§2.6.3 玻耳兹曼分布
玻尔兹曼分布律重力场中粒子按高度分布
玻尔兹曼分布律在物理学中的应用
气体分子运动论
01
玻尔兹曼分布律是气体分子运动论的基础，可以用来描述气体
分子在平衡态下的速度分布和能量分布。
热力学
02
玻尔兹曼分布律在热力学中也有广泛应用，如热力学第二定律、
熵的概念等都涉及到玻尔兹曼分布律。
固体物理
03
在固体物理中，玻尔兹曼分布律可以用来描述电子在金属中的
05 结论与展望
研究结论
玻尔兹曼分布律在重力场中粒 子按高度分布的研究表明，在 一定条件下，粒子分布符合玻
尔兹曼分布。
随着高度的增加，粒子分布 逐渐稀疏，但仍保持玻尔兹
曼分布特征。
重力场对粒子分布的影响表现 为在低处粒子聚集，高处粒子 较少，这与玻尔兹曼分布的特
性相符合。
研究限制与不足
01
本研究仅限于理论分析和模拟，未能进行实际实验验证。
能量状态
根据能量守恒，可以得出 粒子在重力场中的能量状 态由动能和势能共同决定。
能量变化
在重力场中，粒子的能量 会发生变化，主要表现在 动能和势能之间的转换。
03 玻尔兹曼分布律与重力场 的结合
玻尔兹曼分布律在重力场中的适用性
玻尔兹曼分布律适用于粒子在平衡态 下的分布情况，当粒子受到重力作用 时，其分布情况同样适用玻尔兹曼分 布律。
玻尔兹曼分布律重力 场中粒子按高度分布
目录
CONTENTS
• 玻尔兹曼分布律的概述 • 重力场中粒子的运动规律 • 玻尔兹曼分布律与重力场的结合 • 实验验证与结果分析 • 结论与展望
01 玻尔兹曼分布律的概述
定义与特性
定义
玻尔兹曼分布律是描述粒子在平衡态下按能量分布的规律，其数学表达式为f(E) = exp(-E/kT)，其中E为粒子能量，k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度。
玻尔兹曼分布介绍
波茲曼分布的介绍所謂的分布函數(distribution function)是指當一個由多粒子所組成的物理系統處在絕對溫度T時，在系統達熱平衡的狀態下，粒子處在某一能量狀態的機率分布，而常見的分布函數有三種，即用於描述費米子(fermion)的費米-狄拉克分布函數(Fermi-Dirac distribution function)、用於描述玻色子(boson)的玻色-愛因斯坦分布函數(Bose-Einsein distribution)、以及常用於描述全同且可分辨之古典粒子的馬克士威-波茲曼分布函數[1]。
馬克士威-波茲曼分布函數是以物理學家馬克士威和波茲曼命名[2]。
此分布函數常用於描述氣體分子等古典粒子的統計分布。
雖然不同粒子間具有全同性（即粒子的本徵物理特性相同，像是粒子之質量、電荷、自旋等），但假設不同粒子間可被分辨，也就是說可將所有粒子編號且每個粒子可用牛頓力學來描述其運動軌跡，同時由於各粒子間分布距離較遠所以不同粒子的波函數重疊現象不嚴重，而使得氣體分子遵守馬克士威-波茲曼統計(Maxwell–Boltzmann statistics)[3]。
在統計力學中，馬克士威-波茲曼分布函數被表示成：f MB(ϵ)=Ae−ϵ/K B T⋯(1)，其中f MB(ϵ)便是指粒子處在能量ϵ的機率而K B=1.38×10−23（單位：焦耳/絕對溫度）是為了紀念波茲曼在統計學上的貢獻而用其名字而命名的波茲曼常數，另外係數A在此扮演機率歸一的角色，也就是說粒子處在所有能量狀態所發生的各種可能的機率總和為一，此外係數A也可與系統的粒子個數有關。
圖一三種常見的統計機率分布函數，MB指馬克士威-波茲曼分布。
圖一是當系統處在一明確溫度下，粒子處於不同能量的機率分布圖，由圖中我們可以了解到對於馬克士威-波茲曼分布來說，粒子處於較低能量態(ϵ≪K B T)的機率較高，也就是說多粒子系統中的大部分粒子容易處在低能量態，使得系統本身偏好保持最低能量。
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布也叫吉布斯分布，是一种覆盖系统各种状态的概率分布、概率测量或者频率分布。
当有保守外力（如重力场、电场等）作用时，气体分子的空间位置就不再均匀分布了，不同位置处分子数密度不同。
玻耳兹曼分布律是描述理想气体在受保守外力作用、或保守外力场的作用不可忽略时，处于热平衡态下的气体分子按能量的分布规律。
通俗的讲，如下：我们假设有个星球叫Endor星，这上面生活的一个物种叫Ewok人。
为简单起见，星球上一共有 n=1000个Ewok人，Ewok人流通的货币就叫，，，，，Energeia 币吧。
在t=0时刻，上帝认为All Ewoks are created equal!于是把每个Ewok 人钱包里的钱重置为了e=20块Energeia币。
（这样世界上总共有 E=en=20000个Energeia币在流通。
）之后上帝决定做一个社会学实验：每一秒随机抽两个Ewok人，如果第一个Ewok人的钱包不是空的，就从ta钱包里拿走1块Energeia币，并把它送给第二个Ewok人。
num = 1000money_list = fill(20, num)for _ in 1:5e7i = rand(1:num)if money_list[i] > 0money_list[i] -= 1money_list[rand(1:num)] += 1endendbar(sort(money_list))经过很长时间，上帝决定统计一下大家的阶级分布。
上帝把所有Ewok人的财富排序之后做了张图。
<imgsrc="https:///50/v2-e10c575e8a4f7927515d020f6519ee4e_hd.jpg?source=1940ef5c" data-size="normal" data-rawwidth="1801"data-rawheight="1121"data-default-watermark-src="https:///50/v2-19cbf11d9ffe 9b5ac5537e7324f2ad2b_hd.jpg?source=1940ef5c" class="origin_imagezh-lightbox-thumb" width="1801"data-original="https:///v2-e10c575e8a4f7927515d020f6519 ee4e_r.jpg?source=1940ef5c"/>每个Ewok人的财富（已排序）delta = 5M = 100distrb = map(x->count(m -> (x <= m < x + delta), money_list), 0:delta:M)bar(0:delta:M, distrb)xlabel!("Money / Energeia Coin"); ylabel!("Number of Ewoks")<imgsrc="https:///50/v2-d871f8e8b3a15ba7cf6edb8d8365d652_hd .jpg?source=1940ef5c" data-caption="" data-size="normal"data-rawwidth="600" data-rawheight="400"data-default-watermark-src="https:///50/v2-d248c9e976c1 76805c1e2357a6016a70_hd.jpg?source=1940ef5c" class="origin_imagezh-lightbox-thumb" width="600"data-original="https:///v2-d871f8e8b3a15ba7cf6edb8d8365d652_r.jpg?source=1940ef5c"/>（经过调参后，上帝决定以5个Energeia币为分度，划分阶级。
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布)exp()0()(RTgzM n z n m -⋅=等温大气重力场中分布公式式麦克斯韦速度分布2223/2()(,,)d d d ()exp d d d 2π2x y z x y z x y z x y z m m f kT kT ⎡⎤++=⋅-⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦v v v v v v v v v v v v )exp(kTε- 分布都是按粒子能量ε的分布，它们都有一个称为“玻尔兹曼因子”的因子1122exp()N N kTεε-=-)/exp(kT ε-1ε2ε 规律:这些分布中都有因子 ，称为玻尔兹曼因子。
具有玻尔兹曼因子的分布，称为玻尔兹曼分布（Bortzmann distribution ）若n 1和n 2分别是在温度为T 的系统中，处于粒子能量为的某一状态与粒子能量为的另一状态上的粒子数密度。
则玻尔兹曼分布可表示为)exp(2121kTn n εε--= 玻尔兹曼分布表示：粒子处于能量相同的各状态上的概率是相同的；粒子处于能量不同的各状态的概率是不同的，粒子处于能量高的状态上的概率反而小---能量最小原理。
exp()N kTε∝-1）玻尔兹曼分布能为我们提供用来表示温度的另一表达式1221ln()T n k n εε-=)exp(2121kTn n εε--=对于粒子只能取两个能级的系统：12εε>产生激光的系统，就处于粒子数反转（populationinversion ）的负温度状态。
12εε>讨论12n n <0T >若12n n >若T <2）有外力场时分子按能量的分布规律分子处于保守力场中时，分子能量既有动能又有势能分子动能是分子速度的函数，分子势能一般是位置的函数，分子数按能量分布关系与速度有关，也和空间位置有关.(p )3k 20d ()e d d d d d d 2πE E kT x y z m N n x y zkT-+=⋅v v v 其中n 0 表示E p =0处气体分子的数密度.（玻耳兹曼分子按能量分布定律）,d ~,d ~,d ~z z z y y y x x x v v v v v v v v v +++p222p 2p k )(2121E m E m E E E z y x +++=+=+=v v v v ,d ~,d ~,d ~z z z y y y x x +++x ),,(z y x ),,(z y x v v v ..(p )k d eE E kTN C -+∝⋅3）重力场中微粒按高度分布根据麦克斯韦速度分布函数的归一化性质则玻耳兹曼分布可以写为：（粒子数密度按势能的分布）3k 2- ()e d d d 12πE kT x y z m kT +∞-∞⋅=⎰⎰⎰v v v p- 0d ed d d E kTN n x y z=⋅zy x N n d d d d =P 0eE kTn n -=分子按势能的分布规律是玻耳兹曼分布律的另一常用形式.//3/20[d d d ]()d d d 2πp k E kTE kTVm n ex y z e kT --⎰⎰⎰⎰⎰⎰ x y z vv v v N=如果保守外力场为重力场，势能为 E p =mgz （z 为高度），则(重力场中粒子数密度按高度的分布)将其代入理想气体状态方程有0emgzkTp n kT -=⋅- 0emgz kTp = 0eM RTgz p -=kTgzm kTE en en n --==00pnkT p =(p )3k 20d ()e d d d d d d 2πE E kT x y z m N n x y zkT-+=⋅v v v 其中n 0 表示E p =0处气体分子的数密度.玻耳兹曼分子按能量分布定律,d ~,d ~,d ~z z z y y y x x x v v v v v v v v v +++,d ~,d ~,d ~z z z y y y x x +++x 谢谢大家！。
玻耳兹曼分布律
1. 玻尔兹曼分布律 平衡态下（温度一定） 速度区间 vx — vx+dvx vy — vy+dvy vz — vz+dvz
位置区间
x —x+ dx y —y+ dy z —z+ dz
1
*§9.11
求状态区间dvxdvy dvz dxdydz的分子数为?
dxdydz
体积元 dxdydz 中的分子数密度为 dN E p / kT E p / kT n C e n0e dxdydz n0 C ——分子在EP=0处分子的数密度
4
EP=mgh，则
n n0e
mgh / kT
n0e
M mol gh / RT
重力场中气体分子的密度 n随高度h的增加按指数规律而 减小。 1909年的皮兰实验的验证
由理想气体的压强 P= nkT
mg h kT M mol g h RT
P n0e
kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ P0e
——恒温气压公式
5
dv x dv y dv z dxdydz
3
求体积元 dxdydz 中的分子数 dN
C[ e
2 2 (v2 x v y v z ) / 2 kT
dv x dv y dv z ]e
EP / kT
dxdydz
C与[ ]中的定积分合并为常数C′
dN Ce
E P kT
——玻尔兹曼分布 E / kT e —— 称为玻尔兹曼因子
2
2. 重力场中分子按位置的分布
状态区间dvxdvy dvz dxdydz 分子的总能量
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布定律是覆盖系统各种状态的概率分布，概率测量或频率分布。
当存在保守的外力（例如重力场，电场等）时，气体分子的空间位置不再均匀分布，并且在不同位置分子数密度也不同。
玻尔兹曼分布定律描述了在保守外力或保守外力场的作用下处于热平衡状态的理想气体分子的能量分布。
L. E. Boltzmann将麦克斯韦分布定律扩展到外力场的情况。
在相同的宽度范围内，如果E1> E2，则能量DN1大的粒子的数量少于能量DN2小的粒子的数量，并且状态是粒子优先占据较小的能量，这是玻尔兹曼的重要结果分配法。
经过近一个世纪的传播，物理和化学界逐渐接受道尔顿的“原子分子模型”，但是原子和分子的确凿证据尚未得到发现。
这时，出现了更强大的科学成就，即热力学的第一定律和第二定律。
热力学原则上解决了化学平衡的所有问题。
1892年，物理化学家奥斯特瓦尔德（Ostwald）试图证明没有必要将物理和化学问题减少到原子或分子之间的机械关系。
他试图赋予“能量”与物质对象相同的状态，甚至使物质恢复能量。
他提出“世界上所有现象都仅由时空的能量变化构成”。
在统计中，麦克斯韦·玻尔兹曼分布是一种特殊的概率分布，以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼的名字命名。
它首先被定义并在物理学中用于描述（特别是在统计力学中）粒子在理想气体中自由移动而不与固定容器中的其他粒子相互作用的速度，除了粒子与其热环境之间的非常短时间的碰撞之外通过交换能量和动力。
在这种情况下，粒子是指气态粒子（原子或分子），并且假定粒子系统达到了热力学平衡。
当这种分布最初是从1960年的麦克斯韦启蒙运动中获得的时，玻尔兹曼对这种分布的物理起源进行了许多重要的研究。
粒子速度的概率分布表明哪个速度更有可能：粒子具有从分布中随机选择的速度，并且比其他选择方法更有可能处于速度范围内。
分布取决于系统温度和颗粒质量。
Maxwell Boltzmann分布适用于经典理想气体，这是理想的真实气体。
2.6玻尔兹曼分布
p( z) p(0) e
n( z ) n(0) e
Mg z RT
Mg z RT
kT RT 定义大气标高： H mg Mg
p( z) p(0) e
z H
大气标高是粒子按高度分布的特征量，它反映了气体分子热运 动与分子受重力场作用这一对矛盾。
§2.6 玻尔兹曼分布
§2.6 玻尔兹曼分布 *三、悬浮微粒按高度的分布（溶液、气体中悬浮物系统等） 设每一个微粒的质量为m，体积为V，微粒的密度为ρ，
液体密度ρ0，则每一微粒受到的合力方向向下，为：
F mg 0Vg m* g
其中m* m(1
0 ) 称为等效质量
m* gz kT
n( z) n(0) e
第二章
§2.6 玻尔兹曼分布
作业：
§2.6 玻尔兹曼分布 一、等温大气压强公式 重力作用和热运动是一对矛盾。 该系统达到力学平衡的条件为：
p A ( p dp) A z gAdz
(p+dp)A z+dz
系统
zρgdVpA源自p dp z gdz
ω r h
L dr
2
dp r r 2dr
dp m 2 dr p kT
pm r nr m kT
pr p0 e
m 2 r 2 2 kT
nr n0 e
m 2 r 2 2 kT
*四、玻尔兹曼分布 设n1和n2分别表示在温度为T的系统中，处于粒子能量为ε1的 某一状态与ε2的另一状态的粒子数密度，则 1 2 玻尔兹曼分布 n1 n2e
玻尔玆曼分布定律
玻尔兹曼分布定律是一个描述一定温度下微观粒子运动速度的概率分布的定律，以奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼命名。
在物理学和化学中，这个定律被广泛应用于描述气体分子的速度分布。
任何宏观物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。
这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其他粒子的碰撞而不断变化。
然而，对于大量粒子来说，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例几乎不变，如果系统处于或接近处于平衡状态。
玻尔兹曼分布定律具体说明了处于任何速度范围的粒子数量与系统温度的关系，这个关系由一个数学公式表示。
这个公式表明，随着系统温度的升高，高速运动的粒子数量会增加，而低速运动的粒子数量会减少。
这个定律在物理学中有广泛应用，不仅限于气体分子的研究，还涉及到其他领域如电磁学、热力学等。
此外，它也为统计力学的理论框架提供了基础，使得我们能够更好地理解物质的热性质和动力学行为。
玻耳兹曼分布律PPT讲解
自由运动的路程 ：自由程 其平均值 ：平均自由程
二、平均碰撞频率
v
一个分子在单位时间内和其他分子碰撞的次数 Z ：碰撞频率
其平均值 Z ：平均碰撞频率
一个分子在单位时间内走过的平均路程：v ， v / Z
4
三、Z 、 的计算
d ：分子直径
v
Z d 2vn
d 2：分子碰撞截面
Z 2d 2vn
V1
V2
V
V2 V
10
功 A是过程量，不是状态量，与 P，V，T，E不同
元功 dA，dP、 dV 、dT 、 dE
9
四、平衡态、准静态过程、功的几何表示
理想气体， PV RT
P
P
P
（ P，V ）
V
V
点 平衡态
有向曲线 准静态过程
V1
P
面积 A V2 PdV V1
面积 准静态过程的功
只有 PV 图上的面积表示功
解： Z 2d 2vn 2d 2 8RT P kT
81.19 亿次/秒
kT
2d 2P
ห้องสมุดไป่ตู้
2.09 107 m
T t 273.15 ， 1atm 1.013105Pa
6
热力学基础 第1节 几个基本概念
一、系统与外界 确定为研究对象的宏观体系：系统或体系 系统以外的物体：外界或环境
二、准静态过程 系统状态随时间的变化：热力学过程 准静态过程：如果一个过程进行的无限缓慢，体系所经历的 每一个中间态都无限接近于平衡态
例：求大气中 n 相差一倍的两处的高度差
已知：空气摩尔质量 28.97 103 kg ，T 300K
解： h1处：n1
gh1
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布律是一种覆盖系统各种状态的概率分布、概率测量或者频率分布。
当有保守外力（如重力场、电场等）作用时，气体分子的空间位置就不再均匀分布了，不同位置处分子数密度不同。
玻尔兹曼分布律是描述理想气体在受保守外力作用、或保守外力场的作用不可忽略时，处于热平衡态下的气体分子按能量的分布规律玻尔兹曼(L.E.Boltzmann)将麦克斯韦分布律推广到有外力场作用的情况。
在等宽的区间内，若E1>E2，则能量大的粒子数dN1小于能量小的粒子数dN2，状态即粒子优先占据能量小的，这是玻尔兹曼分布律的一个重要结果。
经过将近一个世纪的传播，物理学界、化学界渐渐接受了道尔顿的“原子—分子模型”，但原子、分子的确凿证据迟迟没有找到。
恰恰此时，一股更强大的科学成就——热力学第一、第二定律出现了。
热力学原则上解决了一切化学平衡的问题。
1892年，物理化学家奥斯特瓦尔德试图在此基础上证明，将物理学和化学问题还原为原子或分子之间的力学关系是多余的。
他试图将“能量”赋以实物一样的地位，甚至要把物质还原为能量。
他提出“世界上的一切现象仅仅是由于处于空间和时间中的能量变化构成的”。
在统计学中，麦克斯韦- 玻尔兹曼分布是一种特殊的概率分布，以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼的名字命名。
它一开始在物理中定义并使用是为了描述（特别是统计力学中描述理想气体）在理想气体中粒子自由移动的在一个固定容器内与其它粒子无相互作用的粒子速度，除了它们相互或与它们的热环境交换能量与动量所产生的非常短暂的碰撞。
在这种情况下粒子指的是气态粒子（原子或分子），并且粒子系统被假定达到热力学平衡。
在这种分布最初从麦斯威尔1960年的启发性的基础上衍生出来时，玻尔兹曼之后对这种分布的物理起源进行了大量重要调查粒子速度概率分布指出哪一种速度更具有可能性：粒子将具有从分布中随机选择的速度，并且比其它选择方法更可能在速度范围内。
玻尔兹曼分布律(补充)
目录
CONTENTS
• 玻尔兹曼分布律的起源和定义 • 玻尔兹曼分布律的数学表达形式 • 玻尔兹曼分布律的应用 • 玻尔兹曼分布律与其他统计分布的关系 • 玻尔兹曼分布律的近似和推广 • 玻尔兹曼分布律的实验验证
01 玻尔兹曼分布律的起源和 定义
起源
01
19世纪末，路德维希·玻尔兹曼在 研究气体分子运动时，提出了分 子分布的一种理论。
总结
泊松分布和玻尔兹曼分布律都是描述随机事件发生次数的统计分布，但它们关 注的侧重点不同。泊松分布关注的是单位时间内事件发生的次数，而玻尔兹曼 分布律关注的是事件发生的相对频率。
与指数分布的关系
指数分布
在一定条件下，某个事件发生的时间间隔往往服从指数分布。如果一个随机变量服从指数分布，则其概率密度函 数是关于时间间隔的倒数对称的。
在分子运动论中的应用
01
02
03
分析分子运动规律
利用玻尔兹曼分布律，可 以分析气体分子在平衡态 下的运动规律，如平均速 度、方均根速度等。
研究分子碰撞过程
玻尔兹曼分布律可以用于 研究气体分子之间的碰撞 过程，如弹性碰撞、非弹 性碰撞等。
预测分子输运性质
通过玻尔兹曼分布律，可 以预测气体分子的输运性 质，如扩散系数、粘滞系 数等。
在信息论中的应用
熵的概念起源
玻尔兹曼分布律是信息论中熵概念的起源，熵表示系统的混乱程 度或不确定性的度量。
概率分布的应用
玻尔兹曼分布律作为一种概率分布，可以用于描述信息传输中的错 误概率分布。
信息编码与解码
在信息编码与解码的过程中，可以利用玻尔兹曼分布律来优化编码 方案，提高信息传输的效率和可靠性。
指导实际应用
玻尔兹曼分布知识点
玻尔兹曼分布知识点玻尔兹曼分布是热力学和统计物理学中一个重要的概念，用于描述分子运动中的粒子分布规律。
本文将深入探讨玻尔兹曼分布的相关概念、推导过程以及在实际应用中的重要性。
一、玻尔兹曼分布的概念和基本原理玻尔兹曼分布是基于分子动力学理论和统计物理学原理得出的一种分布概率模型。
它描述了在一定温度下，处于平衡状态的粒子在不同能级之间的分布情况。
玻尔兹曼分布的基本原理可以通过亥姆霍兹自由能（Helmholtz Free Energy）的最小化推导得出。
根据统计物理学的理论，亥姆霍兹自由能F可以通过以下公式计算：F = U - TS其中，U表示系统的能量，T为温度，S为系统的熵。
当亥姆霍兹自由能取得最小值时，系统达到了平衡状态。
根据最小化亥姆霍兹自由能的原理，可以得出玻尔兹曼分布的表达式：P_i = e^(-E_i / kT) / Z其中，P_i表示处于能级E_i的粒子的分布概率，e为自然对数的底，k为玻尔兹曼常数，T为温度，Z为归一化因子（配分函数）。
二、玻尔兹曼分布的应用领域1. 等温过程分析玻尔兹曼分布广泛应用于等温过程的分析中。
在等温过程中，粒子的能级和分布受到温度的影响。
通过玻尔兹曼分布，可以计算出处于不同能级上的粒子数目，从而揭示了在等温条件下粒子分布的规律性。
2. 热力学系统的熵计算熵是描述系统混乱程度的物理量。
根据统计物理学的理论，熵可以通过玻尔兹曼分布计算得出。
根据玻尔兹曼分布的表达式，可以推导出系统的熵与粒子分布的关系，从而计算系统的熵。
3. 气体分子的速度分布玻尔兹曼分布也可以应用于气体分子的速度分布分析。
在一定温度下，气体分子的速度分布是符合玻尔兹曼分布的。
通过玻尔兹曼分布的公式，可以计算出不同速度范围内的气体分子数目，用来描述气体分子的速度分布规律。
4. 量子力学系统的能级分布在量子力学领域，玻尔兹曼分布也被广泛运用于描述量子系统的能级分布。
根据玻尔兹曼分布的表达式，可以计算出处于不同能级上的量子态的分布概率，从而分析量子系统的能级结构。
玻尔兹曼分布与配分函数的计算
微观状态
在给定宏观状态下，系统所具有的能量状态、粒 子排列等具体细节。
3
宏观状态
系统整体表现出的性质，如温度、压力等。
配分函数的计算方法
直接计算法
01
通过计算系统所有可能微观状态的数量，累加得到配分函数。
微正则系综
02
利用微正则系综的统计性质，通过积分计算配分函数。
多粒子系统的玻尔兹曼分布与配分函数计算
总结词
详细介绍了多粒子系统的玻尔兹曼分布与配分函数计算的方法和步骤。
详细描述
在多粒子系统的计算中，玻尔兹曼分布和配分函数的应用更为复杂。由于粒子间的相互作用，需要使 用更高级的统计物理方法来处理。常用的方法有微扰论、路径积分等。通过这些方法，可以计算出多 粒子系统在平衡态下的分布情况，进一步研究系统的热力学性质和的应用
要点一
总结词
要点二
详细描述
阐述了玻尔兹曼分布与配分函数在热力学中的重要应用。
玻尔兹曼分布和配分函数是热力学中的基本概念，对于理 解系统的热力学性质具有重要意义。通过计算配分函数， 可以得到系统的熵、焓等热力学量，进一步研究系统的相 变行为和热力学过程。同时，玻尔兹曼分布还可以用于研 究非平衡态系统的输运性质和热传导等问题，对于理解复 杂系统的行为具有重要意义。
玻尔兹曼分布的应用场景
玻尔兹曼分布在统计物理学中有着广泛的应用，包括气体分子运动论、热力学、 化学反应动力学等领域。
在实际应用中，玻尔兹曼分布可以用于计算分子的平均动能、分子碰撞频率等物 理量，以及用于分析气体分子的微观行为和宏观性质之间的关系。
02 配分函数的计算
配分函数的定义
麦克斯韦-玻耳兹曼分布PPT课件
解： v ( 1 / 2)h
gv 1
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
ii
Ng je j /(kT ) q
N e
(v 0 ) kT
N0
0, 1, 2,
h
e kT
例：一维简谐振子的振动能 v
1 2
h 。一定温
度下已知处于振动第二激发能级的分子数与基态分
Nj / N
粒子处于j 能级的概率
gj越大，Nj /N越大
j越大，Nj /N越小
N j
N g je j /(kT ) g e i /(kT )
ii
N g je j /(kT ) 或 q
Nj N
g e j /(kT ) j q
上述系统中 麦玻分布 = 最概然分布 = 平衡分布
g je j /kT 玻耳兹曼因子 与平衡时系统中能量为j 的分子数成正比
求取未定乘数 和
ln
gj Nj
j
0
N j g jee j
N
j N j e
j g je j
e N
j g je j
玻耳兹曼常数
kR L
E
j N j j N
g e j
j jj
j g je j
1 / (kT )
麦克斯韦–玻尔兹曼分布
e N
j g je j
N j gie e j
N!
(
gNj j
)
j N j!
ln = lnN! j N jlng j j lnN j!
斯特林近似式 N 1时，ln N ! N ln N N
N!
2 N N N
exp(
热学玻尔兹曼分布.ppt
每一个分子的总的平均能量为： (t r 2v) kT 1 ikT，
22
注意
i t r 2v
1）、各种振动、转动自由度都应是确实对能量均分定理作全部贡献的自由度。 2）、只有在平衡态下才成立。 3）、它是对大量分子统计平均所得结果。 4）、它不仅适用于理想气体，而且也适用于液体和固体。 5）、气体：靠分子间大量无规则的碰撞来实现；液体、固体：分子间强相 互作用来实现
若受到限制自由度降低 平面上 2个 平动自由度 t=2 直线上 1个 平动自由度 t=1
例2 自由运动的刚体 (如大家熟悉的手榴弹)自由度？ 首先应明确刚体的振动自由度 s = 0 按基本运动分解：平动 + 转动 整体随某点(通常选质心)平动
cc
cc
c
6个自由度 t+ r = 3 + 3 = 6
定质心位置 需3个平动自由度
n(z) n(0) exp( m*gz )， RT
其中m* m(1 0 )
1908年法国科学家 Perrin首次观测到，1926年 获得诺贝尔物理奖。
旋转体中悬浮粒子径向分布： ω
l
r dr
h
超速离心技术与同位素分离：
台风、飓风和龙卷风：
四、玻尔兹曼分布
设n1和n2分别表示在温度T的系统中，处于粒子能 量为ε 1的某一状态与ε 2的另一状态的粒子数密度。
复习、提问
最概然速度＝？ 思考题2.14
§2.6 玻尔兹曼分布
一、等温大气压强公式
该系统达到平衡的条件为：
p A ( p dp) A gAdz, dp gdz
p dp
z mg dz
0p
0 kT
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布Maxwell-Boltzmann分布是一种概率分布，在物理和化学中都有应用。
最常见的应用是统计力学领域。
任何（宏观）物理系统的温度都是组成系统的分子和原子运动的结果。
这些粒子具有不同的速度范围，并且任何单个粒子的速度由于与其他粒子的碰撞而不断变化。
但是，对于大量粒子，如果系统处于或接近于平衡状态，则在一定速度范围内的粒子比例几乎不变。
Maxwell-Boltzmann分布针对任何速度范围指定了该比率，该比率是系统温度的函数。
它以James Clark Maxwell和Ludwig Boltzmann的名字命名。
Maxwell-Boltzmann分布构成了分子动力学理论的基础。
它解释了许多基本气体性质，包括压力和扩散。
Maxwell-Boltzmann分布通常是指气体中分子速度的分布，但也可以指分子的速度，动量和动量的分布。
每个都有不同的概率分布函数，并且它们都是相关的。
一起。
Maxwell-Boltzmann分布可以使用统计力学方法得出（请参阅Maxwell-Boltzmann统计数据）。
它对应于由大量非相互作用粒子组成的基于碰撞的系统中最可能的速度分布，其中量子效应可以忽略。
由于气体中分子的相互作用通常很小，因此麦克斯韦-玻耳兹曼分布提供了非常好的气体状态近似值。
在许多情况下（例如非弹性碰撞），这些条件不适用。
例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别是对于电子，复合和碰撞激发（即辐射过程）很重要。
如果在这种情况下应用Maxwell-Boltzmann分布，将会得到错误的结果。
Maxwell-Boltzmann分布不适用的另一种情况是，当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于明显的量子效应，无法使用Maxwell-Boltzmann 分布。
另外，由于它是基于非相对论的假设，因此麦克斯韦-玻耳兹曼分布无法预测分子速度大于光速的概率为零。
玻尔兹曼分布 推导
玻尔兹曼分布推导
玻尔兹曼分布是描述一个封闭系统中粒子分布的统计物理学模型，其推导如下：
假设一个系统中有N个粒子，每个粒子具有能量$E_i$，粒子遵循玻尔兹曼分布就意味着，在一段时间内，在系统中具有各种能量的粒子的概率是相等的。
设$N_i$表示能量为$E_i$的粒子数，则系统总能量为：
$U = \sum_{i=1}^{s} N_i E_i$
其中$s$为能量离散化的步长数，即将能量分为离散的s个部分。
考虑系统的总粒子数不变，即$\sum_{i=1}^{s} N_i$为常数，可以使用拉格朗日乘子法，根据约束条件得到：
$S = -k \sum_{i=1}^{s} N_i \ln{\frac{N_i}{g_i}} +
k\alpha(\sum_{i=1}^{s} N_i - N)$
其中$k$为玻尔兹曼常数，$g_i$为每个能级i的简并度（即能量$E_i$出现的次数），$\alpha$为拉格朗日乘子，N为总粒子数。
为使熵取最大值，使用极值条件，对$S$求导并令其等于0，即可得到粒子数的表达式：
$N_i = g_ie^{-E_i/kT}$
其中，$T$为系统的温度，$kT$即为热能的平均能量，也被称为玻尔兹曼温度。
将$N_i$带回到总能量的表达式中，得到：
$U = \sum_{i=1}^{s} g_i E_i e^{-E_i/kT}$
以上就是玻尔兹曼分布的推导过程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
处于能量高的状态上的粒子数反而少。
玻耳兹曼分布:
n1
n2
exp( 1 2
kT
)
• 玻耳兹曼分布表示： • 粒子处于能量相同的单个状态上的概率是相同的； • 粒子处于能量不同的单个状态上的概率是不同的， • 粒子处于能量高的单个状态上的概率反而小。
n1Biblioteka n2exp( 1 2
kT
)
• 应该注意:
• 玻耳兹曼分布是一种普遍的规律。 对于处于平衡态的气体中的原子、分子、布朗粒子， 以及液体、固体中的很多粒子，一般都可应用玻耳兹 曼分布， 只要微粒之间相互作用小到可忽略.
• 由玻耳兹曼分布表示温度 负温度
§2.6.3 玻耳兹曼分布
利用归纳法得到玻耳兹曼分布
n( z) n(0) exp( Mgz) RT
• 这是等温大气中的粒子分布公式,
• 与此类似,玻耳兹曼分布可表示为
n1
n2
exp(
1 2
kT
)
ε1、ε2分别表示粒子处于两个不同的单个状态
时所对应的能量,
n1、n2 分别表示在两个不同单个状态上的粒子 数, 因为玻耳兹曼分布中有一个负号,说明处于能量 低的状态上的粒子数多,
• 因为同一能量常常可以有多个不同的状态。
• 例如，那些处于速度空间中以原点为中心、v 为半径
的球面上的理想气体分子， • 它们的能量均相同，但速度方向不同， • 说明在同一能级上的有很多个粒子状态。 • 而玻耳兹曼分布表示了两个不同能级上的两个状态上
的粒子数之间的关系。
• 玻耳兹曼分布是玻耳兹曼于1868年在推广麦克斯韦速 度分布时建立的平衡态能量分布律.