湘教版数学九年级下册221圆心角课件
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九年级下册数学课件(湘教版)圆心角
针对训练
如图，AB是⊙O 的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，
求∠AOE 的度数．
ED
解：∵ BC=CD=DE，
C
BOC COD DOE=35 ，
A
· O
B AOE 180 335 75 .
1.如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( B )
A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OCB
角，如∠AOB . B
2.圆心角 ∠AOB 所对的弧为 A⌒B.
M
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
O
A
练一练 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
圆内角
圆外角
圆周角（后 面会学到）
圆心角
二 圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆中探究
问题1已知在⊙O中，圆心角∠AOB= ∠COD，那么，
A⌒B与C⌒D，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
①要注意前提条件； 弧
②要灵活转化.
相等
弦 相等不可以，如图.B D OC A要点归纳
弧、弦与圆心角关系 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，
所对的弧也相等．
③AB=CD CB
①∠AOB=∠COD ②A⌒B=C⌒D
D
O
A
要点归纳
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或 两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其 余各组量都分别相等.
典例精析
例1 如图，等边△ABC的顶点A，B，C在⊙O上，
求圆心角∠AOB的度数 .
A
解：∵△ABC是等边三角形 ,
∴ AB=BC=CA.
·O
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
又∵ ∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°B.
2.2.1 圆心角-2024-2025学年九年级数学下册课件(湘教版)
解析：根据圆心角、弧、弦之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等 或它们所对的弦相等．
解：如图所示，连接OC，OD， 则OC＝OD. ∵OA＝OB， 又∵M，N分别是OA，OB的中点， ∴OM＝ON. 又∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠CMO＝∠DNO＝90°. ∴Rt△CMO≌Rt△DNO. ∴∴∠A︵CC＝OMB︵＝D. ∠DON
3、圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
O
A
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
圆内角
圆外角
圆周角 （后面会 学到）
圆心角
知识点❷ 圆心角、弧、弦之间的关系
已知 在⊙O中，如果圆心角∠AOB= ∠COD，
那么，弧A⌒B与C⌒D，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
因为将圆绕圆心旋转任一角度都能
与自身重合，所以可将⊙O绕圆心 D
A
· O
B
AOE 180 335
5.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD BC .
求证:AB＝CD.
证明：连接AO,BO,CO,DO. AD BC，
AOD BOC. AOD+BOD=BOC+BOD.
即AOB COD，
C B
O.
D A
AB=CD.
6、C如M图⊥所AB示，，D已N⊥知ABB是，⊙垂O足的分直别径为，MM，，NN.求分证别：是︵AOCA＝，︵BOD.B的中点，
关系图中成立 的条件是什么
同圆或等圆
不可以，如图.
可否把条件“在同圆或等 圆中”去掉？为什么？
B D OC A
例1 如图,等边△ABC 的顶点A,B,C 在⊙O 上,
求圆心角∠AOB的度数.
A
解：∵△ABC是等边三角形 ,
解：如图所示，连接OC，OD， 则OC＝OD. ∵OA＝OB， 又∵M，N分别是OA，OB的中点， ∴OM＝ON. 又∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠CMO＝∠DNO＝90°. ∴Rt△CMO≌Rt△DNO. ∴∴∠A︵CC＝OMB︵＝D. ∠DON
3、圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
O
A
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
圆内角
圆外角
圆周角 （后面会 学到）
圆心角
知识点❷ 圆心角、弧、弦之间的关系
已知 在⊙O中，如果圆心角∠AOB= ∠COD，
那么，弧A⌒B与C⌒D，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
因为将圆绕圆心旋转任一角度都能
与自身重合，所以可将⊙O绕圆心 D
A
· O
B
AOE 180 335
5.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD BC .
求证:AB＝CD.
证明：连接AO,BO,CO,DO. AD BC，
AOD BOC. AOD+BOD=BOC+BOD.
即AOB COD，
C B
O.
D A
AB=CD.
6、C如M图⊥所AB示，，D已N⊥知ABB是，⊙垂O足的分直别径为，MM，，NN.求分证别：是︵AOCA＝，︵BOD.B的中点，
关系图中成立 的条件是什么
同圆或等圆
不可以，如图.
可否把条件“在同圆或等 圆中”去掉？为什么？
B D OC A
例1 如图,等边△ABC 的顶点A,B,C 在⊙O 上,
求圆心角∠AOB的度数.
A
解：∵△ABC是等边三角形 ,
2022年数学九下《圆心角》课件(新湘教版)
不可以，如图.
B D OC A
要点归纳
弧、弦与圆心角关系 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，
所对的弧也相等．
③AB=CD CB
①∠AOB=∠COD ②A⌒B=C⌒D
D
O
A
要点归纳
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或 两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其 余各组量都分别相等.
典例精析
31 93
P (B)=
31 93
P
(C)=
3 9
1 3
要点归纳 画树状图求概率的根本步骤
〔1〕明确一次试验的几个步骤及顺序； 〔2〕画树状图列举一次试验的所有可能结果； 〔3〕数出随机事件A包含的结果数m，试验的所 有可能结果数n； 〔4〕用概率公式进行计算.
典例精析
例 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲 手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人 中的一人，如此传球三次. (1)写出三次传球的所有可能结果(即传球的方式);
A.
1 4
1
1
3
B. 3
C. 2
D. 4
3.在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，
它们除颜色外，其余均相同，假设从中随机摸出一
个球，摸到黄球的概率为4
5
，那么n=8
.
4.在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字 6，-2，7的小球，它们的形状、大小、质地等完全 相同.先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放 回盒子里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字. 请你用画树状图的方法求以下事件的概率.
B
中有2种可能情况;
第二个因数中有3种 第二个因素 1 2 3 1 2 3
可能的情况. 那么其树状图如图.
(新)湘教版九年级数学下册2.2《圆心角、圆周角》课件(共3课时)
P P B P O A B
O A
探究点二 圆周角定理
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通 过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物,同学甲站在 圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，
他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系?如果同学丙、丁
分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB和 ∠AEB）和同学乙的视角相同吗？
E
D
C
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CD DE BC
BOC=COD=DOE=35
B
A
O
·
AOE 180 3 35
75
例3：如图，已知AB、CD为圆O的两条弦，
.求证:AB＝CD. AD BC
C B O D A
， 证明： AD BC = BC BD ， AD BD ， 即 AB CD AB=CD
O
.
顶点在圆上 两边都与圆相交
A
B
这样的角叫圆周角.
首页
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边与圆相交的 角叫做圆周角. 下列各图中的∠APB是否是圆周角? 哪圆你 A P A 几心认 P A O 种的为 O o(p) 类位圆 B B B 型置周 A A A ？关角 O 系相 P B O O P B 有对 B
⌒
⌒
5.如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦
⌒ ⌒ BE∥OA,求证：AC=AE.
C
A
O
E
B
课堂小结
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条 弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 相等．
O A
探究点二 圆周角定理
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通 过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物,同学甲站在 圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，
他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系?如果同学丙、丁
分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB和 ∠AEB）和同学乙的视角相同吗？
E
D
C
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CD DE BC
BOC=COD=DOE=35
B
A
O
·
AOE 180 3 35
75
例3：如图，已知AB、CD为圆O的两条弦，
.求证:AB＝CD. AD BC
C B O D A
， 证明： AD BC = BC BD ， AD BD ， 即 AB CD AB=CD
O
.
顶点在圆上 两边都与圆相交
A
B
这样的角叫圆周角.
首页
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边与圆相交的 角叫做圆周角. 下列各图中的∠APB是否是圆周角? 哪圆你 A P A 几心认 P A O 种的为 O o(p) 类位圆 B B B 型置周 A A A ？关角 O 系相 P B O O P B 有对 B
⌒
⌒
5.如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦
⌒ ⌒ BE∥OA,求证：AC=AE.
C
A
O
E
B
课堂小结
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条 弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 相等．
2.2.1 圆心角 课件 2024-2025学年 湘教版数学九年级下册
= ,
,即C为
∴△OCD≌△OCE(SSS),∴∠COD=∠COE,∴=
的中点.
【技法点拨】
同一圆中证明两弦相等的“四种方法”
1.若两弦位于两个不同的三角形,证明两弦所在的三角形全等.
2.若两弦位于同一个三角形中,根据等角对等边证明两弦相等.
3.证明两弦所对的弧相等.
(3)当两弦相等推弧相等时,除了限定同圆或等圆之外,还要限定两弧是同一类弧.
重点2
圆心角、弧、弦之间的关系的应用
【典例2】 (教材P48“例1”强化)如图,AD,BC是☉O的两条弦,且AB=CD,求证:AD=BC.
【自主解答】∵AB=CD,
,
,∴
=
∴=
设n个小半圆半径依次为r1,r2,…,rn,
则大圆半径为(r1+r2+…+rn),∴L1=π(r1+r2+…+rn),L2=πr1+πr2+…+πrn
=π(r1+r2+…+rn),∴L1=L2.
∴ AB 与 CD 重合，弦 AB 与弦 CD 重合，∴ AB ＝ CD ，AB＝CD.
(2)在等圆中，这些结论是否成立？
答案：成立
质疑判断
1．相等的圆心角所对的弦相等．( ×)
2．相等的两条弧所对的圆心角相等．( ×)
3．顶点在圆内，并且两边都与圆相交的角叫作圆心角．( ×)
【小题快练】
1.下列图形中的角,是圆心角的为
∠AOB＝∠BOC
AB＝BC
若 AB＝BC，则___________，__________________．
归纳：
,即C为
∴△OCD≌△OCE(SSS),∴∠COD=∠COE,∴=
的中点.
【技法点拨】
同一圆中证明两弦相等的“四种方法”
1.若两弦位于两个不同的三角形,证明两弦所在的三角形全等.
2.若两弦位于同一个三角形中,根据等角对等边证明两弦相等.
3.证明两弦所对的弧相等.
(3)当两弦相等推弧相等时,除了限定同圆或等圆之外,还要限定两弧是同一类弧.
重点2
圆心角、弧、弦之间的关系的应用
【典例2】 (教材P48“例1”强化)如图,AD,BC是☉O的两条弦,且AB=CD,求证:AD=BC.
【自主解答】∵AB=CD,
,
,∴
=
∴=
设n个小半圆半径依次为r1,r2,…,rn,
则大圆半径为(r1+r2+…+rn),∴L1=π(r1+r2+…+rn),L2=πr1+πr2+…+πrn
=π(r1+r2+…+rn),∴L1=L2.
∴ AB 与 CD 重合，弦 AB 与弦 CD 重合，∴ AB ＝ CD ，AB＝CD.
(2)在等圆中，这些结论是否成立？
答案：成立
质疑判断
1．相等的圆心角所对的弦相等．( ×)
2．相等的两条弧所对的圆心角相等．( ×)
3．顶点在圆内，并且两边都与圆相交的角叫作圆心角．( ×)
【小题快练】
1.下列图形中的角,是圆心角的为
∠AOB＝∠BOC
AB＝BC
若 AB＝BC，则___________，__________________．
归纳：
湘教版数学九年级下册2.2.1圆心角 同步课件
A
O
D
B
C
图2-13
新知讲解
在同圆中， 如果圆心角相等， 那么它们 所对的弧相等， 所对的弦也相等。 上述结论对于等圆也成立。
新知讲解
议一议
在同圆或等圆中， 如果弧相等， 那么它们所对的圆心 角相等吗？ 所对的弦相等吗？ 在同圆或等圆中， 如果弦相等， 那么它们所对的圆心 角相等吗？所对的弧相等吗？
新知讲解
变式2：如图，点A，B，C，D在⊙O上，A⌒C=
⌒ BD
，AB与CD
相等吗?为什么?
解:AB与CD相等，
理⌒由如下⌒
∵ ⌒AC
⌒=BD
， ⌒
⌒
⌒⌒
∴AC+ BC= BD+BC ，即 AB = CD，
∴AB =CD.
新知讲解
同一圆中证明两弦相等的“四种方法” (1)证明两弦所对的圆心角相等； (2)同一个三角形中，根据等角对等边； (3)在同一圆中证明两弦所对的弧相等； (4)若两弦位于两个不同的三角形，证明两弦所在的三角形全等。
核心素养分析
本节课重点学习圆心角的概念，以及圆心角与弦、弧 之间的关系，还有圆心角的计算。本节课培养了几何直观 的核心素养，还培养了学生的计算能力。
新知导入
圆的定义是什么？
圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形， 这个定点叫作圆心，定长叫作半径. 圆是平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。
⌒⌒ 变式1：已知，如图，OA、OB、OC是⊙O的半径，AC= BC. 点M、N分别是OA，OB的中点求证：MC= NC.
新知讲解
⌒⌒ 证明:∵OA，OB，OC是⊙O的半径， AC = BC， ∴∠AOC = ∠BOC， ∵点M，N分别是OA，OB的中点，OA = OB， ∴OM = ON， 在△OCM和△OCN中， OM = ON ，∠COM = ∠CON，OC=OC ∴OCM≌OCN(SAS)， ∴ MC = NC.
九年级下册数学(湘教版)同步教学课件：2.2圆心角、圆周角(第1课时)
B
∵OA=OB
∴ ∠ABO = ∠BAO
∴ ∠AOC =2 ∠ABO
即ABC= 1 AOC 2
你能写出这个命题吗? 一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半.
试一试
②当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否转化为①的情况? 过点B作直径BD.由①可得:
图１ 不是
图２ 不是 图３
是
不是
图４
不是
图５
在下图中,当球员在B,D,E处射门时，它所处的 位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC.∠ADC. ∠AEC.这三个角的大小有什么关系？
在同圆或等圆中，相等
的弧所对的圆心角相等.
那么在同圆或等圆中，
A
相等的弧所对的圆周角
C
有什么关系?
B
D
E
类比圆心角探知圆周角
A C
F
●O
E
B
忆一忆
1.圆心角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角.
O.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 B
C
两条弧、两条弦中有一组量相等，
那么它置发生改变，可能出现哪些情形？
·
·
·
·
·
在射门游戏中,球员射中球门的难易与它所处 的位置B对球门AC的张角（ ∠ABC ）有关.
A
D
B E
●O
●O
B
D
A
C
(1) C
(2)
4.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系? 为什么?
随堂练习
1.举出生活中含有圆周角的例子.
2.如图.在⊙O中.∠BOC=50°，求∠BAC 的大小.
圆心角 课件ppt
列结论中错误的个数为（ D ）
① ABCD；②AB=CD；③△AOB≌△COD． A．0 B．1 C．2 D．3
精品
巩固提升
5、在⊙O中，已知 AB 2CD ，则下列结论正确的是
（ B） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD
D
A a
D．不能确定AB与2CD的大小关
精品
巩固提升
6、如图，在⊙O中， AB AC ，∠ACB=60°，
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它A们所对
的弧_相__等__，所对的弦也__相__等___．
在同圆或等圆中，如果_两___个__圆__心__角__，a__两__条__弧__，
__两___条__弦___中有一组量相等，那么它们所对应的其 余各组都分别相等．
OA与OC重合，OB与OD重合．而同圆的半A径相等，
OA=OC，OB=OD，从而点A与C重合，B与D重合．
a
因此，AB 与CD 重合，AB与CD重合．
所以 AB CD，AB=CD．
精品
新知讲解
在同一圆中∠AOB=∠COD，
由旋转不变性得：AB=CD，AB CD．
D
∠AOB=∠COD
AB=CD
AB CD
求圆心角∠AOB的度数． 解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC=AC．
D
A
∴∠AOB=∠COB=∠AOC．
a
又∵∠AOB+∠COB+∠AOC=360°，
∴∠AOB= 1（∠AOB+∠COB+∠AOC）
3
=
1 3
×360°=120°．
精品
巩固提升
1、下面四个图中的角，为圆心角的是（ D ）
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