第五章(流体波动)

H h ( H h) u u ( H h) 0 t t x x
h u g t x 波动方程：描写水面 重力波的闭合方程组。 h H u x t
重力波形成机制的讨论：
h u g t x h H u x t
h h u u h 0 t x x
du 1 p dt x
采用线性化方法，导出描写流体波动的方程组；求重 力表面波的相速度。 z 自由表面 U
h x, t
H
x
解：首先采用线性化方法，求波动方程组
u u u h u w g t x z x
显然
C C xi C y j Czk
不满足矢量运算法则。
第二节 重力表面波和界面波
日常生活中，最形象且最直观的波动，就是由于 重力作用所产生的水面波动（重力表面波）以及 发生于不同性质流体界面的界面波，下面详细地 讨论此类波动。 流体1 空气 水
流体2
重力水面波
界面波
一、水面（表面）重力波
第一节 波动的基本概念
一、波动的数学模型
一维水面波（微扰动）简介： 重力 浮力
h x, t H h x, t
辐合 辐散
H
振动—改变周围流体的受力情况—振动传播
h x, t H

h x, t H H
1
微扰动
扰动高度
h x, t
扰动高度是一个波动函数正弦波（简谐波）的形式
求重力表面波的相速度。
2 2 h ( U ) h gH t x x 2
假设波动的形式解为：
h( x, t ) A sin k ( x ct )
2 k (U c) h gHk h c U gH 2 2
h h u u h 0 t x x
问题： 波动的研究对象是物理变量的扰动部分； 方程是非线性的。
（方程的线性化问题－－－小扰动线性化方法）
小（微）扰动线性化方法： ①任何物理量可以表示为：
A A A
扰动量
基本量（平均量） ②基本量（平均量）A 满足原来的方程 ③扰动量 A为一小量，其二阶以上项为高阶小量， 可以略去。
dt

x
垂直方向近似满足静力平衡， z 流体压力可近似地表示为：
p0 z
p( x, z, t ) gh( x, t ) z p0
进一步有：
h x, t - z
x
1 p h g x x
流体压力梯度力可用自由表面高度的梯度来表示。
水平运动方程变化为：
K k x i k y j k z k
y
二维为例
垂直等位相面（波面）。 （即为波动传播的方向） 定义其模称为全波数：
ky
K
kx
x
K K k 2 x k 2 y k 2z
波长： L 2
/K
y 二维为例
Ly 2 / k y
L 2 / K
(U u) (U u) (U u) ( H h) (U u) w g t x z x
H h ( H h) (U u) (U u) ( H h) 0 t t x x
u u h U g t x x h h u U H t x x
d2y 大家熟悉的简谐振动： 2 2 y 0 dt
其波动解为：
y A cost
一维简谐波的形式： y A coskx ห้องสมุดไป่ตู้
波动图象：反映了不同质点同一时刻分布图象。
同样，任何物理量的扰动可表示成波动的形式，即：
h( x, t ) A coskx t 1 A sinkx t 2
u u h U g t x x h h u U H t x x
h ( U )u g t x x u ( U )h H t x x
消去参数 u’
2 2 h ( U ) h gH t x x 2
共线，均为波移动的方向。
而x，y，z方向上的移速：C x , C y , C z
C x (dx / dt) y , z , const / k x C y (dy / dt) x , z , const / k y C z (dz / dt) x , y , const / k z
（2）周期T：完成一次全振动所需要时间，或波向前传 播一个波长距离所需时间。
频率 f ：单位时间内的振动次数，与周期互为倒数：
T=1/f
（3）波长 L ：波动在一个周期中传播的距离，固定时
刻相邻的两同位相质点间的距离。
L
L
（4）位相：表示流体波动状态的物理量。
kx t
等位相面：位相相等的各点所构成的平面（波面 或波阵面）。
h u g t x h H u x t
2 h 2 h gH 2 t x 2
为了求解上式，假设波动的形式解为：
h( x, t ) A sin k ( x ct )
将其代入以上方程，可得：
2 k c h gHk h c gH 2 2
波动与振动密切相关，在此基础上对波动进行划分： 纵波：流体质点振动方向与传播的方向一致。如声波。 波动 横波：振动方向与传播方向垂直(垂直和水平横波)。
垂直横波：垂直方向振动，水平方向传播，如重力波。 水平横波：水平方向振动（南北振动），水平方向传播 （东西传播），例如大气长波。
二、波参数
引入波动的概念之后，如果描述波动？
位相的普遍形式：
k x x k y y k z z t ( x , y , z , t )
其中：
/ t k x / x k y / y
k z / z
圆频率 x 方向的波数 y 方向的波数 z 方向的波数
定义波数矢量为：
H h ( H h) u u (H h ) 0 t t x x
假如考虑上述的水面重力波为微扰动，也就是说与波动有 关的量都为微量，二次以上高阶小量可以近似地略去。
u u u ( H h) u w g t x z x
考虑一维水面波（水渠波 ）。假设水面平静时水面 高度为H（为一常数。
z
h x, t h x, t
H x
一旦给水面一个小的扰动，水面将不会再保持平静的状态 ，而要发生起伏不平的变化，水面高度 h 将随空间位置和 时间而变化，即：
h x, t H h x, t
水面的扰动高度，或者是相对于平静水面的偏差。
h h u u h 0 t x x
u U u
w w w w
h H h
(U u) (U u) (U u) ( H h) (U u) w g t x z x H h ( H h) (U u) (U u) ( H h) 0 t t x x
波参数 广义上：任何物理量在空间上、时间上的周期变化，均 可称为波动，并可以将其表示为波动函数的形式：
y A coskx t
波动的一般形式。
物理参数---波参数表示了什么含义？
y A coskx t
（1）振幅A：质点离平衡位置的最大距离位移。物理量距 平衡状态的最大距离。
水面重力波的相速公式。
同样，为了求得 u ，仍作如下假设：
u B sin k ( x ct )
不难求得：B
g A H
，于是最后有：
u B sin k ( x ct )
这就是水面重力波的流速场。
g A sin k ( x ct ) H
例5-2-1如图所示，流速为 U（常数）的一维均匀水流， 表面受到扰动而产生重力表面波：根据水平运动方程及 不可压连续方程：
h x, t 可以为正也可以为负，并满足：
h x, t H h x, t H H 1
也就是认为水面受到扰动后产生的起伏是很小的。 流体波动是流体的一种特定的运动形态，应该遵循流 体运动所满足的基本方程。 不计粘性和旋转效应，不可压缩流体的一维波动水平 运动方程为： du 1 p
（6）圆频率：以 2 相角表示的单位时间内振动的次数。
2 / T
（7）相速 c ：等位相（波面）的传播速度。
kx t =常数
dx c dt k
相速 c
波参数是表征波动的重要参数。因此，研究波动主要在 于求解各种表征波动的参数及其形成机制。
重力
浮力
H 辐合 辐散
①小扰动 h / x 0 ，重力作用 压力梯度力 gh / x 0 引起流体运动 u / t 0 ；
② u / x 0 （辐合、辐散） h / t 0 （扰动随时间变化）
扰动 重力作用 辐合、辐散 水面波
波动方程的求解：
三、二维、三维波动
上面讨论的波动局限于一维情况，实际上，大多数波 动并非是一维的，这涉及到二维、三维波动的问题。 同样，可以把二维、三维波动表示为如下的形式：
S二维 A cos( k x x k y y t )
S三维 A cos( k x x k y y k z z t )
方程的线性化：
u u u h u w g t x z x
h h u u h 0 t x x
u u u u w w w w h H h
（基本态为静止的）
u u u ( H h) u w g t x z x
第五章
流体波动