二-微分的几何意义
2-3-1微分的概念及公式
听讲勾画做笔记
听讲交流
听讲勾画做笔记
小结
1、总结本节课所学知识点
2、学生自我总结归纳
3、收集学生意见或者建议
作业
习题2-3
教学反馈
教研室
审阅意见
程名称
年级
专业
授课教师
授课时间
学时
授课
题目
微分的概念及几何意义
教学
目标
知识目标：
1、理解微分的概念，
2、了解微分的几何意义，
3、掌握微分基本公式及算法
技能目标：
能用导数描述一些实际问题中的变化率
素质目标：
培养学生良好的罗辑思维能力
教学
重点
微分公式及计算方法
教学
难点
微分的概念
教学
方法
讲授
教学
准备
教案、准备PPT
二、微分基本公式与运算法则
1.微分的基本公式
2.函数和、差、积、商的微分法则
设函数 和 在 处可微，则
（1） ;
（2） ;
（3） （ 为常数）;
（4） .
通过PPT演示讲解基本知识点
讲解例题
通过PPT演示讲解基本知识点
通过PPT演示讲解基本知识点
讲解例题
通过PPT演示讲解基本知识点
听讲勾画做笔记
听讲交流
（1） ；（2） .
解（1）
（2）
2.微分的几何意义
点 是曲线 上一点,当自变量 有微小改变量 时,得到曲线上另一点 ,于是 , .过点 作曲线的切线 ,其倾角为 ,则 ,即 .由此可知,微分 是曲线 在点 处切线的纵坐标的改变量.当 很小时, 比 小很多,因此在点 附近,可用切线段近似代替曲线段,俗称“以直代曲”.
二阶偏微分
二阶偏微分一阶偏微分方程是一类应用广泛的偏微分方程，它给出了解析函数和的全局解，求解一般比较容易。
但是对于一些特殊形式的函数却无法计算其偏导数或者全微分。
对此，我们在一阶偏微分的基础上引入一个叫做二阶偏微分的概念。
首先介绍一下二阶偏微分的定义：设，称为[(或[)的二阶偏微分。
这里要说明的是二阶偏微分是偏微分的线性变换，而不是偏微分的概念本身。
偏微分概念可以等价地表示为：其中。
二阶偏微分是基于对齐次多项式函数的偏导数和全微分的深入研究而引入的，它可以求解任意一类多元函数的偏导数或者全微分，但是由于是深层次的研究，目前只有在应用研究方面被广泛使用。
2。
二阶偏微分的几何意义当某一多元函数为齐次多项式函数时，可以构造一个函数，使得这个函数可以看作是以的中心，围绕的旋转曲面，因此称为的二阶偏微分。
那么通过构造与这个曲面上的所有点成中心对称的曲面族，就可以确定的一组二阶偏微分。
现在让我们以这个二阶偏微分为背景，来研究一下多元函数的全微分和全导数。
3。
二阶偏微分在求解微分方程中的应用3。
先来看看二阶偏微分在求解微分方程中的应用。
4。
上面已经给出了二阶偏微分在求解微分方程中的应用的几个例子。
我们再来看一下二阶偏微分的另外两种应用。
我们再来看看下面这个例子。
要想求解系统对初始状态的偏导数，首先求解系统的方程，然后确定系统的零输入和零状态响应。
其次根据已知条件求出系统对初始状态的偏导数。
根据偏微分求导数的原理，利用便可得到对初始状态的偏导数。
最后从已知条件求出系统对初始状态的偏导数。
5。
对于一些特殊的非线性方程，由于普通方法难以处理，常采用二阶偏微分的方法来处理。
二阶偏微分的引入大大简化了对非线性方程的处理。
5。
最后来说一下二阶偏微分的几何意义。
对于一些特殊的非线性方程，由于普通方法难以处理，常采用二阶偏微分的方法来处理。
对于线性方程，用普通方法求出的各偏微分，必须依靠各偏微分的和才能得到整个偏微分方程。
而二阶偏微分则提供了另外一种处理方法，通过求各偏微分，直接得到方程的解。
二微分的几何意义-PPT课件
f ( x ) x o ( x ) 故 y f ( x ) x x 0 0
即
d y f ( x ) x . 0
线性主部
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下页
返回
结束
例2. 求函数 例1. 求 函 y 数 x在 x 1 和 yx 当 x2 ,
x 3 处 的. 微分
x x 0
2 x x ( x ) . 0
2
2 A x 0
x x 0
x0
(1 )
(2)
( 1 ) 是 x 的 线, 性 且 函 为 A 的 数 主; 要部分
2 ( x ) o( x ),则 (2) 当 x很小时 ,
A 2 x x . 0
上页 下页 返回 结束
在点 x 0 可微 函数 y f(x ) y A x o ( x ) 记 说明:
d yA x
( 3 ) 当 A 0 时 , d y 与 y 是等价无穷小 ;
y o(x) 因为 1( x 0 ). 1 dy A x
( 4 ) A 是与 x 无关的常数 , 但与 f ( x ) 和 x 有关 ; 0
上页 下页 返回 结束
3 再例如, 设函数 y x 在点 x 处的改变量 为 x 时 , 0
求函数的改变量 y .
3 3 y ( x x ) x 0 0
2 2 3 3 x x 3 x ( x ) ( x ) . 0 0
(1 )
(2)
2 ) 是 x 的高阶无穷小 o ( x ), 当 x很小时 , (
x 0 .02
3 x xx 2
2
函数的微分
练习： (1)求函数y cos x在x
6 2 (2)求函数y x 当x由1变到1.01 时的微分.
处的微分.
二、微分的几何意义
如图，设M ( x0 , y0 ) 和点N ( x0 x, y0 y ) 是曲线上y f ( x )的两点。 由图可知， MQ x, QN y。 设切线MP的倾斜角是， 则
y , x 0 x 根据无穷小与函数极限的关系，上式可写成
这表明，当f '( x0 ) 0时，函数的增量 可以分为两个部分： 把它叫做y的线性主部； 另一部分是x, 当x 0时，它是比 x高阶的无穷小.
一部分是f '( x0 ) x, 它是y的主要部分，
所以当 x 很小时，可以认为y f '( x0 )x.
2、 微分的四则运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv
(C 为常数)
vdu udv
3. 复合函数的微分
分别可微 ,
则复合函数
的微分为
f (u ) ( x) dx
du
d y f (u ) du
若yf(u) u(x) 则dyf (u)du
dy
x2 x 0.02
3 x 2 x
x2 x 0.02
0.24.
பைடு நூலகம்
例3 求函数 y x 3 当 x 1, 和x 3时的微分 .
解 dy ( x 3 )x 3 x 2 x .
dy x1 3 x 2x x1 3x dy x3 3 x 2x x3 27x
dy f ' ( x)x
当 y x时，dy dx x
于是函数的微分又可以 记为 dy f ' ( x)dx 从而
高等数学第二章：函数的微分
dx
26
注： 由导数的“微商”及一阶微分形式不变性,
(3) 通常把自变量x的增量x 称为自变量的 微分,记作 dx, 即 dx x. 什么意思？
例如： 已知 y x , 求 d y.
解 d y (x)x 1 x x, 由于 y x, 故得 d y d x x.
11
上例表明:
自变量的增量就是自变量的微分：x d x
y A x o(x),
lim y x0 x
lim A o(x)
x0
x
A.
即函数 f ( x)在点 x0可导,且A f ( x0 ).
7
定理 函数 f ( x)在点x0可微 函数 f ( x)
在点 x0处可导,且 A f ( x0 ),即有 dy f ( x0 )x.
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) , ( x 0,
0)
从而 y f ( x0 ) x (x),
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
d(u v) du dv
d(uv) vdu udv
d
u v
vdu udv v2
18
例 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解
y
1
x
2
xe ex
x
2
2
,
dy
1
x
微分方程及其解几何意义分离变量方法
微分方程及其解几何意义分离变量方法微分方程是描述物理、工程和数学问题中变量之间关系的数学方程。
它在科学和工程领域中具有广泛的应用。
微分方程的解具有重要的几何意义，可以帮助我们理解和研究问题的性质和行为。
微分方程的解几何意义可以通过以下几个方面来解释：1.几何形状描述：微分方程的解可以用来描述几何形状。
例如，二阶微分方程可以描述曲线的形状、三维曲面的曲率等。
通过求解微分方程，我们可以获得形状和曲线的各种性质，如切线、切面、曲率等。
几何形状的描述对于理解和研究问题的本质非常重要。
2.动力学行为：微分方程的解可以描述物体或系统的动力学行为。
例如，质点的运动、电路中电流的变化等。
通过求解微分方程，我们可以获得物体或系统的位置、速度、加速度等关键信息。
这对于研究运动和相互作用等动力学现象非常有用。
3.稳定性分析：微分方程的解可以用来分析和评估系统的稳定性。
例如，稳定性方程可以用微分方程描述，通过求解稳定性方程的解可以判断系统的稳定性。
这对于分析工程系统、控制系统等的稳定性非常重要。
4.相空间分析：微分方程的解可以用来描述系统在相空间中的行为。
例如，相图可以用微分方程描述，通过求解相图的解可以研究系统在相空间中的运动轨迹、稳定点、周期等。
相空间分析对于理解系统的动力学行为有着重要的意义。
分离变量方法是求解一阶常微分方程的常用方法之一、它的基本思想是将方程中的所有变量分离，然后对两边分别积分。
分离变量方法适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的方程。
分离变量方法的步骤如下：1. 将变量分离：将方程中的dy和dx分离为两个单独的项。
通常可以将方程重写为dy/g(y) = f(x)dx。
2. 对两边积分：对方程两边进行积分，即∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
这样就可以求出g(y)和f(x)的积分。
3.求解常数：在进行积分过程中，可能会产生一个或多个常数。
根据已知条件或边界条件，解出这些常数。
4.得到解：将求得的积分结果代入方程中，得到方程的解。
微分的概念——精选推荐
第二节 微分 §2.1 微分的概念一、微分概念的引入在实际测量中，由于受到仪器精度的限制，往往会产生误差。
例如x 0为准确数，实际测量出是x *＝x 0＋Δx 为x 0的近似数，由此产生的误差为Δx 相应产生的函数值的误差Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)，往往需要估计Δy 的值。
如果f(x 0＋Δx)，f(x 0)计算很复杂。
因此计算Δy 也很麻烦或者实际中只知道近似数x *与误差｜Δx ｜≤δ，又如何估计Δy? 假设f ′(x)存在，则0x lim →∆x )x (f )x x ("f 00∆-∆+＝0x lim →∆xy ∆∆＝f ′(x ０)，有 xy ∆∆＝f ′(x ０)＋α，0x lim →∆α＝0，于是 Δy ＝f ′(x 0)Δx ＋αΔx ，而0x lim →∆xx ∆∆∂＝０ (1) 即 αΔx ＝0(Δx)(Δx →0)因此，当｜Δx ｜很小时，Δy ≈f ′(x 0)Δx在实际中如果不知道x 0，只知道x *，由x 0，x *相差很小，则Δy ≈f ′(x *)Δx ，从而可以估计出Δy 。
从(1)式我们看到，f ′(x 0)相对Δx 是一个常数，αΔx 是Δx 的高阶无穷小，如果Δy ＝A Δx ＋0(Δx)(Δx →0)，则Δy ≈A Δx ，由此得到微分的概念。
二、微分的概念定义 设y ＝f(x)在x 0的某领域U(x 0)内有定义，若Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x)可表示为Δy ＝A Δx ＋o(Δx) (Δx →0)其中A 是写Δx 无关的常数，A Δx 称为Δy 的线性部。
则称y ＝f(x)在点x 处可微，称线性部A Δx 为y ＝f(x)在点x 处的微分，记为dy ，即dy ＝A Δx 。
三、可微与可导的关系从概念的引入，我们可以看到可导必可微，反之也是正确的。
因此有定理 函数y ＝f(x)在点x 可微的充要条件是函数y ＝f(x)在点x 处可导。
《应用高等数学》微分的定义及微分的几何意义
《应用高等数学》微分的定义及微分的几何意义微分的定义：微分是微积分中的一个重要概念，是研究函数变化率和函数的局部特性的工具。
微分的定义可以通过极限的方式来描述。
对于函数f(x)，如果存在一个实数a和一个实数k，使得当x无限接近a时，函数f(x)的增量Δy和自变量增量Δx之比无限接近于k，即k = lim(Δy/Δx) = lim(f(x) - f(a))/(x - a)，其中lim表示极限。
微分的几何意义：微分在几何上有着重要的意义，它可以用来描述函数的局部特性和刻画曲线的形状。
微分可视为函数曲线在其中一点处的切线斜率。
具体来说，微分的几何意义主要包括以下几个方面：1.切线的斜率：假设有一个函数曲线y=f(x)，在其中一点P处的切线斜率就是函数在该点的导数f'(x)，也称为函数的微分。
微分告诉我们，函数曲线在该点附近的变化速度，即函数值的增减率。
2.切线与曲线的切点：微分还可以确定函数曲线与其切线的切点位置。
给定一个曲线f(x)和一个点P，通过微分求解，可以得到切线与曲线的切点坐标。
3.泰勒展开：微分的另一个重要应用是构造泰勒展开式。
泰勒展开式可以将一个函数在其中一点展开为一个无穷级数，通过微分的概念，可以推导出泰勒展开式的表达式，并且可以利用泰勒展开式来逼近函数的近似值。
4.极值点：微分还可以帮助我们确定函数的极值点。
当函数在其中一点处的微分为零时，说明函数在该点处取得了极值。
通过对微分进行求解，可以求得函数的极值点。
总之，微分在几何上是一种刻画函数曲线局部特性的工具。
它不仅可以帮助我们理解函数的变化规律和刻画曲线的形状，还可以用于求解切线的斜率、切点的位置、构造泰勒展开式以及寻找极值点等问题。
微分是微积分中的重要概念，对于深入理解函数和曲线的性质具有重要意义。
微分
dydf ( x) Ax.
若函数 y f ( x) 在区间 I 上 每一点可微，则称 y f ( x) 在区间 I 上 可微。
由微分的定义可知，当A0 时，dy Ax 是 x 的 线性函数，且当x0 时，y与dy 是等价 无穷小，而 ydy 是比 x 高阶的无穷小。
y y b2
x2 a2
y2 b2
,
∴切线方程为
x x a2
y y b2
1
。
类似可证：
★
过椭圆
x2 a2
y2 b2
1
上一点P
(
x
,
y
)
的切线方程为
x x a2
y y b2
1
★ 过圆 x2 y2 a2 上一点P( x, y ) 的切线方程为
x x y ya2.
例 1．一边长为 x 的正方形金属
x x x
薄片受热均匀膨胀，当边长增 x
加 x 时，面积 A 增加了多少？
解： A A( x) x2 ，
A(xx)2 x2 2xx(x)2 (1)
x0 时， 2xxO(x) ，(x)2 o(x).
A ＝ 2 xx ＋
(15)
d (arctan
x)
1 1 x2
dx
(12) d(cscx)cscxcotxdx.
(16)
d
( arccot
x
)
1 1 x
2
dx
2．微分的四则运算法则
设函数 uu( x) ， v v( x) 可微，则 （1） d[u( x)v( x)]d[u( x)]d[v( x)] ；
微积分—微分
数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
证 (1) 必要性 f ( x )在点x0可微,
y A x o( x ),
y o( x ) A , x x
y o( x ) 则 lim A lim A. x 0 x x 0 x
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
令y x, dy dx ( x)x x.
dy f ( x)dx.
dy dy f ( x )dx. f ( x ). dx 即函数的微分 dy与自变量的微分 dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫 " 微商".
(微分的实质) 微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.
由定义知:
dy A x y A x o (x)
(1) dy是自变量的改变量 x的线性函数 ;
( 2) y dy o( x )是比x高阶无穷小 ; ( 3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小 ;
即函数 f ( x )在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x )在点x0 可导,
y lim f ( x 0 ), x 0 x
li m y A
从而 y f ( x0 ) x ( x ), f ( x0 ) x o( x ),
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec2 xdx d ( x ) x 1 dx d (cos x ) sin xdx d (cot x ) csc2 xdx
微分方程的几何意义
微分方程的几何意义
微分方程是数学中的一种重要工具，它描述了物理、化学、生物等自然现象的变化规律。
但是这些方程看起来常常让人头疼，难以理解。
其实，微分方程有着深刻的几何意义，理解了这些几何意义，我们就能更好地掌握微分方程。
微分方程的几何意义可以从两个角度来理解：一是微分方程描述的曲线的几何特征，二是微分方程的解的几何意义。
对于第一个角度，微分方程描述的曲线是由导数和函数值所规定的，它们共同决定了曲线的切线、法线和曲率等几何特征。
比如，一阶微分方程y'=f(x,y)描述的曲线就是由斜率为f(x,y)的切线构成的，这可以帮助我们理解曲线的变化趋势和斜率的作用。
对于第二个角度，微分方程的解是由常数C所确定的，C可以看做是曲线的偏移量，它决定了曲线在坐标系中的位置。
比如，一阶线性微分方程y'+p(x)y=q(x)的通解y=c1e^(-∫p(x)dx)+c2e^(-∫
p(x)dx)∫q(x)e^∫p(x)dxdx中的c1和c2就决定了曲线在坐标系中的位置和形态。
总之，微分方程的几何意义是深刻的，它使我们能够更好地理解微分方程的本质，掌握微分方程的解法，以及更好地应用微分方程解决实际问题。
- 1 -。
微分方程的几何意义
微分方程的几何意义
微分方程是数学中重要的一类方程，它描述了函数与其导数之间的关系。
微分方程在多个领域中都有广泛的应用，例如物理学、化学、工程学等。
而微分方程的几何意义则是指其解所表示的曲线或曲面在空间中的几何特征。
对于一阶微分方程来说，其解可以表示为一条曲线。
例如，y' = f(x,y)表示的是一个点(x,y)处的切线斜率等于f(x,y)，则方程
的解就是一族曲线，每一条曲线在每个点处的切线斜率都等于其对应的f(x,y)。
这样的曲线就可以被看作是一些切线斜率相同的曲线的集合，即方向场。
对于二阶微分方程来说，其解可以表示为一条曲面。
例如，y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)表示的是一个函数y(x)满足该方程的二
阶导数等于g(x)与其一阶导数和经过一些系数变换后的结果。
则该方程的解可以表示为一张曲面，曲面上每个点的斜率等于其在该点的二阶导数，而这个斜率的大小与曲面的高度成正比。
这样的曲面就可以被看作是一些二阶导数相同的曲面的集合，即方向场。
在微分方程的研究中，几何意义可以帮助我们更加直观地理解微分方程的解的特征，进而更好地解决实际问题。
例如，在物理学中，微分方程的几何意义可以帮助我们更好地理解物体的运动规律，从而更好地解决相关问题。
在工程学中，微分方程的几何意义可以帮助我们更好地理解物理现象和工程设计的本质，从而更好地设计工程方案。
因此，微分方程的几何意义是微分方程研究中不可
或缺的一部分。
微分的概念
微分的概念
三
定理 函数y f ( x)在点x0处可微的充要条件是y f ( x)在点x0处可导， 且A=f ( x0 ).
微分计算公式： dy f ( x)dx （这里dx x) 中国大学MOOC
可微与 可导
怎么求一般函 数的微分？
一元函数的可导和可微分是等价的，因此由基本初等函 数的导数公式和求导法则，容易得到基本初等函数的微分 公式和微分运算法则.
微分的概念
三 可微与 可导
怎么求一般函 数的微分？
例2 已知y f ( x) ln(1 e ),当x 0, x 0.1时，求dy.
解
x y 因此，当x 0时， A , x x y 从而 lim A. x 0 x
即函数y f ( x)在x0处可导,且 f ( x0 ) A.
微分的概念
三 可微与 可导
函数的导数和 微分之间有什 么关系？
定理 函数y f ( x)在点x0处可微的充要条件是y f ( x)在点x0处可导， 且A=f ( x0 ).
x2
由微分计算公式，只要算出函数的导数， 再代入数值即可.
2 xe 因为f (中国大学 x) 求MOOC x2 1 e x2 2 xe 所以 dy x0 f (0)x x2
x 0.1
x2
0
1 e
0.1
x 0
微分计算公式 dy f ( x)dx
微分的概念
定义 设函数y f ( x)在某区间I 上有定义，x0 , x0 x I ,
若 y f ( x0 x) f ( x0 ) Ax x ,
二阶微分方程的几何意义
二阶微分方程的几何意义二阶微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了自变量与因变量及其导数之间的关系。
它在物理学、工程学和经济学等领域有着广泛的应用。
而二阶微分方程的几何意义则是指在几何空间中，二阶微分方程所描述的曲线或曲面的性质和特征。
对于一个一元二阶微分方程，例如 y'' + f(x)y' + g(x)y = 0，其中y 是自变量x的函数，y'和y''分别表示y对x的一阶和二阶导数。
这个方程可以用来描述一个曲线的形状。
我们可以通过求解这个微分方程来确定曲线的轨迹，并进一步研究其性质。
我们可以通过对微分方程进行变量分离、常数变易或级数展开等方法，求得方程的解析解。
这些解析解可以表示为一组函数的线性组合，每个函数都对应着曲线上的一个点。
因此，二阶微分方程的几何意义之一就是确定曲线上的点的位置和形状。
我们可以通过解析解或数值解，绘制出曲线的图像。
这样，我们可以直观地观察到曲线的形状特征。
例如，对于二阶线性微分方程y'' + ky = 0，其中k为常数，它描述了一个振动系统的运动。
当k>0时，解析解表现为正弦函数，曲线呈现出周期性振动的形状；当k<0时，解析解表现为指数函数，曲线呈现出衰减或增长的形状。
通过绘制曲线的图像，我们可以直观地观察到这些振动系统的运动特征。
二阶微分方程还可以描述曲面的形状。
例如，对于二元二阶微分方程 z'' + f(x,y,z)z' + g(x,y,z)z = 0，其中z是自变量x和y的函数，z'和z''分别表示z对x和y的一阶和二阶偏导数。
这个方程可以用来描述一个曲面的形状。
我们可以通过求解这个微分方程来确定曲面的几何特征，例如曲率、曲面的形状等。
二阶微分方程的几何意义是通过求解微分方程来确定曲线或曲面的形状和特征。
通过解析解或数值解，我们可以直观地观察到这些曲线或曲面的性质。
微分
例5 解
设 y=e
− ax
sin bx , 求dy .
dy = e − ax ⋅ cos bxd( bx ) + sin bx ⋅ e − ax d( − ax )
= e −ax ⋅ cos bx ⋅ bdx + sin bx ⋅ e − ax ⋅ ( − a )dx = e −ax (b cos bx − a sin bx )dx .
例1 求函数 y = x 3 当 x = = 3 x 2 ∆x .
∴ dy x = 2
∆x = 0.02
= 3 x 2 ∆x
x=2 ∆x = 0.02
= 0.24.
通常把自变量 x的增量 ∆x称为自变量的微分 , 记作 dx , 即dx = ∆x .
d(sec x ) = sec x tan xdx d(csc x ) = − csc x cot xdx
d(a x ) = a x ln adx 1 d(log a x ) = dx x ln a 1 d(arcsin x ) = dx 2 1− x 1 d(arctan x ) = dx 2 1+ x
2 ∴ ∆y ≈ 3 x 0 ⋅ ∆x .
既容易计算又是较好的近似值
问题: 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
2. 定义
设函数 y = f ( x )在某区间内有定义, x0及 x0 + ∆x在这区间内, 如果 ∆ y = f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x0 ) = A ⋅ ∆ x + o( ∆ x ) 成立(其中A是与∆x无关的常数), 则称函数 y = f ( x )在点 x0可微 , 并且称A ⋅ ∆x为函数 y = f ( x )在点 x0 相应于自变量增量 ∆x的微分, 记作 dy
微分的几何意义
微分的几何意义1微分的几何意义x设函数在点处可导，如图一所示，直线MT为曲线在点 y,f(x)y,f(x)图一微分的几何意义dy,M处的切线，MQ,dxNQ,,y,PQ,tan,，dx,tan,dx,dx,f(x)dx。
dx所以，dy,PQ，而PQ为曲线y,f(x)在M点处的切线MT上的纵坐标的增量。
当自变量很小时，就可以用切线段上的增量来近似代替曲线段上的增量。
,若曲线的弧长为，则有 MN,,sdy222|MP|,(dx)，(dy),dx1，(),(dx,0) ……(1) dx(1) 式称为弧的微分公式，由图可知:22ds,(dx)，(dy)当曲线上的N点无限地(想象力比知识重要～)接近M点时，即时，,x,0,曲线的弧长为转化为直线(切线MP)。
此时，(增量等于微分)。
MN,,s,s,ds 根据导数与微分的关系、导数与积分的关系，由基本初等函数的求导公式和积分公式，可以直接推出其微分和积分公式。
2 函数的导数我们是这样定义的:设函数在点x0处及其近旁有定义，当自变量 y,f(x)x在x0处有增量时，相应地函数y有增量。
,x,y,f(x，,x),f(x),,,y 的极限存在，这个极限称为函数y=f(x)在点x0处的如果lim ,x,0,x导数(或称为变化率)，记为:y, fx，,x,fx()(),,,lim,y, limx,x,x,00x,,x,0 ,x,y如果极限不存在，就说函数y=f(x)在点x0处不可导。
lim ,x,0,x根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤:,y,f(x，,x),f(x)1.求增量: (1),yf(x，,x),f(x)2.算比值:,……(2) ,x,x,yfx，,x,fx()()3.取极限: ,y,,limlim,x,0,x,0,x,x (3)2y,x例1 求函数的导数。
解: (1)求增量:222,,，,,yfxxfx()(),，,,,,，,()2()xxxxxx,y(2)算比值:,2x，,x,x,y(3)取极限: ,y,lim,lim(2x，,x),2x ,x,0,x,0,x同理可得: nn,1,(x),nx(n为正整数) 。
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1 d (log a x) dx x ln a d (ln x) 1 dx x d (arcsin x) 1 dx 1 x2 d (arccosx) 1 dx 1 x2 d (arctan x) 1 2 dx 1 x d (arc cot x) 1 2 dx 1 x
则 dx
(243 2) 2 1 3 (1 )5 243 1 2 ) 3 (1 5 243
3.0048
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例9. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度,
要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 估计一下, 每只球需
d(a x)ax ln adx d(e x)exdx
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导数公式:
微分公式:
1 (log a x) x ln a (ln x) 1 x (arcsin x) 1 1 x2 (arccosx) 1 1 x2 (arctan x) 1 2 1 x (arc cot x) 1 2 1 x
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yf(x)在点x0可微yAxo(x) dy= f (x0)x 例1 求函数yx2在x1和x3处的微分 解 函数yx2在x1处的微分为 dy(x2)|x1x2x 函数yx2在x3处的微分为 dy(x2)|x3x6x 例2 求函数 yx3当x2 x 002时的微分 解 先求函数在任意点x 的微分 dy(x3)x3x2x 再求函数当x2 Dx002时的微分 dy|x=2, x=0.02 =3x2| x=2, x=0.02 =3220.02=0.24
1.函数的近似计算
y f ( x0 )x o( x)
当 x 很小时, 得近似等式:
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
令 x x0 x
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 )
练习
1 x 1. d(arctan e ) d e 1 e 2 x
x
e x dx 2 x 1 e
d tan x 3 sec x 2. d sin x
1 3. d( cos 2 x C ) sin 2x d x 2
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4. 设
得 f (0) 1, f (0)
当 x 很小时,
x x
1 x
x
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例7. 求
的近似值 .
例8. 计算
的近似值 .
解: 设 f ( x) sin x ,
取
35 243
解:
(1 x) 1 x
1 5
180 29 sin 29 sin 180 ) sin cos ( 6 180 6 1 3 (0.0175) 2 2
定义: 若函数
在点 x0 的增量可表示为
A x o(x)
( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y f ( x) 在点
可微, 而 A x 称为 即
的微分, 记作
d y A x
定理: 函数
在点 x0 可微的充要条件是 即
d y f ( x0 )x
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4 ; 8(1) ; 9(2)
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§2.5函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义
三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
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一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少?
求
由方程
确定,
解: 方程两边求微分, 得
3 x 2 d x 3 y 2 d y 3 cos 3x d x 6 d y 0 1 当 x 0 时 y 0 , 由上式得 d y x 0 d x 2
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作业：p- P123 习题2-4
3 (4) , (7) , (8) , (9) , ;
例4 y ln(1 e x 2 ) 求 dy 例 解 dy d ln(1 ex 2 ) 1 2 d (1 ex 2 ) 1 ex 2 x 1 1 2 xe x 2 d ( x2 ) x 2 2xdx e e dx 2 2 2 x x x 1 e 1 e 1 e
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三、微分的基本公式和运算法则
1.基本初等函数的微分公式
导数公式: (xm)m xm1 微分公式: d(xm)m xm1dx
(sin x)cos x
(cos x)sin x (tan x)sec2 x (cot x)csc2x (sec x)sec x tan x
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定理 : 函数
在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
证: “必要性”
已知
在点
可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
y o(x) lim lim ( A )A x 0 x x 0 x
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例5. 设
求
解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
d( y sin x) d(cos( x y)) 0 sin x d y y cos x dx sin( x y) (dx d y) 0 y cos x sin( x y) dy dx sin( x y) sin x
故 在点 的可导, 且
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定理 : 函数
在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
“充分性” 已知 在点 的可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) ( lim 0 ) x 0 x
d(sin x)cos xdx
d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x
(a x)ax ln a (e x)ex
d(csc x)csc x cot xdx
称为a 的绝对误差
称为a 的相对误差 若
称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
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误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为 x ,
按公式
计算 y 值时的误差
d y f ( x) x
故 y 的绝对误差限约为 y f ( x) x
用铜多少克 .
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
R 1 R 0.01
时体积的增量
4 R 2 R R 1
R 0.01
0.13 (cm 3 )
因此每只球需用铜约为
8.9 0.13 1.16 ( g )
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2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a ,
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若yf(u) u(x) 则dyf (u)du 例3 ysin(2x1) 求dy 解 把2x1看成中间变量u 则 dyd(sin u) cos udu cos(2x1)d(2x1) cos(2x1)2dx 2cos(2x1)dx 在求复合函数的导数时 可以不写出中间变量
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二、微的几何意义
当x从x0变到x0+x时 y是曲线上点的纵坐 标的增量; dy是过点(x0 f(x0))的切 线上点的纵坐标的增量. 当|x|很小时 |ydy|比|x|小得多 因此 在点M的邻近 我们可以用切线段来近似代 替曲线段 记 y x dx 称 x 为 自变量的微分, 记作dx dy f ( x) 导数也叫作微商 则有 d y f ( x) dx 从而 dx
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2、 微分的四则运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv vdu udv
3. 复合函数的微分
分别可微 , 则复合函数 的微分为
(C 为常数)
f (u ) ( x) dx d y f (u ) du
du
微分形式不变
故 y f ( x0 ) x x f ( x0 ) x o( x)
即 d y f ( x0 ) x
线性主部
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注:
y f ( x0 ) x o( x) d y f ( x0 )x
f ( x) x 相对误差限约为 y f ( x)
y
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例10. 设测得圆钢截面的直径 绝对误差限 欲利用公式
测量D 的 计算
圆钢截面积 , 试估计面积的误差 .
解: 计算 A 的绝对误差限约为
(mm)