用向量方法解立体几何题

用向量方法求空间角和距离

前言：

在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题

空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角．

（１）求异面直线所成的角

设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos ||||||

a b

a b

（２）求线面角

设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin ||||||

l n

l n

（３）求二面角

a l ⊥，在β内

b l ⊥，其方向如图，则二

方法一：在α内平面角α=arccos

||||

a b

a b 面角l αβ--的

方法二：设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角

α=12

12arccos

||||

n n n n

2.求空间距离问题

构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离

方法一：设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到

α的距离||

|||cos |||

AB n d AB n θ==

方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ．

（２）求异面直线的距离

方法一：找平面β使b β⊂且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离．

方法二：在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别为异面直

线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，

n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离

||

|||cos |||

AB n d AB n θ==

（此方法移植于点面距离的求法）．

例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是

棱1111,A D A B 的中点．

（Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角；

（III ）求1B 到面EFBD 的距离 记异面直线1DE FC 与所成的角为α，

解：（Ⅰ）

则α等于向量

1DE FC 与的夹角或其补角，

1

1

||||111111cos ||

()()

||||||DE FC DE FC DD D E FB B C DE FC α∴=++=

（II ）如图建立空间坐标系D xyz -， 则(1,0,2)DE =，(2,2,0)DB =

设面EFBD 的法向量为(,,1)n x y = 由0

DE n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩

得(2,2,1)n =- 又1(2,0,2)BC =- 记1BC 和面EFBD 所成的角为θ 则 1112sin |cos ,||

|2||||

BC n BC n BC n θ⋅=〈〉== ∴ 1BC 和面EFBD 所成的角为

4

π． （III ）点1B 到面EFBD 的距离ｄ等于

向量1BB 在面EFBD 的法向量上的投影的绝对值，

1||||

BB n d n ∴=

=2

3 点评：

1.作为本专题的例１，首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体―正方体为载体， 来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解．

2.解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求）．

3.完成这３道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况），都可用向量方法来解决，向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧．

例2．如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形

B B A A '' 是矩形，。

平面平面ABCD B B A A ⊥'' （Ⅰ）若A A '＝１，求直线AB 到面'

DAC 的距离．

（II ） 试问：当A A '的长度为多少时，二面角 A C A D -'-的大小为？

60 解：（Ⅰ）如图建立空间坐标系A xyz -， 则 '(1,0,)DA a =- (0,1,0)DC =

设面'

DAC 的法向量为1(,,1)n x y = 则'1100

DA n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩

得1(,0,1)n a =

直线AB 到面'DAC 的距离ｄ就等于点Ａ到面'

DAC 的距离，

也等于向量AD 在面'DAC 的法向量上的投影的绝对值，

11||2

2||

AD n d n ∴=

= （II ）易得面'

AAC 的法向量2(1,1,0)n =-

∴向量12,n n 的夹角为60

由12122121

cos ,2

||||12n n a n n n n a ⋅-〈〉=

==+⋅ 得 1a =

∴ 当A A '＝１时，二面角A C A D -'-的大小为60．

点评：１．通过（Ⅰ），复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量（法向量）投

影的绝对值的解题思路与方法． ２．通过（II ），复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况．

例3．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱

1AA 上任意一点．

（Ⅰ）求证： 直线1B P 不可能与平面11ACC A 垂直； （II ）当11BC B P ⊥时，求二面角11C B P C --的大小．