3.2-向量的线性组合—线性代数(吴赣昌-第四版)

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3. 线性表示的充要性定理：
设向量


b1 b2



,向量j

a1 j a2 j
(
j
1,2,
, s)
bm

amj
则向量 可 由 向 量 1 ,2 , ,s线性表示的充要条件是:
A=(1,2, ,n)与A=(1,2, ,n,)的秩相等.
第三章 线性方程组
第二节 向量的线性组合
一、n维向量及其线性运算 二、向量组的线性组合 三、向量组间的线性表示
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一、n维向量及其线性运算 1、n维向量的定义 ｎ个数 a1,a2, ,an组成的有序数组
a 1a 2 a n 或 a 1a 2 a n T
称为一个ｎ维向量，其中a i 称为第i 个分量（坐标）.
ｎ维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量，
记作 T,T,aT,bT.
如： Ta 1 a 2
a n
ｎ维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量，
记作 ,,a,b. a 1
如：



a
2


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a
n

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三维向量空间 R 3 { r(x,y,z)T|x,y,z R } n维向量空间 R n { (x 1 ,x 2 , ,x n )T |x 1 ,x 2 , ,x n R }
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T 2

a in

T i

a mn

T m
向量组
1T, 2T,
,
为T矩阵Ａ的行向量组．
m
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反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个 矩阵.
ｎ个ｍ维列向量.所组成的向量组 1,2, ,n
构成一个mn矩阵.
A 1 2
n
称为α与β的和向量. ( ) a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n
称为α与β的差向量.
（2）数乘
a 1a 2 a n ,k R
规定 k k k a 1k a 2 k a n
称为数ｋ与向量α的数量积.
向量的加法与数乘合称为向量的线性运算.
a11k1 a12k2

a21k1

a22k2


am1k1 am2k2
a1nkn b1 a2nkn b2
amnkn bm
则线性方程组是否有解
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判断向量 (4,3,1,11)T能否由向量组 1(1,2,1,5)T 2(2,1,1,1)T线性表示
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2、向量组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合 叫做向量组．
记作： 1,2, ,s
或 i
例如 对于一个m矩n阵有ｎ个ｍ维列向量.
1 2
j
n
a11
A

a21
Байду номын сангаас
a12 a1j a22 a2j

a1n a2n
故
k11 k12
(1,2, ,t)(1,2, ,s)k21 k22
ks1 ks2
k1t
k2t


kst

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系数矩阵
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3. 引理
若 CsnA stB tn，
（1）则称矩阵C的列向量能由A的列向量线性表示， B为该表示的系数矩阵；
（2）矩阵C的行向量能由B的行向量线性表示， A为该表示的系数矩阵；
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（3）转置
x1



x
2


T x 1 x 2
x n
（4）乘法

x
n

对于ｎ维行向量
T x 1 x 2
x n
x1
T


x2


x1
x2
xn 为ｎ阶方阵；

xn

T x1 x2
ｍ个ｎ维行向量.所组成的向量组 1T,2T, ,mT
也构成一个mn矩阵.
B



T 1
T 2




T m

矩阵与向量组之间建立了一一对应的关系．
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3、向量的运算
（1）加法
规定
a 1 a 2 a n , b 1 b 2 b n , a 1 b 1a 2 b 2 a n b n
,n 线性表示.
（2）零向量是任一向量组的线性组合
0 = 0 a 1 0 a 2 0 a n （3）向量组a1,a2, ,as任一向量aj(1 j s)都是此向量组的
线性组合
a j 0 a 1 1 a j 0 a s
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5. 求解方法
k 11 k 22 k nn
则称向量组A可由向量组B线性表示.
2. 若向量组B能由向量组A线性表示，则存在
k 1 j,k 2 j, ,k s j(j 1 ,2 , ,t),
使得
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j k1j1k2j2
ksjs (1,2,
k1j

,s)k2j

ksj
解 设 k1 1k2 2，对矩阵(1 2 )做初等变换
1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 0 2 2 1 30 5 50 1 10 1 1 1 1 1 0 3 3 0 0 0 0 0 0 5 1 11 0 9 9 0 0 0 0 0 0

am1 am2 amj amn
向量组 1,2, ,n 称为矩阵Ａ的列向量组.
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类似的，矩阵有ｍ个ｎ维行向量.

a a 1 1
12
a a 2 1
22

A
a a i1
i2

a a
m1
m2

a 1n a 2n

T 1
易见 r (1 2 ) r (1 2 )
, 故 可由 1 2 线性表示，取 k1 =2, k2 =1，
212
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三. 向量组的线性表示
1. 线性表示 设有两个向量组
1,2, ,s
(A)
1,2, ,t
(B)
如果A中每一向量 都可由组B线性线性表示,
x1
xn

x2

为一阶方阵，即一个数.

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xn

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二、向量组的线性组合
1.线性方程组的向量表示
a11x1 a12x2

a21 x1

a22 x2


am1x1 am2x2
a1nxn b1 a2nxn b2
4. 定理
如果向量组A可由向量组B表示, 而向量组B又可由向量组C表示, 则向量组A也可由向量组C表示.
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向量组的等价定义及性质
定义：设有两个向量组
1,2, ,s
(A)
1,2, ,t
(B)
如果(A),(B)可以相互线性表示，则称向量组(A)
与(B)等价.
性质:
(1) 自反性 (2) 对称性 (3) 传递性
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4. 性质
（1）任一n维向量可以由n维单位向量组：1,2,
a1 1 0



a2



a1
0

a2
1



0

an

0

an

0
0
1

=a11 a2 2 an n
amnxn bm
1 x 1 2 x 2 n x n
则线性方程组是否有解，相当于是否存在一组数
k1,k2, ,kn
使得下列关系式成立
k 11 k 22 k nn
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2. 线性表示的定义：
对于给定向量 ,1,2, ,s, 如果存在一
组数 k1,k2, ,ks, 使关系式
k 11 k 22k ss
成立,则称向量 是 1,2, , s 的线性组合,或称
向量 可 由 1 , 2, , s线性表示. 例 T ( 2 , 1 , 1 ) ,1 T ( 1 , 0 , 0 ) ,2 T ( 0 , 1 , 0 ) 3T (0,0,1). 则 T21 T2 T3 T