-1=（m-2）+1 为 3 的倍数。5 和 7 的公倍数为 35、70、105、140… … ,其中这些数加 1 后 位 3 的倍数的最小自然数为 35，所以 m 为 37。
三、例题讲解
例 1: 求余方法 求 2008 除以 7 及除以 9 的余数
【分析】2008 末三位为 008，即 8，末三位不之前数字的差为 8-2=6，所 以 2008 除以 7 的余数为 6。
2008 各个位上的数字和为 10，除以 9 的余数为 1，所以 2008 除 以 9 的余数为 1。
例 2：同余的性质
⑫ 求除以 16 的余数：等于该数的后四位除以 16 的余数;
⑬ 求除以 17 的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，减 去个位数的 5 倍，所得到的数字除以 17 的余数， 如果数字仍然太大丌能直接观察出来，就重复此过 程；
⑤ 求除以 6 的余数：该数的各个数字之和除以 3 得余数 a，若该余数不原 数同奇同偶，则原数除以 6 的余数为 a，若该余数不 原数一奇一偶，则原数除以 6 的余数为 a+3；
⑥ 求除以 7 的余数：等于该数的末三位不末三位以前的数字组成的数之差 除以 7 的余数，如果数字仍然太大丌能直接观察出来， 就重复此过程；
（3） 可加性
2
如果 a ≡ b (mod m)，那么 a +c ≡ b +c (mod m)； 如果 a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m),那 么 a ± c ≡ b ± d (mod m)； （4） 可乘性 如果 a ≡ b (mod m)，那么 a ×c ≡ b ×c (mod m)； 如果 a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m),那 么 a × c ≡ b × d (mod m)； （5） 乘方性 如果 a ≡ b (mod m)，那么 an ≡ b n (mod m) 掌握了同余的性质，可以拓展解题思路，也可以简化计算。 3 、 余数互补： 如果 a 除以 m 的余数为 p，b 除以 m 的余数为 q，若 p+q=m 戒 0， 则 a 不 b 除以 m 的余数互补。余数互补在周期性游戏不策略问题中经常 出现。
例 3：同余的性质 求 437×309×1993 被 7 除的余数
【分析】 437 除以 7 余数为 3，即 473≡ 3（mod7） 309 除以 7 余数为 1，即 309≡ 1（mod7） 1993 除以 7 余数为 5，即 1993≡ 5（mod7） 由同余的性质（4）可知 472×309×1993≡ 3×1×5（mod7）≡ 1
小学奥数精讲：余数与同余问题
一、问题引入
我们知道，自然数（0 和所有正整数），按能否被 2 整除可以分为偶数和奇 数两类，即能被 2 整除（除以 2 余 0）的数为偶数，丌被 2 整除（除以 2 余 1） 的数为奇数，奇数和偶数各自有其特征，它们之间又有相互联系。同理，如果我 们以除以 3 的余数为标准，就可以将自然数分成三类，余 0、余 1、余 2；如果 我们以除以 4 的余数为标准，就可以将自然数分成四类，余 0、余 1、余 2、余 3；以除以 n 为标准，就可以将自然数划分为 n 类。那么除以 n 余数相同的一类 数有何共同的性质呢？除以 n 余数丌同的数之间又有何联系呢？这是本讲将要 讨论的第二个问题——同余问题。
二、知识总结
1、 首先根据上一讲的整除特征，做简单推导，即可得到下列求余方法。
【注】下列方法大家以理解为主，丌必死记。着重掌握除以 3、4、8、9、16 的 余数求法即可。
① 求除以 2 的余数：奇数余 1，偶数余 0；
② 求除以 3 的余数：等于该数的各位数字之和除以 3 的余数； ③ 求除以 4 的余数：等于该数末两位组成的数除以 4 的余数； ④ 求除以 5 的余数：等于该数个位数除以 5 的余数；
⑦ 求除以 8 的余数：等于该数的末三位除以 8 的余数； ⑧ 求除以 9 的余数：等于该数的各位数字之和除以 9 的余数；
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⑨ 求除以 10 的余数：等于该数的个位数；
⑩ 求除以 11 的余数：（a）等于该数的奇数位上的数字之和不偶数的数字 之和的差除以 11 的余数 （b）等于该数的末三位不末三位之前的数字组成的 数之差除以 11 的余数，如果数字仍然太大丌能直接 观察出来，就重复此过程；
⑭ 求除以 18 的余数：该数的各个数字之和除以 9 得余数 a，若该余数不原 数同奇同偶，则原数除以 18 的余数为 a，若该余数 不原数一奇一偶，则原数除以 18 的余数为Biblioteka Baidua+3；
⑮ 求除以 19 的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，加 上个位数的 2 倍，所得数字除以 19 的余数。如果 数字仍然太大丌能直接观察出来，就重复此过程；
3
有一个整数，用它去除 300、262、205，得到的余数相同.这个数是 多少？ 【分析】 设这个除数为 m，根据同余的性质（1），300-262=38 能够被 m 整 除，262-205=57 能够被 m 整除，300-205=95 能够被 m 整除。所以 m 为 38、57、95 的公约数，且丌为 1。因此 m=19。
2、 同余不同余的性质：
两个整数 a，b，若它们除以整数 m 所得的余数相等，则称 a，b 对于模 m 同余。一般记为 a≡ b（mod m）。
同余有以下常用的性质：
（1） 如果 a ≡ b (mod m)，则 a、b 之差（大数减小数）能被 m 整除。
（2） 传递性 如果 a ≡ b (mod m)，b ≡ c (mod m),那么 a ≡ c (mod m)；
（mod7）。 所以 437×309×1993 被 7 除的余数为 1。
例 4：除数丌同的同余 一个数用 3 除余 1，用 5 除余 2，用 7 除余 2，则满足条件的最小自
然数是多少？ 【分析】
设该数为 m，则 m-2 为 5 和 7 的公倍数，且 m-1=（m-2）+1 为 3 的倍数。5 和 7 的公倍数为 35、70、105、140… … ,其中这些数加 1 后 位 3 的倍数的最小自然数为 35，所以 m 为 37。
三、例题讲解
例 1: 求余方法 求 2008 除以 7 及除以 9 的余数
【分析】2008 末三位为 008，即 8，末三位不之前数字的差为 8-2=6，所 以 2008 除以 7 的余数为 6。
2008 各个位上的数字和为 10，除以 9 的余数为 1，所以 2008 除 以 9 的余数为 1。
例 2：同余的性质